试卷 -黑龙江省哈尔滨市2020-2021学年七年级上学期期中数学试卷（word版 含答案）

2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市七年级（上）期中数学试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．下列方程是一元一次方程的是（　　）

A．2x﹣5＝y B．3x＝6 C．x2﹣5x+6＝0 D．x+＝2

2．下列运用等式的性质对等式进行的变形中，正确的是（　　）

A．若ax＝bx，则a＝b B．若﹣a＝6，则a＝﹣3 

C．若a＝b，则＝ D．若a﹣1＝b+1，则a＝b

3．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝40°，OE平分∠AOD，则∠EOD＝（　　）

A．55° B．60° C．65° D．70°

4．如图，∠1＝∠2，AC平分∠DAB，且∠D：∠DAB＝2：1，则∠D的度数是（　　）

A．120° B．130° C．140° D．150°

5．如图图形中，由∠1＝∠2能得到AB∥CD的是（　　）

A． B． 

C． D．

6．在一张日历上，在同一行或同一列上任意圈出三个相邻的数，它们的和不可能是（　　）

A．63 B．39 C．57 D．50

7．点P为直线l外一点，点A、B、C为直线l上三点，PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝2cm，则点P到直线l的距离为（　　）

A．5cm B．4cm C．2cm D．不大于2cm

8．方程﹣＝1，去分母，得（　　）

A．2x﹣1﹣x+1＝6 B．3（2x﹣1）﹣2（x+1）＝6 

C．2（2x﹣1）﹣3（x+1）＝6 D．3x﹣3﹣2x﹣2＝1

9．一架飞机在两城间飞行，顺风航行要5.5小时，逆风航行要6小时，风速为24千米/时，设飞机无风时的速度为每小时x千米，则下列方程正确是（　　）

A．5.5（x﹣24）＝6（x+24） B．＝ 

C．5.5（x+24）＝6（x﹣24） D．＝﹣24

10．下列命题中真命题的个数有（　　）

（1）经过一点有且只有一条直线与这条直线平行

（2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

（3）两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相垂直

（4）过直线m外一点P向这条直线作垂线段，这条垂线段就是点P到直线m的距离

（5）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题（每题3分，共30分）

11．如果（a+3）x|a|﹣2＝3是一元一次方程，那么a＝　   　．

12．若3x+2与﹣2x+1互为相反数，则x的值是　   　．

13．商店促销，标价1200元的球鞋8折出售，如果是VIP会员，还可以再打9折，但商店仍可获利20%，那么球鞋的进价是　   　元．

14．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1＝36°，那么∠2的度数是　   　．

15．对于有理数a，b，定义运算“★”；a★b＝2ab﹣b，例如：2★1＝2×2×1﹣1＝3，所以，若（x+2）★3＝27，则x＝　   　．

16．如图，有一块长为a米，宽为3米的长方形地，中间阴影部分是一条小路，空白部分为草地，小路的左边线向右平移1米能得到它的右边线，若草地的面积为12米2，则a＝　   　．

17．已知直线l1∥l2，∠1＝120°，∠2＝20°，∠3＝　   　°．

18．某服装厂生产一种型号的服装，已知3米长的布料可做2件上衣或3条裤子，一件上衣和一条裤子为一套，现在库内存有这种布料600米，那么一共能加工服装　   　套．

19．已知，∠AOB和∠BOC互为邻补角，且∠BOC：∠AOB＝4：1，射线OD平分∠AOB，射线OE⊥OD，则∠BOE＝　   　．

20．如图，BD∥CE，BC∥DE，点F在DE上，线段BD、CF的延长线交于点A，连接BF，点H在线段AC的延长线上，连BH，如果BF平分∠ABH，∠BFC＝100°，∠BCE+∠A＝170°，∠CBH：∠ABH＝1：8，则∠CBH＝　   　．

三、解答题：（21-25题每题8分，26-27题每题10分，共计60分）

21．解方程：

（1）4x﹣3（20﹣x）+4＝0；

（2）．

22．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在小正方形的顶点上．

（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D；

（2）平移△ABC，使点C平移到点D，点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，画出平移后的△DEF；

（3）连接CE，直接写出△CDE的面积为　   　．

23．已知6﹣x＝与a﹣2（x﹣4）＝5a是关于x的方程有相同的解，求a的值．

24．如图：已知：∠ADE+∠BCF＝180°，BE平分∠ABC交CD的延长线于点E，AF平分∠BAD交DC的延长线于点F，若∠ABC＝2∠E，则∠E+∠F＝90°，完成下列推理过程．

证明：

∵∠ADE+∠BCF＝180°，∠ADE+∠ADF＝180°

∴∠ADF＝∠BCF（　   　）

∴AD∥BC（　   　）

∵BE平分∠ABC

∴∠ABC＝2∠ABE（　   　）

又∵∠ABC＝2∠E

∴∠ABE＝∠E

∴AB∥EF（　   　）

∵AD∥BC

∴∠BAD+∠ABC＝180°（　   　）

∵BE平分∠ABC，AF平分∠BAD

∴∠ABE＝∠ABC，∠BAF＝∠BAD

∴∠ABE+∠BAF＝∠ABC+∠BAD＝×180°＝90°

∵AB∥EF（　   　）

∴∠BAF＝∠F（　   　）

∵∠ABE＝∠E

∴∠E+∠F＝90°（　   　）

25．如图：已知，∠HCO＝∠EBC，∠BHC+∠BEF＝180°．

（1）求证：EF∥BH；

（2）若BH平分∠EBO，EF⊥AO于F，∠HCO＝64°，求∠CHO的度数．

26．某水果店以5元/千克的价格购进一批苹果，由于销售良好，该店又再次购进同一种苹果，第二次进货价格比第一次每千克便宜10%，所购进苹果重量恰好是第一次购进苹果重量的2倍，这样该水果店两次购进苹果共花去5600元．

（1）求该水果店两次分别购买了多少千克苹果？

（2）在销售中，尽管两次进货的价格不同，但水果店仍以相同的价格售出，若第一次购进的苹果有3%的损耗，第二次购进的水果有5%的损耗，并且在销售过程中的其他费用为600元，如果该水果店希望售完这些水果共获得3558元的利润，那么该水果店每千克售价应定为多少元？

27．已知：AB∥CD，点H在线段AB上，点E在线段CD上，过点E作线段EG、EF，使EG⊥HE，∠AHE＝∠GEF．

（1）如图1，求证：EF⊥CD；

（2）如图2，连接HF，过点F作FM⊥HF交线段CE于点M，求证：∠FHB＝∠MFE；

（3）如图3，在（2）的条件下，FT平分∠HFE交CD于点T，HR平分∠BHF交TF的延长线于点R，点N在线段TF上，连接HN，过点R作RK∥HN交HF的延长线于点K，若∠HRN+∠HRK＝180°，HN+RK＝9，△HRK的面积为9，求FR的长度．（提示：不能直接应用三角形内角和为180°）

2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市七年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．下列方程是一元一次方程的是（　　）

A．2x﹣5＝y B．3x＝6 C．x2﹣5x+6＝0 D．x+＝2

【分析】根据一元一次方程的定义解答即可．

【解答】解：A、2x﹣5＝y是二元一次方程，故此选项不符合题意；

B、3x＝6是一元一次方程，故此选项符合题意；

C、x2﹣5x+6＝0是一元二次方程，故此选项不符合题意；

D、x+＝2是分式方程，故此选项不符合题意．

故选：B．

2．下列运用等式的性质对等式进行的变形中，正确的是（　　）

A．若ax＝bx，则a＝b B．若﹣a＝6，则a＝﹣3 

C．若a＝b，则＝ D．若a﹣1＝b+1，则a＝b

【分析】根据等式的性质对各选项进行逐一分析即可．

【解答】解：A、应该加条件x≠0时，原变形错误，故此选项不符合题意；

B、若﹣a＝6，则a＝﹣12，原变形错误，故此选项不符合题意；

C、若a＝b，则＝，原变形正确，故此选项符合题意；

D、若a﹣1＝b+1，则a＝b+2，原变形错误，故此选项不符合题意．

故选：C．

3．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝40°，OE平分∠AOD，则∠EOD＝（　　）

A．55° B．60° C．65° D．70°

【分析】先根据∠AOC＝40°，∠AOD与∠AOC是邻补角求出∠AOD的度数，再根据角平分线的定义求∠EOD的度数．

【解答】解：∵∠AOC＝40°，

∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝140°．

∵OE平分∠AOD，

∴∠EOD＝∠AOD＝70°．

故选：D．

4．如图，∠1＝∠2，AC平分∠DAB，且∠D：∠DAB＝2：1，则∠D的度数是（　　）

A．120° B．130° C．140° D．150°

【分析】根据角平分线的意义和平行线的判定可得出DC∥AB，利用平行线的同旁内角互补和按比例分配求出结果．

【解答】解：∵AC平分∠DAB，

∴∠1＝∠CAB，

∵∠1＝∠2，

∴∠CAB＝∠2，

∴DC∥AB，

∴∠D+∠DAB＝180°，

又∵∠D：∠DAB＝2：1，

∴∠D＝180°×＝120°，

故选：A．

5．如图图形中，由∠1＝∠2能得到AB∥CD的是（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】在三线八角的前提下，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．据此判断即可．

【解答】解：A、∠1、∠2是同旁内角，由∠1＝∠2不能判定AB∥CD；

B、∠1、∠2是内错角，由∠1＝∠2能判定AB∥CD；

C、∠1、∠2是内错角，由∠1＝∠2能判定AC∥BD，不能判定AB∥CD；

D，∠1、∠2是同旁内角，由∠1＝∠2不能判定AB∥CD；

故选：B．

6．在一张日历上，在同一行或同一列上任意圈出三个相邻的数，它们的和不可能是（　　）

A．63 B．39 C．57 D．50

【分析】设中间的数为x，则另外两个数分别为（x﹣1），（x+1）或（x﹣7），（x+7），将三个数相加可得出三个数的和为3x，进而可得出三个数的和为3的倍数，结合四个选项给的数，即可找出结论．

【解答】解：设中间的数为x，则另外两个数分别为（x﹣1），（x+1）或（x﹣7），（x+7），

∴三个数的和为（x﹣1）+x+（x+1）＝3x或（x﹣7）+x+（x+7）＝3x，

∴三个数的和为3的倍数．

∵50÷3＝16……2，

∴三个数的和不可能为50．

故选：D．

7．点P为直线l外一点，点A、B、C为直线l上三点，PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝2cm，则点P到直线l的距离为（　　）

A．5cm B．4cm C．2cm D．不大于2cm

【分析】根据“直线外一点到直线上各点的所有线中，垂线段最短”进行解答．

【解答】解：∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，

∴点P到直线l的距离≤PC，

即点P到直线l的距离不大于2cm．

故选：D．

8．方程﹣＝1，去分母，得（　　）

A．2x﹣1﹣x+1＝6 B．3（2x﹣1）﹣2（x+1）＝6 

C．2（2x﹣1）﹣3（x+1）＝6 D．3x﹣3﹣2x﹣2＝1

【分析】方程两边乘以6去分母得到结果，即可作出判断．

【解答】解：方程﹣＝1，去分母得：3（2x﹣1）﹣2（x+1）＝6，

故选：B．

9．一架飞机在两城间飞行，顺风航行要5.5小时，逆风航行要6小时，风速为24千米/时，设飞机无风时的速度为每小时x千米，则下列方程正确是（　　）

A．5.5（x﹣24）＝6（x+24） B．＝ 

C．5.5（x+24）＝6（x﹣24） D．＝﹣24

【分析】先表示出飞机顺风飞行的速度和逆风飞行的速度，然后根据速度公式，利用路程相等列方程．

【解答】解：设飞机在无风时的飞行速度为x千米/时，则飞机顺风飞行的速度为（x+24）千米/时，逆风飞行的速度为 （x﹣24）千米/时，

根据题意得5.5•（x+24）＝6（x﹣24）．

故选：C．

10．下列命题中真命题的个数有（　　）

（1）经过一点有且只有一条直线与这条直线平行

（2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

（3）两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相垂直

（4）过直线m外一点P向这条直线作垂线段，这条垂线段就是点P到直线m的距离

（5）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】根据平行公理、垂直的概念、点到直线的距离的概念判断即可．

【解答】解：（1）经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，本小题说法是假命题；

（2）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，本小题说法是假命题；

（3）两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行，本小题说法是假命题；

（4）过直线m外一点P向这条直线作垂线段，这条垂线段的长度就是点P到直线m的距离，本小题说法是假命题；

（5）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，本小题说法是真命题；

故选：A．

二．填空题

11．如果（a+3）x|a|﹣2＝3是一元一次方程，那么a＝　3　．

【分析】依据一元一次方程的定义可知|a|﹣2＝1，a+3≠0，可求得a的值．

【解答】解：∵（a+3）x|a|﹣2＝3是一元一次方程，

∴|a|﹣2＝1，a+3≠0，

解得a＝3．

故答案为：3．

12．若3x+2与﹣2x+1互为相反数，则x的值是　﹣3　．

【分析】根据互为相反数两数之和为0求出x值即可．

【解答】解：根据题意得：3x+2﹣2x+1＝0，

解得：x＝﹣3．

故答案为：﹣3．

13．商店促销，标价1200元的球鞋8折出售，如果是VIP会员，还可以再打9折，但商店仍可获利20%，那么球鞋的进价是　720　元．

【分析】设球鞋的进价是x元，根据利润＝售价﹣进价，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．

【解答】解：设球鞋的进价是x元，

依题意，得：1200×0.8×0.9﹣x＝20%x，

解得：x＝720．

故答案为：720．

14．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1＝36°，那么∠2的度数是　54°　．

【分析】根据平行线的性质，可以得到∠2＝∠3，再根据∠1+∠3＝90°，∠1＝36°，即可得到∠3的度数，从而可以得到∠2的度数．

【解答】解：∵AB∥CD，

∴∠2＝∠3，

∵∠1＝36°，∠1+∠3＝90°，

∴∠3＝54°，

∴∠2＝54°，

故答案为：54°．

15．对于有理数a，b，定义运算“★”；a★b＝2ab﹣b，例如：2★1＝2×2×1﹣1＝3，所以，若（x+2）★3＝27，则x＝　3　．

【分析】根据“对于有理数a，b，定义运算“★”；a★b＝2ab﹣b”，列出关于x的一元一次方程，解之即可．

【解答】解：根据题意得：

2（x+2）×3﹣3＝27，

去括号得：6x+12﹣3＝27，

移项得：6x＝27﹣12+3，

合并同类项得：6x＝18，

系数化为1得：x＝3，

故答案为：3．

16．如图，有一块长为a米，宽为3米的长方形地，中间阴影部分是一条小路，空白部分为草地，小路的左边线向右平移1米能得到它的右边线，若草地的面积为12米2，则a＝　5　．

【分析】根据小路的左边线向右平移1米能得到它的右边线，可得路的宽度是1米，根据平移，可把路移到左边，再根据面积公式，可得答案．

【解答】解：依题意有3a﹣3×1＝12，

解得a＝5．

故答案为：5．

17．已知直线l1∥l2，∠1＝120°，∠2＝20°，∠3＝　80　°．

【分析】直接作出平行线，利用利用平行线的性质得出答案．

【解答】解：作直线l1∥l3，则直线l1∥l2∥l3，

∵l1∥l3，∠1＝120°，

∴∠5＝60°，

∵l1∥l2，

∴∠2＝∠4＝20°，

∴∠3＝∠4+∠5＝80°．

故答案为：80．

18．某服装厂生产一种型号的服装，已知3米长的布料可做2件上衣或3条裤子，一件上衣和一条裤子为一套，现在库内存有这种布料600米，那么一共能加工服装　240　套．

【分析】设用x米布做上衣，则用（600﹣x）米布做裤子，根据制作的上衣和裤子数量相等，即可得出关于x的一元一次方程，再将其代入中即可求出结论．

【解答】解：设用x米布做上衣，则用（600﹣x）米布做裤子，

依题意得：＝，

解得：x＝360，

∴＝240（套）．

故答案为：240．

19．已知，∠AOB和∠BOC互为邻补角，且∠BOC：∠AOB＝4：1，射线OD平分∠AOB，射线OE⊥OD，则∠BOE＝　72°或108°　．

【分析】根据平角的意义、角平分线的意义，邻补角，垂直的意义，分别计算各个角的大小即可．

【解答】解：∵∠AOB和∠BOC互为邻补角，

∴∠AOB+∠BOC＝180°，

又∵∠BOC：∠AOB＝4：1，

∴∠BOC＝180°×＝144°，∠AOB＝180°×＝36°，

∵射线OD平分∠AOB，

∴∠AOD＝∠BOD＝∠AOB＝18°，

∵OE⊥OD，

∴∠DOE＝90°，

如图1，∠BOE＝∠DOE﹣∠BOD＝90°﹣18°＝72°，

如图2，∠BOE＝∠DOE+∠BOD＝90°+18°＝108°，

故答案为：72°或108°．

20．如图，BD∥CE，BC∥DE，点F在DE上，线段BD、CF的延长线交于点A，连接BF，点H在线段AC的延长线上，连BH，如果BF平分∠ABH，∠BFC＝100°，∠BCE+∠A＝170°，∠CBH：∠ABH＝1：8，则∠CBH＝　10°　．

【分析】设∠CBH＝x°，由∠CBH：∠ABH＝1：8及BF平分∠ABH得：∠ABH＝8x°、∠ABF＝∠ABH＝4x°、∠ABC＝7x°，由BD∥CE得∠BCE＝180°﹣7x°，继而根据∠BCE+∠A＝170°知∠A＝180°﹣∠BCE＝7x°﹣10°，最后由∠BFC＝∠A+∠ABF列出关于x的方程，解之可得．

【解答】解：设∠CBH＝x°，

则∠ABH＝8x°，∠ABF＝∠ABH＝4x°，∠ABC＝7x°，

∵BD∥CE，

∴∠ABC+∠BCE＝180°，

∴∠BCE＝180°﹣7x°，

∵∠BCE+∠A＝170°，

∴∠A＝180°﹣∠BCE＝7x°﹣10°，

又∵∠BFC＝∠A+∠ABF，且∠BFC＝100°，

∴7x﹣10+4x＝100，

解得：x＝10，

即∠CBH＝10°．

故答案为：10°．

三．解答题（共7小题）

21．解方程：

（1）4x﹣3（20﹣x）+4＝0；

（2）．

【分析】（1）去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可．

（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可．

【解答】解：（1）去括号，可得：4x﹣60+3x+4＝0，

移项，合并同类项，可得：7x＝56，

系数化为1，可得：x＝8．

（2）去分母，可得：x﹣1﹣2（x+2）＝3，

去括号，可得：x﹣1﹣2x﹣4＝3，

移项，合并同类项，可得：x＝﹣8．

22．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在小正方形的顶点上．

（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D；

（2）平移△ABC，使点C平移到点D，点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，画出平移后的△DEF；

（3）连接CE，直接写出△CDE的面积为　3　．

【分析】（1）利用网格特点和高的定义画图；

（2）利用点D和点C的位置特征确定平移的方向和距离，然后利用此平移规律画出点E、F即可；

（3）根据三角形面积公式计算．

【解答】解：（1）如图，CD为所作；

（2）如图，△DEF为所作；

（3）S△CDE＝×2×3＝3．

故答案为3．

23．已知6﹣x＝与a﹣2（x﹣4）＝5a是关于x的方程有相同的解，求a的值．

【分析】求出第一个方程的解得到x的值，代入第二个方程求出a的值即可．

【解答】解：6﹣x＝，

去分母得：12﹣2x＝x+3，

移项合并得：﹣3x＝﹣9，

解得：x＝3，

把x＝3代入a﹣2（x﹣4）＝5a中得：a+2＝5a，

解得：a＝．

24．如图：已知：∠ADE+∠BCF＝180°，BE平分∠ABC交CD的延长线于点E，AF平分∠BAD交DC的延长线于点F，若∠ABC＝2∠E，则∠E+∠F＝90°，完成下列推理过程．

证明：

∵∠ADE+∠BCF＝180°，∠ADE+∠ADF＝180°

∴∠ADF＝∠BCF（　同角的补角相等　）

∴AD∥BC（　同位角相等，两直线平行　）

∵BE平分∠ABC

∴∠ABC＝2∠ABE（　角平分线的定义　）

又∵∠ABC＝2∠E

∴∠ABE＝∠E

∴AB∥EF（　内错角相等，两直线平行　）

∵AD∥BC

∴∠BAD+∠ABC＝180°（　两直线平行，同旁内角互补　）

∵BE平分∠ABC，AF平分∠BAD

∴∠ABE＝∠ABC，∠BAF＝∠BAD

∴∠ABE+∠BAF＝∠ABC+∠BAD＝×180°＝90°

∵AB∥EF（　已证　）

∴∠BAF＝∠F（　两直线平行，内错角相等　）

∵∠ABE＝∠E

∴∠E+∠F＝90°（　等量代换　）

【分析】根据平行线的性质和判定，同角的补角相等以及等量代换，结合图形直观得出答案．

【解答】证明：∵∠ADE+∠BCF＝180°，∠ADE+∠ADF＝180°

∴∠ADF＝∠BCF（同角的补角相等）

∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）

∵BE平分∠ABC

∴∠ABC＝2∠ABE（角平分线定义）

又∵∠ABC＝2∠E

∴∠ABE＝∠E

∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行）

∵AD∥BC

∴∠BAD+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）

BE平分∠ABC，AE平分∠BAD

∴∠ABE＝∠ABC，∠BAF＝∠BAD

∴∠ABE+∠BAF＝∠ABC+∠BAD＝×180°＝90°

∵AB∥EF（己证）

∴∠BAF＝∠F（两直线平行，内错角相等）

∠ABE＝∠E

∴∠E+∠F＝90°（等量代换）

25．如图：已知，∠HCO＝∠EBC，∠BHC+∠BEF＝180°．

（1）求证：EF∥BH；

（2）若BH平分∠EBO，EF⊥AO于F，∠HCO＝64°，求∠CHO的度数．

【分析】（1）要证明EF∥BH，可通过∠E与∠EBH互补求得，利用平行线的性质说明∠EBH＝∠CHB可得结论．

（2）要求∠CHO的度数，可通过平角和∠FHC求得，利用（1）的结论及角平分线的性质求出∠FHB及∠BHC的度数即可．

【解答】证明：（1）∵∠HCO＝∠EBC，

∴EB∥HC．

∴∠EBH＝∠CHB．

∵∠BHC+∠BEF＝180°，

∴∠EBH+∠BEF＝180°．

∴EF∥BH．

（2）∵∠HCO＝∠EBC，

∴∠HCO＝∠EBC＝64°，

∵BH平分∠EBO，

∴∠EBH＝∠CHB＝∠EBC＝32°．

∵EF⊥AO于F，EF∥BH，

∴∠BHA＝90°．

∴∠FHC＝∠BHA+∠CHB＝122°．

∵∠CHO＝180°﹣∠FHC

＝180°﹣122°

＝58°．

26．某水果店以5元/千克的价格购进一批苹果，由于销售良好，该店又再次购进同一种苹果，第二次进货价格比第一次每千克便宜10%，所购进苹果重量恰好是第一次购进苹果重量的2倍，这样该水果店两次购进苹果共花去5600元．

（1）求该水果店两次分别购买了多少千克苹果？

（2）在销售中，尽管两次进货的价格不同，但水果店仍以相同的价格售出，若第一次购进的苹果有3%的损耗，第二次购进的水果有5%的损耗，并且在销售过程中的其他费用为600元，如果该水果店希望售完这些水果共获得3558元的利润，那么该水果店每千克售价应定为多少元？

【分析】（1）设该水果店第一次购买了x千克苹果，则第二次购买了2x千克苹果，根据总价＝单价×数量，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论；

（2）设该水果店每千克售价应定为m元，根据销售利润＝销售总价﹣其他费用﹣两次购进苹果的总费用，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．

【解答】解：（1）设该水果店第一次购买了x千克苹果，则第二次购买了2x千克苹果，

依题意，得：5x+5×（1﹣10%）×2x＝5600，

解得：x＝400，

∴2x＝800．

答：该水果店第一次购买了400千克苹果，第二次购买了800千克苹果．

（2）设该水果店每千克售价应定为m元，

依题意，得：400×（1﹣3%）m+800×（1﹣5%）m﹣600﹣5600＝3558，

解得：m＝8.5，

答：该水果店每千克应定价8.5元．

27．已知：AB∥CD，点H在线段AB上，点E在线段CD上，过点E作线段EG、EF，使EG⊥HE，∠AHE＝∠GEF．

（1）如图1，求证：EF⊥CD；

（2）如图2，连接HF，过点F作FM⊥HF交线段CE于点M，求证：∠FHB＝∠MFE；

（3）如图3，在（2）的条件下，FT平分∠HFE交CD于点T，HR平分∠BHF交TF的延长线于点R，点N在线段TF上，连接HN，过点R作RK∥HN交HF的延长线于点K，若∠HRN+∠HRK＝180°，HN+RK＝9，△HRK的面积为9，求FR的长度．（提示：不能直接应用三角形内角和为180°）

【分析】（1）由平行线的性质得∠AHE＝∠HED，证出∠GEF＝∠HED，则∠GEH＝∠FED，进而得出结论；

（2）过点F作FS∥AB，由平行线的性质和垂直的定义即可得出结论；

（3）过F作OF∥AB交HN于O，设∠BHR＝∠RHF＝α，则∠HFO＝∠BHR+∠RHF＝2α，证出∠OFT＝∠FTE＝45°﹣α，过R作RS∥AB，则∠HRS＝∠BHR＝α，证∠HRT＝45°，进而得出∠NRK＝90°，由平行线的性质得∠HNK＝∠NRK＝90°，再由三角形面积关系即可得出答案．

【解答】（1）证明：∵AB∥CD，

∴∠AHE＝∠HED，

∵∠AHE＝∠GEF，

∴∠GEF＝∠HED，

∵∠GEF＝∠GEH+∠HEF，∠HED＝∠FED+∠HEF，

∴∠GEH＝∠FED，

又∵EG⊥HE，

∴∠GEH＝90°，

∴∠FED＝90°，

∴EF⊥CD；

（2）过点F作FS∥AB，如图2所示：

则∠FHB＝∠HFS，

∵FM⊥HF，

∴∠HFM＝90°，

∴∠HFS+∠SFM＝90°，

∵AB∥CD，

∴FS∥CD，

∵EF⊥CD，

∴EF⊥FS，

∴∠SFE＝90°，

∴∠SFM+∠MFE＝90°，

∴∠HFS+∠SFM＝∠SFM+∠MFE，

∴∠HFS＝∠MFE，

∴∠FHB＝∠MFE；

（3）过F作OF∥AB交HN于O，如图3所示：

则∠BHF＝∠HFO，

∴∠BHR+∠RHF＝∠HFO，

∵HR平分∠BHF，

∴∠BHR＝∠RHF，

设∠BHR＝∠RHF＝α，

∴∠HFO＝∠BHR+∠RHF＝α+α＝2α，

∵∠FHB＝∠MFE，

∴∠MFE＝∠FHR+∠BHR＝∠BHF＝2α，

∴∠HFE＝∠MFH+∠MFE＝90°+2α，

∵FT平分∠HFE，

∴∠HFT＝∠EFT＝∠HFE＝45°+α，

∴∠OFT＝∠HFT﹣∠HFO＝45°+α﹣2α＝45°﹣α，

∵AB∥CD且AB∥OF，

∴CD∥OF，

∴∠OFT＝∠FTE＝45°﹣α，

过R作RS∥AB，

∴∠HRS＝∠BHR＝α，

∵AB∥RS且AB∥CD，

∴RS∥CD，

∴∠SRT＝∠RTD＝45°﹣α，∠HRT＝45°﹣α+α＝45°，

∵∠HRN+∠HRK＝180°，

∴∠HRN+∠HRN+∠NRK＝180°，

∴∠NRK＝180°﹣45°﹣45°＝90°，

∵HN∥RK，

∴∠HNK＝∠NRK＝90°，

在△HRT中，S△HRT＝S△HRF +S△RFK ＝+＝（HN+RK），

∵S△HRK ＝9，HN+RK＝9，

∴×9＝9，

∴FR＝2．