试卷 2021年江苏省常州市武进区前黄实验学校中考数学新课结束试卷 解析版

这是一份试卷 2021年江苏省常州市武进区前黄实验学校中考数学新课结束试卷 解析版，共38页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）的相反数是（ ）
A．3B．﹣3C．D．
2．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．（﹣a3）2＝﹣a6B．a3•a2＝a6C．（2a）2＝2a2D．a3÷a2＝a
3．（2分）如图，几何体由5个相同的小正方体构成，该几何体三视图中为轴对称图形的是（ ）
A．主视图B．左视图
C．俯视图D．主视图和俯视图
4．（2分）要使在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≤﹣3B．x＞3C．x≥3D．x＝3
5．（2分）如果a＜b，c＜0，那么下列不等式中不成立的是（ ）
A．a+c＜b+cB．ac＞bcC．ac+1＞bc+1D．ac2＞bc2
6．（2分）在平面直角坐标系中，函数y＝kx+b的图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．k＞0B．b＜0C．k•b＞0D．k•b＜0
7．（2分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，CE平分∠ACB，与对角线BD相交于点N，F是线段CE的中点，则下列结论中正确的有（ ）个．
①OF＝；②ON＝；③S△CON＝；④sin∠ACE＝．
A．1B．2C．3D．4
8．（2分）在平面直角坐标系中，长为2的线段CD（点D在点C右侧）在x轴上移动，A（0，2），B（0，4），连接AC，BD，则AC+BD的最小值为（ ）
A．2B．2C．6D．3
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把笞案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（2分）计算：（﹣）﹣1+|2﹣|＝ ．
10．（2分）分式的值为0，则x的值是 ．
11．（2分）习总书记指出，善于学习，就是善于进步．“学习强国”平台上线后的某天，全国大约有1.2亿人在平台上学习．1.2亿这个数用科学记数法表示为 ．
12．（2分）分解因式：xy2﹣2xy+x＝ ．
13．（2分）若关于x的一元二次方程ax2﹣8x+4＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ．
14．（2分）如图，将矩形纸条ABCD折叠，折痕为EF，折叠后点C，D分别落在点C′，D′处，D'E与BF交于点G．已知∠BGD'＝30°，则∠α的度数是 ．
15．（2分）如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝60°，∠C＝70°，OB＝9，则的长为 ．
16．（2分）如图，平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO，CO分别在x轴，y轴上，A点的坐标为（﹣8，6），点P在矩形ABOC的内部，点E在BO边上，满足△PBE∽△CBO，当△APC是等腰三角形时，P点坐标为 ．
17．（2分）如图，Rt△AOB≌Rt△COD，直角边分别落在x轴和y轴上，斜边相交于点E，且tan∠OAB＝2．若四边形OAEC的面积为6，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点E，则k的值为 ．
18．（2分）如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在B'处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点C'处，EF为折痕，连接AC'．若CF＝3，则tan∠B'AC′＝ ．
三、解答题（本大题共10小题，共84分，请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（6分）先化简，再求值：（a+3）2﹣（a+1）（a﹣1）﹣2（2a+4），其中a＝．
20．（8分）解方程和不等式组：
（1）﹣1＝；
（2）．
21．（8分）为了了解现行简化汉字的笔画画数情况，某同学随机选取语文课本的一篇文章，对其部分文字的笔画数进行统计，结果如下表：
请解答下列问题：
（1）被统计汉字笔画数的众数是多少？
（2）该同学将数据进行整理，按如下方案分组统计，并制作扇形统计图：
请确定上表中的m、n的值及扇形统计图中B组对应扇形圆心角的度数；
（3）若这篇文章共有3500个汉字，估计笔画数在7～9画（C组）的字数有多少个？
22．（8分）在一个不透明的袋子中，装有除颜色外其余均相同的红、蓝两种球，已知其中红球有3个，且从中任意摸出一个红球的概率为0.75．
（1）根据题意，袋中有 个蓝球；
（2）若第一次随机摸出一球，不放回，再随机摸出第二个球，请用画树状图或列表法求“摸到两球中至少一个球为蓝球（记为事件A）”的概率P（A）．
23．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥DE，AE＝AD，AE交BC于O．
（1）求证：∠BCA＝∠EAC；
（2）若CE＝3，AC＝4，求△COE的周长．
24．（8分）5G时代的到来，将给人类生活带来巨大改变．现有A、B两种型号的5G手机，进价和售价如表所示：型号价格
某营业厅购进A、B两种型号手机共花费32000元，手机销售完成后共获得利润4400元．
（1）营业厅购进A、B两种型号手机各多少部？
（2）若营业厅再次购进A、B两种型号手机共30部，其中B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，请设计一个方案：营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少？
25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点（点A在点B左侧），已知A点的纵坐标是2；
（1）求反比例函数的表达式；
（2）根据图象直接写出﹣x＞的解集；
（3）将直线l1：y＝x沿y向上平移后的直线l2与反比例函数y＝在第二象限内交于点C，如果△ABC的面积为30，求平移后的直线l2的函数表达式．
26．（10分）将一副直角三角尺按图1摆放，其中∠C＝90°，∠EDF＝90°，∠B＝60°，∠F＝45°，等腰直角三角尺的直角边DF恰好垂直平分AB，与AC相交于点G，BC＝4cm．
（1）求DG的长；
（2）如图2．将△DEF绕点D按顺时针方向旋转，直角边DF经过点C，另一直角边DE与AC相交于点H，分别过点H，D作AB，BC的垂线，垂足分别为点M，N．猜想HM与CN之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，在旋转的过程中，若△DEF两边DE，DF与△ABC两边AC，BC分别交于K、T两点，则KT的最小值为 ．
27．（10分）【概念认识】
在同一个圆中两条互相垂直且相等的弦定义为“等垂弦”，两条弦所在直线的交点为等垂弦的分割点．如图①，AB、CD是⊙O的弦，AB＝CD，AB⊥CD，垂足为E，则AB、CD是等垂弦，E为等垂弦AB、CD的分割点．
【数学理解】
（1）如图②，AB是⊙O的弦，作OC⊥OA、OD⊥OB，分别交⊙O于点C、D，连接CD．
求证：AB、CD是⊙O的等垂弦．
（2）在⊙O中，⊙O的半径为5，E为等垂弦AB、CD的分割点，＝．求AB的长度；
【问题解决】
（3）AB、CD是⊙O的两条弦，CD＝AB，且CD⊥AB，垂足为F．
①在图③中，利用直尺和圆规作弦CD（保留作图痕迹，不写作法）；
②若⊙O的半径为r，AB＝mr（m为常数），垂足F与⊙O的位置关系随m的值变化而变化，直接写出点F与⊙O的位置关系及对应的m的取值范围．
28．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，A（﹣2，﹣1），B（3，﹣1），以O为圆心，OA的长为半径的半圆O交AO延长线于C，连接AB，BC，过O作ED∥BC分别交AB和半圆O于E，D，连接OB，CD．
（1）求证：BC是半圆O的切线；
（2）试判断四边形OBCD的形状，并说明理由；
（3）如图2，若抛物线经过点D且顶点为E．
①求此抛物线的解析式；
②点P是此抛物线对称轴上的一个动点，以E，D，P为顶点的三角形与△OAB相似，问抛物线上是否存在一点Q．使S△EPQ＝S△OAB？若存在，请直接写出Q点的横坐标；若不存在，说明理由．
2021年江苏省常州市武进区前黄实验学校中考数学新课结束试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）
1．（2分）的相反数是（ ）
A．3B．﹣3C．D．
【分析】在一个数前面放上“﹣”，就是该数的相反数．
【解答】解：的相反数为﹣．
故选：D．
2．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．（﹣a3）2＝﹣a6B．a3•a2＝a6C．（2a）2＝2a2D．a3÷a2＝a
【分析】根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法分别进行计算，再逐个判断即可．
【解答】解：A．结果是a6，故本选项不符合题意；
B．结果是a5，故本选项不符合题意；
C．结果是4a2，故本选项不符合题意；
D．结果是a，故本选项符合题意；
故选：D．
3．（2分）如图，几何体由5个相同的小正方体构成，该几何体三视图中为轴对称图形的是（ ）
A．主视图B．左视图
C．俯视图D．主视图和俯视图
【分析】先得到该几何体的三视图，再根据轴对称图形的定义即可求解．
【解答】解：由如图所示的几何体可知：该几何体的主视图、左视图和俯视图分别是，其中左视图是轴对称图形．
故选：B．
4．（2分）要使在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≤﹣3B．x＞3C．x≥3D．x＝3
【分析】根据二次根式有意义的条件得出不等式，求出不等式的解集即可．
【解答】解：∵在实数范围内有意义，
∴2x﹣6≥0，
解得：x≥3，
故选：C．
5．（2分）如果a＜b，c＜0，那么下列不等式中不成立的是（ ）
A．a+c＜b+cB．ac＞bcC．ac+1＞bc+1D．ac2＞bc2
【分析】根据不等式的性质解答即可．
【解答】解：A、由a＜b，c＜0得到：a+c＜b+c，原变形正确，故此选项不符合题意；
B、由a＜b，c＜0得到：ac＞bc，原变形正确，故此选项不符合题意；
C、由a＜b，c＜0得到：ac+1＞bc+1，原变形正确，故此选项不符合题意；
D、由a＜b，c＜0得到：ac2＜bc2，原变形错误，故此选项符合题意．
故选：D．
6．（2分）在平面直角坐标系中，函数y＝kx+b的图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．k＞0B．b＜0C．k•b＞0D．k•b＜0
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系进行解答即可．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过一、二、四象限，
∴k＜0，b＞0．
∴kb＜0，
故选：D．
7．（2分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，CE平分∠ACB，与对角线BD相交于点N，F是线段CE的中点，则下列结论中正确的有（ ）个．
①OF＝；②ON＝；③S△CON＝；④sin∠ACE＝．
A．1B．2C．3D．4
【分析】利用面积法可求BE的长，由三角形的中位线定理可求OF的长，可判断①；由平行线分线段成比例可求ON的长，可判断②；由面积关系可求△ONC，可判断③；由勾股定理可求EC的长，由锐角三角函数可求sin∠ACE的值，可判断④，即可求解．
【解答】解：①如图，过点E作EH⊥AC于H，
∵AB＝3，AD＝4，
∴AC＝＝＝5，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO＝DO＝BO＝，
∵CE平分∠ACB，EH⊥AC，∠ABC＝90°，
∴BE＝EH，
∵S△ABC＝S△AEC+S△BCE，
∴×AB×BC＝×AC×EH+×BC×BE，
∴3×4＝5×EH+4×EH，
∴EH＝＝BE，
∴AE＝AB﹣BE＝，
∵F是线段CE的中点，AO＝CO，
∴OF＝AE＝，OF∥AB，
故①正确；
②∵OF∥AB，
∴＝＝，
∴ON＝BN，
∵ON+BN＝BO＝，
∴BN＝，NO＝，
故②正确；
③∵S△BOC＝S矩形ABCD，
∴S△BOC＝×3×4＝3，
∵ON＝BN，
∴S△CON＝＝，
故③正确；
④∵BE＝，BC＝4，
∴EC＝＝＝，
∴sin∠ACE＝＝＝，
故④错误，
故选：C．
8．（2分）在平面直角坐标系中，长为2的线段CD（点D在点C右侧）在x轴上移动，A（0，2），B（0，4），连接AC，BD，则AC+BD的最小值为（ ）
A．2B．2C．6D．3
【分析】设C（m，0），则有AC+BD＝+，推出要求AC+BD的最小值，相当于在x轴上找一点P（n，0），使得点P到M（0，2）和N（﹣2，4）的距离和最小，如图1中，作点M关于x轴的对称点Q，连接NQ交x轴于P′，连接MP′，此时P′M+P′N的值最小，求出NQ即可解决问题．
【解答】解：设C（m，0），
∵CD＝2，
∴D（m+2，0），
∵A（0，2），B（0，4），
∴AC+BD＝+，
∴要求AC+BD的最小值，相当于在x轴上找一点P（n，0），使得点P到M（0，2）和N（﹣2，4）的距离和最小，
如图1中，作点M关于x轴的对称点Q，连接NQ交x轴于P′，连接MP′，此时P′M+P′N的值最小，
∵N（﹣2，4），Q（0，﹣2）
P′M+P′N的最小值＝P′N+P′Q＝NQ＝＝2，
∴AC+BD的最小值为2．
故选：B．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把笞案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（2分）计算：（﹣）﹣1+|2﹣|＝ ﹣ ．
【分析】分别化简每一项可得（﹣）﹣1+|2﹣|＝﹣2+2﹣．
【解答】解：（﹣）﹣1+|2﹣|＝﹣2+2﹣＝﹣；
故答案为﹣．
10．（2分）分式的值为0，则x的值是 1 ．
【分析】根据分式的值为零的条件得到x﹣1＝0且x≠0，易得x＝1．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴x﹣1＝0且x≠0，
∴x＝1．
故答案为1．
11．（2分）习总书记指出，善于学习，就是善于进步．“学习强国”平台上线后的某天，全国大约有1.2亿人在平台上学习．1.2亿这个数用科学记数法表示为 1.2×108 ．
【分析】科学记数法就是将一个数字表示成（a×10的n次幂的形式），其中1≤|a|＜10，n表示整数，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n次幂．
【解答】解：1.2亿＝1.2×108．
故答案为：1.2×108．
12．（2分）分解因式：xy2﹣2xy+x＝ x（y﹣1）2 ．
【分析】先提公因式x，再对剩余项利用完全平方公式分解因式．
【解答】解：xy2﹣2xy+x，
＝x（y2﹣2y+1），
＝x（y﹣1）2．
13．（2分）若关于x的一元二次方程ax2﹣8x+4＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 a＜4且a≠0 ．
【分析】根据根的判别式即可求出答案
【解答】解：由题意可知：△＝64﹣16a＞0，
∴a＜4，
∵a≠0，
∴a＜4且a≠0，
故答案为：a＜4且a≠0
14．（2分）如图，将矩形纸条ABCD折叠，折痕为EF，折叠后点C，D分别落在点C′，D′处，D'E与BF交于点G．已知∠BGD'＝30°，则∠α的度数是 75° ．
【分析】依据平行线的性质，即可得到∠AEG的度数，再根据折叠的性质，即可得出∠α的度数．
【解答】解：∵矩形纸条ABCD中，AD∥BC，
∴∠AEG＝∠BGD'＝30°，
∴∠DEG＝180°﹣30°＝150°，
由折叠可得，∠α＝∠DEG＝×150°＝75°，
故答案为：75°．
15．（2分）如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝60°，∠C＝70°，OB＝9，则的长为 8π ．
【分析】连接OA，根据等腰三角形的性质求出∠OAC，根据题意和三角形内角和定理求出∠AOB，代入弧长公式计算，得到答案．
【解答】解：连接OA，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠C＝70°，
∴∠OAB＝∠OAC﹣∠BAC＝70°﹣60°＝10°，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB＝10°，
∴∠AOB＝180°﹣10°﹣10°＝160°，
则的长＝＝8π，
故答案为：8π．
16．（2分）如图，平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO，CO分别在x轴，y轴上，A点的坐标为（﹣8，6），点P在矩形ABOC的内部，点E在BO边上，满足△PBE∽△CBO，当△APC是等腰三角形时，P点坐标为 （﹣，）或（﹣4，3） ．
【分析】由题意得出P点在AC的垂直平分线上或在以点C为圆心AC为半径的圆弧上；
①当P点在AC的垂直平分线上时，点P同时在BC上，AC的垂直平分线与BO的交点即是E，证出PE∥CO，则△PBE∽△CBO，由已知得出点P横坐标为﹣4，OC＝6，BO＝8，BE＝4，由相似对应边成比例得出PE＝3即可得出结果；
②P点在以点C为圆心AC为半径的圆弧上，圆弧与BC的交点为P，过点P作PE⊥BO于E，证出PE∥CO，则△PBE∽△CBO，由已知得出AC＝BO＝8，CP＝8，AB＝OC＝6，由勾股定理得出BC＝＝10，则BP＝2，由相似对应边成比例得出PE＝，BE＝，则OE＝即可得出结果．
【解答】解：∵点P在矩形ABOC的内部，且△APC是等腰三角形，
∴P点在AC的垂直平分线上或在以点C为圆心AC为半径的圆弧上；
①当P点在AC的垂直平分线上时，点P同时在BC上，AC的垂直平分线与BO的交点即是E，如图1所示：
∵PE⊥BO，CO⊥BO，
∴PE∥CO，
∴△PBE∽△CBO，
∵四边形ABOC是矩形，A点的坐标为（﹣8，6），
∴点P横坐标为﹣4，OC＝6，BO＝8，BE＝4，
∵△PBE∽△CBO，
∴＝，即＝，
解得：PE＝3，
∴点P（﹣4，3）；
②P点在以点C为圆心AC为半径的圆弧上，圆弧与BC的交点为P，
过点P作PE⊥BO于E，如图2所示：
∵CO⊥BO，
∴PE∥CO，
∴△PBE∽△CBO，
∵四边形ABOC是矩形，A点的坐标为（﹣8，6），
∴AC＝BO＝8，CP＝8，AB＝OC＝6，
∴BC＝＝＝10，
∴BP＝2，
∵△PBE∽△CBO，
∴＝＝，即：＝＝，
解得：PE＝，BE＝，
∴OE＝8﹣＝，
∴点P（﹣，）；
综上所述：点P的坐标为：（﹣，）或（﹣4，3）；
故答案为：（﹣，）或（﹣4，3）．
17．（2分）如图，Rt△AOB≌Rt△COD，直角边分别落在x轴和y轴上，斜边相交于点E，且tan∠OAB＝2．若四边形OAEC的面积为6，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点E，则k的值为 4 ．
【分析】连接OE，过点E分别作EM⊥OB于点M，EN⊥OD于点N，证明△CBE≌△ADE，再证明点C为BO的中点，点A为OD的中点，设EM＝EN＝x，根据四边形OAEC的面积为6，列出x的方程，便可求得最后结果．
【解答】解：连接OE，过点E分别作EM⊥OB于点M，EN⊥OD于点N，
∵Rt△AOB≌Rt△COD，
∴∠OBA＝∠ODC，OA＝OC，OB＝OD，
∴OB﹣OC＝OD﹣OA，即BC＝AD，
又∵∠CEB＝∠AED，
∴△CBE≌△ADE（AAS），
∴CE＝AE，
又∵OC＝OA，OE＝OE，
∴△COE≌△AOE（SSS），
∴∠EOC＝∠EOA＝45°，
又∵EM⊥OB，EN⊥OD，
∴EM＝EN，
∵tan∠OAB＝2，
∴，
∴OB＝2OA，
∵OA＝OC，
∴OB＝2OC，
∴点C为BO的中点，
同理可得点A为OD的中点，
∴S△AOE＝S△ADE，
在Rt△END中，tan∠CDO＝，
∴EN＝，
设EM＝EN＝x，
∴ND＝2EN＝2x，ON＝EN＝x，
∴OD＝3x，
∵，
∴x＝2，
∴E（2，2），
∴k＝2×2＝4．
故答案为4．
18．（2分）如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在B'处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点C'处，EF为折痕，连接AC'．若CF＝3，则tan∠B'AC′＝ ．
【分析】连接AF，设CE＝x，用x表示AE、EF，再证明∠AEF＝90°，由勾股定理得通过AF进行等量代换列出方程便可求得x，再进一步求出B′C′，便可求得结果．
【解答】解：连接AF，设CE＝x，则C′E＝CE＝x，BE＝B′E＝10﹣x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴AE2＝AB2+BE2＝82+（10﹣x）2＝164﹣20x+x2，
EF2＝CE2+CF2＝x2+32＝x2+9，
由折叠知，∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF，
∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF＝180°，
∴∠AEF＝∠AEB′+∠C′EF＝90°，
∴AF2＝AE2+EF2＝164﹣20x+x2+x2+9＝2x2﹣20x+173，
∵AF2＝AD2+DF2＝102+（8﹣3）2＝125，
∴2x2﹣20x+173＝125，
解得，x＝4或6，
当x＝6时，EC＝EC′＝6，BE＝B′E＝10﹣6＝4，EC′＞B′E，不合题意，应舍去，
∴CE＝C′E＝4，
∴B′C′＝B′E﹣C′E＝（10﹣4）﹣4＝2，
∵∠B′＝∠B＝90°，AB′＝AB＝8，
∴tan∠B'AC′＝．
故答案为：．
另一解法：由折叠知，∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF，
∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF＝180°，
∴∠AEF＝∠AEB′+∠C′EF＝90°，
∴∠AEB+∠CEF＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，BC＝AD＝10，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
∴△ABE∽△ECF，
∴，
设BE＝x，则BE＝B'E＝x，C'E＝CE＝10﹣x，
∴，
解得，x＝4或6，
∴BE＝B'E＝4，CE＝C'E＝6，
或BE＝B'E＝6，CE＝C'E＝4，
∵B'E＞C'E，
∴BE＝B'E＝6，CE＝C'E＝4，
∴B'C'＝B'E﹣C'E＝6﹣4＝2，
由折叠知，AB'＝AB＝8，∠B'＝∠B＝90°，
∴tan∠B'AC′＝．
解法三：设BE＝a，EC＝b，则a+b＝10．由于△AB'E～△EC'F，
所以AB'：EC'＝EB'：C'F，即8：a＝b：3，ab＝24．B'C'＝a﹣b，
因为（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝100﹣96＝4．
所以B'C′＝2．
所以tan∠B'AC′＝．
故答案为．
三、解答题（本大题共10小题，共84分，请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（6分）先化简，再求值：（a+3）2﹣（a+1）（a﹣1）﹣2（2a+4），其中a＝．
【分析】根据整式的运算法则进行化简，然后将a的值代入即可求出答案．
【解答】解：原式＝a2+6a+9﹣（a2﹣1）﹣4a﹣8
＝2a+2，
∵a＝，
∴原式＝1+2＝3．
20．（8分）解方程和不等式组：
（1）﹣1＝；
（2）．
【分析】（1）方程两边都乘以（x﹣1）得出方程，求出方程的解，再进行检验即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：（1）方程两边都乘以（x﹣1）得：4x﹣1﹣x+1＝8，
解得：x＝，
检验：把x＝，代入（x﹣1）得：x﹣1≠0，
所以x＝原方程的解，
即原方程的解是：x＝；
（2）．
解不等式①得：x，
解不等式②得：x＜3，
∴不等式组的解集是：﹣≤x＜3．
21．（8分）为了了解现行简化汉字的笔画画数情况，某同学随机选取语文课本的一篇文章，对其部分文字的笔画数进行统计，结果如下表：
请解答下列问题：
（1）被统计汉字笔画数的众数是多少？
（2）该同学将数据进行整理，按如下方案分组统计，并制作扇形统计图：
请确定上表中的m、n的值及扇形统计图中B组对应扇形圆心角的度数；
（3）若这篇文章共有3500个汉字，估计笔画数在7～9画（C组）的字数有多少个？
【分析】（1）根据众数的定义求解可得；
（2）根据第1个表格可得m、n的值及被抽查汉字的个数，再用360°乘以B组频数占总数的比例即可得；
（3）用汉字的总个数乘以样本中C组频数占样本容量的比例可得．
【解答】解：（1）被统计汉字笔画数的众数是8画；
（2）m＝16+14+20＝50，n＝14+11+9＝34，
∵被抽查的汉字个数为4+8+10+16+14+20+24+36+16+14+11+9+10+7+1＝200（个），
∴扇形统计图中B组对应扇形圆心角的度数为360°×＝90°；
（3）估计笔画数在7～9画（C组）的字数有3500×＝1330（个）．
22．（8分）在一个不透明的袋子中，装有除颜色外其余均相同的红、蓝两种球，已知其中红球有3个，且从中任意摸出一个红球的概率为0.75．
（1）根据题意，袋中有 1 个蓝球；
（2）若第一次随机摸出一球，不放回，再随机摸出第二个球，请用画树状图或列表法求“摸到两球中至少一个球为蓝球（记为事件A）”的概率P（A）．
【分析】（1）设袋中有x个蓝球，根据概率公式得到＝0.75，然后解方程即可
（2）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出两球中至少一个球为蓝球的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）设袋中有x个蓝球，
根据题意得＝0.75，解得x＝1，
即袋中有1个蓝球．
故答案为1；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中两球中至少一个球为蓝球的结果数为6种，
所以P（A）＝＝．
23．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥DE，AE＝AD，AE交BC于O．
（1）求证：∠BCA＝∠EAC；
（2）若CE＝3，AC＝4，求△COE的周长．
【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，得出∠BCA＝∠DAC，由等腰三角形的性质得出∠EAC＝∠DAC，即可得出∠BCA＝∠EAC；
（2）由勾股定理求出AE＝＝5，由（1）得：∠BCA＝∠EAC，周长OA＝OC，得出△COE的周长＝AE+CE，即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BCA＝∠DAC，
∵AC⊥DE，AE＝AD，
∴∠EAC＝∠DAC，
∴∠BCA＝∠EAC；
（2）解：∵AC⊥DE，
∴∠ACE＝90°，
∴AE＝＝＝5，
由（1）得：∠BCA＝∠EAC，
∴OA＝OC，
∴△COE的周长＝OE+OC+CE＝OE+OA+CE＝AE+CE＝5+3＝8．
24．（8分）5G时代的到来，将给人类生活带来巨大改变．现有A、B两种型号的5G手机，进价和售价如表所示：型号价格
某营业厅购进A、B两种型号手机共花费32000元，手机销售完成后共获得利润4400元．
（1）营业厅购进A、B两种型号手机各多少部？
（2）若营业厅再次购进A、B两种型号手机共30部，其中B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，请设计一个方案：营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少？
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以得到相应的二元一次方程组，从而可以求得营业厅购进A、B两种型号手机各多少部；
（2）根据题意，可以得到利润与A种型号手机数量的函数关系式，然后根据B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，可以求得A种型号手机数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少．
【解答】解：（1）设营业厅购进A、B两种型号手机分别为a部、b部，
，
解得，，
答：营业厅购进A、B两种型号手机分别为6部、4部；
（2）设购进A种型号的手机x部，则购进B种型号的手机（30﹣x）部，获得的利润为w元，
w＝（3400﹣3000）x+（4000﹣3500）（30﹣x）＝﹣100x+15000，
∵B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，
∴30﹣x≤2x，
解得，x≥10，
∵w＝﹣100x+15000，k＝﹣100，
∴w随x的增大而减小，
∴当x＝10时，w取得最大值，此时w＝14000，30﹣x＝20，
答：营业厅购进A种型号的手机10部，B种型号的手机20部时获得最大利润，最大利润是14000元．
25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点（点A在点B左侧），已知A点的纵坐标是2；
（1）求反比例函数的表达式；
（2）根据图象直接写出﹣x＞的解集；
（3）将直线l1：y＝x沿y向上平移后的直线l2与反比例函数y＝在第二象限内交于点C，如果△ABC的面积为30，求平移后的直线l2的函数表达式．
【分析】（1）直线l1经过点A，且A点的纵坐标是2，可得A（﹣4，2），代入反比例函数解析式可得k的值；
（2）依据直线l1：y＝﹣x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，即可得到不等式﹣x＞的解集为x＜﹣4或0＜x＜4；
（3）设平移后的直线l2与x轴交于点D，连接AD，BD，依据CD∥AB，即可得出△ABC的面积与△ABD的面积相等，求得D（15，0），即可得出平移后的直线l2的函数表达式．
【解答】解：（1）∵直线l1：y＝﹣x经过点A，A点的纵坐标是2，
∴当y＝2时，x＝﹣4，
∴A（﹣4，2），
∵反比例函数y＝的图象经过点A，
∴k＝﹣4×2＝﹣8，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣；
（2）∵直线l1：y＝﹣x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，
∴B（4，﹣2），
∴不等式﹣x＞的解集为x＜﹣4或0＜x＜4；
（3）如图，设平移后的直线l2与x轴交于点D，连接AD，BD，
∵CD∥AB，
∴△ABC的面积与△ABD的面积相等，
∵△ABC的面积为30，
∴S△AOD+S△BOD＝30，即OD（|yA|+|yB|）＝30，
∴×OD×4＝30，
∴OD＝15，
∴D（15，0），
设平移后的直线l2的函数表达式为y＝﹣x+b，
把D（15，0）代入，可得0＝﹣×15+b，
解得b＝，
∴平移后的直线l2的函数表达式为y＝﹣x+．
26．（10分）将一副直角三角尺按图1摆放，其中∠C＝90°，∠EDF＝90°，∠B＝60°，∠F＝45°，等腰直角三角尺的直角边DF恰好垂直平分AB，与AC相交于点G，BC＝4cm．
（1）求DG的长；
（2）如图2．将△DEF绕点D按顺时针方向旋转，直角边DF经过点C，另一直角边DE与AC相交于点H，分别过点H，D作AB，BC的垂线，垂足分别为点M，N．猜想HM与CN之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，在旋转的过程中，若△DEF两边DE，DF与△ABC两边AC，BC分别交于K、T两点，则KT的最小值为 4 ．
【分析】（1）解直角三角形求出AB，再在Rt△ADG中，根据DG＝AD•tan30°计算即可解决问题．
（2）利用相似三角形的性质解决问题即可．
（3）证明K，D，T，C四点共圆，推出KT是该圆的直径，易知当CD是该圆的直径时，KT的长最短．
【解答】解：（1）如图1中，
在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，BC＝4，∠CAB＝30°
∴AB＝2BC＝8，
∵DF垂直平分线段AB，
∴AD＝DB＝4，
在Rt△ADG中，DG＝AD•tan30°＝4×＝4．
（2）结论：CN＝HM．
理由：如图2中，
∵∠ACB＝90°，AD＝DB，
∴CD＝DA＝DB，
∵∠B＝60°，
∴△BDC是等边三角形，
∴∠DCB＝∠CDB＝60°，
∵∠ACB＝∠CDH＝90°，
∴∠MDH＝∠HCD＝30°，
∴CD＝DH，
∵∠DHM＝∠DCN＝60°，∠DMH＝∠DNC＝90°，
∴△DMH∽△DNC，
∴＝＝，
∴CN＝HM．
（3）如图3中，连接CD．
∵∠KCT＝∠KDT＝90°，
∴∠KCT+∠KDT＝180°，
∴K，D，T，C四点共圆，
∴KT是该圆的直径，
∵KT≥CD，
∴当KT＝CD时，KT的长最短，此时KT＝CD＝AB＝4．
27．（10分）【概念认识】
在同一个圆中两条互相垂直且相等的弦定义为“等垂弦”，两条弦所在直线的交点为等垂弦的分割点．如图①，AB、CD是⊙O的弦，AB＝CD，AB⊥CD，垂足为E，则AB、CD是等垂弦，E为等垂弦AB、CD的分割点．
【数学理解】
（1）如图②，AB是⊙O的弦，作OC⊥OA、OD⊥OB，分别交⊙O于点C、D，连接CD．
求证：AB、CD是⊙O的等垂弦．
（2）在⊙O中，⊙O的半径为5，E为等垂弦AB、CD的分割点，＝．求AB的长度；
【问题解决】
（3）AB、CD是⊙O的两条弦，CD＝AB，且CD⊥AB，垂足为F．
①在图③中，利用直尺和圆规作弦CD（保留作图痕迹，不写作法）；
②若⊙O的半径为r，AB＝mr（m为常数），垂足F与⊙O的位置关系随m的值变化而变化，直接写出点F与⊙O的位置关系及对应的m的取值范围．
【分析】（1）连接BC，由圆心角相等可得AB＝CD，由圆周角定理可得∠ABC＝∠AOC＝45°，∠BCD＝∠BOD＝45°，可证AB⊥CD，可得结论；
（2）分两种情况讨论，过点O作OH⊥AB，作OG⊥CD，可证矩形OHEG为正方形，利用勾股定理可求解；
（3）①如图所示；
②先求出点F在⊙O上时，m的值，即可求解．
【解答】证明：（1）如图②，连接BC，
∵OC⊥OA、OD⊥OB，
∴∠AOC＝∠BOD＝90°，
∴∠AOB＝∠COD，
∴AB＝CD，
∵∠ABC＝∠AOC＝45°，∠BCD＝∠BOD＝45°，
∴∠AEC＝∠ABC+∠BCD＝90°，
即AB⊥CD，
∵AB＝CD，AB⊥CD，
∴AB、CD是⊙O的等垂弦；
（2）如图，若点E在⊙O内，过点O作OH⊥AB，垂足为H，作OG⊥CD，垂足为G，
∵AB、CD是⊙O的等垂弦，
∴AB＝CD，AB⊥CD，
∴四边形OHEG是矩形，
∵OH⊥AB，OG⊥CD，
∴AH＝AB，DG＝CD，
∴AH＝DG，
又∵OA＝OD，
∴△AHO≌△DGO（HL），
∴OH＝OG，
∴矩形OHEG为正方形，
∴OH＝HE．
∵＝，且AH＝BH，
∴AH＝2BE＝2OH，
在Rt△AOH中，AO2＝AH2+OH2．
即（2OH）2+OH2＝AO2＝25，
解得OH＝，
∴AB＝4HE＝4；
若点E在⊙O外，如图，过点O作OH⊥AB，垂足为H，作OG⊥CD，垂足为G，
同理，AH＝，则AB＝2AH＝2；
（3）①如图③，作直径AE，作AE的垂直平分线交AB的延长线于F，过点F作EF⊥AF交⊙O于E，作EF的四等份线交⊙O于C，D，则弦CD即为所求；
②如图，当点F在⊙O上时，过点O作OH⊥AB，垂足为H，作OG⊥CD，垂足为G，
同理可证四边形OHBG是矩形，
∴BH＝，OH＝BG＝，
∵OB2＝BH2+OH2，
∴r2＝+，
∴m＝，
∴当m＝时，点F在⊙O上；
当0＜m＜时，点F在⊙O外；
当＜m≤2时，点F在⊙O内．
28．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，A（﹣2，﹣1），B（3，﹣1），以O为圆心，OA的长为半径的半圆O交AO延长线于C，连接AB，BC，过O作ED∥BC分别交AB和半圆O于E，D，连接OB，CD．
（1）求证：BC是半圆O的切线；
（2）试判断四边形OBCD的形状，并说明理由；
（3）如图2，若抛物线经过点D且顶点为E．
①求此抛物线的解析式；
②点P是此抛物线对称轴上的一个动点，以E，D，P为顶点的三角形与△OAB相似，问抛物线上是否存在一点Q．使S△EPQ＝S△OAB？若存在，请直接写出Q点的横坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）如图1，设AB与y轴交于M，先证明OE是△ABC的中位线，得BC＝2OE，E（，﹣1），利用勾股定理计算OE的长，可得BC的长，根据勾股定理的逆定理计算AC2+BC2＝AB2，所以△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，可得结论；
（2）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证明OD与BC平行且相等，可得四边形OBCD是平行四边形；
（3）①作辅助线，构建平行线，利用平行线分线段成比例定理列比例式可得D的坐标，利用顶点E的坐标设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣）2﹣1，把点D的坐标代入可得结论；
②以E，D，P为顶点的三角形与△OAB相似，存在两种情况，过D作DG⊥EP于G，设Q的横坐标为x，根据S△EPQ＝S△OAB，列方程可得x的值．
【解答】（1）证明：如图1，设AB与y轴交于M，
∵A（﹣2，﹣1），B（3，﹣1），
∴AB∥x轴，且AM＝2，OM＝1，AB＝5，
∴OA＝OC＝，
∵DE∥BC，O是AC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴AE＝AB，BC＝2OE，
∴E（，﹣1），
∴EM＝，
∴OE＝＝＝，
∴BC＝2OE＝，
在△ABC中，∵＝25，AB2＝52＝25，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴BC⊥AC，
∵AC为半圆O的直径，
∴BC是半圆O的切线；
（2）解：四边形OBCD是平行四边形，理由是：
如图1，由（1）得：BC＝OD＝OA＝，
∵OD∥BC，
∴四边形OBCD是平行四边形；
（3）解：①如图2，由（1）知：OD＝OA＝，E是AB的中点，且E（，﹣1），OE＝，
过D作DN⊥y轴于N，则DN∥EM，
∴△ODN∽△OEM，
∴，即，
∴ON＝2，DN＝1，
∴D（﹣1，2），
设此抛物线的解析式为：y＝a（x﹣）2﹣1，
把D（﹣1，2）代入得：2＝a（﹣1﹣）2﹣1，
解得：a＝，
∴此抛物线的解析式为：y＝（x﹣）2﹣1，即y＝；
②存在，
过D作DG⊥EP于G，设Q的横坐标为x，
∵DG＝1+＝，EG＝2+1＝3，
∴DE＝＝＝，
tan∠DEG＝＝，
∵tan∠OAM＝，且∠DEG和∠OAM都是锐角，
∴∠DEG＝∠OAM，
如图3，当△EPD∽△AOB时，，即，
∴EP＝，
∵S△AOB＝＝，
∵S△EPQ＝S△OAB，
∴＝，
即，
解得：x＝或﹣；
如图4，当△OAB∽△DEP时，，即，
∴EP＝，
同理得：，
解得：x＝或﹣；
综上，存在符合条件的点Q，Q点的横坐标为或﹣或或﹣．
笔画数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
字数
4
8
10
16
14
20
24
36
16
14
11
9
10
7
1
分组
笔画数x（画）
字数（个）
A组
1≤x≤3
22
B组
4≤x≤6
m
C组
7≤x≤9
76
D组
10≤x≤12
n
E组
13≤x≤15
18
进价（元/部）
售价（元/部）
A
3000
3400
B
3500
4000
笔画数
1
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3
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字数
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分组
笔画数x（画）
字数（个）
A组
1≤x≤3
22
B组
4≤x≤6
m
C组
7≤x≤9
76
D组
10≤x≤12
n
E组
13≤x≤15
18
进价（元/部）
售价（元/部）
A
3000
3400
B
3500
4000