河北省平山天阳国际学校2020-2021学年度第二学期八年级第一次月考数学模拟试卷（含答案）

这是一份河北省平山天阳国际学校2020-2021学年度第二学期八年级第一次月考数学模拟试卷（含答案），共27页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，图中不能证明勾股定理的是，已知实数x，y满足|x﹣4|+，如图，等边△ABC的边长为8等内容，欢迎下载使用。

考试时间：90分钟；试卷总分：120分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题(每题3分，共36分)
1．在式子中，二次根式有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a和b，那么ab的值为（ ）
A．49B．25C．12D．10
3．如图，AB＝AC，∠CAB＝90°，∠ADC=45°，AD＝1，CD＝3，则BD的长为（ ）
A．3B．C．2D．4
4．对于任意的正数m、n定义运算※为：m⊗n=，计算(3⊗2)＋(8⊗12)的结果为( )
A．+B．2C．D．-
5．图中不能证明勾股定理的是（ ）
A． B．C．D．
6．已知实数x，y满足|x﹣4|+（y﹣8）2＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不对
7．的整数部分是x，小数部分是y，则y（x+）的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．如图，在四边形ABCD中，，，，．分别以点A、C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O是AC的中点，则CD的长为（ ）
A．B．4C．3D．
9．已知，ab＞0，化简二次根式a的正确结果是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，等边△ABC的边长为8．P，Q分别是边上的点，连结，交于点O．以下结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若点P和点Q分别从点A和点B同时出发，以相同的速度向点C运动（到达点C就停止），则点O经过的路径长为．其中正确的（ ）
A．①②③B．①④C．①②D．①③④
11．如图，OP＝1，过点P作PP1⊥OP，且PP1＝1，得OP1＝；再过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2……依此法继续作下去，得OP2018的值为( )
A．B．C．D．
12．如图， ，动点从点出发，沿射线以的速度移动，设运动的时间为秒，当为等腰三角形时，的值不可能为（ ）
A．B．C．D．
第II卷（非选择题）
填空题(每题3分，共18分)
13．如图，在等边△ABC中，AB＝6，AN＝2，∠BAC的平分线交BC于点D，M是AD上的动点，则BM+MN的最小值是_____．
如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，已知 ， 其中阴影部分面积是_____________平方单位．
15．如图，在△ABC中，AC=BC=2, ∠ACB=90°,D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是_______.
16．等腰△ABC，其中AB=AC=17cm，BC=16cm，则三角形的面积为________cm2 ．
17．在中，，，点是中点，点在上，，将沿着翻折，点的对应点是点，直线与交于点，那么的面积__________．
18．已知a，b是正整数，若有序数对（a，b）使得的值也是整数，则称（a，b）是的一个“理想数对”，如（1，4）使得=3，所以
（1，4）是的一个“理想数对”．请写出其他所有的“理想数对”： __________．
三、解答题(共66分)
19．(本题12分)如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D为AC延长线上一点，连接BD，在BC边上取一点E，使得CD=CE，连接AE并延长交BD于点F．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：AF⊥BD；
（3）连接CF，点C 关于BD的对称点是Q，连接FQ，用等式表示线段CF,CQ之间的数量关系，并加以证明．
学校 班级 姓名 考号
-------------------------密-----------------------------封------------------线------------------------------------
20．(本题20分)计算：
（1） （2）
（3） （4）
（5）
21．(本题10分)已知：如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.
求：四边形ABCD的面积.
22．(本题12分)（1）探究发现：下面是一道例题及解答过程，请补充完整：
如图①在等边△ABC内部，有一点P，若∠APB=150°，求证：AP2+BP2=CP2
证明：将△APC绕A点逆时针旋转60°，得到△AP’B，连接PP’，则△APP’为等边三角形∴∠APP’=60° ，PA=PP’ ，PC=
∵∠APB=150°，∴∠BPP’=90°
∴P’P2+BP2= ，即PA2+PB2=PC2
（2）类比延伸：如图②在等腰△ABC中，∠BAC=90°，内部有一点P，若∠APB=135°，试判断线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明．
（3）联想拓展：如图③在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，点P在直线AB上方，且∠APB=60°，满足（kPA）2+PB2=PC2（其中k＞0），请直接写出k的值
23．(本题12分)数学活动课上，老师提出了这样的问题：没有直角尺，要过上的一点，作出的垂线．
乐学组想到了办法一：如图，可利用一把有刻度的直尺在上量出，然后分别以，为圆心，以与为半径画圆弧，两弧相交于点，作射线，则必为．勤学组想到了办法二：如图，以为圆心，任意长为半径作弧，交直线于点，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点；作射线，则必为．善思组想到了办法三：如图3，以为圆心，任意长为半径作弧，交直线于点；分别以，为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点：射线，以为圆心，长为半径作弧，交射线于点；作射线，则必为．
（1）填空：“办法一”依据的一个数学定理是_________________________；
（2）根据“办法二”的操作过程，亮亮完成了证明过程：
如图，连接，，在中，
由作图可知，，（依据1）：．
依据1指的是：______________________；
（3）请你根据“办法三”的操作过程，补充完成证明过程：如图，连接，由作图可知，
（4）已知，如图，点，是直线上两点，且
①尺规作图：求作，使得点在的上方，且，；
②若是以为一边的等边三角形，请直接写出线段的长度（不需要作图）．
参考答案
1．B
【解析】
解：当y=﹣2时，y+1=﹣2+1=﹣1，∴（y=－2）无意义；当x＞0时，无意义；所以二次根式有（x＞0）， ，共3个．故选B．
2．C
【解析】
试题解析：如图，∵大正方形的面积是25，
∴c2=25，
∴a2+b2=c2=25，
∵直角三角形的面积是（25-1）÷4=6，
又∵直角三角形的面积是ab=6，
∴ab=12．
故选C.
3．B
【分析】
过点A作AE⊥AD交CD于E，连接BE，利用SAS可证明△BAE≌△CAD，利用全等的性质证得∠BED=90°，最后根据勾股定理即可求出BD.
【详解】
解：如图，过点A作AE⊥AD交CD于E，连接BE.
∵∠DAE=90°，∠ADE=45°，
∴∠ADE=∠AED=45°，
∴AE=AD=1，
∴在Rt△ADE中，DE=，
∵∠DAE=∠BAC=90°，
∴∠DAE+∠EAC=∠BAC+∠EAC，即∠CAD=∠BAE，
又∵AB=AC,
∴△BAE≌△CAD(SAS)，
∴CD=BE=3，∠AEB=∠ADC=45°，
∴∠BED=90°，
∴在Rt△BED中， BD=.
故选B.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键.
4．C
【分析】
先利用新定义得到原式=，然后把各二次根式化为最简二次根式后合并即可．
【详解】
解：（3⊗2）+（8⊗12）=
=
=．
故选C．
【点睛】
本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
5．A
【分析】
根据各个图象，利用面积的不同表示方法，列式证明结论，找出不能证明的那个选项．
【详解】
解：A选项不能证明勾股定理；
B选项，通过大正方形面积的不同表示方法，可以列式，可得；
C选项，通过梯形的面积的不同表示方法，可以列式，可得；
D选项，通过这个不规则图象的面积的不同表示方法，可以列式，可得．
故选：A．
【点睛】
本题考查勾股定理的证明，解题的关键是掌握勾股定理的证明方法．
6．B
【分析】
先根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解．
【详解】
解：根据题意得，x﹣4＝0，y﹣8＝0，
解得x＝4，y＝8，
①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，
∵4+4＝8，
∴不能组成三角形；
②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，
能组成三角形，周长＝4+8+8＝20．
所以，三角形的周长为20．
故选：B．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，分类讨论是关键.
7．A
【解析】
试题解析：
的整数部分是小数部分是

原式
故选A.
8．A
【分析】
连接FC，先说明∠FAO=∠BCO，由 OE垂直平分AC，由垂直平分线的性质可得AF=FC，再证明△FOA≌△BOC，可得AF=BC=3，再由等量代换可得FC=AF=3，然后利用线段的和差求出FD=AD-AF=1.最后在直角△FDC中利用勾股定理求出CD即可．
【详解】
解：如图，连接FC，
∵由作图可知
∴AF=FC，
∵AD//BC，
∴∠FAO=∠BCO，
在△FOA与△BOC中，
∠FAO=∠BCO, OA=OC，∠AOF=∠COB
∴△FOA≌△BOC（ASA），
∴AF=BC=3，
∴FC=AF=3，FD=AD-AF=4-3=1.
在△FDC中，∠D=90°，
∴CD2+DF2=FC2，即CD2+12=32，解得CD=．
故答案为A．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理、线段垂直平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质，运用全等三角形的性质求得CF和DF是解答本题的关键．
9．D
【解析】
【分析】
直接利用二次根式的性质进而化简得出答案．
【详解】
∵有意义，∴b≤0．
∵ab＞0，∴a＜0，b＜0，∴a．
故选D．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质与化简，正确应用二次根式的性质是解题的关键．
10．B
【分析】
第①个选项直接找到对应的条件，利用SAS证明全等即可；第②③结论都有两种情况，准确画出图之后再来计算和判断；第四个结论要先判断判断轨迹(通过对称性)在来计算路径长．
【详解】
①在三角形△BAP和△ACQ中：
则△BAP≌△ACQ (SAS) ；①正确；
②如图1，
题中AQ=BP，存在两种情况：
在的位置，∠AOB=120°，
在的位置，∠AOB的大小无法确定；②错误；
③本问与AP=CQ这个条件无关，如图，
P还是会有两个位置即：、，
当在时，
作BE⊥AC于E点，则E为AC中点，
∵AB=8，AE= ，
∴ ，
又BP=7，
∴,
∴CP=CE+PE=5，
当在时，同理解△BCP，得CP= CE-PE=3；故③错；
④由题可得：AP=BQ，由对称性可得O的运动轨迹为△ABC中AB边上的中垂线
则∵AB=8，
∴BC=AB=8，
则AB边上的中垂线的长为：
∴运动轨迹路径长为；④正确；
∴正确的为①④；
故选：B．
【点睛】
此题考查了三角形全等，利用等边三角形的性质找出相应的全等条件是关键，还考查了等边三角形是周对称图形这一性质．
11．D
【解析】
【分析】由勾股定理求出各边，再观察结果的规律.
【详解】∵OP=1，OP1=
OP2=，OP3==2，
∴OP4=，
…，
OP2018=．
故选D
【点睛】本题考查了勾股定理，读懂题目信息，理解定理并观察出被开方数比相应的序数大1是解题的关键．
12．C
【分析】
根据为等腰三角形，分三种情况进行讨论，分别求出BP的长度，从而求出t值即可．
【详解】
在中，，
，
①如图，当时，；
②如图，当时，
∵，
∴，；
③如图，当时，设，则，
∵在中，，
∴，
解得：，
∴，
综上所述，当为等腰三角形时，或或．
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，注意分类讨论．
13．2
【分析】
通过作辅助线转化BM，MN的值，从而找出其最小值求解．
【详解】
解：连接CN，与AD交于点M．则CN就是BM+MN的最小值．取BN中点E，连接DE，如图所示：
∵等边△ABC的边长为6，AN＝2，
∴BN＝AC﹣AN＝6﹣2＝4，
∴BE＝EN＝AN＝2，
又∵AD是BC边上的中线，
∴DE是△BCN的中位线，
∴CN＝2DE，CN∥DE，
又∵N为AE的中点，
∴M为AD的中点，
∴MN是△ADE的中位线，
∴DE＝2MN，
∴CN＝2DE＝4MN，
∴CM＝CN．
在直角△CDM中，CD＝BC＝3，DM＝AD＝，
∴CM＝，
∴CN＝．
∵BM+MN＝CN，
∴BM+MN的最小值为2．
故答案是：2．
【点睛】
考查等边三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．
14．49
【分析】
先计算出BC的长，再由勾股定理求出阴影部分的面积即可.
【详解】
∵∠ACB=90 ，,
∴,
∴阴影部分的面积=，
故答案为：49.
【点睛】
此题考查勾股定理，能利用根据直角三角形计算得到所需的边长，题中根据勾股定理的图形得到阴影部分面积等于BC的平方是解题的关键.
15．．
【详解】
解：如图，过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC，连接DC′，交AB于E，连接CE，此时DE+CE=DE+EC′=DC′的值最小．
连接BC′，由对称性可知∠C′BE=∠CBE=45°，
∴∠CBC′=90°，
∴BC′⊥BC，∠BCC′=∠BC′C=45°，
∴BC=BC′=2，
∵D是BC边的中点，
∴BD=1，
根据勾股定理可得
则EC+ED的最小值是
16．120
【解析】
利用等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高的重合的性质，勾股定理求出三角形的高AD==15cm，再利用三角形面积公式求S△ABC=BC•AD=×16×15=120cm2 ．
故答案为：120.
点睛：此题主要考查等腰三角形的高和面积的求法．利用等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高的重合的性质，勾股定理，关键是利用三角形的面积求解.
17．或
【分析】
通过计算E到AC的距离即EH的长度为3，所以根据DE的长度有两种情况：①当点D在H点上方时，②当点D在H点下方时，两种情况都是过点E作交AC于点E，过点G作交AB于点Q，利用含30°的直角三角形的性质和勾股定理求出AH,DH的长度，进而可求AD的长度，然后利用角度之间的关系证明，再利用等腰三角形的性质求出GQ的长度，最后利用即可求解．
【详解】
①当点D在H点上方时，
过点E作交AC于点E，过点G作交AB于点Q，
，点是中点，
．
∵，
．
，
，
．
，
，
，，
，
．
由折叠的性质可知，，
，
，
．
又 ，
．
，
．
，
即，
．
，
；
②当点D在H点下方时，
过点E作交AC于点E，过点G作交AB于点Q，
，点是中点，
．
∵，
．
，
，
．
，
，
，，
，
．
由折叠的性质可知，，
，
，
．
又 ，
．
，
．
，
即，
．
，
，
综上所述，的面积为或．
故答案为：或．
【点睛】
本题主要考查折叠的性质，等腰三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，含30°的直角三角形的性质，能够作出图形并分情况讨论是解题的关键．
18．（1，1）、（4，1）、（4，4）、（9，36）、（16，16）、（36，9）
【解析】
试题解析：当a=1，=1，要使为整数，=1或时，分别为4和3，得出（1，4）和（1，1）是的“理想数对”，
当a=4，=，要使为整数，=1或时，分别为3和2，
得出（4，1）和（4，4）是的“理想数对”，
当a=9，=，要使为整数，=时，=1，
得出（9，36）是的“理想数对”，
当a=16，=，要使为整数，=时，=1，
得出（16，16）是的“理想数对”，
当a=36，=，要使为整数，=时，=1，
得出（36，9）是的“理想数对”，
即其他所有的“理想数对”：（1，1）、（4，1）、（4，4）、（9，36）、（16，16）、（36，9）．
故答案为：（1，1）、（4，1）、（4，4）、（9，36）、（16，16）、（36，9）．
19．（1）见解析；（2）见解析；（3）CQ=CF，理由见解析
【分析】
（1）根据题意补全图形即可；
（2）根据SAS证明△ACE ≌△BCD，得出∠1=∠2，从而证出∠BFE=∠ACE即可．
（3）过C作CG⊥CF交AF于G，再根据∠ACB=90°，得出∠3=∠4，从而证出△ACG ≌△BCF，得出CG =CF，从而得出∠CFG=45°．再根据点C与 Q关于BD对称，证出△CFQ是等腰直角三角形即可．
【详解】
解：（1）如图：
（2）在△ACE和△BCD中，
∴△ACE ≌△BCD （SAS）．
∴∠1=∠2．
∵∠AEC=∠BEF，
∴∠BFE=∠ACE．
∵∠ACE=90°，∴∠AFB=90°．
∴AF⊥BD．
（3）数量关系是：CQ=CF．
过C作CG⊥CF交AF于G．
∴∠GCF=90°．
∵∠ACB=90°，∴∠3=∠4．
∵∠1=∠2，AC=BC，
∴△ACG ≌△BCF（ASA）．
∴CG =CF．∴△CGF是等腰直角三角形．
∴∠CFG=45°．∴∠CFD=45°．
∵点C与 Q关于BD对称，∴CF =FQ．
∠CFD=∠QFD=45°．
∴△CFQ是等腰直角三角形．
∴CQ=CF．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识熟练掌握相关的知识，正确作出辅助线，是解题的关键．

20．（1）；（2）1；（3）0；（4）；（5）
【分析】
（1）先由二次根式的性质进行化简，然后合并同类项，即可得到答案；
（2）先化简绝对值，计算立方根和乘方运算，然后合并同类项，即可得到答案；
（3）先计算幂的乘方和同底数幂乘法，再合并同类项，即可得到答案；
（4）由多项式除以单项式，即可得到答案；
（5）先利用完全平方公式、平方差公式进行计算，然后计算整式除法，即可得到答案．
【详解】
解：（1）
=
=；
（2）
=
=1；
（3）
=
=
=0；
（4）
=
=；
（5）
=
=
=；
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，整式的混合运算，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
21．18.
【解析】
试题分析：作DE∥AB，连结BD，则可以证明△ABD≌△EDB（ASA）；DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB=3；在△DEC中，3、4、5为勾股数，△DEC为直角三角形，DE⊥BC；利用梯形面积公式，或利用三角形的面积可解.
试题解析：
解：作DE∥AB，连结BD，则可以证明△ABD≌△EDB（ASA）,
∴DE=AB=4，BE=AD=3.
∵BC=6,∴EC=EB=3.
∵DE2+CE2=32+42=25=CD2,
∴△DEC为直角三角形.
又∵EC=EB=3,
∴△DBC为等腰三角形，DB=DC=5.
在△BDA中AD2+AB2=32+42=25=BD2,
∴△BDA是直角三角形.
它们的面积分别为S△BDA=×3×4=6;S△DBC=×6×4=12.
∴S四边形ABCD=S△BDA+S△DBC=6+12=18.
22．（1）P’B，P’B2；（2）2PA2+PB2=PC2，见解析；（3）k=
【分析】
（1）根据旋转的性质和勾股定理直接写出即可．
（2）将△APC绕A点逆时针旋转90°，得到△AP′B，连接PP′，论证PP′=2PA，再根据勾股定理代换即可．
（3）将△APC 绕A点顺时针旋转120°得到△AP′B，连接PP′，过点A作AH⊥PP′，论证PP′=PA，再根据勾股定理代换即可．
【详解】
（1）PC=P’B，P’P2+BP2=P’B2
（2）关系式为：2PA2+PB2=PC2
证明：将△APC绕A点逆时针旋转90°，得到△AP’B，连接PP’，则△APP’为等腰直角三角形，
∴∠APP’=45°，PP’=PA，PC=P’B，
∵∠APB=135°，
∴∠BPP’=90°，
∴P’P2+BP2=P’B2，
∴2PA2+PB2=PC2．
（3）k=
将△APC绕点A顺时针旋转120°得到△AP’B，连接PP’，过点A作AH⊥PP’，
可得
【点睛】
本题考查了旋转三角形的问题，掌握旋转的性质、勾股定理是解题的关键．
23．（1）勾股定理逆定理；（2）等腰三角形三线合一；（3）见解析；（4）①见解析；②或．
【分析】
（1）根据题意可直接作答；
（2）根据题意可直接进行解答；
（3）由题意易得，，然后根据三角形内角和可求解；
（4）①以Q为圆心，任意长为半径作弧，交直线QR于两点，分别以这两点为圆心，大于这两点距离的一半长为半径作弧，两弧相交于一点；作射线，然后在此射线上截取QS=QR即可；
②由题意易得，，，然后分以RS为边向上作等边三角形和向下作等边三角形，进而根据等边三角形的性质可求解．
【详解】
解：（1）由题意得：
，EC=3cm，ED=5cm，
，
=，
“办法一”依据的一个数学定理是勾股定理逆定理，
故答案为勾股定理逆定理；
（2）如图，连接，，在中，
由作图可知，，
，
依据1指的是等腰三角形的三线合一，
故答案为等腰三角形的三线合一；
（3）如下所示：，
，
又，
，
又，
，
又，
，
；
（4）①如图所示，即为所求，
②或，
，
，
易得，
易得，易得，
，
同理，易得．
【点睛】
本题主要考查勾股定理逆定理、等腰三角形的性质、二次根式的运算及等边三角形，熟练掌握各个知识点是解题的关键．