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试卷 2020-2021学年陕西省宝鸡市凤翔县九年级（上）期末数学试卷 解析版
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这是一份试卷 2020-2021学年陕西省宝鸡市凤翔县九年级（上）期末数学试卷 解析版，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．如图所示的几何体的左视图是（ ）
A．B．C．D．
2．若x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，则（ ）
A．a+b+c＝1B．a﹣b+c＝0C．a+b+c＝0D．a﹣b﹣c＝0
3．已知：，则：＝（ ）
A．B．﹣C．D．
4．一个不透明的盒子里有n个除颜色外其它完全相同的小球，其中有6个黄球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后在放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么可以推算出n大约是（ ）
A．6B．10C．18D．20
5．如图，AB∥CD∥MN，点M，N分别在线段AD，BC上，AC与MN交于点E，则（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC＝，BC＝2，则sin∠ACD的值为（ ）
A．B．C．D．
7．某数学兴趣小组利用阳光下的影子测量建筑物的高度，已知小明的身高1.5m，测量其影子为1.2m，建筑物的影长为14m，则建筑物的高是（ ）m．
A．16.5B．17C．17.5D．18
8．如图，△ABC与△DEF位似，其位似中心为点O，且D为AO的中点，则△ABC与△DEF的面积比是（ ）
A．2：1B．4：1C．3：1D．9：1
9．已知点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，那么y1，y2与y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y1＜y2B．y3＜y2＜y1C．y1＜y2＜y3D．y1＜y3＜y2
10．如图，点P是Rt△ABC中斜边AC（不与A，C重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，连接BP、MN，若AB＝6，BC＝8，当点P在斜边AC上运动时，则MN的最小值是（ ）
A．1.5B．2C．4.8D．2.4
二、填空题（每小题3分，共12分）
11．已知线段AB的长为2厘米，点P是线段AB的黄金分割点（AP＜BP），那么BP的长是 厘米．
12．把抛物线y＝x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线的表达式是 ．
13．双曲线y1、y2在第一象限的图象如图，，过y1上的任意一点A，作x轴的平行线交y2于B，交y轴于C，若S△AOB＝1，则y2的解析式是 ．
14．如图，四边形ABCD是一张长方形纸片，将该纸片对折，使顶点B与顶点D重合，EF为折痕，若AB＝6、BC＝8，则图中阴影部分的面积为 ．
三、解答题（11道题，共78分）
15．（5分）计算：4cs30°+（1﹣）0﹣+|﹣2|．
16．（5分）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，尺规作图：在BC上求作E点，使得△ABE与△ABC相似．（保留作图痕迹，不写作法）
17．（7分）如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点．
（1）求证：△MBA≌△NDC；
（2）四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？请说明理由．
18．（5分）如图，小丽在观察某建筑物AB．请你根据小亮在阳光下的投影，画出建筑物AB在阳光下的投影．
19．（7分）在国家的宏观调控下，某市的商品房成交价由今年3月份的5000元/m2下降到5月份的4050元/m2
（1）问4、5两月平均每月降价的百分率是多少？
（2）如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7月份该市的商品房成交均价是否会跌破3000元/m2？请说明理由．
20．（8分）如图，等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60°
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）若BD＝2，CE＝，求等边△ABC的边长．
21．（8分）大雁塔是现存最早规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，被国务院批准列入第一批全国重点文物保护单位，某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝4米，将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与大雁塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG＝6米，CG＝60米，请你根据以上数据，计算大雁塔的高度AB．
22．（6分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣3，1），B（﹣1，1），C（0，3）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C；
（2）在网格内画出△ABC以点O为位似中心的位似图形△A2B2C2．△ABC与△A2B2C2的位似比为1：2，并写出A2，B2，C2的坐标．
23．（7分）2020年10月20日上午7：30西安国际马拉松赛鸣枪开跑．本届赛事设有马拉松、半程马拉松、欢乐跑三个项目，小智和小慧参加了该赛事的志愿者服务工作，组委会将志愿者随机分配到三个项目组中的一个．
（1）小智被分配到欢乐跑项目组的概率为 ．
（2）用树状图或列表法求小智和小慧被分到同一个项目组的概率．
24．（8分）如图，一次函数y1＝k1x+b（k1，b为常数，k≠0）的图象与反比例函数y2＝（k2≠0，x＞0）的图象交于点A（m，8）与点B（4，2）．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据图象直接写出当x为何值时，k1x+b﹣＜0；
（3）求出△AOB的面积．
25．（12分）如图，已知A，B两点的坐标分别为A（18，0），B（8，6），点P，Q同时出发分别作匀速运动，其中点P从点A出发沿AO向终点O运动，速度为每秒3个单位长度，点Q从点O出发沿OB运动，速度为每秒2个单位长度，当这两个点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动，设P，Q运动时间为t秒．
（1）求t的取值范围；
（2）若以O，P，Q为顶点的三角形与△ABO相似，求此时t的值；
（3）是否存在t，使得△OPQ为等腰三角形？若存在，求出运动时间t；若不存在，请说明理由．
2020-2021学年陕西省宝鸡市凤翔县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（每题3分，共30分）
1．如图所示的几何体的左视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【解答】解：从左往右看，易得一个长方形，正中有一条横向虚线．
故选：C．
2．若x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，则（ ）
A．a+b+c＝1B．a﹣b+c＝0C．a+b+c＝0D．a﹣b﹣c＝0
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将x＝1代入原方程可以求得a、b、c的关系．
【解答】解：把x＝1代入ax2+bx+c＝0，
可得：a+b+c＝0；
故选：C．
3．已知：，则：＝（ ）
A．B．﹣C．D．
【分析】由已知条件，可得4a＝3b，而所求式子根据分式的基本性质得＝，然后将4a＝3b代入即可．
【解答】解：∵，
∴4a＝3b，
∴＝＝＝．
故选：C．
4．一个不透明的盒子里有n个除颜色外其它完全相同的小球，其中有6个黄球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后在放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么可以推算出n大约是（ ）
A．6B．10C．18D．20
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【解答】解：由题意可得，×100%＝30%，
解得，n＝20（个）．
故估计n大约有20个．
故选：D．
5．如图，AB∥CD∥MN，点M，N分别在线段AD，BC上，AC与MN交于点E，则（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
【分析】根据平行线分线段成比例定理，利用ME∥CD得到＝，则利用比例的性质可判断D选项正确．
【解答】解：∵ME∥CD，
∴＝，
∴＝．
故选：D．
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC＝，BC＝2，则sin∠ACD的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】在直角△ABC中，根据勾股定理即可求得AB，而∠B＝∠ACD，即可把求sin∠ACD转化为求sinB．
【解答】解：在直角△ABC中，根据勾股定理可得：AB＝＝＝3．
∵∠B+∠BCD＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠B＝∠ACD．
∴sin∠ACD＝sin∠B＝＝，
故选：A．
7．某数学兴趣小组利用阳光下的影子测量建筑物的高度，已知小明的身高1.5m，测量其影子为1.2m，建筑物的影长为14m，则建筑物的高是（ ）m．
A．16.5B．17C．17.5D．18
【分析】设该建筑物的高为xm，根据三角形相似的性质得到同一时刻同一地点物体的高度与其影长的比相等，列出方程，解方程即可．
【解答】解：设该建筑物的高为xm，根据题意得
1.5：1.2＝x：14，
解得：x：17.5．
故该建筑物的高是17.5m．
故选：C．
8．如图，△ABC与△DEF位似，其位似中心为点O，且D为AO的中点，则△ABC与△DEF的面积比是（ ）
A．2：1B．4：1C．3：1D．9：1
【分析】根据位似图形的概念得到DF∥AC，△ABC∽△DEF，根据相似三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，
∴DF∥AC，△ABC∽△DEF，
∴△ODF∽△OAC，
∴＝＝，
∴△DEF与△ABC的面积比＝（）2＝，
∴△ABC与△DEF的面积比为4：1，
故选：B．
9．已知点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，那么y1，y2与y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y1＜y2B．y3＜y2＜y1C．y1＜y2＜y3D．y1＜y3＜y2
【分析】先根据反比例函数中k＜0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数y＝（k＜0）中k＜0，
∴函数图象的两个分式分别位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，
∵﹣2＜0，﹣1＜0，
∴点（﹣2，y1），（﹣1，y2）位于第二象限，
∴y1＞0，y2＞0，
∵﹣2＜﹣1，
∴0＜y1＜y2．
∵1＞0，
∴（1，y3）在第四象限，
∴y3＜0，
∴y3＜y1＜y2．
故选：A．
10．如图，点P是Rt△ABC中斜边AC（不与A，C重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，连接BP、MN，若AB＝6，BC＝8，当点P在斜边AC上运动时，则MN的最小值是（ ）
A．1.5B．2C．4.8D．2.4
【分析】先由勾股定理求出AC＝10，再证四边形BNPM是矩形，得MN＝BP，然后由垂线段最短可得BP⊥AC时，线段MN的值最小，最后由三角形的面积求出BP即可．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝＝＝10，
∵PM⊥AB，PN⊥BC，∠C＝90°，
∴四边形BNPM是矩形，
∴MN＝BP，
由垂线段最短可得BP⊥AC时，线段MN的值最小，
此时，S△ABC＝BC•AB＝AC•BP，
即×8×6＝×10•BP，
解得：BP＝4.8，
即MN的最小值是4.8，
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共12分）
11．已知线段AB的长为2厘米，点P是线段AB的黄金分割点（AP＜BP），那么BP的长是 ﹣1 厘米．
【分析】根据黄金比是进行计算即可．
【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＜BP，
∴BP＝AB＝﹣1厘米．
故答案为：﹣1．
12．把抛物线y＝x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线的表达式是 y＝（x+3）2﹣2 ．
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝x2向左平移3个单位所得的抛物线的表达式是y＝（x+3）2；
由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝（x+3）2向下平移2个单位所得的抛物线的表达式是y＝（x+3）2﹣2．
故答案为：y＝（x+3）2﹣2．
13．双曲线y1、y2在第一象限的图象如图，，过y1上的任意一点A，作x轴的平行线交y2于B，交y轴于C，若S△AOB＝1，则y2的解析式是 y2＝ ．
【分析】根据，过y1上的任意一点A，得出△CAO的面积为2，进而得出△CBO面积为3，即可得出y2的解析式．
【解答】解：∵，过y1上的任意一点A，作x轴的平行线交y2于B，交y轴于C，
∴S△AOC＝×4＝2，
∵S△AOB＝1，
∴△CBO面积为3，
∴k＝xy＝6，
∴y2的解析式是：y2＝．
故答案为：y2＝．
14．如图，四边形ABCD是一张长方形纸片，将该纸片对折，使顶点B与顶点D重合，EF为折痕，若AB＝6、BC＝8，则图中阴影部分的面积为 ．
【分析】由折叠的性质可得AE＝A′E，AB＝A′D＝6，∠A＝∠A′＝90°，由勾股定理可求AE的长，进而可求DE的长，由三角形面积公式可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AD＝BC＝8，
由折叠的性质得：AE＝A′E，AB＝A′D＝6，∠A＝∠A′＝90°，
设AE＝A′E＝x，则DE＝8﹣x，
在Rt△A′ED中，A′E＝x，A′D＝AB＝6，
由勾股定理得：x2+362＝（8﹣x）2，
解得x＝，
∴AE＝，
∴DE＝8﹣＝，
∴图中阴影部分的面积＝××6＝，
故答案为．
三、解答题（11道题，共78分）
15．（5分）计算：4cs30°+（1﹣）0﹣+|﹣2|．
【分析】首先利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝4×+1﹣2+2
＝2﹣2+3
＝3．
16．（5分）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，尺规作图：在BC上求作E点，使得△ABE与△ABC相似．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】过点A作AE⊥BC于E，则△ABE∽△CBA．
【解答】解：如图所示，点E即为所求．
17．（7分）如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点．
（1）求证：△MBA≌△NDC；
（2）四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？请说明理由．
【分析】（1）根据矩形的性质和中点的定义，利用SAS判定△MBA≌△NDC；
（2）四边形MPNQ是菱形，连接AN，有（1）可得到BM＝DN，再有中点得到PM＝NQ，再通过证明△MQD≌△NPB得到MQ＝PN，从而证明四边形MPNQ是平行四边形，利用三角形中位线的性质可得：MP＝MQ，进而证明四边形MQNP是菱形．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠C＝90°，
∵在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，
∴AM＝AD，CN＝BC，
∴AM＝CN，
在△MAB和△NDC中，
∵，
∴△MBA≌△NDC（SAS）；
（2）四边形MPNQ是菱形．
理由如下：连接AP，MN，
则四边形ABNM是矩形，
∵AN和BM互相平分，
则A，P，N在同一条直线上，
易证：△ABN≌△BAM，
∴AN＝BM，
∵△MAB≌△NDC，
∴BM＝DN，
∵P、Q分别是BM、DN的中点，
∴PM＝NQ，
∵，
∴△MQD≌△NPB（SAS）．
∴四边形MPNQ是平行四边形，
∵M是AD中点，Q是DN中点，
∴MQ＝AN，
∴MQ＝BM，
∵MP＝BM，
∴MP＝MQ，
∴平行四边形MQNP是菱形．
18．（5分）如图，小丽在观察某建筑物AB．请你根据小亮在阳光下的投影，画出建筑物AB在阳光下的投影．
【分析】直接利用平行投影的性质得出建筑物AB在阳光下的投影．
【解答】解：如图：线段BC即为AB的影子．
19．（7分）在国家的宏观调控下，某市的商品房成交价由今年3月份的5000元/m2下降到5月份的4050元/m2
（1）问4、5两月平均每月降价的百分率是多少？
（2）如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7月份该市的商品房成交均价是否会跌破3000元/m2？请说明理由．
【分析】（1）设4、5两月平均每月降价的百分率是x，那么4月份的房价为5000（1﹣x），5月份的房价为5000（1﹣x）2，然后根据5月份的4050元/m2即可列出方程解决问题；
（2）根据（1）的结果可以计算出7月份商品房成交均价，然后和3000元/m2进行比较即可作出判断．
【解答】解：（1）设两月平均每月降价的百分率是x，根据题意得：
5000（1﹣x）2＝4050，
（1﹣x）2＝0.81，
解得：x1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．
答：4、5两月平均每月降价的百分率是10%；
（2）不会跌破3000元/m2．
如果按此降价的百分率继续回落，估计7月份该市的商品房成交均价为：
4050（1﹣x）2＝4050×0.92＝3280.5＞3000．
由此可知7月份该市的商品房成交均价不会跌破3000元/m2．
20．（8分）如图，等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60°
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）若BD＝2，CE＝，求等边△ABC的边长．
【分析】（1）由等边三角形的性质及“一线三等角”推出有两个角相等，从而证得结论；
（2）设等边△ABC的边长为x，由△ABD∽△DCE，得比例式，求出x值即可．
【解答】解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形
∴∠B＝∠C＝60°
又∵∠ADE＝60°
∴∠ADB+∠CDE＝180°﹣60°＝120°，∠ADB+∠DAB＝180°﹣60°＝120°
∴∠CDE＝∠DAB
∴△ABD∽△DCE；
（2）设等边△ABC的边长为x，
∵BD＝2，CE＝，
∴BC＝AB＝x，DC＝x﹣2
∵△ABD∽△DCE
∴＝
∴＝
解得：x＝6
∴等边△ABC的边长为6．
21．（8分）大雁塔是现存最早规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，被国务院批准列入第一批全国重点文物保护单位，某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝4米，将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与大雁塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG＝6米，CG＝60米，请你根据以上数据，计算大雁塔的高度AB．
【分析】易知△EDC∽△EBA，△FHG∽△FBA，可得，，因为DC＝HG，推出，列出方程求出CA，由，由此即可解决问题．
【解答】解：由题意可得：∵DC∥AB，
∴△EDC∽△EBA，
∴，
∵GH∥AB，
∴△FHG∽△FBA，
∴，
∵DC＝HG，
∴，
∴，
∴CA＝120（米），
∵，
∴，
∴AB＝62（米），
答：大雁塔的高度AB为62米．
22．（6分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣3，1），B（﹣1，1），C（0，3）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C；
（2）在网格内画出△ABC以点O为位似中心的位似图形△A2B2C2．△ABC与△A2B2C2的位似比为1：2，并写出A2，B2，C2的坐标．
【分析】（1）根据轴对称性质即可画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）根据位似图形的性质即可画出△ABC以点O为位似中心的位似图形△A2B2C2，△ABC与△A2B2C2的位似比为1：2，根据网格特点写出A2，B2，C2的坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
A2（6，﹣2），B2（2，﹣2），C2（0，﹣6）．
23．（7分）2020年10月20日上午7：30西安国际马拉松赛鸣枪开跑．本届赛事设有马拉松、半程马拉松、欢乐跑三个项目，小智和小慧参加了该赛事的志愿者服务工作，组委会将志愿者随机分配到三个项目组中的一个．
（1）小智被分配到欢乐跑项目组的概率为 ．
（2）用树状图或列表法求小智和小慧被分到同一个项目组的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；
（2）先画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出其中小智和小慧被分到同一个项目组的结果数，然后根据概率公式计算．
【解答】解：（1）小智被分配到欢乐跑项目组的概率为：，
故答案为：；
（2）记马拉松、半程马拉松、欢乐跑这三个项目分别为A、B、C，
画树状图为：
共有9个等可能的结果数，其中小智和小慧被分到同一个项目组的结果数为3个，
∴小智和小慧被分到同一个项目组的概率为＝．
24．（8分）如图，一次函数y1＝k1x+b（k1，b为常数，k≠0）的图象与反比例函数y2＝（k2≠0，x＞0）的图象交于点A（m，8）与点B（4，2）．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据图象直接写出当x为何值时，k1x+b﹣＜0；
（3）求出△AOB的面积．
【分析】（1）把B点坐标代入反比例函数解析式可求得k2的值，把点A（m，8）代入求得的反比例函数的解析式求得m，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）直接由A、B的坐标可求得答案；
（3）设直线与y轴交于点C，求出C点坐标，根据S△AOB＝S△COB﹣S△AOC列式计算即可求解．
【解答】解（1）把点B（4，2）代入反比例函数得，k2＝4×2＝8，
∴反比例函数的解析式为；
将点A（m，8）代，解得m＝1，∴A（1，8）．
将A、B的坐标代入y1＝k1x+b，
得，解得，
∴一次函数的解析式为y1＝﹣2x+10．
故一次函数的解析式为y1＝﹣2x+10，反比例函数的解析式为；
（2）如图，∵A（1，8），B（4，2），
∴，即的解集为0＜x＜1或x＞4；
（3）如图：连接AO、BO，设直线与y轴交于点C．
∵y1＝﹣2x+10，
∴C（0，10），即OC＝10，
∴S△AOB＝S△COB﹣S△AOC
＝×10×4﹣×10×1
＝20﹣5
＝15．
25．（12分）如图，已知A，B两点的坐标分别为A（18，0），B（8，6），点P，Q同时出发分别作匀速运动，其中点P从点A出发沿AO向终点O运动，速度为每秒3个单位长度，点Q从点O出发沿OB运动，速度为每秒2个单位长度，当这两个点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动，设P，Q运动时间为t秒．
（1）求t的取值范围；
（2）若以O，P，Q为顶点的三角形与△ABO相似，求此时t的值；
（3）是否存在t，使得△OPQ为等腰三角形？若存在，求出运动时间t；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由点P在OA上运动和点Q在OB上运动，即可得出结论；
（2）如果以O、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似，由于∠POQ＝∠AOB，那么O与O是对应点，所以分两种情况进行讨论：①△POQ∽△AOB；②△POQ∽△BOA；根据相似三角形对应边成比例列出比例式，即可求解；
（3）分三种情况进行讨论：①OP＝OQ；②PO＝PQ；③QO＝QP．
【解答】解：由运动知，OQ＝2t，AP＝3t，
∵点B（8，6），
∴OB＝10，
∴0≤2t≤10，
∴0≤t≤5，
∵A（18，0），
∴OA＝18，
∴0≤3t≤16，
∴0≤t≤6，
∴0≤t≤5；
（2）设从出发起，运动了t秒钟，以O、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似．
∵AP＝3t，OQ＝2t，
∴OP＝18﹣3t．
分两种情况：如图1，
①如果△POQ∽△AOB，那么＝，
＝，
解得t＝；
②如果△POQ∽△BOA，那么＝，
＝，
解得t＝；
故以O、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似时，t的值为或；
（3）△OPQ为等腰三角形时，分三种情况：
①如果OP＝OQ，那么18﹣3t＝2t，t＝；
②如果PO＝PQ，如图2，过点P作PF⊥OQ于F，
则OF＝FQ＝OQ＝•2t＝t．
∵在Rt△OPF中，∠OFP＝90°，
∴OF＝OP•cs∠POF＝（18﹣3t）•＝（18﹣3t），
∴t＝（18﹣3t），
解得t＝；
③如果QO＝QP，如图3，过点Q作QG⊥OP于G，
则OG＝GP＝OP＝•（18﹣3t）＝9﹣t．
∵在Rt△OQG中，∠OGQ＝90°，
∴OG＝OQ•cs∠QOG＝2t•＝t，
∴9﹣t＝t，
解得t＝．
综上所述，所求t的值为或或．
1．如图所示的几何体的左视图是（ ）
A．B．C．D．
2．若x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，则（ ）
A．a+b+c＝1B．a﹣b+c＝0C．a+b+c＝0D．a﹣b﹣c＝0
3．已知：，则：＝（ ）
A．B．﹣C．D．
4．一个不透明的盒子里有n个除颜色外其它完全相同的小球，其中有6个黄球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后在放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么可以推算出n大约是（ ）
A．6B．10C．18D．20
5．如图，AB∥CD∥MN，点M，N分别在线段AD，BC上，AC与MN交于点E，则（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC＝，BC＝2，则sin∠ACD的值为（ ）
A．B．C．D．
7．某数学兴趣小组利用阳光下的影子测量建筑物的高度，已知小明的身高1.5m，测量其影子为1.2m，建筑物的影长为14m，则建筑物的高是（ ）m．
A．16.5B．17C．17.5D．18
8．如图，△ABC与△DEF位似，其位似中心为点O，且D为AO的中点，则△ABC与△DEF的面积比是（ ）
A．2：1B．4：1C．3：1D．9：1
9．已知点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，那么y1，y2与y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y1＜y2B．y3＜y2＜y1C．y1＜y2＜y3D．y1＜y3＜y2
10．如图，点P是Rt△ABC中斜边AC（不与A，C重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，连接BP、MN，若AB＝6，BC＝8，当点P在斜边AC上运动时，则MN的最小值是（ ）
A．1.5B．2C．4.8D．2.4
二、填空题（每小题3分，共12分）
11．已知线段AB的长为2厘米，点P是线段AB的黄金分割点（AP＜BP），那么BP的长是 厘米．
12．把抛物线y＝x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线的表达式是 ．
13．双曲线y1、y2在第一象限的图象如图，，过y1上的任意一点A，作x轴的平行线交y2于B，交y轴于C，若S△AOB＝1，则y2的解析式是 ．
14．如图，四边形ABCD是一张长方形纸片，将该纸片对折，使顶点B与顶点D重合，EF为折痕，若AB＝6、BC＝8，则图中阴影部分的面积为 ．
三、解答题（11道题，共78分）
15．（5分）计算：4cs30°+（1﹣）0﹣+|﹣2|．
16．（5分）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，尺规作图：在BC上求作E点，使得△ABE与△ABC相似．（保留作图痕迹，不写作法）
17．（7分）如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点．
（1）求证：△MBA≌△NDC；
（2）四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？请说明理由．
18．（5分）如图，小丽在观察某建筑物AB．请你根据小亮在阳光下的投影，画出建筑物AB在阳光下的投影．
19．（7分）在国家的宏观调控下，某市的商品房成交价由今年3月份的5000元/m2下降到5月份的4050元/m2
（1）问4、5两月平均每月降价的百分率是多少？
（2）如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7月份该市的商品房成交均价是否会跌破3000元/m2？请说明理由．
20．（8分）如图，等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60°
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）若BD＝2，CE＝，求等边△ABC的边长．
21．（8分）大雁塔是现存最早规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，被国务院批准列入第一批全国重点文物保护单位，某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝4米，将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与大雁塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG＝6米，CG＝60米，请你根据以上数据，计算大雁塔的高度AB．
22．（6分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣3，1），B（﹣1，1），C（0，3）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C；
（2）在网格内画出△ABC以点O为位似中心的位似图形△A2B2C2．△ABC与△A2B2C2的位似比为1：2，并写出A2，B2，C2的坐标．
23．（7分）2020年10月20日上午7：30西安国际马拉松赛鸣枪开跑．本届赛事设有马拉松、半程马拉松、欢乐跑三个项目，小智和小慧参加了该赛事的志愿者服务工作，组委会将志愿者随机分配到三个项目组中的一个．
（1）小智被分配到欢乐跑项目组的概率为 ．
（2）用树状图或列表法求小智和小慧被分到同一个项目组的概率．
24．（8分）如图，一次函数y1＝k1x+b（k1，b为常数，k≠0）的图象与反比例函数y2＝（k2≠0，x＞0）的图象交于点A（m，8）与点B（4，2）．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据图象直接写出当x为何值时，k1x+b﹣＜0；
（3）求出△AOB的面积．
25．（12分）如图，已知A，B两点的坐标分别为A（18，0），B（8，6），点P，Q同时出发分别作匀速运动，其中点P从点A出发沿AO向终点O运动，速度为每秒3个单位长度，点Q从点O出发沿OB运动，速度为每秒2个单位长度，当这两个点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动，设P，Q运动时间为t秒．
（1）求t的取值范围；
（2）若以O，P，Q为顶点的三角形与△ABO相似，求此时t的值；
（3）是否存在t，使得△OPQ为等腰三角形？若存在，求出运动时间t；若不存在，请说明理由．
2020-2021学年陕西省宝鸡市凤翔县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（每题3分，共30分）
1．如图所示的几何体的左视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【解答】解：从左往右看，易得一个长方形，正中有一条横向虚线．
故选：C．
2．若x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，则（ ）
A．a+b+c＝1B．a﹣b+c＝0C．a+b+c＝0D．a﹣b﹣c＝0
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将x＝1代入原方程可以求得a、b、c的关系．
【解答】解：把x＝1代入ax2+bx+c＝0，
可得：a+b+c＝0；
故选：C．
3．已知：，则：＝（ ）
A．B．﹣C．D．
【分析】由已知条件，可得4a＝3b，而所求式子根据分式的基本性质得＝，然后将4a＝3b代入即可．
【解答】解：∵，
∴4a＝3b，
∴＝＝＝．
故选：C．
4．一个不透明的盒子里有n个除颜色外其它完全相同的小球，其中有6个黄球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后在放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么可以推算出n大约是（ ）
A．6B．10C．18D．20
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【解答】解：由题意可得，×100%＝30%，
解得，n＝20（个）．
故估计n大约有20个．
故选：D．
5．如图，AB∥CD∥MN，点M，N分别在线段AD，BC上，AC与MN交于点E，则（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
【分析】根据平行线分线段成比例定理，利用ME∥CD得到＝，则利用比例的性质可判断D选项正确．
【解答】解：∵ME∥CD，
∴＝，
∴＝．
故选：D．
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC＝，BC＝2，则sin∠ACD的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】在直角△ABC中，根据勾股定理即可求得AB，而∠B＝∠ACD，即可把求sin∠ACD转化为求sinB．
【解答】解：在直角△ABC中，根据勾股定理可得：AB＝＝＝3．
∵∠B+∠BCD＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠B＝∠ACD．
∴sin∠ACD＝sin∠B＝＝，
故选：A．
7．某数学兴趣小组利用阳光下的影子测量建筑物的高度，已知小明的身高1.5m，测量其影子为1.2m，建筑物的影长为14m，则建筑物的高是（ ）m．
A．16.5B．17C．17.5D．18
【分析】设该建筑物的高为xm，根据三角形相似的性质得到同一时刻同一地点物体的高度与其影长的比相等，列出方程，解方程即可．
【解答】解：设该建筑物的高为xm，根据题意得
1.5：1.2＝x：14，
解得：x：17.5．
故该建筑物的高是17.5m．
故选：C．
8．如图，△ABC与△DEF位似，其位似中心为点O，且D为AO的中点，则△ABC与△DEF的面积比是（ ）
A．2：1B．4：1C．3：1D．9：1
【分析】根据位似图形的概念得到DF∥AC，△ABC∽△DEF，根据相似三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，
∴DF∥AC，△ABC∽△DEF，
∴△ODF∽△OAC，
∴＝＝，
∴△DEF与△ABC的面积比＝（）2＝，
∴△ABC与△DEF的面积比为4：1，
故选：B．
9．已知点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，那么y1，y2与y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y1＜y2B．y3＜y2＜y1C．y1＜y2＜y3D．y1＜y3＜y2
【分析】先根据反比例函数中k＜0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数y＝（k＜0）中k＜0，
∴函数图象的两个分式分别位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，
∵﹣2＜0，﹣1＜0，
∴点（﹣2，y1），（﹣1，y2）位于第二象限，
∴y1＞0，y2＞0，
∵﹣2＜﹣1，
∴0＜y1＜y2．
∵1＞0，
∴（1，y3）在第四象限，
∴y3＜0，
∴y3＜y1＜y2．
故选：A．
10．如图，点P是Rt△ABC中斜边AC（不与A，C重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，连接BP、MN，若AB＝6，BC＝8，当点P在斜边AC上运动时，则MN的最小值是（ ）
A．1.5B．2C．4.8D．2.4
【分析】先由勾股定理求出AC＝10，再证四边形BNPM是矩形，得MN＝BP，然后由垂线段最短可得BP⊥AC时，线段MN的值最小，最后由三角形的面积求出BP即可．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝＝＝10，
∵PM⊥AB，PN⊥BC，∠C＝90°，
∴四边形BNPM是矩形，
∴MN＝BP，
由垂线段最短可得BP⊥AC时，线段MN的值最小，
此时，S△ABC＝BC•AB＝AC•BP，
即×8×6＝×10•BP，
解得：BP＝4.8，
即MN的最小值是4.8，
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共12分）
11．已知线段AB的长为2厘米，点P是线段AB的黄金分割点（AP＜BP），那么BP的长是 ﹣1 厘米．
【分析】根据黄金比是进行计算即可．
【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＜BP，
∴BP＝AB＝﹣1厘米．
故答案为：﹣1．
12．把抛物线y＝x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线的表达式是 y＝（x+3）2﹣2 ．
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝x2向左平移3个单位所得的抛物线的表达式是y＝（x+3）2；
由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝（x+3）2向下平移2个单位所得的抛物线的表达式是y＝（x+3）2﹣2．
故答案为：y＝（x+3）2﹣2．
13．双曲线y1、y2在第一象限的图象如图，，过y1上的任意一点A，作x轴的平行线交y2于B，交y轴于C，若S△AOB＝1，则y2的解析式是 y2＝ ．
【分析】根据，过y1上的任意一点A，得出△CAO的面积为2，进而得出△CBO面积为3，即可得出y2的解析式．
【解答】解：∵，过y1上的任意一点A，作x轴的平行线交y2于B，交y轴于C，
∴S△AOC＝×4＝2，
∵S△AOB＝1，
∴△CBO面积为3，
∴k＝xy＝6，
∴y2的解析式是：y2＝．
故答案为：y2＝．
14．如图，四边形ABCD是一张长方形纸片，将该纸片对折，使顶点B与顶点D重合，EF为折痕，若AB＝6、BC＝8，则图中阴影部分的面积为 ．
【分析】由折叠的性质可得AE＝A′E，AB＝A′D＝6，∠A＝∠A′＝90°，由勾股定理可求AE的长，进而可求DE的长，由三角形面积公式可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AD＝BC＝8，
由折叠的性质得：AE＝A′E，AB＝A′D＝6，∠A＝∠A′＝90°，
设AE＝A′E＝x，则DE＝8﹣x，
在Rt△A′ED中，A′E＝x，A′D＝AB＝6，
由勾股定理得：x2+362＝（8﹣x）2，
解得x＝，
∴AE＝，
∴DE＝8﹣＝，
∴图中阴影部分的面积＝××6＝，
故答案为．
三、解答题（11道题，共78分）
15．（5分）计算：4cs30°+（1﹣）0﹣+|﹣2|．
【分析】首先利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝4×+1﹣2+2
＝2﹣2+3
＝3．
16．（5分）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，尺规作图：在BC上求作E点，使得△ABE与△ABC相似．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】过点A作AE⊥BC于E，则△ABE∽△CBA．
【解答】解：如图所示，点E即为所求．
17．（7分）如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点．
（1）求证：△MBA≌△NDC；
（2）四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？请说明理由．
【分析】（1）根据矩形的性质和中点的定义，利用SAS判定△MBA≌△NDC；
（2）四边形MPNQ是菱形，连接AN，有（1）可得到BM＝DN，再有中点得到PM＝NQ，再通过证明△MQD≌△NPB得到MQ＝PN，从而证明四边形MPNQ是平行四边形，利用三角形中位线的性质可得：MP＝MQ，进而证明四边形MQNP是菱形．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠C＝90°，
∵在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，
∴AM＝AD，CN＝BC，
∴AM＝CN，
在△MAB和△NDC中，
∵，
∴△MBA≌△NDC（SAS）；
（2）四边形MPNQ是菱形．
理由如下：连接AP，MN，
则四边形ABNM是矩形，
∵AN和BM互相平分，
则A，P，N在同一条直线上，
易证：△ABN≌△BAM，
∴AN＝BM，
∵△MAB≌△NDC，
∴BM＝DN，
∵P、Q分别是BM、DN的中点，
∴PM＝NQ，
∵，
∴△MQD≌△NPB（SAS）．
∴四边形MPNQ是平行四边形，
∵M是AD中点，Q是DN中点，
∴MQ＝AN，
∴MQ＝BM，
∵MP＝BM，
∴MP＝MQ，
∴平行四边形MQNP是菱形．
18．（5分）如图，小丽在观察某建筑物AB．请你根据小亮在阳光下的投影，画出建筑物AB在阳光下的投影．
【分析】直接利用平行投影的性质得出建筑物AB在阳光下的投影．
【解答】解：如图：线段BC即为AB的影子．
19．（7分）在国家的宏观调控下，某市的商品房成交价由今年3月份的5000元/m2下降到5月份的4050元/m2
（1）问4、5两月平均每月降价的百分率是多少？
（2）如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7月份该市的商品房成交均价是否会跌破3000元/m2？请说明理由．
【分析】（1）设4、5两月平均每月降价的百分率是x，那么4月份的房价为5000（1﹣x），5月份的房价为5000（1﹣x）2，然后根据5月份的4050元/m2即可列出方程解决问题；
（2）根据（1）的结果可以计算出7月份商品房成交均价，然后和3000元/m2进行比较即可作出判断．
【解答】解：（1）设两月平均每月降价的百分率是x，根据题意得：
5000（1﹣x）2＝4050，
（1﹣x）2＝0.81，
解得：x1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．
答：4、5两月平均每月降价的百分率是10%；
（2）不会跌破3000元/m2．
如果按此降价的百分率继续回落，估计7月份该市的商品房成交均价为：
4050（1﹣x）2＝4050×0.92＝3280.5＞3000．
由此可知7月份该市的商品房成交均价不会跌破3000元/m2．
20．（8分）如图，等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60°
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）若BD＝2，CE＝，求等边△ABC的边长．
【分析】（1）由等边三角形的性质及“一线三等角”推出有两个角相等，从而证得结论；
（2）设等边△ABC的边长为x，由△ABD∽△DCE，得比例式，求出x值即可．
【解答】解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形
∴∠B＝∠C＝60°
又∵∠ADE＝60°
∴∠ADB+∠CDE＝180°﹣60°＝120°，∠ADB+∠DAB＝180°﹣60°＝120°
∴∠CDE＝∠DAB
∴△ABD∽△DCE；
（2）设等边△ABC的边长为x，
∵BD＝2，CE＝，
∴BC＝AB＝x，DC＝x﹣2
∵△ABD∽△DCE
∴＝
∴＝
解得：x＝6
∴等边△ABC的边长为6．
21．（8分）大雁塔是现存最早规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，被国务院批准列入第一批全国重点文物保护单位，某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝4米，将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与大雁塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG＝6米，CG＝60米，请你根据以上数据，计算大雁塔的高度AB．
【分析】易知△EDC∽△EBA，△FHG∽△FBA，可得，，因为DC＝HG，推出，列出方程求出CA，由，由此即可解决问题．
【解答】解：由题意可得：∵DC∥AB，
∴△EDC∽△EBA，
∴，
∵GH∥AB，
∴△FHG∽△FBA，
∴，
∵DC＝HG，
∴，
∴，
∴CA＝120（米），
∵，
∴，
∴AB＝62（米），
答：大雁塔的高度AB为62米．
22．（6分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣3，1），B（﹣1，1），C（0，3）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C；
（2）在网格内画出△ABC以点O为位似中心的位似图形△A2B2C2．△ABC与△A2B2C2的位似比为1：2，并写出A2，B2，C2的坐标．
【分析】（1）根据轴对称性质即可画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）根据位似图形的性质即可画出△ABC以点O为位似中心的位似图形△A2B2C2，△ABC与△A2B2C2的位似比为1：2，根据网格特点写出A2，B2，C2的坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
A2（6，﹣2），B2（2，﹣2），C2（0，﹣6）．
23．（7分）2020年10月20日上午7：30西安国际马拉松赛鸣枪开跑．本届赛事设有马拉松、半程马拉松、欢乐跑三个项目，小智和小慧参加了该赛事的志愿者服务工作，组委会将志愿者随机分配到三个项目组中的一个．
（1）小智被分配到欢乐跑项目组的概率为 ．
（2）用树状图或列表法求小智和小慧被分到同一个项目组的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；
（2）先画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出其中小智和小慧被分到同一个项目组的结果数，然后根据概率公式计算．
【解答】解：（1）小智被分配到欢乐跑项目组的概率为：，
故答案为：；
（2）记马拉松、半程马拉松、欢乐跑这三个项目分别为A、B、C，
画树状图为：
共有9个等可能的结果数，其中小智和小慧被分到同一个项目组的结果数为3个，
∴小智和小慧被分到同一个项目组的概率为＝．
24．（8分）如图，一次函数y1＝k1x+b（k1，b为常数，k≠0）的图象与反比例函数y2＝（k2≠0，x＞0）的图象交于点A（m，8）与点B（4，2）．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据图象直接写出当x为何值时，k1x+b﹣＜0；
（3）求出△AOB的面积．
【分析】（1）把B点坐标代入反比例函数解析式可求得k2的值，把点A（m，8）代入求得的反比例函数的解析式求得m，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）直接由A、B的坐标可求得答案；
（3）设直线与y轴交于点C，求出C点坐标，根据S△AOB＝S△COB﹣S△AOC列式计算即可求解．
【解答】解（1）把点B（4，2）代入反比例函数得，k2＝4×2＝8，
∴反比例函数的解析式为；
将点A（m，8）代，解得m＝1，∴A（1，8）．
将A、B的坐标代入y1＝k1x+b，
得，解得，
∴一次函数的解析式为y1＝﹣2x+10．
故一次函数的解析式为y1＝﹣2x+10，反比例函数的解析式为；
（2）如图，∵A（1，8），B（4，2），
∴，即的解集为0＜x＜1或x＞4；
（3）如图：连接AO、BO，设直线与y轴交于点C．
∵y1＝﹣2x+10，
∴C（0，10），即OC＝10，
∴S△AOB＝S△COB﹣S△AOC
＝×10×4﹣×10×1
＝20﹣5
＝15．
25．（12分）如图，已知A，B两点的坐标分别为A（18，0），B（8，6），点P，Q同时出发分别作匀速运动，其中点P从点A出发沿AO向终点O运动，速度为每秒3个单位长度，点Q从点O出发沿OB运动，速度为每秒2个单位长度，当这两个点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动，设P，Q运动时间为t秒．
（1）求t的取值范围；
（2）若以O，P，Q为顶点的三角形与△ABO相似，求此时t的值；
（3）是否存在t，使得△OPQ为等腰三角形？若存在，求出运动时间t；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由点P在OA上运动和点Q在OB上运动，即可得出结论；
（2）如果以O、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似，由于∠POQ＝∠AOB，那么O与O是对应点，所以分两种情况进行讨论：①△POQ∽△AOB；②△POQ∽△BOA；根据相似三角形对应边成比例列出比例式，即可求解；
（3）分三种情况进行讨论：①OP＝OQ；②PO＝PQ；③QO＝QP．
【解答】解：由运动知，OQ＝2t，AP＝3t，
∵点B（8，6），
∴OB＝10，
∴0≤2t≤10，
∴0≤t≤5，
∵A（18，0），
∴OA＝18，
∴0≤3t≤16，
∴0≤t≤6，
∴0≤t≤5；
（2）设从出发起，运动了t秒钟，以O、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似．
∵AP＝3t，OQ＝2t，
∴OP＝18﹣3t．
分两种情况：如图1，
①如果△POQ∽△AOB，那么＝，
＝，
解得t＝；
②如果△POQ∽△BOA，那么＝，
＝，
解得t＝；
故以O、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似时，t的值为或；
（3）△OPQ为等腰三角形时，分三种情况：
①如果OP＝OQ，那么18﹣3t＝2t，t＝；
②如果PO＝PQ，如图2，过点P作PF⊥OQ于F，
则OF＝FQ＝OQ＝•2t＝t．
∵在Rt△OPF中，∠OFP＝90°，
∴OF＝OP•cs∠POF＝（18﹣3t）•＝（18﹣3t），
∴t＝（18﹣3t），
解得t＝；
③如果QO＝QP，如图3，过点Q作QG⊥OP于G，
则OG＝GP＝OP＝•（18﹣3t）＝9﹣t．
∵在Rt△OQG中，∠OGQ＝90°，
∴OG＝OQ•cs∠QOG＝2t•＝t，
∴9﹣t＝t，
解得t＝．
综上所述，所求t的值为或或．
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