全国版2021届高考数学二轮复习专题检测二十三坐标系与参数方程文含解析

这是一份全国版2021届高考数学二轮复习专题检测二十三坐标系与参数方程文含解析，共6页。

1．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝4cs θ，θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
(1)求半圆C的参数方程；
(2)若半圆C与圆D：(x－5)2＋(y－eq \r(3))2＝m(m是常数，m＞0)相切，试求切点的直角坐标．
解：(1)半圆C的普通方程为(x－2)2＋y2＝4(0≤y≤2)，
则半圆C的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2＋2cs t，,y＝2sin t))(t为参数，0≤t≤π)．
(2)C，D的圆心坐标分别为(2，0)，(5，eq \r(3))，
于是直线CD的斜率k＝eq \f(\r(3)－0,5－2)＝eq \f(\r(3),3).
由于切点必在两个圆心的连线上，
故切点对应的参数t满足tan t＝eq \f(\r(3),3)，t＝eq \f(π,6)，
所以切点的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋2cs\f(π,6)，2sin\f(π,6)))，
即(2＋eq \r(3)，1)．
2．(2019·全国卷Ⅲ) 如图，在极坐标系Ox中，A(2，0)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(π,4)))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(3π,4)))，D(2，π)，弧eq \(AB,\s\up8(︵))，eq \(BC,\s\up8(︵))，eq \(CD,\s\up8(︵))所在圆的圆心分别是(1，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(π,2)))，(1，π)，曲线M1是弧eq \(AB,\s\up8(︵))，曲线M2是弧eq \(BC ,\s\up8(︵))，曲线M3是弧eq \(CD,\s\up8(︵)).
(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；
(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|＝eq \r(3)，求P的极坐标．
解：(1)由题设可得，弧eq \(AB,\s\up8(︵))，eq \(BC,\s\up8(︵))，eq \(CD,\s\up8(︵))所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cs θ，ρ＝2sin θ，ρ＝－2cs θ.
所以M1的极坐标方程为ρ＝2cs θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0≤θ ≤\f(π,4)))，M2的极坐标方程为ρ＝2sin θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)≤θ ≤\f(3π,4)))，M3的极坐标方程为ρ＝－2cs θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)≤θ ≤π)).
(2)设P(ρ，θ)，由题设及(1)知
若0≤θ ≤eq \f(π,4)，则2cs θ＝eq \r(3)，解得θ＝eq \f(π,6)；
若eq \f(π,4)≤θ ≤eq \f(3π,4)，则2sin θ＝eq \r(3)，解得θ＝eq \f(π,3)或θ＝eq \f(2π,3)；
若eq \f(3π,4)≤θ ≤π，则－2cs θ＝eq \r(3)，解得θ＝eq \f(5π,6).
综上，P的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)，\f(π,6)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)，\f(π,3)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)，\f(2π,3)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)，\f(5π,6))).
3.(2019·福州市第一学期抽测)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\r(3)＋tcs α，,y＝y0＋tsin α))(t为参数，α为l的倾斜角)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E的极坐标方程为ρ＝4sin θ，直线θ＝β，θ＝β＋eq \f(π,3)，θ＝β－eq \f(π,3)(ρ∈R)与曲线E分别交于不同于极点O的三点A，B，C.
(1)若eq \f(π,3)＜β＜eq \f(2π,3)，求证：|OB|＋|OC|＝|OA|；
(2)当β＝eq \f(5π,6)时，直线l过B，C两点，求y0与α的值．
解：(1)证明：依题意，|OA|＝|4sin β|，|OB|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(4sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f(π,3)))))，|OC|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(4sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,3)))))，
∵eq \f(π,3)＜β＜eq \f(2π,3)，
∴|OB|＋|OC|＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f(π,3)))＋4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,3)))＝4sin β＝|OA|.
(2)当β＝eq \f(5π,6)时，直线θ＝β＋eq \f(π,3)与曲线E的交点B的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,6)))，直线θ＝β－eq \f(π,3)与曲线E的交点C的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(π,2)))，
从而，B，C两点的直角坐标分别为B(eq \r(3)，1)，C(0，4)，
∴直线l的方程为y＝－eq \r(3)x＋4，
∴y0＝1，α＝eq \f(2π,3).
4．(2019·江西八所重点中学联考)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M的极坐标方程为ρ＝2cs θ，若极坐标系内异于O的三点A(ρ1，φ)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ρ2，φ＋\f(π,6)))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ρ3，φ－\f(π,6)))(ρ1，ρ2，ρ3＞0)都在曲线M上．
(1)求证：eq \r(3)ρ1＝ρ2＋ρ3；
(2)若过B，C两点的直线的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2－\f(\r(3),2)t，,y＝\f(1,2)t))(t为参数)，求四边形OBAC的面积．
解：(1)证明：由题意得ρ1＝2cs φ，ρ2＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(φ＋\f(π,6)))，ρ3＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(φ－\f(π,6)))，
则ρ2＋ρ3＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(φ＋\f(π,6)))＋2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(φ－\f(π,6)))＝2eq \r(3) cs φ＝eq \r(3)ρ1.
(2)由曲线M的极坐标方程得曲线M的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，将直线BC的参数方程代入曲线M的直角坐标方程得t2－eq \r(3)t＝0，解得t1＝0，t2＝eq \r(3)，
∴在平面直角坐标中，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，C(2，0)，
则ρ2＝1，ρ3＝2，φ＝eq \f(π,6)，
∴ρ1＝eq \r(3).
∴四边形OBAC的面积S＝S△AOB＋S△AOC＝eq \f(1,2)ρ1ρ2 ·sineq \f(π,6)＋eq \f(1,2)ρ1ρ3sineq \f(π,6)＝eq \f(3\r(3),4).
5．在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α的直线l过点M(－2，－4)．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，且在两坐标系中长度单位相同，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2cs θ.
(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)若直线l与C交于A，B两点，且|MA|·|MB|＝40，求倾斜角α的值．
解：(1)因为倾斜角为α的直线过点M(－2，－4)，
所以直线l的参数方程是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－2＋tcs α，,y＝－4＋tsin α))(t是参数)．
因为曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2cs θ，
所以ρ2sin2θ＝2ρcs θ，所以曲线C的直角坐标方程是y2＝2x.
(2)把直线的参数方程代入y2＝2x，得t2sin2α－(2cs α＋8sin α)t＋20＝0，由题意知，Δ＞0，设t1，t2为方程t2sin2α－(2cs α＋8sin α)t＋20＝0的两根，
则t1＋t2＝eq \f(2cs α＋8sin α,sin2α)，t1t2＝eq \f(20,sin2α)，根据直线参数方程的几何意义知|MA|·|MB|＝|t1t2|＝eq \f(20,sin2α)＝40，
故α＝eq \f(π,4)或α＝eq \f(3π,4)，
又Δ＝(2cs α＋8sin α)2－80sin2α＞0，所以α＝eq \f(π,4).
6．(2019·湖南省五市十校联考)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝t，,y＝t＋2))(t是参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))).
(1)求圆C的直角坐标方程；
(2)过直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．
解：(1)由ρ＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))，得ρ2＝ρcs θ－ρsin θ，
∴x2＋y2－x＋y＝0，即圆C的直角坐标方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(1,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(1,2).
(2)设l上任意一点P(t，t＋2)，过P向圆C引切线，切点为Q，连接PC，CQ，
∵圆C的圆心为Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(1,2)))，半径r＝eq \f(\r(2),2)，
∴|PQ|＝eq \r(|PC|2－|CQ|2)＝
eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋2＋\f(1,2)))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2))＝eq \r(2（t＋1）2＋4)≥2，
即切线长的最小值为2.
7．(2019·石家庄市模拟(一))在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝rcs α＋2，,y＝rsin α))(α为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为θ＝eq \f(π,3).
(1)求曲线C的极坐标方程；
(2)当0＜r＜2时，若曲线C与射线l交于A，B两点，求eq \f(1,|OA|)＋eq \f(1,|OB|)的取值范围．
解：(1)由题意知曲线C的普通方程为(x－2)2＋y2＝r2，
令x＝ρcs θ，y＝ρsin θ，
化简得ρ2－4ρcs θ＋4－r2＝0.
(2)法一：把θ＝eq \f(π,3)代入曲线C的极坐标方程中，得ρ2－2ρ＋4－r2＝0.
令Δ＝4－4(4－r2)＞0，结合0＜r＜2，得3＜r2＜4.
方程的解ρ1，ρ2分别为点A，B的极径，ρ1＋ρ2＝2，ρ1ρ2＝4－r2＞0，
∴eq \f(1,|OA|)＋eq \f(1,|OB|)＝eq \f(1,ρ1)＋eq \f(1,ρ2)＝eq \f(ρ1＋ρ2,ρ1ρ2)＝eq \f(2,4－r2).
∵3＜r2＜4，∴0＜4－r2＜1，
∴eq \f(1,|OA|)＋eq \f(1,|OB|)∈(2，＋∞)．
法二：射线l的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,2)t，,y＝\f(\r(3),2)t))(t为参数，t≥0)，将其代入曲线C的方程(x－2)2＋y2＝r2中得，t2－2t＋4－r2＝0，
令Δ＝4－4(4－r2)＞0结合0＜r＜2，得3＜r2＜4，
方程的解t1，t2分别为点A，B对应的参数，t1＋t2＝2，t1t2＝4－r2，t1＞0，t2＞0，
∴eq \f(1,|OA|)＋eq \f(1,|OB|)＝eq \f(1,t1)＋eq \f(1,t2)＝eq \f(t1＋t2,t1t2)＝eq \f(2,4－r2).
∵3＜r2＜4，∴0＜4－r2＜1，
∴eq \f(1,|OA|)＋eq \f(1,|OB|)∈(2，＋∞)．
8．(2019·洛阳市统考)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1＋2t，,y＝－2＋t))(t是参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＝eq \f(4,1＋3sin2θ).
(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；
(2)设曲线C2经过伸缩变换eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x′＝2x，,y′＝y))得到曲线C3，M(x，y)是曲线C3上任意一点，求点M到曲线C1的距离的最大值．
解：(1)根据eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1＋2t，,y＝－2＋t))消参可得曲线C1的普通方程为x－2y－5＝0，
∵ρ2＝eq \f(4,1＋3sin2θ)，∴ρ2＋3ρ2sin2θ＝4，
将eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝ρcs θ，,y＝ρsin θ，,x2＋y2＝ρ2))代入可得：x2＋4y2＝4.
故曲线C2的直角坐标方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.
(2)曲线C2：eq \f(x2,4)＋y2＝1，经过伸缩变换eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x′＝2x，,y′＝y))得到曲线C3的方程为eq \f(x′2,16)＋y′2＝1，
∴曲线C3的方程为eq \f(x2,16)＋y2＝1.
设M(4cs α，sin α)，根据点到直线的距离公式可得
点M到曲线C1的距离d＝eq \f(|4cs α－2sin α－5|,\r(12＋（－2）2))＝eq \f(|2sin α－4cs α＋5|,\r(5))＝eq \f(|2\r(5) sin（α－φ）＋5|,\r(5))≤eq \f(2\r(5)＋5,\r(5))＝2＋eq \r(5)(其中tan φ＝2)，
∴点M到曲线C1的距离的最大值为2＋eq \r(5).