高中数学高考专题11 坐标系与参数方程-2021年高考真题和模拟题数学（文）分项汇编（全国通用）（解析版）

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专题11 坐标系与参数方程

1．（2021·江苏高考真题）以抛物线的焦点为圆心，且与直线(为参数）相切的圆的标准方程是____________.
【答案】
【分析】将抛物线方程化为标准方程,直线参数方程化为普通方程,结合点到直线的距离公式求得圆的半径,进而得答案.
【详解】解：将抛物线方程化为标准方程得，所以焦点坐标为，
将直线的参数方程化为普通方程得，
所以点到直线的距离为，
所以所求圆的方程为.
故答案为：
2．（2021·全国高考真题（文））在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点A的直角坐标为，M为C上的动点，点P满足，写出Р的轨迹的参数方程，并判断C与是否有公共点．
【答案】（1）；（2）P的轨迹的参数方程为（为参数），C与没有公共点.
【分析】（1）将曲线C的极坐标方程化为，将代入可得；
（2）设，设，根据向量关系即可求得P的轨迹的参数方程，求出两圆圆心距，和半径之差比较可得.
【详解】（1）由曲线C的极坐标方程可得，
将代入可得，即，
即曲线C的直角坐标方程为；
（2）设，设
，
，
则，即，
故P的轨迹的参数方程为（为参数）
曲线C的圆心为，半径为，曲线的圆心为，半径为2，
则圆心距为，，两圆内含，
故曲线C与没有公共点.
【点睛】关键点睛：本题考查参数方程的求解，解题的关键是设出的参数坐标，利用向量关系求解.


1．（2021·上海普陀区·高三其他模拟）已知直线l的参数方程是（，为参数），则直线l的倾斜角的大小为___________.
【答案】110°
【分析】把直线的参数方程转换成标准式即可直接得出结果.
【详解】解：直线l的参数方程是（，为参数），
转换为标准式为(t为参数)，
所以直线的倾斜角为110°，
故答案为：110°.
2．（2021·贵州黔东南苗族侗族自治州·凯里一中高三三模（文））在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数，为直线的倾斜角)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程.
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）已知点，直线与曲线交于､两点，与轴交于点，若，求直线的普通方程.
【答案】（1）；（2）或.
【分析】（1）化简，然后根据代入化简即可.
（2）分别假设点所对应的参数，然后直线参数代入（1）中的直角坐标方程，结合韦达定理，然后计算即可.
【详解】（1）由可得，
，由
，曲线的直角坐标方程是.
（2）设､两点对应的参数分别为､，
联立直线的参数方程与曲线的普通方程，整理得
，
，
设点对应的参数为，由，可得，
由得，
即，
，
，即，
直线的斜率，
故直线的方程为或.
3．（2021·陕西高三其他模拟（文））在极坐标系中，曲线的方程为，以极点为直角坐标系的原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系
（1）求曲线的直角坐标方程，并说明是什么曲线；
（2）直线的参数方程为为参数，，点的直角坐标为，直线与曲线交于两点，求的最大值.
【答案】（1）；曲线是以为圆心，半径为2的圆；（2）2.
【分析】（1）化简极坐标方程，将极坐标与直角坐标方程的转化公式，代入求得直角坐标方程，并描述曲线；
（2）联立直线的参数方程与圆的直角坐标方程，根据参数方程的几何意义，求出问题的表达式，从而求得最大值.
【详解】（1）
由知，，即
曲线是以为圆心，半径为2的圆；
（2）联立，化简得
则由韦达定理知，
则由直线的参数方程几何意义知，设，，
则，
由，当且仅当时，取得最大值2.
4．（2021·山西太原市·太原五中高三二模（文））平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线交于，两点，点，求的值.
【答案】（1）的普通方程，的直角坐标方程为；（2）.
【详解】解：（1）曲线的参数方程为，
消去参数得曲线的普通方程.
∵，
∴.
又，
∴直线的直角坐标方程为.
（2）法一：设直线的参数方程为(为参数，将其代入曲线的直角坐标方程化简得，
∴，.
∴.
法二：由，
化简得，
则，.
从而，.
∴.
（1）直接利用转换关系，在参数方程､极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
（2）(法一)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果.
(法二)利用方程组的解法和两点间的距离公式的应用求出结果.
本题考查的知识要点：参数方程､极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，极径的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.
5．（2021·四川眉山市·仁寿一中高三其他模拟（文））在同一直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线变成曲线.
（1）求曲线的参数方程；
（2）设，点是上的动点，求面积的最大值，及此时的坐标.
【答案】（1）为参数；（2）面积的最大值为2，此时的坐标为或.
【分析】（1）用分别表示，代入曲线，可得到曲线的方程，从而写出其参数方程；
（2）设，并求出直线的方程，根据距离公式分别求出点到直线的距离的最大值，的长度，即可得到面积的最大值，及此时的坐标．
【详解】（1）由伸缩变换得到①
将①代入得到②
所以的参数方程为
（2）设，直线
所以到直线的距离为
所以
当时，的面积的最大值为2
此时的坐标为或．
6．（2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三三模（文））在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）当为参数，时，曲线与只有一个公共点，求；
（2）当为参数，时，曲线与相交于，且，求的值．
【答案】（1）或；（2）．
【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化，参数方程消去参数，分别化为普通方程；根据两个圆的位置关系，内切与外切，求解即可．
（2）当为参数时，曲线为过点的直线，通过弦长，说明直线过圆的圆心，由此求解斜率，然后求解的值．
【详解】解：（1）曲线的直角坐标方程为：，
当为参数时，曲线的直角坐标方程为，
又曲线与只有一个公共点，故曲线与的位置关系是外切或内切，
（ⅰ）当与外切时，，解得：；
（ⅱ）当与内切时，，解得：，
故或．
（2）当为参数时，曲线为过点的直线，
又曲线是直径为的圆，且，所以直线过圆的圆心，
则直线的斜率，因为，所以．
7．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三其他模拟（文））在直角坐标系中，曲线的方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）点为上任意一点，若的中点的轨迹为曲线，求的极坐标方程；
（2）若点，分别是曲线和上的点，且，证明：为定值.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）先求得的极坐标方程，然后根据是的中点求得的极坐标方程.
（2）设出的坐标，结合以及同角三角函数的基本关系式证得为定值.
【详解】（1）由得，即，
所以极坐标方程：，
设，，则，
的轨迹方程：.
（2）设，，，，，
.
8．（2021·银川市第六中学高三其他模拟（文））在直角坐标系中，直线的参数方程为(是参数).在以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.
（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，并判断曲线所表示的曲线；
（2）若为曲线上的一个动点，求点到直线的距离的最大值和最小值.
【答案】（1），曲线所表示的曲线为圆心为，半径的圆；（2）最大值为，最小值为.
【分析】（1）由曲线可得，利用互化公式可得直角坐标方程：配方可得曲线所表示的曲线为圆.
（2）直线的参数方程为(是参数)消去参数化为普通方程：.求出圆心到直线的距离，可得点到直线的距离的最大值为，最小值为.
【详解】（1）由可得，
化为直角坐标方程：；配方可得：，
曲线表示的曲线是圆心为，半径的圆；
（2）直线可化为普通方程：.
圆心到直线的距离，
点到直线的距离的最大值为，最小值为.
9．（2021·四川德阳市·高三二模（文））在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，在以原点为极点，轴非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.
（1）求的直角坐标方程和的普通方程；
（2）若直线截曲线所得线段的中点坐标为，求的斜率.
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【分析】（1）极坐标与普通方程的互化，直线的参数方程转化为普通方程；
（2）结合直线参数方程的几何意义与韦达定理定理来求解即可.
【详解】解：（1）因为，所以，
故的直角坐标方程为.
当时，的普通方程为；
当时，的普通方程为.
（2）设截曲线所得线段的两端点对应参数为，，
将代入，
得的两根即为，，
所以，
直线截曲线所得线段的中点坐标为，即所对应参数，
故，
所以，故的斜率为.
10．（2021·黑龙江佳木斯市·佳木斯一中高三三模（文））已知曲线：(为参数)，：(为参数且)，在以原点为极点，轴非负半轴为极轴的极坐标系中，直线：.
（1）求曲线，的普通方程.
（2）若上的点对应的参数，为上的点，求的中点到直线距离的最小值.
【答案】（1）的普通方程为，的普通方程为：；（2）最小值为.
【分析】（1）由曲线的参数方程消去参数，可得其普通方程；由曲线的参数方程消去参数，可得其普通方程
（2）由题意可得，设，从而得出点的坐标，将直线的方程化为直角坐标方程得，得出点到直线距离，从而得到答案.
【详解】解：（1）曲线：(为参数)，
消去参数，得曲线的普通方程为.
曲线：(为参数)，
消去参数，得：.
由，则
所以曲线的普通方程为：
（2）∵上的点对应的参数，∴，
∵为上的点，∴，
∴的中点，
∵直线：，∴直线的直角坐标方程为.
∴的中点到直线距离，
∴当时，的中点到直线距离的最小值为.
【点睛】关键点睛：本题考查将参数方程化为普通方程，求点到直线的距离在最值问题，解答本题的关键是由的参数方程设，得到，从而点到直线距离，属于中档题.
11．（2021·四川自贡市·高三三模（文））在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），以原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝，直线l与曲线C的交点为A，B．
（1）求曲线C的直角坐标方程及α＝时|AB|的值；
（2）设点P（﹣1，1），求的最大值．
【答案】（1）；|AB|＝3；（2）2．
【分析】(1)结合即可得出曲线的直角方程，将当α＝代入直线l的参数方程得出的直角方程为x＝﹣1，联立曲线方程解出的值即可.
(2)把直线的参数方程代入曲线的直角方程得出关于的一元二次方程，结合韦达定理和的几何意义即可求出结果.
【详解】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ2＝，
根据，转换为直角坐标方程为，
当α＝时，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），
转换为直角坐标方程为x＝﹣1．
所以，由，解得，
所以|AB|＝3．
（2）把直线的参数方程，代入，
得到（3+sin2α）t2+（8sinα﹣6cosα）t﹣5＝0，
设点对应的参数为，点对应的参数为，
故，，故t1、t2的符号相反，
由此时的几何意义可得：||PA|﹣|PB||＝||t1|﹣|t2||＝|t1+t2|，
＝2|sin（α﹣φ）|的最大值为2，
(其中).
【点睛】(1)极坐标方程与直角坐标方程的互化方法:
①直角坐标方程化为极坐标方程：将公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入直角坐标方程并化简即可．
②极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，再应用公式进行代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧．
(2)圆和圆锥曲线参数方程的应用要注意两点：
①在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正、余弦值，否则参数不具备该几何含义．
②有关圆或圆锥曲线上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用它们的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解．
12．（2021·郑州市·河南省实验中学高三其他模拟（文））已知曲线的参数方程为(为参数).
（1）求曲线的普通方程；
（2）过点的直线与曲线交于，两点，求|PA|•|PB|的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）消去参数即可获得曲线的普通方程，注意挖去不满足题意的点；（2）根据直线的参数方程中t的几何意义表示|PA|•|PB|，最后根据三角函数的最值进行解题即可.
【详解】解：（1）曲线的参数方程为，消去参数，
可得.
（2）直线
代入曲线得：.
设两根为，，

故.
【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化以及直线的参数方程中t的几何意义，属于中档题目，在处理过程中主要把握参数t的正负取值，与线段长之间的对应关系，是解题的关键.
13．（2021·四川成都市·石室中学高三一模（文））在直角坐标系中，曲线的参数方程为，(，中的一个为参数)，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线．
（1）当为参数，时，判断曲线与直线的位置关系；
（2）当为参数，时，直线与曲线交于不同的两点，，若，求的值
【答案】（1）曲线与直线平行；（2）．
【分析】（1）首先将曲线和直线的方程化简为直角坐标方程，再判断位置关系；（2）首先得到曲线的普通方程，再得将直线的参数方程，利用的几何意义求的值.
【详解】（）当为参数，时，曲线表示直线：
由，得，
将代入方程得
因为斜率相等，所以曲线与直线平行；
（）当为参数，时，曲线的参数方程
消去参数得曲线的普通方程，
易知直线过，
故设直线的参数方程为
联立直线的参数方程与曲线的普通方程，得
设对应的参数为，则
故．
【点睛】方法点睛：本题考查弦长公式，一般求弦长的方法包含以下几点：
1.直角坐标系下的弦长公式或是；
2.利用直线参数方程的几何意义可知；
3.极坐标系下，过原点的直线与曲线相交的弦长.
14．（2021·玉林市育才中学高三三模（文））在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）已知射线分别交曲线，于两点，若是线段的中点，求的值.
【答案】（1）的极坐标方程为，的极坐标方程为；（2）.
【分析】（1）先将曲线化为普通方程，然后再化为极坐标方程，曲线直接利用公式化为极坐标方程即可；
（2）根据极径的几何意义，建立极径之间的关系，再通过三角恒等变换求解即可.
【详解】（1）因为曲线的普通方程为，
所以曲线的极坐标方程为(写成也给分).
因为曲线的普通方程为，即，
所以曲线的极坐标方程为，即.
（2）设，，则，，
因为是线段的中点，所以，
即，整理得，所以，
因为，所以，所以，所以.
15．（2021·陕西高三其他模拟（文））在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．
（1）求圆的标准方程，并说明直线与圆的位置关系．
（2）直线与圆的相交弦为，是弦上动点，求的取值范围．
【答案】（1）；直线与圆相交且过圆心；（2）．
【分析】（1）根据极坐标与直角坐标互化原则可直接化简得到圆的直角坐标方程，整理可得所求标准方程；由过圆心可得所求位置关系；
（2）由满足参数方程得，由直线参数方程中的几何意义可得的范围，由此可求得所求范围.
【详解】（1）由得：，
化为直角坐标方程为：，
圆的标准方程为．
直线过定点，即直线过圆心，则直线与圆相交且过圆心．
（2），，
由（1）知：圆的圆心为，半径，
则由参数的几何意义知：，解得：，
的取值范围为．
【点睛】结论点睛：若直线参数方程为（为参数），其中为直线的倾斜角，则具有几何意义：当参数时，表示直线上的点到点的距离.
16．（2021·云南昆明市·昆明一中高三其他模拟（文））在直角坐标系xOy中，点M是曲线C：(α为参数，α∈[0，π])上的动点，O为坐标原点，△OMN是以MN为斜边的等腰直角三角形，顶点O，M，N按顺时针方向排列，若以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）写出曲线C的极坐标方程；
（2）已知点C(-2，0)，求|CN|的最大值.
【答案】（1）ρ2+4ρcosθ+3=0，(ρsinθ≥0)；（2）最大值为.
【分析】（1）消去参数，可得到普通方程，用代入可得极坐标方程；（2）由条件可设N(ρ，θ)，则，代入点的轨迹方程，可求出点的轨迹方程，由几何性质可求出距离的最大值.
【详解】解：（1）由(α为参数，α∈[0，π])消去参数得：(x+2)2+y2=1，(y≥0)，
所以，曲线C的极坐标方程为ρ2+4ρcosθ+3=0，(ρsinθ≥0).
（2）设N(ρ，θ)，则，
因为点在曲线C上，所以，
即ρ2-4ρsinθ+3=0，(ρcosθ≥0)，
化为普通方程为：x2+(y-2)2=1，(x≥0)，
所以，点N的轨迹是以Q(0，2)为圆心，1为半径的圆的右半部分，
从而，即|CN|的最大值为.
【点睛】易错点睛：（1）由参数方程到普通方程消参的过程中，注意参数所控制的变量的范围；（2）求定点到圆上点距离的最值只需求定点到圆心的距离，然后加减半径即为最大最小值.
17．（2021·四川攀枝花市·高三三模（文））平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）若，求曲线的极坐标方程及曲线的直角坐标方程；
（2）若曲线与交于不同的四点，，，，且四边形的面积为，求．
【答案】（1）；；（2）．
【分析】（1）先将曲线曲线化为直角坐标方程，再化为极坐标方程，直接将曲线化为极坐标即可；
（2）曲线的对称性可知矩形的面积，结合极坐标方程列出关于的方程解出即可.
【详解】（1）当时，曲线的参数方程为（为参数），
转化为直角坐标方程为．
根据，得到曲线的极坐标方程为；
曲线的极坐标方程为，
根据，转换为直角坐标方程为：．
（2）设满足，，
由曲线的对称性可知矩形的面积，
∴，
将，代入得，解得，
所以，解得．
18．（2021·黑龙江大庆市·铁人中学高三一模（文））在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系（取相同的单位长度），曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数），两条曲线相交于、两点．
（1）求、两点的直角坐标；
（2）根据变换公式由曲线变换得到曲线，设点是曲线上的一个动点，求的面积的最小值．
【答案】（1）、或、；（2）．
【分析】（1）将曲线的极坐标方程化为普通方程，将曲线的参数方程化为普通方程，联立两曲线的普通方程，即可得出点、的坐标；
（2）求出曲线的方程，设点，利用点到直线的距离公式结合三角恒等变换可求出点到直线的距离的最小值，进而可求得的面积的最小值.
【详解】（1）由，得，
又，，所以．
由（为参数），消去参数得，
由解得或.
所以、或、；
（2）由（1）知，
根据变换公式由曲线变换得到曲线，
则，
即曲线的方程为，设点，
则点到直线的距离为
（其中，），
故当时，取得最小值，且，
因此，当点到直线的距离最小时，的面积也最小，
所以的面积的最小值为．
【点睛】方法点睛：解决与圆或椭圆有关的最大值和最小值以及取值范围的问题，常常设圆或椭圆的参数方程，然后转化为求三角函数的最大值和最小值以及取值范围的问题，注意三角恒等式（其中，其中，且角的终边过点）.