专题04 平面向量的数量积（客观题）（新高考地区专用）（解析版）

这是一份专题04 平面向量的数量积（客观题）（新高考地区专用）（解析版），共42页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
专题04 平面向量的数量积（客观题）
一、单选题
1．在等腰直角三角形中，，则
A．0 B．
C． D．1
【试题来源】黑龙江省绥化市海伦市第一中学2020-2021学年高三上学期期中考试（理）
【答案】A
【解析】．故选A．
2．平面向量，，则向量在向量方向上的投影为
A． B．1
C． D．
【试题来源】河南省南阳市第一中学校2020-2021学年高三上学期第四次月考（理）
【答案】A
【解析】依题意，向量在向量方向上的投影为．故选A．
3．若平面向量与的夹角为120°， ， ，则
A． B．
C．2 D．3
【试题来源】山东省德州市2020-2021学年高三上学期期中考试
【答案】B
【解析】化简，
或（舍去）．故选B．
4．设向量，，若，则直线与直线的位置关系是
A．平行 B．相交且垂直
C．相交但不垂直 D．重合
【试题来源】江西省南昌市第二中学2021届高三上学期第四次考试（文）
【答案】B
【解析】因为向量，，若，则，即，
所以直线可化为，直线可化为，
两直线斜率之积为，所以两直线相交且垂直．故选B．
5．已知向量，且，则实数
A．1 B．
C． D．
【试题来源】重庆市南开中学校2021届高三上学期第三次质量检测
【答案】D
【分析】由可得，从而列出方程求出的值
【解析】因为向量，，所以，
因为，所以，
所以，解得，故选D．
6．如图，是单位圆的直径，点，是半圆弧上的两个三等分点，则

A．1 B．
C． D．
【试题来源】山东省临沂市2020-2021学年高三上学期期中考试
【答案】C
【解析】连接，则，
在中，由余弦定理得．
所以．故选C．
7．已知单位向量满足， ，则与的夹角为
A． B．
C． D．
【试题来源】贵州省思南中学2021届高三上学期期中考试（文）
【答案】B
【解析】单位向量满足，则，
，又与的夹角的范围是，
所以与的夹角为，故选B．
8．已知向量满足，，则
A．4 B．3
C．2 D．0
【试题来源】甘肃省武威第六中学2020-2021学年高三上学期第四次过关考试（理）
【答案】B
【解析】向量，满足，，则，故选．
9．已知在四边形中，，，，是的中点，则
A． B．2
C．3 D．4
【试题来源】四川省阆中中学2020-2021学年高三11月月考（理）
【答案】C
【解析】四边形如图：
因为，，所以是直角梯形，由，，可得．是的中点，过作于，则，
可得．故选．

10．已知，，，则
A．5 B．7
C．9 D．11
【试题来源】辽宁省2021届高三新高考11月联合调研
【答案】D
【解析】由已知，得，又，
所以，解得，所以．故选D．
11．已知，，，，过点作垂直于点，点满足，则的值为
A． B．
C． D．
【试题来源】江西省万载县第二中学2021届高三上学期第一次质量检测（理）
【答案】D
【解析】由题意，作出图形，如图，

，，
，，
由可得，
，
又，则，
．故选D．
12．已知，，，则与的夹角为
A． B．
C． D．
【试题来源】江西省万载县第二中学2021届高三上学期第一次质量检测（理）
【答案】D
【解析】设平面向量与的夹角为，
，可得，
所以，，，因此．故选D．
13．如图，在梯形中，，，，，，，则

A． B．
C． D．
【试题来源】河南省郑州市2020-2021学年度上学期高三二调考试（理）
【答案】C
【解析】因为在梯形中，，，，，，
所以
．所以，
则．故选C．
14．已知是边长为2的等边三角形，其中为边的中点，的平分线交线段于点，则
A． B．
C． D．
【试题来源】天一大联考（河北广东全国新高考）2020-2021 学年高中毕业班阶段性测试（二）
【答案】D
【解析】设交于点，如图，

由题意可得点为的重心，则，，，
所以．故选D．
15．中，，，面积，，，若，则实数
A．0 B．3
C． D．2
【试题来源】百师联盟2021届一轮复习（二） 全国卷III文数试题
【答案】B
【解析】因为，，，
所以，所以，所以，
所以．
因为，所以，即．
若，则，所以；
若，则，无解．综上，，故选B．
16．已知在平面直角坐标系中，向量，，且，，令与的夹角为，则
A． B．
C． D．
【试题来源】百师联盟2021届高三一轮复习联考（二）全国卷 （文）
【答案】A
【解析】因为，，
所以．故选A．
17．已知单位向量，的夹角为，则在下列向量中，与向量的夹角为钝角的是
A． B．
C． D．
【试题来源】四川省康德2020-2021高三11月
【答案】C
【解析】对于，，错误；
对于，，错误；
对于，，
又与不反向，与夹角为钝角，正确；
对于，，错误．故选C．
【名师点睛】两向量数量积与夹角的关系如下：（1）若两向量数量积大于零，则夹角为零角或锐角；（2）若两向量数量积小于零，则夹角为钝角或平角．
18．在中，，，．
A． B．
C．1 D．2
【试题来源】中学生标准学术能力诊断性测试THUSSAT2021届高三诊断性测试 （文）（一）试题
【答案】B
【解析】在中，，，
即，所以为等腰直角三角形，
所以，故选B．
19．已知向量，向量，与垂直，则k＝
A．2 B．
C． D．
【试题来源】广东省湛江市2021届高三上学期高中毕业班调研测试题
【答案】D
【解析】因为向量，向量，所以，，，
又与垂直，所以，
，所以，故选D．
20．已知向量，，若，则的取值范围是
A． B．
C． D．
【试题来源】甘肃省永昌县第一中学2020-2021学年高三上学期第一次月考数学理试题
【答案】C
【解析】因为，所以，所以，所以，所以，所以，故选C．
21．设为实数，已知向量=(-1，2)，=(1，)．若，则向量+2与之间的夹角为
A． B．
C． D．
【试题来源】江苏省南京师大附中2020-2021学年高三上学期期中
【答案】A
【解析】因为向量，若，则，解得，
所以，所以，，，设向量+2与之间的夹角 ，则， ，所以向量+2与之间的夹角为．故选A．
22．把与直线垂直的向量称为直线的法向量．设是直线的一个方向向量，那么 就是直线的一个法向量．借助直线的法向量，我们可以方便地计算点到直线的距离．已知P是直线外一点，是直线的一个法向量，在直线上任取一点Q，那么在法向量上的投影向量为(为向量与的夹角），其模就是点到直线的距离，即．据此，请解决下面的问题：已知点A(-4，0)，B(2，-1)，C(-1，3)，则点A到直线BC的距离是
A． B．7
C． D．8
【试题来源】江苏省南通市2020-2021学年高三上学期期中
【答案】A
【解析】由B(2，-1)，C(-1，3)，可得直线方程为，
故直线的法向量为，在直线上取一点，则，
根据题目所给距离公式可得距离．故选A．
23．已知向量与互相垂直，则的最小值为
A．7 B．6
C．5 D．4
【试题来源】河南省焦作市2020—2021学年高三年级第一次模拟考试（理）
【答案】A
【解析】因为，所以，所以．
所以，当且仅当或时等号成立，
所以．故选A．
24．已知非零向量满足，．若，则实数t的值为
A． B．
C． D．3
【试题来源】黑龙江宾县第一中学2020-2021学年高三第一学期第二次月考（理）
【答案】C
【解析】由，得，
，，，解得．故选C．
25．若向量，，则下列结论正确的是
A． B．
C． D．
【试题来源】甘肃省张掖市第二中学2020-2021学年高三上学期9月月考（文）
【答案】C
【解析】对于A选项，，A选项错误；
对于B选项，由平面向量的模长公式可得，，B选项错误；
对于C选项，，，，C选项正确；
对于D选项，，则与不平行，D选项错误．故选C．
26．已知向量满足，，且，则与的夹角的取值范围是
A． B．
C． D．
【试题来源】河南省南阳市第一中学校2020-2021学年高三上学期第四次月考（文）
【答案】C
【解析】设与的夹角，，，
，，．故选．
27．已知向量的夹角为，，，则
A． B．
C． D．
【试题来源】西藏日喀则市拉孜县中学2021届高三上学期第二次月考（理）
【答案】C
【解析】向量与的夹角为，，，
所以，故选C．
28．已知向量，．若，则
A． B．
C． D．
【试题来源】西藏自治区拉孜县中学2021届高三上学期第二次月考（文）
【答案】A
【解析】，，，故选A．
29．已知平面向量，，， 则下列结论中错误的是
A．向量与向量共线
B．若，则，
C．对同一平面内任意向量，都存在实数，，使得
D．向量在向量方向上的投影为0
【试题来源】北京市中国人民大学附属中学2021届高三9月数学统练二试题
【答案】C
【解析】对于，因为，，所以，所以向量与向量共线，故正确；
对于，若，则，
所以，解得，，故正确；
对于，因为，所以，所以当不与共线，且时，不存在实数，，使得，故不正确；
对于，向量在向量方向上的投影为，故正确．故选C
30．已知向量，，若与的夹角为，则
A． B．
C． D．
【试题来源】云南省曲靖市第一中学2021届高三上学期高考复习质量监测（理）（三）
【答案】B
【解析】，，则，同理，
，因此，．故选B．
31．已知向量，满足，，且，则在方向上的投影为
A． B．
C． D．1
【试题来源】广西南宁三校联考2020-2021学年高二学期高二段考（期中）（文）
【答案】B
【解析】因为，，，
所以在方向上的投影为．故选B．
32．若向量，满足，，且，则与的夹角为
A． B．
C． D．
【试题来源】北京市第三中学2021届高三上学期期中考试
【答案】C
【解析】，，即，
又，，，得，
而，，故选．
33．已知向量，向量，则的最大值和最小值分别是
A．4，2 B．4，0
C．16，2 D．16，0
【试题来源】陕西省宝鸡市扶风县法门高中2020-2021学年高三上学期第三次月考（文）
【答案】B
【解析】向量，向量，则，，
所以，
所以的最大值，最小值分别是16，0；
所以的最大值，最小值分别是4，0．故选B
34．已知、是两个夹角为的单位向量，若，，且，则
A． B．
C． D．
【试题来源】吉林市普通高中2021届高三第一次调研测试（期中）（文）
【答案】C
【分析】由题意可得出，利用平面向量数量积的运算性质可得出关于实数的等式，由此可解得实数的值．
【解析】由平面向量数量积的定义可得，
，，且，
所以，，
解得．故选C．
【名师点睛】求解平面向量垂直问题，一般有如下方法：
（1）当向量与是坐标形式给出时，若证明，则只需证明；
（2）当向量与是非坐标形式时，要把与用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算证明；
（3）数量积的运算中，是对非零向量而言的，若，虽然有，但不能说明．
35．已知为圆：上一动弦，且，点，则最大值为
A．12 B．18
C．24 D．32
【试题来源】河南省南阳市2020-2021学年高三期中质量评估（文）
【答案】C
【解析】设的中点为，则，，所以在以为圆心，为半径的圆上，，
又，所以，，
所以的最大值为．故选C．
【名师点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是选取弦中点，利用的轨迹是圆，把用表示，求出的最大值即可得结论，而由点到圆心的距离即可得最大值．
36．已知两个单位向量，，其中向量在向量方向上的投影为．若，则实数的值为
A． B．
C．0 D．
【试题来源】安徽省江淮十校2020-2021学年高三上学期第二次质量检测（文）
【答案】C
【解析】记与的夹角为，则在上的投影为，则，所以，故，故选C．
【名师点睛】本题考查平面向量的数量积及其几何意义．向量垂直的数量积表示．
（1）设向量的夹角为，则在方向上的投影是；
（2）对两个非零向量，．
37．在平面直角坐标系中，已知圆及圆内的一点，圆的过点的直径为，若线段是圆的所有过点的弦中最短的弦，则的值为
A．8 B．16
C．4 D．
【试题来源】江苏省南京市三校2020-2021学年高三上学期期中联考
【答案】B
【解析】由题意可知，圆的半径为，，
，，
．
故选B．
38．设、、是半径为的圆上三点，若，则的最大值为
A． B．
C． D．
【试题来源】湖北省随州市2020-2021学年高二上学期9月联考
【答案】C
【分析】设圆心为点，分析得出，再由平面向量的减法与数量积的运算性质得出，再利用与同向时可求得的最大值．
【解析】设圆心为点，则，，，则，
．
当且仅当与方向相同时，等号成立，因此，的最大值为．故选C．
39．已知向量，，其中，则的取值范围是
A． B．
C． D．
【试题来源】浙江省台州市金清中学2019-2020学年高一下学期期末测试（B卷）
【答案】A
【解析】，
，，，．故选A．
【名师点睛】求解正弦型函数值域的步骤如下：（1）利用的范围求得整体的范围；（2）将看作一个整体，对应正弦函数图象求得的值域；（3）代入函数，得到所求函数的值域．
40．如图，点在的内部，，是边，的中点(，，三点不共线)，，，则向量与的夹角大小为

A．105° B．120°
C．135° D．150°
【试题来源】河南省八市全国百强名校“领军考试”联考2020-2021年第一学期高三（理）
【答案】B
【解析】连接，如下图所示．

因为，是边，的中点，所以，且，所以，所以
，
解得．因为，
所以．则向量与的夹角大小为120°，故选B．
二、多选题
1．下列结论正确的是
A．若，则是钝角三角形
B．若，则
C．，
D．若，，三点满足，则，，三点共线
【试题来源】山东省临沂市2020-2021学年高三上学期期中考试
【答案】AD
【分析】由数量积的定义可判断A，当，可判断B，，可判断C，利用向量共线定理可判断D．
【解析】在中，若，则A为钝角，所以是钝角三角形，A正确；
若，则，故B错；
，，故C错；
若，则，即，所以，，三点共线，故D正确．故选AD．
2．下列说法中正确的是
A．
B．若且，则
C．若非零向量且，则
D．若，则有且只有一个实数，使得
【试题来源】福建省建瓯市芝华中学2021届高三上学期第一次阶段
【答案】AC
【分析】根据相反向量的概念，可得A正确；根据向量共线可得B错；根据向量数量积运算，可得C错；根据向量共线基本定理，可得D错．
【解析】由，互为相反向量，则，故A正确；
由且，可得或，故B错；
由，则两边平方化简可得，所以，故C正确；
根据向量共线基本定理可知D错，因为要排除为零向量．故选AC．
3．在日常生活中，我们会看到两人共提一个行李包的情境（如图）假设行李包所受重力均为，两个拉力分别为，，若，与的夹角为．则以下结论正确的是

A．的最小值为 B．的范围为
C．当时， D．当时，
【试题来源】山东省临沂市2020-2021学年高三上学期期中考试
【答案】ACD
【解析】对于A选项：因为为定值，且，
所以，
解得，又，在上单调递减，所以最小值为，故A正确；
对于B选项：由题意得，故B不正确；
对于C选项：当时，，所以，故C正确；
对于D选项：当时，，所以，故D正确．故选 ACD．
4．下列有关向量命题，不正确的是
A．若，则 B．已知，且，则
C．若，则 D．若，则且
【试题来源】河北省张家口市2021届高三上学期第一次质量检测
【答案】AB
【解析】向量由两个要素方向和长度描述，A错；若，且与垂直，结果成立，但不一定等于，B错；相等向量模相等，方向相同，D选项对．故选AB．
5．如图，中，，E为CD的中点，AE与DB交于F，则下列叙述中，一定正确的是

A．在方向上的投影为0
B．
C．
D．若，则
【试题来源】重庆市西南大学附属中学校2021届高三上学期第三次月考
【答案】ABC
【分析】由余弦定理求得，根据勾股定理得，再由平面几何知识得出，对于A选项由向量数量积的几何意义可判断；对于B选项：根据向量的线性表示可判断；对于C选项由向量的数量积的定义可判断；对于D选项根据正切的二倍角公式可判断．
【解析】因为在中，，在中，由余弦定理得
，所以满足，所以，又E为CD的中点，所以，
所以，，
对于A选项：在方向上的投影为，故A正确；
对于B选项：，故B正确；
对于C选项：，故C正确；
对于D选项：，设，所以，解得（负值舍去），故D不正确，故选ABC．
6．已知向量(2，1)，(1，﹣1)，(m﹣2，﹣n)，其中m，n均为正数，且()∥，下列说法正确的是
A．a与b的夹角为钝角
B．向量a在b方向上的投影为
C．2m+n=4
D．mn的最大值为2
【试题来源】山东省泰安市2020届高三第五次模拟考试
【答案】CD
【分析】对于A，利用平面向量的数量积运算判断； 对于B，利用平面向量的投影定义判断；对于C，利用()∥判断；对于D，利用C的结论2m+n=4，结合基本不等式判断．
【解析】对于A，向量(2，1)，(1，﹣1)，则，则的夹角为锐角，错误；
对于B，向量(2，1)，(1，﹣1)，则向量在方向上的投影为，错误；
对于C，向量(2，1)，(1，﹣1)，则 (1，2)，若()∥，则(﹣n)=2(m﹣2)，变形可得2m+n=4，正确；
对于D，由C的结论，2m+n=4，而m，n均为正数，则有mn (2m•n) ()2=2，即mn的最大值为2，正确；故选CD．
7．已知向量，，则
A．若与垂直，则 B．若，则的值为
C．若，则 D．若，则与的夹角为
【试题来源】山东省新泰市第一中学老校区（新泰中学）2020-2021学年高三上学期第一次月考
【答案】BC
【解析】对于选项A：由，可得，解得，故A错误，
对于选项B：由，可得，解得，所以，
所以，故B正确；
对于选项C：若，则，则，故C正确：
若，对于选项D：：设与的夹角为，
则，故D错误．故选BC．
8．在平行四边形中，，，，交于F且，则下列说法正确的有
A． B．
C． D．
【试题来源】重庆市南开中学校2021届高三上学期第三次质量检测
【答案】BCD
【分析】根据向量的线性运算，以及向量的夹角公式，逐一判断四个选项的正误即可得正确选项．
【解析】对于选项A：，故选项A不正确；

对于选项B：易证，所以，所以，故选项B正确；
对于选项C：，即，所以
，所以，解得，
，因为，所以，故选项C正确；
对于选项D：

，故选项D正确．故选BCD
【名师点睛】选项B 的关键点是能得出，即可得，选项D的关键点是由于和的模长和夹角已知，故将和用和表示，即可求出数量积．
9．已知向量，，则下列命题正确的是
A．若，则
B．若在上的投影为，则向量与的夹角为
C．存在，使得
D．的最大值为
【试题来源】重庆市第八中学2021届高三上学期高考适应性月考（二）
【答案】BCD
【分析】若，则，故A错误；
若在上的投影为，且，则，故B正确；
若在上的投影为，且，故当，，故C正确；
， 的最大值为，故D正确．
【解析】若，则，则，故A错误；
若在上的投影为，且，则，，故B正确；
若，，若，则，即，故，，C正确；
，因为，，则当时，的最大值为，故D正确，故选BCD．
10．已知四边形是边长为2的正方形，为平面内一点，则
A．最小值为 B．最大值为
C．无最小值 D．无最大值
【试题来源】河北省2021届高三上学期10月联考
【答案】AD
【解析】建立如图所示的直角坐标系

则，，，．
设，则，，，，
所以，
所以当，时，取得最小值，无最大值．故选AD．
【名师点睛】本题考查平面向量数量积，求平面向量数量积的最值，一种方法直接用数量积的定义表示出数量积求解，一种方法是建立平面直角坐标系，把数量积用坐标表示，然后用函数的知识求解．
11．设，，是平面内不共线的三点，若，则下列选项正确的是
A．点，，在同一直线上 B．
C． D．
【试题来源】江苏省百校联考2020-2021学年高三上学期第一次考试
【答案】AC
【解析】，
，所以，A正确．
由向量加法的平行四边形法则可知B不正确．
，无法判断与0的大小关系，
而，
，
同理，所以C正确，D不正确．故选AC．
12．如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为反射坐标系中，若，则把有序数对叫做向量的反射坐标，记为．在的反射坐标系中，，．则下列结论中，正确的是

A． B．
C． D．在上的投影为
【试题来源】重庆市第八中学2021届高三上学期适应性月考
【答案】AD
【分析】，则，故A正确；，故B错误；，故C错误；由于在上的投影为，故D正确．
【解析】，则，故A正确；，故B错误；
，故C错误；
由于，故在上的投影为，故D正确．
故选AD．
13．若内接于以为圆心，为半径的圆，且，则下列结论不正确的是
A． B．
C． D．
【试题来源】江苏省徐州市铜山区、南通市如皋中学2020-2021学年高三上学期第一次抽测
【答案】AC
【解析】由已知得，
因为，所以，
两边平方得，解得，故错误；
同理可得，．故，故，故正确；
，故错误；
，故正确．故选．
14．已知向量，，，则下列结论正确的有
A． B．若，则
C．的最大值为2 D．的最大值为3
【试题来源】山东省济宁邹城市第一中学2020届高三下学期第五次模拟考试
【答案】AC
【解析】对于，，正确；
对于，若，则，，错误；
对于，，，，
所以当时最大值为2，正确；
对于，
因为，所以，则，
即，错误．故选AC．
15．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则以下结论正确的是．

A． B．
C． D．
【试题来源】福建省莆田第二十五中学2021届高三上学期月考二
【答案】ABC
【解析】对A，因八卦图为正八边形，故中心角为45°，，
所以，故A对；
由上得，，B对；
对C，与的夹角为90°，又因，根据平行四边形法则，C对；
对D，，，中，由余弦定理可得，，D错；故选ABC
16．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列结论正确的有

A．
B．
C．
D．在向量上的投影为
【试题来源】甘肃省武威第六中学2020-2021学年高三上学期第四次过关考试（理）
【答案】AB
【解析】图2中的正八边形，其中，
对于；故正确．
对于，故正确．
对于，，但对应向量的夹角不相等，所以不成立．故错误．
对于在向量上的投影，，故错误．故选．
三、填空题
1．已知的外心为，则的取值范围是_________．
【试题来源】浙江省杭州高级中学2020-2021学年高三上学期11月期中
【答案】
【解析】作出图示如下图所示，取BC的中点D，连接OD，AD，因为的外心为O，则，
因为，
又，所以，
同理可得，，
所以化为，
即．
由余弦定理得，
又，当且仅当时，取等号，
又，所以．故答案为．

【名师点睛】本题考查向量的数量积运算，以及三角形的外心的定义和性质，关键在于三角形的外心的定义和向量的线性表示，转化表示向量的数量积，将已知条件转化为三角形的边的关系，属于较难题．
2．已知向量，，若，则_________．
【试题来源】河南省部分重点高中2020-2021学年高三阶段性考试（四）（理）
【答案】
【分析】直接利用向量垂直的坐标运算公式运算即可．
【解析】由题意可得，则．故答案为
3．已知在平面直角坐标系中，向量，，且，，设与的夹角为，则_________．
【试题来源】百师联盟2021届一轮复习（二） 全国卷III理数试题
【答案】
【分析】根据向量的坐标元素，得到与的坐标，根据向量夹角的坐标表示，即可得出结果．
【解析】因为，，
所以．故答案为．
4．设，为单位向量，且，则_________．
【试题来源】辽宁省丹东市2021届高三（10月份）段考
【答案】1
【分析】根据条件对两边平方即可求出，然后根据即可求出答案．
【解析】，，，，
．故答案为1．
5．已知在平面直角坐标系中，向量，，且，，设与的夹角为，则_________．
【试题来源】百师联盟2021届高三一轮复习联考（二）全国卷 （理）
【答案】
【分析】先求出和，再利用向量的夹角公式直接求解即可
【解析】因为，，所以．
故答案为．
6．已知向量，，若，则_________．
【试题来源】吉林省通榆县第一中学2020-2021学年高三上学期期中考试（文）
【答案】-6
【解析】因为，所以，解得．
故答案为-6．
7．已知为边长为2的正方形所在平面内一点，则的最小值为_________．
【试题来源】河南省郑州市2020-2021学年度上学期高三二调考试（理）
【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，设，写出各点坐标，利用平面向量数量积的坐标公式表示出，结合配方法得出最小值即可．
【解析】建立如图所示坐标系，

设，则（0，0），（2，0），（2，2），（0，2），
所以，，
所以
．
所以当时，的最小值为．故答案为．
8．已知单位向量，的夹角为60°，则_________．
【试题来源】云南民族大学附属中学2021届高三上学期期中考试（文）
【答案】
【分析】由题意并且结合平面数量积的运算公式可得|，通过平方即可求解，可得答案．
【解析】因为单位向量，的夹角为的夹角为，

所以，故答案为．
9．已知向量，满足，，则_________．
【试题来源】陕西省榆林市第十二中学2020-2021学年高三上学期第二次月考（理）
【答案】3
【解析】向量，满足，，则，
故答案为3．
10．已知平面向量，，，，，则的值是_________．
【试题来源】河南省南阳市2020-2021学年高三期中质量评估（文）
【答案】
【分析】根据向量垂直向量数量积等于，解得α·β＝，再利用向量模的求法，将式子平方即可求解．
【解析】由得，所以，
所以，所以．
故答案为．
11．已知， ， ，若，则_________．
【试题来源】山东省德州市2020-2021学年高三上学期期中考试
【答案】
【解析】由题得，因为， ，
所以，所以．故答案为．
【名师点睛】本题主要考查向量的运算和向量垂直的坐标表示，向量平行和垂直的坐标表示为 设=，=，则，．
12．若，是两个非零向量，且，，则与的夹角取值范围是_________．
【试题来源】河南省南阳市2020-2021学年高三期中质量评估 （理）
【答案】
【分析】设，则，令，以为邻边作平行四边形，则平行四边形为菱形，则与的夹角为，设，在中，由余弦定理求得的范围，得到的范围，得到答案．
【解析】如图所示，因为，

不妨设，则，
令，以为邻边作平行四边形，则平行四边形为菱形，
则与的夹角为，设且
在中，，由
所以，因为，所以，
即向量与的夹角的取值范围是．故答案为．
13．已知单位向量满足：，则_________．
【试题来源】重庆市南开中学校2021届高三上学期第三次质量检测
【答案】
【分析】先求出，得到，然后，代入求解即可．
【解析】由得，，所以，，
，故答案为．
14．已知向量，，若，，则_________．
【试题来源】山东省临沂市2020-2021学年高三上学期期中考试
【答案】
【分析】若设，则由，，得，解出的值，从而可求出．
【解析】设，则，
因为，，，，
所以，解得，
所以，所以，故答案为．
15．已知两个单位向量，的夹角为，，若，则_________．
【试题来源】河南省南阳市第一中学校2020-2021学年高三上学期第四次月考（文）
【答案】2
【分析】由于，对式子两边与作数量积可得，经过化简即可得出．
【解析】，，，
，，解得．故答案为2．
16．若，，且向量，的夹角是，则_________．
【试题来源】吉林省通榆县第一中学2020-2021学年高三上学期期中考试（理）
【答案】2
【分析】根据向量的数量积的运算公式和向量的模的计算公式，准确运算，即可求解．
【解析】由题意，向量，，且向量，的夹角是，
则，所以．
故答案为．
17．已知向量，满足，若，则向量与向量的夹角为_________．
【试题来源】广东省惠州市2021届高三上学期第二次调研
【答案】
【分析】先根据得，再根据向量夹角公式计算即可得答案．
【解析】因为，所以，即，
所以，所以，所以．
18．在边长为2的等边三角形中，若，则的值为_________．
【试题来源】广东省云浮市郁南县蔡朝焜纪念中学2021届高三上学期10月月考
【答案】
【分析】根据，利用平面向量的线性运算，将问题转化为 ，再利用数量积运算求解．
【解析】在边长为2的等边三角形中，因为，
所以
，故答案为．
19．设为单位向量，且，则_________．
【试题来源】山东省烟台市招远市第一中学2020年高三上学期期中
【答案】
【分析】先根据计算出的值，然后将先平方再开根号，结合的值计算出的结果．
【解析】因为，所以，
所以，所以，
因为，故答案为．
【名师点睛】已知，求解的方法：
（1）先将平方然后开根号，得到，
（2）代入的值，即可计算出的值．
20．已知向量，，若，则的最小值为_________．
【试题来源】河北省沧州市任丘市第一中学2021届高三上学期阶段考试
【答案】
【分析】先利用得出，可得，然后将代入中，结合基本不等式求最值即可．
【解析】因为，所以，即，整理得，
因为，所以，解得．所以

当且仅当，即时等号成立．故答案为．
【名师点睛】本题考查平面向量的数量积运算，考查利用基本不等式求最值． 一般地，若 ，当(为定值)，求解的最值时，利用，然后展开根据均值不等式求解即可．
21．在中，，则．=_________．
【试题来源】江苏省扬州市2020-2021学年高三上学期期中
【答案】
【分析】根据向量的线性运算，得到，，再结合向量的数量积的运算公式，即可求解．
【解析】设向量，其中，
因为，所以，
，
所以．
故答案为．
【名师点睛】平面向量的数量积的运算策略：
（1）定义法：建立一个平面基底，结合向量的线性运算法则表示出向量，利用向量的数量积的定义，即可求解；
（2）坐标运算法：先建立适当的平面直角坐标系，写出向量的应用坐标，结合坐标运算的公式，即可求解，可起到化繁为简的妙用．
22．若平面向量满足，则_________．
【试题来源】浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟2020-2021学年高三上学期期中联考
【答案】
【分析】将、、用、，表示，根据向量的运算律可求得结果．
【解析】因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，
所以
．故答案为．
23．设单位向量，的夹角为，向量，则的最小值为_________．
【试题来源】天一大联考（河北广东全国新高考）2020-2021 学年高中毕业班阶段性测试（二）
【答案】
【分析】首先利用二倍角公式化简，再求，再利用换元法和导数求函数的最小值．
【解析】，且，，


，
设，设，，
，
当时，，函数单调递减，
当时， ，函数单调递增，所以当时，函数取得最小值，
，即．故答案为．
【名师点睛】本题考查向量的数量积和导数求最值的综合应用题型，属于中档题型，本题的第一个关键是正确利用二倍角公式化简向量，2，第二个关键是利用换元法转化为利用导数求函数的最值．
24．已知向量，满足，其中是单位向量，则在方向上的投影_________．
【试题来源】河南省郑州市2020-2021学年度上学期高三二调考试（理）
【答案】
【分析】对式子两边平方化简后得，然后由平面向量的投影公式计算即可得解．
【解析】是单位向量，所以，
因为，所以，化简得，即，
所以在方向上的投影是．故答案为．
【名师点睛】本题主要考查向量数量积的运算性质，平面向量的投影公式，解决向量的投影问题，应注意区分在方向上的投影，还是在方向上的投影，属于常考题．
25．在中，AB=4，∠ABC=45°，AD是边BC上的高，则_________．
【试题来源】河南省九师联盟2021届高三第一学期11月质量检测（理）
【答案】8
【分析】利用向量数量积的几何意义，法一：有，结合射影定理知即可求值；法二：即可求值．
【解析】法一：过作于点，

根据数量积的几何意义，得，
根据射影定理，得；在直角三角形中，，
所以．
法二：
由，．
故答案为8.