北师大版七年级数学下册期末考试数学模拟试题4（含答案）　

这是一份北师大版七年级数学下册期末考试数学模拟试题4（含答案）　，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

北师大版七年级数学下册期末考试数学模拟试题4
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（3分）改革开放以来，我国众多科技实体在各自行业取得了举世瞩目的成就，大疆科技、华为集团、太极股份和凤凰光学等就是其中的杰出代表．上述四个企业的标志是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．（a3）4＝a7 B．a3•a4＝a7 C．a4﹣a3＝a D．a3+a4＝a7
3．（3分）如图，直线a，b被直线c所截，那么∠1的同位角是（　　）

A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
4．（3分）2019新型冠状病毒在2020年1月12日被世界卫生组织命名为2019﹣nCoV，它的平均直径大约是0.00000008米，下列选项中用科学记数法表示正确的是（　　）
A．8×10﹣8米 B．8×10﹣9米 C．0.8×10﹣7米 D．80×10﹣6米
5．（3分）下列每组数分别表示三根木棒的长度．将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（　　）
A．1、2、6 B．2、3、4 C．1、2、3 D．2、2、4
6．（3分）下列事件中，属于必然事件的是（　　）
A．明天我市下雨
B．抛一枚硬币，正面朝下
C．购买一张福利彩票中奖了
D．掷一枚骰子，向上一面的数字一定大于零
7．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．同位角相等
B．相等的角是对顶角
C．内错角相等，两直线平行
D．互补的两个角一定有一个锐角
8．（3分）如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB∥DE，BC∥EF，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（　　）

A．AB＝DE B．BC＝EF C．∠B＝∠E D．AD＝CF
9．（3分）（a﹣b）2加上如下哪一个后得（a+b）2（　　）
A．0 B．4ab C．3ab D．2ab
10．（3分）小江同学热爱体育锻炼，每周六上午他都先从家跑步到离家较远的田园广场，在那里与同学打一段时间的羽毛球后再慢步回家．下面能反映小华同学离家的距离y与所用时间x之间函数图象的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）
11．（4分）计算：6x5÷2x3＝　 　．
12．（4分）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，DE∥BC交AC于E，若∠ACB＝60°，则∠EDC＝　 　．

13．（4分）某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：
①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；
②沿河岸直走20步有一棵树C，继续前行20步到达D处；
③从D处沿与河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；
此时，测得DE的长度为15米，则河宽　 　米．

14．（4分）一个三角形的三边为2、7、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x+y＝　 　．
三.解答题（本大题共6个小题，共54分，答案写在答题卡上）
15．（12分）化简：
（1）（2x2）3﹣x2•x4；
（2）（x+2）（x﹣3）+x．
16．（8分）先化简，再求值：[（x+y）2+（x+y）•（x﹣y）]÷2x，其中x＝1，y＝﹣1．
17．（8分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′；
（2）求△ABC的面积．

18．（8分）一只不透明的箱子里装有5个红球、4个白球和3个黄球，它们除颜色外均相同，
（1）从箱子中任意摸出一个球，请填出以下概率：
P（摸到红球）＝　 　，P（摸到白球）＝　 　，P（摸到黄球）＝　 　．
（2）请直接回答再往箱子中放入白球多少个，可以使摸到白球的概率达到？
19．（8分）已知：点A、E、D、C在同一条直线上，AE＝CD，EF∥BD，EF＝BD．求证：AB∥CF．

20．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE是过点A的一条直线，且B、C在AE的两侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E．
（1）求证：△ABD≌△CAE；
（2）若DE＝3，CE＝2，求BD．

四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
21．（4分）已知a+b＝4，a﹣b＝3，则a2﹣b2＝　 　．
22．（4分）如图，直线a∥b，三角板的直角顶点A落在直线a上，两边分别交直线b于B、C两点．若∠1＝42°，则∠2的度数是　 　．

23．（4分）若x＝4m+1，y＝64m﹣3，用x的代数式表示y，则y＝　 　．
24．（4分）若自然数n使得三个数的竖式加法运算“n+（n+1）+（n+2）”产生进位现象，则称n为“连加进位数”．例如，10不是“连加进位数”，因为10+11+12＝33不产生进位现象；14是“连加进位数”，因为14+15+16＝45产生进位现象．如果从10，11，12，……，19这10个自然数中任取一个数，那么取到“连加进位数”的概率是　 　．
25．（4分）已知：如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6．延长BC到点E，使CE＝2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为　 　秒时，△ABP和△DCE全等．

五、解答题（本小题共三个小题，共30分，答案写在答题卡上）
26．（8分）有研究表明，声音在空气中的传播速度与空气的温度有关，当空气的温度变化，声音的传播速度也将随着变化．声音在空气中传播速度与空气温度关系一些数据（如下表格）
温度/℃
…
﹣20
﹣10
0
10
20
30
…
声速/m/s
…
318
324
330
336
342
348
…
（1）指出在这个变化过程中的自变量和因变量；
（2）当声音在空气中传播速度为342m/s时，此时空气的温度是多少？
（3）该数据表明：空气的温度每升高10℃，声音的传播速度将增大（或减少）多少？
（4）用y表示声音在空气中的传播速度，x表示空气温度，根据（3）中你发现的规律，直接写出y与x之间的关系式．
27．（10分）如图，在长方形ACDF中，AC＝DF，点B在CD上，点E在DF上．BC＝DE＝a，AC＝BD＝b，AB＝BE＝c，且AB⊥BE．
（1）在探究长方形ACDF的面积S时，我们可以用两种不同的方法：一种是找到长和宽，然后利用长方形的面积公式，就可得到S；另一种是将长方形ACDF看成是由△ABC，△BDE，△AEF，△ABE组成的，分别求出它们的面积，再相加也可以得到S．
请根据以上材料，填空：
方法一：S＝　 　．
方法二，S＝S△ABC+S△BDE+SAEF+S△ABE＝ab+b2﹣a2+c2．
（2）由于（1）中的两种方法表示的都是长方形ACDP的面积，因此它们应该相等，请利用以上的结论求a，b，c之间的等量关系（需要化简）．
（3）请直接运用（2）中的结论，求当c＝10，a＝6，S的值．

28．（12分）现给出一个结论：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．该结论是正确的，用图形语言可表示为：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若点D为AB中点，则CD＝AB．
请结合上述结论解决如下问题：
已知，点P是射线BA上一动点（不与A，B合）分别过点A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，其中Q为AB边的中点．
（1）如图2，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是　 　，QE与QF的数量关系是　 　．
（2）如图3，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明．
（3）如图4，当点P在线段BA的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并写出主要证明思路．


北师大版七年级数学下册期末考试数学模拟试题1（含答案）　一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（3分）改革开放以来，我国众多科技实体在各自行业取得了举世瞩目的成就，大疆科技、华为集团、太极股份和凤凰光学等就是其中的杰出代表．上述四个企业的标志是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：B．
2．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．（a3）4＝a7 B．a3•a4＝a7 C．a4﹣a3＝a D．a3+a4＝a7
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则以及幂的乘方运算法则、合并同类项法则分别判断得出答案．
【解答】解：A、（a3）4＝a12，故此选项错误；
B、a3•a4＝a7，正确；
C、a4﹣a3，无法合并，故此选项错误；
D、a3+a4，无法合并，故此选项错误；
故选：B．
3．（3分）如图，直线a，b被直线c所截，那么∠1的同位角是（　　）

A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
【分析】根据同位角就是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角解答即可．
【解答】解：由同位角的定义可知，
∠1的同位角是∠4，
故选：C．
4．（3分）2019新型冠状病毒在2020年1月12日被世界卫生组织命名为2019﹣nCoV，它的平均直径大约是0.00000008米，下列选项中用科学记数法表示正确的是（　　）
A．8×10﹣8米 B．8×10﹣9米 C．0.8×10﹣7米 D．80×10﹣6米
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000008＝8×10﹣8．
故选：A．
5．（3分）下列每组数分别表示三根木棒的长度．将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（　　）
A．1、2、6 B．2、3、4 C．1、2、3 D．2、2、4
【分析】根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边即可．
【解答】解：A、1+2＜6，不能组成三角形，故此选项错误；
B、2+3＞4，能组成三角形，故此选项正确；
C、1+2＝3，不能组成三角形，故此选项错误；
D、2+2＝4，不能组成三角形，故此选项错误；
故选：B．
6．（3分）下列事件中，属于必然事件的是（　　）
A．明天我市下雨
B．抛一枚硬币，正面朝下
C．购买一张福利彩票中奖了
D．掷一枚骰子，向上一面的数字一定大于零
【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．
【解答】解：∵A，B，C选项为不确定事件，即随机事件，故不符合题意．
∴一定发生的事件只有D，掷一枚骰子，向上一面的数字一定大于零，是必然事件，符合题意．
故选：D．
7．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．同位角相等
B．相等的角是对顶角
C．内错角相等，两直线平行
D．互补的两个角一定有一个锐角
【分析】根据两平行线被第三条直线相截，同位角相等；对顶角的性质：对顶角相等；同旁内角互补，两直线平行；如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角进行分析即可．
【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，原命题错误；
B、相等的角是对顶角，说法错误；
C、内错角相等，两直线平行，说法正确；
D、互补的两个角一定有一个锐角，说法错误；
故选：C．
8．（3分）如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB∥DE，BC∥EF，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（　　）

A．AB＝DE B．BC＝EF C．∠B＝∠E D．AD＝CF
【分析】分别判断选项所添加的条件，根据三角形的判定定理：SSS、SAS、AAS进行判断即可．
【解答】解：A、添加AB＝DE可用AAS进行判定，故本选项错误；
B、添加BC＝EF可用AAS进行判定，故本选项错误；
C、添加∠B＝∠E不能判定△ABC≌△DEF，故本选项正确；
D、添加AD＝CF，得出AC＝DF，然后可用ASA进行判定，故本选项错误；
故选：C．
9．（3分）（a﹣b）2加上如下哪一个后得（a+b）2（　　）
A．0 B．4ab C．3ab D．2ab
【分析】完全平方公式是（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，根据以上公式得出即可．
【解答】解：（a﹣b）2+4ab＝（a+b）2，
故选：B．
10．（3分）小江同学热爱体育锻炼，每周六上午他都先从家跑步到离家较远的田园广场，在那里与同学打一段时间的羽毛球后再慢步回家．下面能反映小华同学离家的距离y与所用时间x之间函数图象的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】本题需先根据已知条件，确定出每一步的函数图形，再把图象结合起来即可求出结果．
【解答】解：图象应分三个阶段，第一阶段：跑步到离家较远的田园广场，在这个阶段，离家的距离随时间的增大而增大；
第二阶段：打了一会儿羽毛球，这一阶段离家的距离不随时间的变化而改变；
第三阶段：慢步回家，这一阶段，离家的距离随时间的增大而减小，并且这段的速度小于第一阶段的速度．
故选：D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）
11．（4分）计算：6x5÷2x3＝　3x2　．
【分析】直接运用单项式除以单项式法则计算即可
【解答】解：原式＝（6÷2）（x5÷x3）
＝3x2
12．（4分）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，DE∥BC交AC于E，若∠ACB＝60°，则∠EDC＝　30°　．

【分析】根据角平分线的性质求得∠BCD＝∠DCE＝∠ACB＝30°；然后由平行线的性质求得∠EDC＝∠BCD．
【解答】解：如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，∠ACB＝60°，
∴∠BCD＝∠DCE＝∠ACB＝30°．
又∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠BCD＝30°．
故答案是：30°．

13．（4分）某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：
①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；
②沿河岸直走20步有一棵树C，继续前行20步到达D处；
③从D处沿与河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；
此时，测得DE的长度为15米，则河宽　15　米．

【分析】由题意利用ASA可证明△ABC≌△EDC，进而求得AB＝ED＝15，可求解．
【解答】解：由题意得∠ABC＝∠EDC＝90°，BC＝CD，A，C，E在同一条直线上，
∴∠ACB＝∠ECD，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴AB＝ED，
∵ED＝15m，
∴AB＝15m，
答：河宽为15m．
故答案为15．
14．（4分）一个三角形的三边为2、7、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x+y＝　13　．
【分析】根据全等三角形对应边相等求出x、y，然后相加计算即可得解．
【解答】解：∵两个三角形全等，
∴x＝6，y＝7，
∴x+y＝7+6＝13．
故答案为：13
三.解答题（本大题共6个小题，共54分，答案写在答题卡上）
15．（12分）化简：
（1）（2x2）3﹣x2•x4；
（2）（x+2）（x﹣3）+x．
【分析】（1）原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则，以及同底数幂的乘法法则计算即可求出值；
（2）原式利用多项式乘多项式法则计算，合并即可得到结果．
【解答】解：（1）原式＝8x6﹣x6
＝7x6；
（2）原式＝x2+2x﹣3x﹣6+x
＝x2﹣6．
16．（8分）先化简，再求值：[（x+y）2+（x+y）•（x﹣y）]÷2x，其中x＝1，y＝﹣1．
【分析】先根据平方差公式和完全平方公式进行计算，再合并同类项，算除法，最后代入求出即可．
【解答】解：原式＝[x2+2xy+y2+x2﹣y2]÷2x
＝（2x2+2xy）÷2x
＝x+y，
当x＝1，y＝﹣1时，原式＝0．
17．（8分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′；
（2）求△ABC的面积．

【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可．
（2）利用分割法求出三角形的面积即可．
【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求．
（2）△ABC的面积＝2×4﹣×1×2﹣×1×3﹣×1×4＝

18．（8分）一只不透明的箱子里装有5个红球、4个白球和3个黄球，它们除颜色外均相同，
（1）从箱子中任意摸出一个球，请填出以下概率：
P（摸到红球）＝　　，P（摸到白球）＝　　，P（摸到黄球）＝　　．
（2）请直接回答再往箱子中放入白球多少个，可以使摸到白球的概率达到？
【分析】（1）分别用各颜色球的个数除以球的总个数即可得；
（2）让白球的个数占球的总个数的一半即可得．
【解答】解：（1）P（摸到红球）＝，P（摸到白球）＝＝，P（摸到黄球）＝＝，
故答案为：，
（2）再往箱子中放入白球4个，可以使摸到白球的概率达到．
19．（8分）已知：点A、E、D、C在同一条直线上，AE＝CD，EF∥BD，EF＝BD．求证：AB∥CF．

【分析】首先利用SAS证明△ABD≌△CEF，根据全等三角形对应角相等，可得∠A＝∠C，再根据“内错角相等，两直线平行”，即可证出AB∥CF．
【解答】证明：∵AE＝CD，
∴AE+ED＝CD+ED，
即：AD＝CE，
∵EF∥BD，
∴∠BDA＝∠CEF，
在△ABD和△CEF中，
，
∴△ABD≌△CEF（SAS），
∴∠A＝∠C，
∴AB∥CF．

20．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE是过点A的一条直线，且B、C在AE的两侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E．
（1）求证：△ABD≌△CAE；
（2）若DE＝3，CE＝2，求BD．

【分析】（1）利用AAS判定△ABD≌△CAE；
（2）因为BD＝AE，AD＝CE，AE＝AD+DE＝CE+DE，所以BD＝DE+CE．
【解答】（1）证明：∵BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，∠BAC＝90°，
∴∠BDA＝∠AEC＝90°，∠DBA+∠BAD＝90°，∠BAD+∠EAC＝90°，
∴∠DBA＝∠EAC，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS）；

（2）解：由（1）知，△ABD≌△CAE，则BD＝AE，AD＝CE．
∵DE＝3，CE＝2
∴AE＝AD+DE＝CE+DE＝5．
∴BD＝AE＝5．
四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
21．（4分）已知a+b＝4，a﹣b＝3，则a2﹣b2＝　12　．
【分析】根据a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），然后代入求解．
【解答】解：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝4×3＝12．
故答案是：12．
22．（4分）如图，直线a∥b，三角板的直角顶点A落在直线a上，两边分别交直线b于B、C两点．若∠1＝42°，则∠2的度数是　48°　．

【分析】先根据两角互余的性质求出∠3的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，∠1＝42°，
∴∠3＝90°﹣∠1＝90°﹣42°＝48°．
∵直线a∥b，
∴∠2＝∠3＝48°．
故答案为：48°．

23．（4分）若x＝4m+1，y＝64m﹣3，用x的代数式表示y，则y＝　（x﹣1）3﹣3　．
【分析】首先根据x＝4m+1，可得：4m＝x﹣1，然后根据64m＝43m＝（4m）3，用x的代数式表示y即可．
【解答】解：∵x＝4m+1，
∴4m＝x﹣1，
∴64m＝43m＝（4m）3＝（x﹣1）3，
∴y＝64m﹣3＝（x﹣1）3﹣3．
故答案为：（x﹣1）3﹣3．
24．（4分）若自然数n使得三个数的竖式加法运算“n+（n+1）+（n+2）”产生进位现象，则称n为“连加进位数”．例如，10不是“连加进位数”，因为10+11+12＝33不产生进位现象；14是“连加进位数”，因为14+15+16＝45产生进位现象．如果从10，11，12，……，19这10个自然数中任取一个数，那么取到“连加进位数”的概率是　　．
【分析】分析“连加进位数特点”可以判断：13、14、15、16、17、18、19是连加进位数，利用概率公式求解即可．
【解答】解：根据连加进位数的意义可以判断：13、14、15、16、17、18、19是连加进位数，因为共有10个数，所以：取到“连加进位数”的概率是．
故答案为：．
25．（4分）已知：如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6．延长BC到点E，使CE＝2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为　1或7　秒时，△ABP和△DCE全等．

【分析】由条件可知BP＝2t，当点P在线段BC上时可知BP＝CE，当点P在线段DA上时，则有AD＝CE，分别可得到关于t的方程，可求得t的值．
【解答】解：
设点P的运动时间为t秒，则BP＝2t，
当点P在线段BC上时，
∵四边形ABCD为长方形，
∴AB＝CD，∠B＝∠DCE＝90°，
此时有△ABP≌△DCE，
∴BP＝CE，即2t＝2，解得t＝1；
当点P在线段AD上时，
∵AB＝4，AD＝6，
∴BC＝6，CD＝4，
∴AP＝BC+CD+DA＝6+4+6＝16，
∴AP＝16﹣2t，
此时有△ABP≌△CDE，
∴AP＝CE，即16﹣2t＝2，解得t＝7；
综上可知当t为1秒或7秒时，△ABP和△CDE全等．
故答案为：1或7．
五、解答题（本小题共三个小题，共30分，答案写在答题卡上）
26．（8分）有研究表明，声音在空气中的传播速度与空气的温度有关，当空气的温度变化，声音的传播速度也将随着变化．声音在空气中传播速度与空气温度关系一些数据（如下表格）
温度/℃
…
﹣20
﹣10
0
10
20
30
…
声速/m/s
…
318
324
330
336
342
348
…
（1）指出在这个变化过程中的自变量和因变量；
（2）当声音在空气中传播速度为342m/s时，此时空气的温度是多少？
（3）该数据表明：空气的温度每升高10℃，声音的传播速度将增大（或减少）多少？
（4）用y表示声音在空气中的传播速度，x表示空气温度，根据（3）中你发现的规律，直接写出y与x之间的关系式．
【分析】（1）利用自变量和因变量的定义进而得出答案；
（2）利用表格中数据得出答案即可；
（3）利用表格中数据得出；空气的温度每升高10℃，声音的传播速度将增大6℃；
（4）利用表格中数据得出y与x的函数关系式即可．
【解答】解：（1）自变量是温度，因变量是声速；

（2）由图表中数据可得出，当声音在空气中传播速度为342m/s时，此时空气的温度是20℃；

（3）利用表格中数据得出；空气的温度每升高10℃，声音的传播速度将增大6m/s；

（4）由图表中数据可得出：y＝0.6x+330．
27．（10分）如图，在长方形ACDF中，AC＝DF，点B在CD上，点E在DF上．BC＝DE＝a，AC＝BD＝b，AB＝BE＝c，且AB⊥BE．
（1）在探究长方形ACDF的面积S时，我们可以用两种不同的方法：一种是找到长和宽，然后利用长方形的面积公式，就可得到S；另一种是将长方形ACDF看成是由△ABC，△BDE，△AEF，△ABE组成的，分别求出它们的面积，再相加也可以得到S．
请根据以上材料，填空：
方法一：S＝　ab+b2　．
方法二，S＝S△ABC+S△BDE+SAEF+S△ABE＝ab+b2﹣a2+c2．
（2）由于（1）中的两种方法表示的都是长方形ACDP的面积，因此它们应该相等，请利用以上的结论求a，b，c之间的等量关系（需要化简）．
（3）请直接运用（2）中的结论，求当c＝10，a＝6，S的值．

【分析】（1）根据长方形的面积公式可求解；
（2）根据长方形的面积＝4个三角形的面积和列式化简即可求解；
（3）将a，c的值代入计算可求解b的值，进而可求解S值．
【解答】解：（1）S＝b（a+b）＝ab+b2．
故答案为S＝ab+b2；
（2）由题意得：，
∴2ab+2b2＝2ab+b2﹣a2+c2，
∴a2+b2＝c2；
（3）∵a2+b2＝c2，且c＝10，a＝6，
∴62+b2＝102，
∴b＝8，
∴S＝ab+b2＝6×8+64＝112．
答：S的值为112．
28．（12分）现给出一个结论：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．该结论是正确的，用图形语言可表示为：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若点D为AB中点，则CD＝AB．
请结合上述结论解决如下问题：
已知，点P是射线BA上一动点（不与A，B合）分别过点A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，其中Q为AB边的中点．
（1）如图2，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是　AE∥BF　，QE与QF的数量关系是　QE＝QF　．
（2）如图3，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明．
（3）如图4，当点P在线段BA的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并写出主要证明思路．

【分析】（1）根据AAS推出△AEQ≌△BFQ即可得出答案；
（2）延长EQ交BF于D，求出△AEQ≌△BDQ，根据全等三角形的性质得出EQ＝QD，根据直角三角形斜边上中点性质得出即可；
（3）延长EQ交FB于D，求出△AEQ≌△BDQ，根据全等三角形的性质得出EQ＝QD，根据直角三角形斜边上中点性质得出即可
【解答】解：（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是AE∥BF，QE与QF的数量关系是QE＝QF，

理由：∵Q为AB的中点，
∴AQ＝BQ，
∵AE⊥CQ，BF⊥CQ，
∴AE∥BF，∠AEQ＝∠BFQ＝90°，
在△AEQ和△BFQ中，
，
∴△AEQ≌△BFQ（AAS），
∴QE＝QF，
故答案为：AE∥BF，QE＝QF．

（2）结论：QE＝QF，
理由：如图2，延长EQ交BF于D，

∵由（1）知：AE∥BF，
∴∠AEQ＝∠BDQ，
在△AEQ和△BDQ中，
，
∴△AEQ≌△BDQ（AAS），
∴EQ＝DQ，
∵∠BFE＝90°，
∴QE＝QF．
（3）当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论成立，
理由：延长EQ交FB于D，如图3，

∵由（1）知：AE∥BF，
∴∠AEQ＝∠BDQ，
在△AEQ和△BDQ中，
，
∴△AEQ≌△BDQ（AAS），
∴EQ＝DQ，
∵∠BFE＝90°，
∴QE＝QF．