专题06 函数及其性质的综合（客观题）（新高考地区专用）（解析版）

这是一份专题06 函数及其性质的综合（客观题）（新高考地区专用）（解析版），共52页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题等内容，欢迎下载使用。
专题06 函数及其性质的综合（客观题）
一、单选题
1．已知函数是定义在上的奇函数，，且时，，则
A．4 B．
C．2 D．-2
【试题来源】安徽省六安市第一中学2020-2021学年高三上学期第二次月考（文）
【答案】D
【解析】因为，所以函数是周期为4的周期函数，
则（1），故选D．
2．下列函数中，既是奇函数又在定义域内递增的是
A． B．
C． D．
【试题来源】河北省张家口市2021届高三上学期第一次质量检测
【答案】A
【解析】对于A选项，为奇函数，且在定义域内递增；
对于B选项，为偶函数，不符合题意；
对于C选项，是奇函数，在和上都递增，不符合题意；
对于D选项，为偶函数，不合符题意．故选A．
3．已知函数，若函数为偶函数，且，则b的值为
A．-2 B．-1
C．1 D．2
【试题来源】河北省衡水中学2021届高三上学期二调
【答案】C
【分析】由为偶函数，所以的对称轴为，再结合，即可求得的值．
【解析】因为为偶函数，所以的对称轴为．
因为，所以的顶点坐标为．
由，得，解得，故选C．
4．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是
A． B．
C． D．
【试题来源】北京市丰台区2021届高三上学期期中练习
【答案】B
【解析】因为为奇函数，函数和函数不具有奇偶性，故排除A，C，D，又为偶函数且在上递增，故B符合条件．故选B．
5．已知函数为自然对数的底数，若，则
A． B．
C． D．
【试题来源】江苏省泰州市姜堰中学、南通市如东中学、宿迁市沭阳如东中学2020-2021学年高三上学期联考
【答案】D
【分析】先根据指数函数，对数函数的性质得，再根据函数在R上单调递减求解．
【解析】因为．所以，
又函数在R上单调递减，所以，故选D．
6．已知定义在上的函数是奇函数，且满足，，则
A． B．2
C． D．3
【试题来源】江西省赣县第三中学2021届高三上学期期中适应性考试（文）
【答案】B
【解析】由题意，函数为上的奇函数，可得，
又由，可得，
进而得到，所以函数是以3为周期的周期函数，
则，又由，可得，
所以．故选B．
7．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是
A． B．
C． D．
【试题来源】天津市第四十一中学2020-2021学年高三上学期10月质检
【答案】B
【解析】对于A，定义域为不关于原点对称，不为偶函数，故A错误；
对于B，，为偶函数，且时，单调递增，故B正确；
对于C，为偶函数，但在上单调递减，故C错误；
对于D，，为偶函数，当时，单调递减，故D错误．故选B．
【名师点睛】正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：（1）定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2或是定义域上的恒等式．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．
8．下列函数中，是偶函数且在区间上为增函数的是
A． B．
C． D．
【试题来源】北京市海淀区2021届高三上学期期中考
【答案】B
【分析】根据奇偶性和单调性的定义逐个判断即可．
【解析】对于A，的定义域为，故不是偶函数，故A错误；
对于B，的定义域为，关于原点对称，且，是偶函数，且根据幂函数的性质可得在上为增函数，故B正确；
对于C，的定义域为，关于原点对称，
且，故是奇函数，故C错误；
对于D，在有增有减，故D错误．故选B．
9．已知是上的奇函数，当时，，则的解集是
A． B．
C． D．
【试题来源】北京市第四中学2020-2021学年高三上学期期中考试
【答案】C
【解析】是上的奇函数，当时，，
令，则有，则当时，，
所以，所以，当或，
解得．故选C．
10．已知是定义在上的奇函数，当时，，若，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【试题来源】河北省张家口市2021届高三上学期第一次质量检测
【答案】C
【分析】先判断函数在上单调递增，再由函数奇偶性，得到在上单调递增；将不等式化为求解，即可得出结果．
【解析】因为当时，，根据指数函数的性质，可得是增函数，
所以在上单调递增，又是定义在上的奇函数，，
所以在上单调递增，因此在上单调递增；
所以由，得解得．故选C．
11．下列函数中，是偶函数，且在区间上单调递增的为
A． B．
C． D．
【试题来源】北京市第七中学2021届高三上学期期中考试
【答案】B
【解析】y为奇函数，不符合题意，
y＝为偶函数，在区间单调递增，符合题意，
定义域为（0，+∞），是非奇非偶函数，不符合题意，
是偶函数，且x＞0时，y＝1-x单调递减，不符合题意．故选B．
12．函数的图象与曲线关于轴对称，则
A． B．
C． D．
【试题来源】北京市铁路第二中学2021届高三上学期期中考试
【答案】D
【解析】任取函数上的一点，由函数的图象与曲线关于轴对称，
则点关于轴对称的点坐标为，又点在曲线上，
可得，则．故选D．
13．已知定义在上的函数，都有，且函数是奇函数，若，则的值为
A． B．1
C． D．
【试题来源】湖北省鄂州高中2020-2021学年高三上学期10月质量检测
【答案】D
【解析】因为函数是奇函数，所以，
又，所以，所以，
所以函数的周期为2，所以．
因为，
所以，所以．故选D．
14．设函数的定义域为D，如果存在常数对任意都存在唯一的使得成立，那么称函数在D上具有性质P，现有函数：
①；②；③；④．
其中，在其定义域上具有性质P的函数的个数为
A．0 B．1
C．2 D．3
【试题来源】北京市第三十九中学2021届高三上学期期中考试
【答案】C
【解析】①的定义域为，函数的值域为，对任意，都存在唯一的，对于任意，，恒成立，其定义域上具有性质的函数．
②的定义域，值域，对任意，都存在唯一的，使得为常数）不恒成立，例如，，不存在唯一的，故②不是定义域上具有性质的函数．
③的定义域为，函数的值域是，而且是单调增函数，所以对任意，都存在唯一的，
对于任意，，恒成立，其定义域上具有性质的函数．
④的定义域为，值域是，不是单调函数，是周期函数，对任意，都存在的，使得为常数），恒成立，但是不唯一，所以在其定义域上不具有性质的函数故选．
15．对于定义在R上的奇函数，满足，则
A．0 B．－1
C．3 D．2
【试题来源】安徽省马鞍山市和县第二中学2020-2021学年高三上学期第一次月考（文）
【答案】A
【解析】因为是定义在R上奇函数，所以有，
因为，所以，
，所以，
所以．故选A．
16．已知定义在R上的奇函数f(x)有，当≤x≤0时，f(x)＝2x＋a，则f(16)的值为
A． B．－
C． D．－
【试题来源】河南省洛阳市第一高级中学2020-2021学年高三上学期10月月考（文）
【答案】A
【解析】定义在R上的奇函数f(x)有，得，
是以5为周期的周期函数，，根据题意得，
，得，．故选A．
17．若偶函数满足，，则
A． B．1010
C．1010 D．2020
【试题来源】江苏省徐州市2020-2021学年高三上学期期中
【答案】A
【解析】根据题意得，所以，即函数是以为周期的周期函数，由于函数是偶函数，，所以，所以，
所以．故选A．
18．已知，分别是定义在上的奇函数与偶函数，若，则
A．时，取最大值 B．时，取最大值
C．在上单调递减 D．在上单调递减
【试题来源】“皖赣联考”2021届高三第一学期第三次考试 （文）
【答案】C
【分析】先利用函数的奇偶性求出和，再对选项一一判断即可．
【解析】已知，分别是定义在上的奇函数与偶函数，
由①，得，
即②．
由①②解得，．
对于A：当时，取最小值，故A错；
对于B：当时，，不是最大值，故B错；
对于C：在上单调递减，故C正确；
对于D：在上单调递增，故D错误．故选C
19．已知函数为奇函数，且，则
A． B．
C． D．
【试题来源】【市级联考】山西省2019届高三3月高考考前适应性测试（文）
【答案】C
【解析】因为，且是奇函数，所以，所以，所以，故选C．
20．函数是上的奇函数，当时，，则当时，
A． B．
C． D．
【试题来源】河北省尚义县第一中学2021届高三上学期期中
【答案】D
【分析】首先设，，利用函数是奇函数，求时的．
【解析】设，，，是奇函数，，
即．故选D．
21．“天干地支纪年法”源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干为甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，十二地支为子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥．“天干地支纪年法”是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推．2020年为“天干地支纪年法”的庚子年，在推算公元年（）所在的天干地支纪年的年份时，定义为所得的非负余数，则以下判断错误的为
A．在上不是单调函数 B．
C． D．
【试题来源】2021届高三高考必杀技之新定义题专练
【答案】D
【解析】根据的定义易知函数值是由周期性重复出现的，A正确；为的非负余数，即为的非负余数，为5，故B正确；不妨设，则的非负余数的非负余数，故C正确；当时，的非负余数的非负余数，故D错误．故选D．
22．已知定义在上的奇函数在单调递增．若，则不等式的解集为
A． B．
C． D．
【试题来源】北京市丰台区2021届高三上学期期中练习
【答案】D
【分析】根据题意可得，解不等式即可求解．
【解析】在上的奇函数且单调递增．可得在上为增函数，
因为，可得，由，即，
所以，解得，所以不等式的解集为．故选D．
23．已知函数对于任意都满足，且当，（）时，不等式恒成立，若，，，则下列结论正确的是
A． B．
C． D．
【试题来源】山西省太原市2021届高三上学期期中质量监测
【答案】C
【解析】因为当，（）时，不等式恒成立，
所以函数是增函数，又函数对于满足，
所以函数的图象关于对称，
所以，
因为，
所以，故选C．
24．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，，则实数
A． B．
C． D．
【试题来源】陕西省宝鸡市扶风县法门高中2020-2021学年高三上学期第三次月考（文）
【答案】D
【解析】因为函数是定义在上的奇函数，，
所以，由于当时，，
所以，解得．故选D．
25．函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是．
A． B．
C． D．
【试题来源】陕西省延安市黄陵中学高新部2020-2021学年高三上学期期中（理）
【答案】D
【解析】由函数为奇函数，得，
不等式即为，
又在单调递减，所以得，即，故选D．
26．设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则不等式的解集为
A． B．
C． D．
【试题来源】天津市八校2020-2021学年高三上学期期中联考
【答案】D
【解析】因为是定义在上的奇函数，所以，解得，所以，当时，．当时，函数和在上都是增函数，所以在上单调递增；由奇函数的性质可知，在上单调递增，因为，故，即有，解得．故选D．
27．已知定义在上的奇函数满足 且在区间上是增函数，则
A． B．
C． D．
【试题来源】江苏省南通市西藏民族中学2020-2021学年高三上学期期中
【答案】D
【解析】因为定义在上的函数满足，即
所以，则，因此函数是以为周期的函数；
又是定义在上的奇函数，且在区间上是增函数，所以在上也是增函数，因此在上是增函数；
所以，
，故A错；
，故B错；
，故C错；
，故D正确．故选D．
【名师点睛】求解本题的关键在于根据得到，确定函数的周期；再利用函数的单调性及奇偶性，即可求解．
28．已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，单调递增．若实数满足，则的取值范围是
A． B．
C． D．
【试题来源】江苏省2021届高三新高考高考模拟样卷
【答案】B
【解析】由题意可知为偶函数，且在上单调递增，所以在上单调递减，所以的图象越靠近轴对应的函数值越大，
因为，所以，所以，
所以，所以，所以，故选B．
【名师点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解抽象不等式的解集，属于中档题．利用函数性质求解抽象不等式的方法：
（1）根据奇偶性分析出函数在对称区间上的单调性；
（2）将关于函数值的不等式中的自变量通过奇偶性转变到同一单调区间内；
（3）通过单调性得到自变量的大小关系，由此求解出不等式的解集．
29．已知函数的定义域为是偶函数，，在上单调递减，则不等式的解集为
A． B．
C． D．
【试题来源】广东省东莞市东华高级中学2021届高三上学期第二次联考
【答案】D
【解析】因为是偶函数，所以函数的图象关于直线对称，则．因为在上单调递减，所以在上单调递增，
故等价于，解得．故选D
30．已知函数是定义在上的偶函数，且函数在上是减函数，如果，则不等式的解集为
A． B．
C． D．
【试题来源】福建省福州市八县（市）一中2021届高三上学期期中联考
【答案】C
【解析】函数是定义在上的偶函数，且函数在，上是减函数，
所以在上是增函数，
由（3），则不等式（3）（3），解得，故不等式的解集为，．故选．
【名师点睛】将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解．
31．已知是定义域为的奇函数，满足．若，则
A．50 B．0
C．2 D．-2018
【试题来源】宁夏青铜峡市高级中学2021届高三上学期期中考试（理）
【答案】B
【解析】由函数是定义域为的奇函数，所以，且，
又由，即，
进而可得，所以函数是以4为周期的周期函数，
又由，可得，，，
则，
所以．故选B．
32．已知定义在R上的奇函数，对任意的实数x，恒有，且当时，，则（ ）
A．6 B．3
C．0 D．
【试题来源】安徽省安庆市怀宁中学2020-2021学年高三上学期第一次质量检测（理）
【答案】B
【解析】因为函数对任意的实数x，恒有，
所以，所以函数是以6为正切的周期函数，
又定义在R上的奇函数，所以，
又当时，，
所以，
，
所以
，故选B．
33．若函数是定义在上的奇函数，对于任意两个正数、，都有．记，，，则、、的大小关系为
A． B．
C． D．
【试题来源】云南省德宏州2020届高三上学期期末教学质量检测（文）
【答案】A
【解析】构造函数，函数的定义域为，
因为函数为上的奇函数，则，
，函数为偶函数，
对于任意两个正数、，都有，则，
所以，，则函数在上单调递减，
，，
，
，则，即．故选A．
【名师点睛】利用函数的单调性与奇偶性比较函数值的大小关系，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，先比较出自变量的大小关系，再利用其单调性得出函数值的大小关系，若为偶函数，则．
34．已知定义域为R的函数的图象连续不断，且，，当时，，若，则实数m的取值范围为
A． B．
C． D．
【试题来源】广东省广州市华南师范大学附属中学2020届高三上学期9月月考（理）
【答案】A
【解析】依题意，，故，
令，可知，函数为奇函数．
因为当时，，即当时，，
故函数在上单调递减，由奇偶性可知，函数在上单调递减，
因为，
故，即，
故，故，故实数m的取值范围为．故选A．
35．已知对任意的，都有恒成立，则实数的值为
A． B．1
C．0 D．
【试题来源】河南省焦作市2020—2021学年高三年级第一次模拟考试（理）
【答案】B
【分析】通过构造函数，把问题转化为，进而转化为对任意的恒成立，然后，对进行分类讨论，进而可得解．
【解析】因为，所以，
所以．
设，问题转化为对任意的，恒成立，则有时为对任意的，仍然成立，则问题转化为对任意的恒成立，当时，显然成立；当时，，所以；当时，，．综上．故选B．
36．已知函数，若，则的取值范围为
A． B．
C． D．
【试题来源】甘肃省张掖市第二中学2020-2021学年高三第一学期10月月考（理）
【答案】B
【解析】因为函数在上递减，在上递增，又，
所以，且，令，则，
所以，，所以，
设函数，，因为在上单调递增，
所以，即，所以，故选B．
【名师点睛】根据分段函数的单调性以及得到，且是解题关键．属于中档题．
37．已知函数，则下列说法错误的是
A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减
C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称
【试题来源】甘肃省武威第一中学2020-2021学年高三上学期第二阶段考试（理）
【答案】D
【分析】先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性判断单调区间，根据判断函数对称轴．
【解析】由可得，解得，
，
令，开口向下，对称轴为，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
根据复合函数的单调性可得在(一2，1)上单调递增，在(1，4)上单调递减，
因为，
所以函数的图象关于x = 1对称，因此A，B，C正确，D错误，故选D
38．已知定义在上的函数满足，且当，时，，则
A． B．0
C． D．1
【试题来源】天津市滨海新区大港一中2021届高三（上）第一次月考
【答案】A
【解析】根据题意，定义在上的函数满足，则是周期为3的周期函数，则，
又由当，时，，则（2），故，故选A．
39．已知函数对任意都有，当时，，若，则的取值范围是
A． B．
C． D．
【试题来源】甘肃省永昌县第一中学2020-2021学年高三上学期第一次月考数学理试题
【答案】C
【分析】先分析得到关于点对称，求出，再证明在上单调递增，得，解不等式得解．
【解析】由得，
令，则，所以关于点对称，
所以关于点对称，由题意知，解得，
所以当时，，
此时单调递增，单调递增，所以在为增函数，
因为关于点对称，所以在上单调递增，
因为，所以，
所以，解得，故选C．
【名师点睛】解答本题的关键有两个地方：其一是分析得到函数关于点对称，其二是分析得到函数在上单调递增．研究函数的问题，要从分析函数的奇偶性、单调性、周期性和对称性等入手．
40．设是定义域为的奇函数，满足，已知当时，，则
A．2 B．
C．1 D．
【试题来源】辽宁省丹东市2021届高三（10月份）段考
【答案】B
【解析】根据题意，是定义域为的奇函数，则，且；又由即有，则，
进而得到，为周期为4的函数，
则，
，
当时，，则（1），
则，故，故选．
41．定义在上的偶函数在上单调递减，且满足，，，则不等式组的解集为
A． B．
C． D．
【试题来源】山东省临沂市2020-2021学年高三上学期期中考试
【答案】D
【解析】因为，所以的周期为2，
因为定义在上的偶函数在上单调递减，
所以由，，可得，
且，由，得，
由，得，
所以，解得，
所以原不等式组的解集为，故选D．
42．已知定义在上的偶函数在上单调递增，则
A． B．
C． D．
【试题来源】天一大联考（河北广东全国新高考）2020-2021 学年高中毕业班阶段性测试（二）
【答案】D
【解析】偶函数在上单调递增，函数在上单调递减，
，
又，，
，，故选D．
43．已知定义在上的函数满足 ，若函数与函数的图象的交点为，则
A． B．
C． D．
【试题来源】天一大联考（河北广东全国新高考）2020-2021 学年高中毕业班阶段性测试（二）
【答案】C
【解析】，关于点对称，
，可知函数关于点对称，
与的交点也关于点对称，

．故选C．
【名师点睛】本题的重点是判断两个函数的对称性，所以理解熟记一些抽象函数的对称性的式子，①，有，，都说明函数关于直线对称，②，有，，说明函关于点对称．
44．已知，则不等式的解集为
A． B．
C． D．或
【试题来源】安徽省江淮十校2020-2021学年高三上学期第二次质量检测（文）
【答案】C
【解析】由于，则函数为上的偶函数，
当时，为增函数，
由，可得，可得，
所以，，即，解得，
因此，不等式的解集为．故选C．
【名师点睛】求解函数不等式的方法如下：
（1）解函数不等式的依据是函数单调性的定义：
具体步骤：①将函数不等式转化为的形式；
②根据函数的单调性去掉对应法则“”转化为形如“”或“”的常规不等式求解；
（2）利用函数的图象研究不等式，当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将问题转化为两函数的图象的上、下关系问题，从而利用数形结合思想求解．
45．已知定义在上的函数， ， ， ，则，，的大小关系是
A． B．
C． D．
【试题来源】山东省德州市2020-2021学年高三上学期期中考试
【答案】A
【分析】可看出在上单调递增，且得出，并且可得出，根据增函数的定义即可得出，，的大小关系．
【解析】时，是增函数，且，，
，，，
，．故选．
【名师点睛】解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用．
46．已知函数，则的大小关系
A． B．
C． D．
【试题来源】黑龙江省哈尔滨市第一中学校2020-2021学年高三上学期期中
【答案】A
【解析】令，所以是偶函数；
当时，，在上是增函数，
将图象向右平移一个单位得到图象，
所以关于直线对称，且在单调递增．
因为，，，
所以，所以，
因为关于直线对称，所以，
所以．故选A．
47．定义在上的奇函数满足，并且当时，，则的值为
A． B．
C． D．
【试题来源】广东省汕头市金山中学2021届高三上学期期中
【答案】C
【分析】由，得出函数是以4为周期的周期函数，再结合对数的运算法则和函数的奇偶性，代入函数，即可求解．
【解析】由题意，函数满足，化简可得，
所以函数是以4为周期的周期函数，由对数的运算性质可得，
可得，且，
因为为R上的奇函数，且当时，，
可得，
即．故选C．
48．下列不可能是函数的图象的是
A． B．
C． D．
【试题来源】浙江省杭州高级中学2020-2021学年高三上学期11月期中
【答案】C
【分析】根据题意，分为正整数和为负整数三种情况讨论，分析函数的定义域、奇偶性以及单调性，结合选项，即可求解．
【解析】根据题意，函数，
当时，其中定义域为关于原点对称，
且，所以函数为偶函数，不经过原点且在第一象限为单调增函数，故选项A符合题意；
当为正整数时，，其定义域为，图象经过原点，没有选项符合；
当为负整数时，，其定义域为，
可得，
当时，，
可得先负后正，故函数不经过原点且在第一象限先减后增，
其中为负偶数时，函数为偶函数，此时D符合题意；
为负奇数时，函数为奇函数，此时B符合题意；故选C
【名师点睛】对于知式选图问题的解答方法：
（1）从函数的定义域，判定函数图象的左右位置，从函数的值域判断图象的上下位置；
（2）从函数的单调性（有时借助导数），判断函数的图象的变换趋势；
（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
（4）从函数的周期性，判断函数的循环往复；
（5）从函数的特殊点（与坐标轴的交点，经过的定点，极值点等），排除不和要求的图象．
49．已知（为常数），那么函数的图象不可能是
A． B．
C． D．
【试题来源】福建省莆田第一中学2021届高三上学期期中考试
【答案】B
【解析】当时，，图象如A，所以A可能；
因为图象B函数过原点，所以，，是减函数，所以B不可能；当时，，图象如C，所以C可能；
当时，，是偶函数图象如D，所以D可能．故选B
【名师点睛】本题考查指数函数的性质以及复合函数单调性的判断，属于基础题．
方法【名师点睛】复合函数单调性判断方法---同增异减：内函数与外函数单调性一致复合函数在相应区间上增；内函数与外函数单调性相异复合函数在相应区间上减．
50．已知奇函数的图象关于直线对称，当时，，则
A．－2 B．－1
C．1 D．2
【试题来源】江苏省南京市秦淮区三校（第三高级中学、第五高级中学、第二十七中学）2020-2021学年高三上学期期中联考
【答案】D
【分析】由题意为奇函数，则，又的图象关于直线对称，则，从而得到函数的周期为12，再进行求值计算．
【解析】由题意为奇函数，则，又的图象关于直线对称，则，则有，即，
所以，则周期为12，
所以．故选D．
二、多选题
1．已知函数在上为增函数，且函数是上的偶函数，若，则实数的取值范围可以是
A． B．
C． D．
【试题来源】辽宁省2021届高三新高考11月联合调研
【答案】BD
【分析】由题判断出关于对称，且在单调递减，再讨论和时根据单调性求解．
【解析】函数在上为增函数，且函数是上的偶函数，
关于对称，且在单调递减，
当时，由可得，；
当时，则等价于，可解得，，
综上，或．故选BD．
2．德国数学家高斯在证明“二次互反律”的过程中，首次定义了取整函数，表示“不超过的最大整数”，后来我们又把函数称为“高斯函数”，关于下列说法正确的是
A．对任意、，都有
B．函数的值域为或
C．函数在区间上单调递增
D．
【试题来源】天一大联考（河北广东全国新高考）2020-2021 学年高中毕业班阶段性测试（二）
【答案】ACD
【解析】A项：对于任意、，都有，，
故，即，A正确；
B项：当时，，当且仅当时取等号，
此时函数的最大值为，B错误；
C项：令，因为，
所以函数是周期为的函数，因为当时，函数，是增函数，所以函数在区间上单调递增，C正确，
D项：当且时，；当且时，；
当且时，；当且时，，
故，D正确，故选ACD．
3．已知函数f(x)的定义域为R， f(x+1)为奇函数， 且f(2+x)=f(2-x)，则
A．f（1）=0 B．f(x)= f(x+4)
C．f(x+1)=-f(-x-1) D．y= f(x)在区间[0，50]上至少有25个零点
【试题来源】江苏省扬州市2020-2021学年高三上学期期中
【答案】ABD
【解析】函数的定义域为，为奇函数，，故正确；
为奇函数，，故错误；
，，即，
为奇函数，关于对称，，关于对称，为周期为4的偶函数，，，故正确；
，，且函数为周期为4的偶函数，关于对称，，
在区间，上至少有25个零点，故正确．故选．
【名师点睛】函数周期性的相关结论：（1） f(x＋a)＝f(x)，T＝a．（2） f(x＋a)＝－f(x)，T＝2a．（3） f(x＋a)＝，T＝2a．（4） f(x＋a)＝－，T＝2a．（5） f(a＋x)＝f(b＋x)，T＝．（6） 两个对称轴是半个周期T：f(x)关于直线x＝a，x＝b对称，那么T＝2．(7) 两个对称中心也是半个周期T：f(x)关于点（a，0）（b，0）对称，那么T＝2．
4．设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”，已知区间为函数的“稳定区间”，则实数a的可能取值是
A． B．
C．0 D．
【试题来源】河北省衡水中学2021届高三上学期二调
【答案】AB
【解析】由题意得与在区间上同增或同减．
若同增，则在区间上恒成立，即所以．
若同减，则在区间上恒成立，即无解，
所以A，B选项符合题意．故选AB
5．定义在上的偶函数满足，且在上是减函数，下面关于的判断正确的是
A．是函数的最小值 B．的图象关于点对称
C．在上是增函数 D．的图象关于直线对称．
【试题来源】山东省济宁市2020-2021学年高三第一学期学分认定
【答案】ABD
【解析】A，，，
是周期为的周期函数，又在上是减函数，在上是偶函数，所以在是增函数，所以是函数的最小值，正确；
B，由，所以关于点中心对称，正确；
C，又在上是减函数，在上是偶函数，所以在是增函数，是周期为的周期函数，所以在上是减函数，错误；
D，，，的图象关于直线对称，正确．故选ABD．
6．已知函数，给出以下四个结论正确的是
A．是偶函数
B．的最小值为2
C．当取到最小值时对应的
D．在单调递增，在单调递减
【试题来源】福建省厦门市湖滨中学2021届高三10月月考
【答案】ABC
【解析】对于A选项，函数的定义域为，
，函数为偶函数，A选项正确；
对于D选项，任取、，且，即，则
，
，则，，，，，所以，函数在区间上为增函数，由于该函数为偶函数，则函数在上为减函数，D选项错误；
对于B、C选项，函数在区间上为增函数，在上为减函数，
当时，函数取得最小值，即，B、C选项均正确．故选ABC．
7．历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷（Dirichlet），当时数学家们处理的大部分数学对象都没有完全的严格的定义，数学家们习惯借助于直觉和想象来描述数学对象，狄利克雷在1829年给出了著名函数：（其中为有理数集，为无理数集），狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，数学的一些“人造”特征开始展现出来，这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念、性质、结构”．一般地，广义的狄利克雷函数可定义为（其中，且），以下对说法正确的是
A．当时，的值域为；当时，的值域为
B．任意非零有理数均是的周期，但任何无理数均不是的周期
C．为偶函数
D．在实数集的任何区间上都不具有单调性
【试题来源】江苏省连云港市2020-2021学年高三上学期期中调研适应性考试
【答案】BCD
【分析】根据值域的定义可判断A；设任意，，利用周期的定义可判断B；利用偶函数的定义可判断C；实数的稠密性，函数值在和之间无间隙转换可判断D．
【解析】的函数值只有两个，的值域为，故A错误；
设任意，，则，
，故B选项正确；
若，则，；若，则，；
所以为偶函数，故C正确；
由于实数具有稠密性，任何两个有理数之间都有无理数，任何两个无理数之间也都有理数，其函数值在之间无间隙转换，所以在实数集的任何区间上都不具有单调性，故D正确． 故选BCD．
8．已知函数，下列说法正确的是
A．函数的图象的对称中心是（0，1） B．函数在R上是增函数
C．函数是奇函数 D．方程的解为
【试题来源】山东省滕州市第一中学2019-2020学年高二5月月考
【答案】ABD
【解析】
选项A． 设，，则，
则函数为奇函数，所以的图象关于原点成中心对称．
所以的图象关于成中心对称，故A正确．
选项B． 由，则，
所以函数在上是增函数，故B正确．
选项C． ，则，函数不是奇函数，故C不正确．
选项D． 由选项A有的图象关于成中心对称，即，
由方程，则，即，故D正确．故选ABD．
9．已知（为常数），那么函数的图象不可能是
A． B．
C． D．
【试题来源】重庆市巴蜀中学2021届高三上学期高考适应性月考（三）
【答案】AD
【分析】根据选项，四个图象可知备选函数都具有奇偶性．当时，为偶函数，当时，为奇函数，再根据单调性进行分析得出答案．
【解析】由选项的四个图象可知，备选函数都具有奇偶性．
当时，为偶函数，
当时，且单调递增，而在上单调递增，
故函数在上单调递增，故选项C正确，D错误；
当时，为奇函数，
当时，且单调递增，而在上单调递减，
故函数在上单调递减，故选项B正确，A错误，故选AD．
10．已知定义在上的偶函数满足，且在上单调递减，则下列结论正确的是
A． B．在上单调递增
C． D．可以是
【试题来源】重庆市第八中学2021届高三上学期高考适应性月考（二）
【答案】AC
【解析】在中，令，得，
因为是偶函数，所以，故，故A正确；
因为，故 对任意的x恒成立，故的周期，因为在上是单调减函数，故在上是减函数，故B错误；
又，故C正确；
若，则，这与在上单调递减相矛盾，故D错误．故选AC．
11．下列指定的函数中，一定有的有
A．指定的函数是奇函数；
B．指定的函数满足：，都有；
C．指定的函数满足：，都有且当时，；
D．设，指定的函数满足：都有．
【试题来源】广东省汕头市金山中学四校2021届高三上学期10月联考
【答案】BD
【解析】对于A，函数在处可能没有意义，所以A错；
对于B，令中得，所以B对；
对于C，令，因为有，所以，，所以C错；
对于D，由，所以D对．故选BD．
12．若函数对任意都有成立，，则下列的点一定在函数图象上的是
A． B．
C． D．
【试题来源】湖南省三湘名校教育联盟2020-2021学年高三上学期10月联考
【答案】ABC
【解析】因为任意满足，所以是奇函数，
又，所以令，则，得，所以点，
且点与也一定在的图象上，故选ABC．
13．定义：若函数的图象经过变换后所得图象对应的函数的值域与的值域相同，则称变换是的“同值变换”，下面给出四个函数及其对应的变换，其中属于的“同值变换”的是
A．，：将函数的图象关于轴对称
B．，：将函数的图象关于轴对称
C．，：将函数的图象关于直线对称
D．，：将函数的图象关于点对称
【试题来源】湖南省郴州市2020-2021学年高三上学期第一次教学质量监测
【答案】AD
【解析】关于轴对称后的函数，值域与原函数值域相同，A正确；关于轴对称后的函数，值域与原函数值域不同，B不正确；关于直线对称后函数，值域与原函数不同，C不正确；
关于点对称后的函数，值域与原函数相同，D正确．故选AD．
14．若函数，则下述正确的有
A．在上单调递增 B．的值域为
C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称
【试题来源】广东省中山纪念中学2021届高三上学期10月月考
【答案】AC
【解析】因为是定义在上的增函数，是定义在上的减函数，
所以在上单调递增，即A正确；又，故B错；
，
故所以的图象关于点对称，即C正确，D错误．故选AC．
15．已知函数是偶函数，是奇函数，并且当，，则下列选项正确的是．
A．在上为减函数 B．在上
C．在上为增函数 D．在上
【试题来源】江苏省盐城市响水中学2020-2021学年高三上学期第三次学情分析考试
【答案】CD
【分析】利用是偶函数，是奇函数可知为周期函数，且周期为，然后根据函数在上的性质确定在区间上的性质．
【解析】因为是偶函数，是奇函数，所以函数的图象关于轴对称，且关于点中心对称，则的周期为，当时，，则函数在上递增，且在上恒成立，故函数在上也递增，且，所以C、D正确．故选CD．
【名师点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性的结合，常用结论如下：当函数的图象关于对称，且关于点中心对称时，则函数为周期函数，且周期．
16．已知是定义在R上的奇函数，且满足，则下列说法正确的是
A．
B．在区间上单调递增
C．
D．是满足条件的一个函数
【试题来源】山东省烟台市2021年高三上学期期中
【答案】ACD
【分析】根据是定义在R上的奇函数和，推出，即函数的周期为8，然后再逐项验证．
【解析】因为是定义在R上的奇函数，所以 ，又，
所以，即，所以，故A正确；
无法得出在区间上单调递增，故B错误；
因为函数的周期为8，所以
，故C正确；
因为，
则，，故D正确；故选ACD．
17．己知函数，现给出如下结论，其中正确结论个数为
A．是奇函数 B．0是的极值点
C．在上有且仅有一个零点 D．的值域为
【试题来源】广东省东莞市翰林实验学校2021届高三上学期期中
【答案】ACD
【解析】对选项A，函数的定义域为，
，
所以是奇函数，故A正确；对选项B，，在区间上，
当时，；当时，；
所以在上单调递增，故B错误；
对选项C，因为在上单调递增，且，
所以在上有且仅有一个零点，所以C正确；
对选项D，因为函数在上连续，，
所以当时，且，，
当时，且，，又，
所以函数的值域为，故D正确．故选ACD．
18．已知为奇函数，且，当时，，则
A．的图象关于对称 B．的图象关于对称
C． D．
【试题来源】河北省沧州市七校联盟2021届高三上学期期中
【答案】BD
【解析】为奇函数，，，
同时说明的图象关于对称．，，
即，可得，函数的周期为4，
故．故选BD．
19．下列关于函数的描述正确的是
A．函数是奇函数的一个必要不充分条件是
B．定义：如果一个函数既是奇函数又是偶函数，这样的函数称为“两面派”函数，那么，“两面派”函数一定有无数个
C．若一个奇函数在定义域内每个点处均有导数，则其导函数必为偶函数
D．一个函数的导函数是奇函数，则该函数必为偶函数
【试题来源】江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期期中
【答案】BC
【解析】对于A，函数y=f（(x）是奇函数，若其定义域内不包含0，f (0)=0一定不成立，反之若f(0）=0，即函数图象过原点，函数f(x）不一定为奇函数，
故f (0）=0是函数y=f(x)是奇函数的既不充分也不必要条件，A错误；
对于B，“两面派"函数既是奇函数又是偶函数，可以确定，但其定义域可以是关于原点对称的任意集合，有无数个，B正确；
对于C，若f (x)为奇函数且在其定义域内可导，则，两边取导数可得，化简可得，导函数为偶函数，C正确；
对于D，不妨设，则，显然导函数为奇函数，但是原函数不是偶函数，D错误．故选BC．
20．已知函数，，若对任意，总存在，使，则实数a的值可以是
A． B．
C．1 D．2
【试题来源】江苏省2020-2021学年高三上学期新高考质量检测模拟
【答案】ACD
【分析】先求函数的值域，再让其是函数的值域的子集可得答案．
【解析】，对任意，，
则在上单调递增，所以在上的值域是．
由题意可得是的值域的子集，当时，的值域是，符合题意；
当时，的值域是，符合题意；
当时，的值域是，要符合题意．
则，或，解得或，
综上可得实数的取值范围是或．故选ACD．
【名师点睛】对任意，总存在，使，可转化为的值域是的子集即可．
三、填空题
1．已知函数是定义在上的奇函数，且满足，又当时，，则的值等于__________．
【试题来源】辽宁省沈阳市郊联体2020-2021学年高三上学期期中考试
【答案】
【解析】，是周期为2的函数，
，，是定义在上的奇函数，

．故答案为．
2．已知奇函数满足，且当时，，则的值为__________．
【试题来源】湖南省长沙市宁乡市第一高级中学2020-2021学年高三上学期11月摸底考试
【答案】
【解析】由，故，
则，又函数为奇函数，得，故答案为1．
3．已知函数满足，当时，函数，则__________．
【试题来源】江苏省南京市六校联合体2020-2021学年高三上学期11月联考
【答案】
【解析】由题意，函数满足，化简可得，
所以函数是以2为周期的周期函数，
又由时，函数，且，
则
．故答案为．
【名师点睛】函数的周期性有关问题的求解策略：
（1）求解与函数的周期性有关问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期；
（2）解决函数周期性、奇偶性和单调性结合问题，通常先利用周期性中为自变量所在区间，再利用奇偶性和单调性求解．
4．已知为奇函数，且当时单调递增，，则不等式的解集__________．
【试题来源】吉林省长春市第五中学2020-2021学年高三上学期期中考试（理）
【答案】
【解析】由题意，当时，由得，
当时，由得，所以或，
解得或．所以不等式的解集为．
5．已知函数的定义域为，导函数为，若，且，则满足的的取值范围为__________．
【试题来源】河南省南阳市2020-2021学年高三期中质量评估 （理）
【答案】
【分析】构造函数，再根据条件确定为奇函数且在上单调递减，最后利用单调性以及奇偶性化简不等式，解得结果．
【解析】令， 又，
则，即，故函数为奇函数．
，故函数在上单调递减，
则，
即，即，即，故，
所以x的取值范围为．故答案为
【名师点睛】本题考查函数奇偶性、单调性以及利用函数性质解不等式，解题的关键是要利用题目条件合理构造函数，从而利用函数单调性解不等式，考查学生的综合分析求解能力，属中档题．
6．已知是定义在上的奇函数，满足．若，则__________．
【试题来源】山东省潍坊市2020-2021学年高三上学期期中考试
【答案】
【解析】由得，
因为是定义在上的奇函数，所以且，
所以，所以，所以，
所以的周期是，因为，所以，，，所以在一个完整周期内的函数的和为，所以，故答案为
【名师点睛】对于函数的周期性问题，应熟记以下结论
（1）如果函数在定义域内有两条对称轴，，则函数是周期函数，且周期；
（2）如果函数在定义域内有两个对称中心，则函数是周期函数，且周期；
（3）如果函数在定义域内有两一对称轴，有一个对称中心则函数是周期函数，且周期．
7．已知f（x）是定义域为R的偶函数，且在区间（-∞，0]上单调递增，则不等式，f（3x-1）＞f（2）的解集是__________．
【试题来源】广东省湛江市2021届高三上学期高中毕业班调研测试题
【答案】
【解析】因为f（x）是定义域为R的偶函数，且在区间（-∞，0]上单调递增，
所以函数在上递减，因为f（3x-1）＞f（2），所以，
所以，即-2＜3x-1＜2，解得．故答案为．
8．若是定义在上的奇函数，，当时，，则__________．
【试题来源】北京市第三十一中学2021届高三上学期数学期中试题
【答案】
【解析】因为，所以
又是定义在上的奇函数，且当时，，
所以．故答案为．
9．给出下列四个命题：
① 函数为奇函数；
② 奇函数的图象一定通过直角坐标系的原点；
③ 函数的值域是；
④ 若函数的定义域为，则函数的定义域为；
其中正确命题的序号是__________．(填上所有正确命题的序号)
【试题来源】内蒙古通辽第五中学2020-2021学年高三年级第三次月考试卷（文）
【答案】① ④
【解析】对于选项①：函数首先必须满足，即，则，
则函数化简为，定义域为，关于原点对称，
，即函数为奇函数，①正确；
对于选项②：若定义域中有零则必过直角坐标系的原点，定义域中没有零则必不过直角坐标系的原点，②不正确；
对于选项③：由于，则，函数的值域是；③不正确；
对于选项④：若函数的定义域为，则函数的定义域为，
令，解得，则函数的定义域为．④正确；
故答案为①④．
10．已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则__________．
【试题来源】江苏省连云港市2020-2021学年高三上学期期中调研适应性考试
【答案】
【解析】因为，分别是定义在上的偶函数和奇函数，
所以，即，又，所以，所以，故答案为8．
11．已知奇函数的定义域为，若为偶函数，且，则__________．
【试题来源】甘肃省民乐县第一中学2021届高三上学期第二次诊断考试（文）
【答案】-1
【解析】奇函数 的定义域为，若为偶函数，
，且，
则，则，
则函数的周期是8，且函数关于对称，
则，
，
则，故答案为-1．
【名师点睛】本题考查由函数的奇偶性，对称性和周期性求解函数值，解题的关键是利用奇、偶性求出函数的周期为8以及关于对称，考查了分析能力、计算能力．
12．若函数在内不单调，则实数a的取值范围是__________．
【试题来源】陕西省延安市黄陵中学本部2020-2021学年高三上学期期中（文）
【答案】
【解析】由题意得的对称轴为，
因为函数在内不单调，所以，得．故答案为．
13．已知是奇函数，且当时，．若，则__________．
【试题来源】湖南省长沙市麓山国际实验学校2020-2021学年高三上学期第一次月考
【答案】-3
【解析】因为是奇函数，且当时，．
因为，，
所以，两边取以为底的对数得，所以，即．
14．已知函数的图象关于对称，当时，单调递增，则不等式的解集为__________．
【试题来源】湖南省三湘名校教育联盟2020-2021学年高三上学期10月联考
【答案】
【解析】依题意，为偶函数，当时，单调递增，
要满足，则要求，两边平方得，
即，即，解得．
故答案为．
15．对于函数，有如下结论：
①在上是奇函数；②为的一个周期；③为的一个极大值点；④在区间，上单调递增．其中所有正确结论的序号是__________．
【试题来源】内蒙古赤峰市2020届高三（5月份）高考数学（（理））模拟试题
【答案】①③④．
【分析】结合函数的性质中周期的定义及复合函数单调性原则，函数极值存在条件分别检验各选项即可判断．
【解析】因为，即为奇函数，①正确；
因为即不为的周期，②错误；
因为在单调递增，在上单调递减，
又在上单调递增，根据复合函数的单调性可知，在单调递增，在上单调递减，故为的一个极大值点；在区间，上单调递增．③④正确．故答案为①③④．
四、双空题
1．已知函数是上的奇函数，并且是周期为的周期函数，若，则___________；__________．
【试题来源】北京市第三中学2021届高三上学期期中考试
【答案】 0
【解析】因为函数是上的奇函数，，所以，
因为是周期为的周期函数，所以．
由函数是上的奇函数，所以，，
故答案为①； ②0．
2．定义在R上的函数满足．当时，，则___________；
__________．
【试题来源】安徽省池州市第一中学2020-2021学年高三上学期9月月考（文）
【答案】0 337
【解析】因为，所以函数的周期为的周期函数，
当时，，所以，
因为，，，，
，，，
所以

，故答案为0；337．
3．已知函数则f（2）+f(-2)= __________；不等式f(x) + f(3x+2)≥2的解集为__________．
【试题来源】江苏省泰州市姜堰市2020-2021学年高三上学期综合检测
【答案】2
【解析】，，
所以；所以，
即，令，
所以，是上的奇函数，且，
因为，都是增函数，所以是上的增函数，
由得，即，
是上的奇函数，所以，
因为是上的增函数，所以，解得，
的解集为，故答案为①2；②．
4．函数是定义在上的奇函数，且当时，，则_________；不等式的解集为__________．
【试题来源】浙江省嘉兴市2020-2021学年高三上学期9月教学测试
【答案】2
【解析】设，则，所以，
因为是定义在上的奇函数，所以，
即，所以，
当时，，解得，
当时，，解得，
所以的解集为，
故答案为①2；②．
5．已知函数，则单调递增区间为__________；若函数在区间上单调，则的取值范围为__________．
【试题来源】宁波市效实中学2019-2020学年高二下学期5月期中数学（数理班）试题
【答案】
【解析】，函数的定义域满足，解得或．函数单调递减，的单调减区间为，
故单调递增区间为．
函数为偶函数，定义域满足，解得或．
当时，单调递增，单调递减，故单调递减，
则时，函数单调递增，函数在区间上单调，
则，解得，或，无解．
故．故答案为；．