2021年中考数学考前小题抢分王：36二次函数的应用（含解析）

这是一份2021年中考数学考前小题抢分王：36二次函数的应用（含解析），共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．从地面竖直向上抛出一个小球，小球运动的高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的关系式为h＝24t－4t2，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是( )
A．6 s B．4 s C．3 s D．2 s
二、填空题(共8分)
2．体育课上，老师用绳子围成一个周长为30 m的长方形场地，
围成的场地是如图所示的矩形ABCD.设边AB长为x(单位：m)，矩形ABCD的面积为S(单位：m2)，S与x之间的函数关系式为________(不要求写出自变量x的取值范围)；若矩形ABCD的面积为50 m2，且AB＜AD，此时AB的长________．
三、解答题(本大题共3小题，共46分)
3．(14分)小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x(单位：cm)的边与这条边上的高之和为40 cm，这个三角形的面积S(单位：cm2)随x(单位：cm)的变化而变化．
(1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；
(2)当x是多少时，这个三角形面积S最大？最大面积是多少？
[参考公式：当x＝－eq \f(b,2a)时，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有最小(大)值eq \f(4ac－b2,4a)]
4．(14分)某跳水运动员进行10 m跳台跳水训练时，身体(看成一点)在空中的运动路线是如图所示坐标系下，经过原点O的一条抛物线(图中标出的数据为已知条件)．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面10eq \f(2,3) m，入水处距池边的距离为4 m，运动员在距水面高度为5 m以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是(1)中的抛物线，且运动员在空中完成规定的翻腾动作并调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3eq \f(3,5) m，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由．
5．(18分)综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
(1)求直线AC的解析式及B、D两点的坐标；
(2)点P是x轴上一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于点Q.试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出M点的坐标．
参考答案
1. A 解析：由题意可知落回到地面时h＝0，所以可根据解一元二次方程解得t的值为6，也可将四个选项分别代入计算，若得h＝0则为该选项，故选A.
2. S＝－x2＋15x 5 m 解析：∵AB＝x，∴BC＝15－x，
∴S＝(15－x)·x＝－x2＋15x，当S＝50时，
代入计算得x1＝5，x2＝10，由于AB＜AD，所以AB＝5 m.
3. 解：(1)S＝－eq \f(1,2)x2＋20x.(6分)
(2)∵a＝－eq \f(1,2)＜0，∴S有最大值．(8分)
∴当x＝－eq \f(b,2a)＝－eq \f(20,2×（－\f(1,2)）)＝20时，
S有最大值eq \f(4ac－b2,4a)＝eq \f(4×（－\f(1,2)）×0－202,4×（－\f(1,2)）)＝200.
∴当x为20 cm时，三角形面积S最大，最大面积是200 cm2.(14分)
4. 解：(1)在给定的平面直角坐标中，设最高点为A，入水点为B.
∵A点距水平10eq \f(2,3) m，跳台支柱高10 m，
∴A点纵坐标为eq \f(2,3)，由题意可得O(0，0)，B(2，－10)．(2分)
设该抛物线的关系式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c为常数)
抛物线过点O(0，0)，B(2，－10)，且函数的最大值为eq \f(2,3)，
则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(c＝0，,4a＋2b＋c＝－10，,\f(4ac－b2,4a)＝\f(2,3))) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－\f(25,6)，,b＝\f(10,3)，,c＝0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－\f(3,2)，,b＝－2，,c＝0))(6分)
由题图知a＜0，－eq \f(b,2a)＞0，∴b＞0，舍去第二组解．
∴所求抛物线的关系式为y＝－eq \f(25,6)x2＋eq \f(10,3)x.(10分)
(2)试跳会出现失误．(11分)
∵当x＝3eq \f(3,5)－2＝eq \f(8,5)时，y＝－eq \f(16,3).
此时，运动员距水面的高为10－eq \f(16,3)＝eq \f(14,3)＜5，
∴试跳会出现失误．(14分)
5. 解：(1)当y＝0时，－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3.
∵点A在点B的左侧，∴A、B的坐标分别是(－1，0)、(3，0)．(2分)
当x＝0时，y＝3，∴C点的坐标为(0，3)．
设直线AC的解析式为y＝k1x＋b1(k1≠0)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b1＝3，,－k1＋b1＝0，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k1＝3，,b1＝3，))∴直线AC的解析式为y＝3x＋3，(4分)
∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
∴顶点D的坐标为(1，4)．(6分)
(2)抛物线上有三个这样的点Q，分别为Q1(2，3)，Q2(1＋eq \r(7)，－3)，Q3(1－eq \r(7)，－3)．(9分)
(3)过点B作BB′⊥AC于点F，使B′F＝BF，则B为点B关于直线AC的对称点，连接BD交直线于AC于点M，则点M为所求．
过点B′作B′E⊥x轴于点E.(10分)
∵∠1和∠2都是∠3的余角，
∴∠1＝∠2.
Rt△AOC∽Rt△AFB，
∴eq \f(CO,BF)＝eq \f(CA,AB)，
由A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)得
OA＝1，OB＝3，
∴AC＝eq \r(10)，AB＝4，
∴eq \f(3,BF)＝eq \f(\r(10),4)，∴BF＝eq \f(12,\r(10))，
∴BB′＝2BF＝eq \f(24,\r(10)).由∠1＝∠2可得Rt△AOC∽Rt△B′EB，
∴eq \f(AO,B′E)＝eq \f(CO,BE)＝eq \f(CA,BB′)，∴eq \f(1,B′E)＝eq \f(3,BE)＝eq \f(\r(10),\f(24,\r(10)))，即eq \f(1,B′E)＝eq \f(3,BE)＝eq \f(5,12).
∴B′E＝eq \f(12,5)，BE＝eq \f(36,5)，∴OE＝BE－OB＝eq \f(36,5)－3＝eq \f(21,5).
∴B′点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(21,5)，\f(12,5))).(15分)
设直线B′D的解析式为y＝k2x＋b2(k2≠0)
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k2＋b2＝4，,－\f(21,5)k2＋b2＝\f(12,5)，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k2＝\f(4,13)，,b2＝\f(48,13)，))∴y＝eq \f(4,13)x＋eq \f(48,13).
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝3x＋3，,y＝\f(4,13)x＋\f(48,13)，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(9,35)，,y＝\f(132,35)，))∴M点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,35)，\f(132,35))).(18分)