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高考大题专项训练(六) 概率与统计
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这是一份高考大题专项训练(六) 概率与统计，共20页。试卷主要包含了4
高考大题专项训练(六) 概率与统计
1.(2019安徽模拟,19)“学习强国”APP是由中宣部主管,以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容的“PC端+手机客户端”两大终端二合一模式的学习平台,2019年1月1日上线后便成为了党员干部群众学习的“新助手”.为了调研某地党员在“学习强国”APP的学习情况,研究人员随机抽取了200名该地党员进行调查,将他们某两天在“学习强国”APP上所得的分数统计如表所示:
分数
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100)
频数
60
100
20
20
频率
0.3
0.5
0.1
0.1
(1)由频率分布表可以认为,这200名党员这两天在“学习强国”APP上的得分Z近似服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为这200名党员得分的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表),σ2近似为这200名党员得分的方差,求P(57.4
参考数据:5≈2.2,6≈2.4,7≈2.6,若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ
2.近期,某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动,活动设置了一段时间的推广期,由于推广期内优惠力度较大,吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次,用x表示活动推出的天数,y表示每天使用扫码支付的人次(单位:十人次),统计数据如表1所示:
表1
x
1
2
3
4
5
6
7
y
6
11
21
34
66
101
196
根据以上数据,绘制了如下图所示的散点图.
(1)根据散点图判断,在推广期内,y=a+bx与y=c·dx(c,d均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由);
(2)根据(1)的判断结果及表1中的数据,求y关于x的回归方程,并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次;
(3)推广期结束后,车队对乘客的支付方式进行统计,结果如表2.
表2
支付方式
现金
乘车卡
扫码
比例
10%
60%
30%
已知该线路公交车票价为2元,使用现金支付的乘客无优惠,使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠,扫码支付的乘客随机优惠,根据统计结果得知,使用扫码支付的乘客,享受7折优惠的概率为16,享受8折优惠的概率为13,享受9折优惠的概率为12.根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,估计一名乘客一次乘车的平均费用.
参考数据:
y
v
∑i=17xiyi
∑i=17xivi
100.54
62.14
1.54
2 535
50.12
3.47
其中vi=lg yi,v=17∑i=17vi
3.(2019广东汕尾模拟,19)微信运动是由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号,很多手机用户加入微信运动后,为了让自己的步数能领先于朋友,运动的积极性明显增强.微信运动公众号为了解用户的一些情况,在微信运动用户中随机抽取了100名用户,统计了他们某一天的步数,数据整理如下:
x/
万步
0≤x
≤0.4
0.4
0.8
1.2
1.6
2.0
2.4
y/人
5
20
50
18
3
3
1
(1)根据表中数据,在如图所示的坐标平面中作出其频率分布直方图,并在纵轴上标明各小长方形的高;
(2)若视频率分布为概率分布,在微信运动用户中随机抽取3人,求至少2人步数多于1.2万步的概率;
(3)若视频率分布为概率分布,在微信运动用户中随机抽取2人,其中每日走路不超过0.8万步的有X人,超过1.2万步的有Y人,设ξ=|X-Y|,求ξ的分布列及数学期望.
4.(2019广东省六校第一次联考,19)某市大力推广纯电动汽车,对购买用户依照车辆出厂续驶里程R的行业标准,予以地方财政补贴.其补贴标准如下表:
出厂续驶里程R(千米)
补贴(万元/辆)
150≤R<250
3
250≤R<350
4
R≥350
4.5
2017年底随机调査该市1 000辆纯电动汽车,统计其出厂续驶里程R,得到频率分布直方图如下图所示.用样本估计总体,频率估计概率,解决如下问题:
(1)求该市每辆纯电动汽车2017年地方财政补贴的均值;
(2)某企业统计2017年其充电站100天中各天充电车辆数,得到如下的频数分布表.
辆数
[5 500,
6 500)
[6 500,
7 500)
[7 500,
8 500)
[8 500,
9 500)
天数
20
30
40
10
(同一组数据用该区间的中点值作代表)
2018年2月,国家出台政策,将纯电动汽车财政补贴逐步转移到充电基础设施建设上来.该企业拟将转移补贴资金用于添置新型充电设备.现有直流、交流两种充电桩可供购置.直流充电桩5万元/台,每台每天最多可以充电30辆车,每天维护费用500元/台;交流充电桩1万元/台,每台每天最多可以充电4辆车,每天维护费用80元/台.
该企业现有两种购置方案:
方案一:购买100台直流充电桩和900台交流充电桩;
方案二:购买200台直流充电桩和400台交流充电桩.
假设车辆充电时优先使用新设备,且充电一辆车产生25元的收入,用2017年的统计数据,分别估计该企业在两种方案下使用新设备产生的日利润.(日利润=日收入-日维护费用)
5.(2019安徽江淮十校联考,21)棋盘上标有第0,1,2,…,100站,棋子开始位于第0站,棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏,若掷出正面,棋子向前跳出一站;若掷出反面,棋子向前跳出两站,直到跳到第99站或第100站时,游戏结束.设棋子位于第n站的概率为Pn.
(1)当游戏开始时,若抛掷均匀硬币3次后,求棋手所走步数之和X的分布列与数学期望;
(2)证明:Pn+1-Pn=-12(Pn-Pn-1)(1≤n≤98);
(3)求P99、P100的值.
6.(2019福建三明模拟,19)近年来,随着我国汽车消费水平的提高,二手车行业得到迅猛发展,某汽车交易市场对2019年成交的二手车交易前的使用时间(以下简称“使用时间”)进行统计,得到频率分布直方图如图1.
图1
图2
(1)记“在2019年成交的二手车中随机选取一辆,该车的使用年限在(8,16]”为事件A,试估计A的概率;
(2)根据该汽车交易市场的历史资料,得到散点图如图2,其中x(单位:年)表示二手车的使用时间,y(单位:万元)表示相应的二手车的平均交易价格.
由散点图看出,可采用y=ea+bx作为二手车平均交易价格y关于其使用年限x的回归方程,相关数据如下表表中Yi=ln yi,Y=110∑i=110Yi;
x
y
Y
∑i=110xiyi
∑i=110xiYi
∑i=110xi2
5.5
8.7
1.9
301.4
79.75
385
①根据回归方程类型及表中数据,建立y关于x的回归方程;
②该汽车交易市场对使用8年以内(含8年)的二手车收取成交价格4%的佣金,对使用时间8年以上(不含8年)的二手车收取成交价格10%的佣金.在图1对使用时间的分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值.若以2019年的数据作为决策依据,计算该汽车交易市场对成交的每辆车收取的平均佣金.
附注:①对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^=∑i=1nuivi-nu v∑i=1nui2-nu2,α^=v-β^ u.
②参考数据:e2.95≈19.1,e1.75≈5.75,e0.35≈1.73,e-0.65≈0.52,e-1.85≈0.16.
7.(2019安徽六安二中、霍邱一中联考,19)甲将要参加某决赛,赛前A,B,C,D四位同学对冠军得主进行竞猜,每人选择一名选手,已知A,B选择甲的概率均为m,C,D选择甲的概率均为n(m
(2)设四位同学中选择甲的人数为X,求X的分布列和数学期望.
8.(2019四川内江模拟,19)现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查,随机抽调了50人,他们月收入的频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如下表.
月收入
(单位:百元)
[15,25)
[25,35)
[35,45)
[45,55)
[55,65)
[65,75)
频数
5
10
15
10
5
5
赞成人数
4
8
12
5
2
1
(1)由以上统计数据填下面2×2列联表,并问是否有99%的把握认为“月收入以5 500元为分界点”对“楼市限购令”的态度有差异;
月收入不低于
55(百元)的人数
月收入低于
55(百元)的人数
合计
赞成
a=
c=
不赞成
b=
d=
合计
(2)若对在[15,25)、[25,35)的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查,记选中的4人中不赞成“楼市限购令”的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列及数学期望.
参考公式:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.
参考值表:
P(K2≥k0)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
k0
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
P(k2≥K0)
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
9.为了提高生产线的运行效率，工厂对生产线的设备进行了技术改造.为了对比技术改造后的效果，采集了生产线的技术改造前后各20次连续正常运行的时间长度（单位：天）数据，并绘制了如下茎叶图：
（Ⅰ）（1）设所采集的40个连续正常运行时间的中位数，并将连续正常运行时间超过和不超过的次数填入下面的列联表：
超过
不超过
改造前
改造后
试写出，，，的值；
（2）根据（1）中的列联表，能否有的把握认为生产线技术改造前后的连续正常运行时间有差异？
附：，
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
（Ⅱ）工厂的生产线的运行需要进行维护.工厂对生产线的生产维护费用包括正常维护费、保障维护费两种对生产线设定维护周期为天（即从开工运行到第天（）进行维护.生产线在一个生产周期内设置几个维护周期，每个维护周期相互独立.在一个维护周期内，若生产线能连续运行，则不会产生保障维护费；若生产线不能连续运行，则产生保障维护费.经测算，正常维护费为0.5万元次；保障维护费第一次为0.2万元周期，此后每增加一次则保障维护费增加0.2万元.现制定生产线一个生产周期（以120天计）内的维护方案：，，2，3，4.以生产线在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，求一个生产周期内生产维护费的分布列及期望值.
10.在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期．
（1）一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格，
该传染病的潜伏期受诸多因素影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关
潜伏期≤6天
潜伏期＞6天
总计
50岁以上（含50岁）
100
50岁以下
55
总计
200
（2）以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立．为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，其中潜伏期超过6天的人数最有可能（即概率最大）是多少？
附：下面的临界值表仅供参考．
0.05
0.025
0.010
3.841
5.024
6.635
（参考公式：，其中．）
11.共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚．某市有统计数据显示，2020年该市共享单车用户年龄等级分布如图1所示，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示．若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”（20岁－39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用单车用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用单车用户”．已知在“经常使用单车用户”中有是“年轻人”．
（1）现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，补全下列列联表，并根据列联表的独立性检验，判断是否有85%的把握认为经常使用共享单车与年龄有关？
使用共享单车情况与年龄列联表
年轻人
非年轻人
合计
经常使用单车用户
120
不常使用单车用户
80
合计
160
40
200
（2）将（1）中频率视为概率，若从该市市民中随机任取3人，设其中经常使用共享单车的“非年轻人”人数为随机变量，求的分布列与期望．
参考数据：独立性检验界值表
0.15
0.10
0.050
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
其中，，
12.某地区进行疾病普查,为此要检验每个人的血液,如果当地有N人,若逐个检验就需要检验N次,为了减少检验的工作量,把受检验者分组,假设每组有k个人,把这k个人的血液混合在一起检验.若检验结果为阴性,则这k个人的血液全为阴性,因而这k个人只要检验一次就够了;若检验结果为阳性,为了明确这k个人中究竟哪几个人为阳性,就要对这k个人再逐个进行检验,因而这k个人的检验次数为(k+1)次.假设在接受检验的人群中,每个人的检验结果是阳性还是阴性是相互独立的,且每个人的检验结果是阳性的概率为p.
(1)为熟悉检验流程,先对3个人逐个进行检验,若p=0.1,求3人中恰好有1人检验结果为阳性的概率.
(2)设ζ为k个人一组混合检验时每个人的血液需要检验的次数.
(i)当k=5,p=0.1时,求ζ的分布列;
(ii)运用统计概率的相关知识,求当k和p满足什么关系时,用分组的办法能减少检验次数.
参考答案与解析
1.解(1)由题意得:μ=65×0.3+75×0.5+85×0.1+95×0.1=75,
σ2=(65-75)2×0.3+(75-75)2×0.5+(85-75)2×0.1+(95-75)2×0.1=30+10+40=80,∵σ=80=45≈8.8,
∴P(57.4
由题意得,X的可能取值为0,1,2,3,4,且X~B4,15,
∴P(X=0)=C40454=256625;
P(X=1)=C41×15×453=256625;
P(X=2)=C42×152×452=96625;
P(X=3)=C43×153×45=16625;
P(X=4)=C44×154=1625,所以X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
256625
256625
96625
16625
1625
所以E(X)=4×15=45.
2.解(1)根据散点图判断,y=c·dx适宜作为扫码支付的人数y关于活动推出天数x的回归方程类型.
(2)∵y=c·dx,两边同时取常用对数得lg y=lg (c·dx)=lg c+lg d·x;
设lg y=v,∴v=lg c+lg d·x.
∵x=4,v=1.54,∑i=17xi2=140,
∴lg d^=∑i=17xivi-7xv∑i=17xi2-7x2=
50.12-7×4×1.54140-7×42=0.25,
把样本中心点(4,1.54)代入
v=lg c+lg d·x,得lg c^=0.54,
∴v^=0.54+0.25x,∴lg y^=0.54+0.25x,∴y关于x的回归方程式为y^=100.54+0.25x=100.54×(100.25)x=3.47×100.25x.把x=8代入上式,得y^=3.47×102=347,所以活动推出第8天使用扫码支付的人次为3 470.
(3)记一名乘客乘车支付的费用为Z,
则Z的取值可能为2,1.8,1.6,1.4.
P(Z=2)=0.1;P(Z=1.8)=0.3×12=0.15;
P(Z=1.6)=0.6+0.3×13=0.7,P(Z=1.4)=0.3×16=0.05.
分布列为
Z
2
1.8
1.6
1.4
P
0.1
0.15
0.7
0.05
所以,一名乘客一次乘车的平均费用为2×0.1+1.8×0.15+1.6×0.7+1.4×0.05=1.66(元).
3.解(1)根据题意,补充下表,
x/
万步
0≤x
≤0.4
0.4
0.8
1.2
1.6
2.0
2.4
y/人
5
20
50
18
3
3
1
频率
0.05
0.20
0.50
0.18
0.03
0.03
0.01
频率组距
0.125
0.5
1.25
0.45
0.075
0.075
0.025
根据表中数据,作出频率分布直方图如下:
(2)由题意知,步数多于1.2万步的频率为0.25,所以认定步数多于1.2万步的概率为0.25,所以至少有2人多于1.2万步的概率为P=C32×142×34+C33×143=532,综上所述,至少2人步数多于1.2万步的概率为532.
(3)由题知微信好友中任选一人,其每日走路步数不超过0.8万步的概率为14,超过1.2万步的概率为14,
且当X=Y=0或X=Y=1时,ξ=0,P(ξ=0)=12×12+C21×14×14=38,
当X=1,Y=0或X=0,Y=1时,ξ=1,P(ξ=1)=C21×14×12+C21×14×12=12,
当X=2,Y=0或X=0,Y=2时,ξ=2,P(ξ=2)=14×14+14×14=18,
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
38
12
18
E(ξ)=1×12+2×18=34.
4.解(1)依题意可得纯电动汽车地方财政补贴的分布列为:
补贴(万元/辆)
3
4
4.5
概率
0.2
0.5
0.3
纯电动汽车2017年地方财政补贴的平均数为3×0.2+4×0.5+4.5×0.3=3.95(万元).
(2)由充电车辆天数的频数分布表得每天需要充电车辆数的分布列:
辆数
6 000
7 000
8 000
9 000
概率
0.2
0.3
0.4
0.1
若采用方案一,100台直流充电桩和900台交流充电桩每天可充电车辆数为
30×100+4×900=6 600(辆).
可得实际充电车辆数的分布列如下表:
实际充电辆数
6 000
6 600
概率
0.2
0.8
于是方案一下新设备产生的日利润均值约为25×(6 000×0.2+6 600×0.8)-500×100-80×900=40 000(元).
若采用方案二,200台直流充电桩和400台交流充电桩每天可充电车辆数为30×200+4×400=7 600(辆);
可得实际充电车辆数的分布列如下表:
实际充电辆数
6 000
7 000
7 600
概率
0.2
0.3
0.5
于是方案二下新设备产生的日利润均值约为25×(6 000×0.2+7 000×0.3+7 600×0.5)-500×200-80×400=45 500(元).
5.解(1)由题意可知,随机变量X的可能取值有3,4,5,6.
P(X=3)=123=18,P(X=4)=C31·123=38,
P(X=5)=C32·123=38,P(X=6)=123=18.
所以,随机变量X的分布列如下表所示:
X
3
4
5
6
P
18
38
38
18
所以,随机变量X的数学期望为E(X)=3×18+4×38+5×38+6×18=92.
(2)根据题意,棋子要到第(n+1)站,有两种情况,由第n站跳1站得到,其概率为12Pn,也可以由第(n-1)站跳2站得到,其概率为12Pn-1,所以,Pn+1=12Pn+12Pn-1.
等式两边同时减去Pn得Pn+1-Pn=-12Pn+12Pn-1=-12(Pn-Pn-1)(1≤n≤98).
(3)由(2)可得P0=1,P1=12,P2=12P1+12P0=34.
由(2)可知,数列{Pn+1-Pn}是首项为P2-P1=14,公比为-12的等比数列,
∴Pn+1-Pn=14·(-12)n-1=(-12)n+1,∴P99=P1+(P2-P1)+(P3-P2)+…+(P99-P98)=12+(-12)2+(-12)3+…+(-12)99
=12+14[-(-12)98]1-(-12)
=231-12100,
又P99-P98=(-12)99=-1299,则P98=231+1299,
由于若跳到第99站时,自动停止游戏,故有P100=12P98=131+1299.
6.解(1)由频率分布直方图得,该汽车交易市场2019年成交的二手车使用时间在(8,12]的频率为0.07×4=0.28,在(12,16]的频率为0.02×4=0.12,
所以P(A)=0.28+0.12=0.40.
(2)①由y=ea+bx得ln y=a+bx,即Y关于x的线性回归方程为Y^=a^+b^x,
因为b^=∑i=110xiYi-10x·Y∑i=110xi2-10x2=79.75-10×5.5×1.9385-10×5.52=-0.3,
a^=Y-b^ x=1.9-(-0.3)×5.5=3.55,
所以Y关于x的线性回归方程为Y^=3.55-0.3x,
即y关于x的回归方程为y^=e3.55-0.3x.
②根据①中的回归方程y^=e3.55-0.3x和题图1,对成交的二手车可预测;
使用时间在(0,4]的平均成交价格为e3.55-0.3×2=e2.95≈19.1,对应的频率为0.2;
使用时间在(4,8]的平均成交价格为e3.55-0.3×6=e1.75≈5.75,对应的频率为0.36;
使用时间在(8,12]的平均成交价格为e3.55-0.3×10=e0.55≈1.73,对应的频率为0.28;
使用时间在(12,16]的平均成交价格为e3.55-0.3×14=e-0.65≈0.52,对应的频率为0.12;
使用时间在(16,20]的平均成交价格为e3.55-0.3×18=e-1.85≈0.16,对应的频率为0.04;
所以该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金为(0.2×19.1+0.36×5.75)×4%+(0.28×1.73+0.12×0.52+0.04×0.16)×10%=0.290 92≈0.29万元.
7.解(1)由已知可得m2n2=481,(1-m)2(1-n)2=481,1>n>m>0,解得m=13,n=23.
(2)X可能的取值为0,1,2,3,4,
P(X=0)=23×23×13×13=481,
P(X=1)=C21×13×1-13×1-232+1-132×C21×23×1-23=2081,
P(X=2)=C21×13×1-13×C21×23×1-23+132×1-232+1-132×232=3381=1127,
P(X=3)=C21×23×1-23×232+132×C21×23×1-23=2081,
P(X=4)=13×13×23×23=481.
X的分布列如下表:
X
0
1
2
3
4
P
481
2081
1127
2081
481
E(X)=0×484+1×2081+2×1127+3×2081+4×481=2.
8.解(1)2×2列联表:
月收入不低于55
(百元)的人数
月收入低于55
(百元)的人数
合计
赞成
a=3
c=29
32
不赞成
b=7
d=11
18
合计
10
40
50
所以K2=50(3×11-7×29)210×40×32×18≈6.27<6.635,则没有99%的把握认为月收入以5 500元为分界点对“楼市限购令”的态度有差异.
(2)ξ的所有可能取值有0,1,2,3.
所以P(ξ=0)=C42C52×C82C102=610×2845=84225,
P(ξ=1)=C41C52×C82C102+C42C52×C81×C21C102=410×2845+610×1645=104225,
P(ξ=2)=C41C52×C81C21C102+C42C52×C22C102=410×1645+610×145=35225,
P(ξ=3)=C41C52×C22C102=410×145=2225.
则ξ的分布列如下表:
ξ
0
1
2
3
P
84225
104225
35225
2225
ξ的期望值E(ξ)=0×84225+1×104225+2×35225+3×2225=45.
9.答案（Ⅰ）（1），，，，（2）有的把握认为连续正常运行时间有差异；（Ⅱ）分布列见解析，2.275万元.
解析（Ⅰ）（1）由茎叶图知，根据茎叶图可得：，，，.
（2）由于，所以有的把握认为连续正常运行时间有差异.
（Ⅱ）生产周期内有4个维护周期，一个维护周期为30天，一个维护周期内，生产线需保障维护的概率为.
设一个生产周期内需保障维护的次数为次，则正常维护费为万元，保障维护费为万元.
故一个生产周期内需保障维护次时的生产维护费为万元.
由于，设一个生产周期内的生产维护费为万元，则分布列为
2
2.2
2.6
3.2
4
则万元.
故一个生产周期内生产维护费的期望值为2.275万元.
10.答案（1）没有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；（2）8
解析（1）根据题意，补充完整列联表如下：
潜伏期≤6天
潜伏期＞6天
总计
50岁以上（含50岁）
65
35
100
50岁以下
55
45
100
总计
120
80
200
所以，
所以没有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；
（2）根据题意得，该地区每1 名患者潜伏期超过6天发生的概率为，
设被调查的20名患者中潜伏期超过6天的人数为，则，
，
由，
得，、
化简得，解得≤≤，
因为，所以，
所以这20名患者中潜伏期超过6天的人数最有可能为8人.
11.答案（1）列联表见解析，有的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关；（2）分布列见解析，数学期望为．
解析（1）补全的列联表如下：
年轻人
非年轻人
合计
经常使用共享单车
100
20
120
不常使用共享单车
60
20
80
合计
160
40
200
于是，，，，
∴，
即有的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关．
（2）由（1）的列联表可知，
经常使用共享单车的“非年轻人”占样本总数的频率为，
即在抽取的用户中出现经常使用单车的“非年轻人”的概率为0.1，
∵，
∴，
，，
∴的分布列为
0
1
2
3
0.729
0.243
0.027
0.001．
∴的数学期望．
12.解(1)对3人进行检验,每个人的检验结果是相互独立的.
设事件A为“3人中恰有1人检验结果为阳性”,则其概率P(A)=C31·0.1·0.92=0.243.
(2)(i)当k=5,p=0.1时:5人一组混合检验结果为阴性的概率为0.95,每人所需检验的次数为15次;混合检验结果为阳性的概率为1 - 0.95,每人所需检验的次数为65次.
故ζ的分布列为
ζ
15
65
P
0.95
1 - 0.95
(ii)分组时:P(ζ=1k)=(1 - p)k,P(ζ=1k+1)=1 - (1 - p)k,
所以E(ζ)=1k·(1 - p)k+(1k+1)[1 - (1 - p)k]=1 - (1 - p)k+1k.
不分组时,每人所需检验的次数为1次.
要使用分组的办法能减少检验次数,需1 - (1 - p)k+1k<1即1 - p>1kk,所以当1 - p>1kk时,用分组的办法能减少检验次数.
高考大题专项训练(六) 概率与统计
1.(2019安徽模拟,19)“学习强国”APP是由中宣部主管,以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容的“PC端+手机客户端”两大终端二合一模式的学习平台,2019年1月1日上线后便成为了党员干部群众学习的“新助手”.为了调研某地党员在“学习强国”APP的学习情况,研究人员随机抽取了200名该地党员进行调查,将他们某两天在“学习强国”APP上所得的分数统计如表所示:
分数
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100)
频数
60
100
20
20
频率
0.3
0.5
0.1
0.1
(1)由频率分布表可以认为,这200名党员这两天在“学习强国”APP上的得分Z近似服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为这200名党员得分的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表),σ2近似为这200名党员得分的方差,求P(57.4
参考数据:5≈2.2,6≈2.4,7≈2.6,若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ
2.近期,某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动,活动设置了一段时间的推广期,由于推广期内优惠力度较大,吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次,用x表示活动推出的天数,y表示每天使用扫码支付的人次(单位:十人次),统计数据如表1所示:
表1
x
1
2
3
4
5
6
7
y
6
11
21
34
66
101
196
根据以上数据,绘制了如下图所示的散点图.
(1)根据散点图判断,在推广期内,y=a+bx与y=c·dx(c,d均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由);
(2)根据(1)的判断结果及表1中的数据,求y关于x的回归方程,并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次;
(3)推广期结束后,车队对乘客的支付方式进行统计,结果如表2.
表2
支付方式
现金
乘车卡
扫码
比例
10%
60%
30%
已知该线路公交车票价为2元,使用现金支付的乘客无优惠,使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠,扫码支付的乘客随机优惠,根据统计结果得知,使用扫码支付的乘客,享受7折优惠的概率为16,享受8折优惠的概率为13,享受9折优惠的概率为12.根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,估计一名乘客一次乘车的平均费用.
参考数据:
y
v
∑i=17xiyi
∑i=17xivi
100.54
62.14
1.54
2 535
50.12
3.47
其中vi=lg yi,v=17∑i=17vi
3.(2019广东汕尾模拟,19)微信运动是由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号,很多手机用户加入微信运动后,为了让自己的步数能领先于朋友,运动的积极性明显增强.微信运动公众号为了解用户的一些情况,在微信运动用户中随机抽取了100名用户,统计了他们某一天的步数,数据整理如下:
x/
万步
0≤x
≤0.4
0.4
0.8
1.2
1.6
2.0
2.4
y/人
5
20
50
18
3
3
1
(1)根据表中数据,在如图所示的坐标平面中作出其频率分布直方图,并在纵轴上标明各小长方形的高;
(2)若视频率分布为概率分布,在微信运动用户中随机抽取3人,求至少2人步数多于1.2万步的概率;
(3)若视频率分布为概率分布,在微信运动用户中随机抽取2人,其中每日走路不超过0.8万步的有X人,超过1.2万步的有Y人,设ξ=|X-Y|,求ξ的分布列及数学期望.
4.(2019广东省六校第一次联考,19)某市大力推广纯电动汽车,对购买用户依照车辆出厂续驶里程R的行业标准,予以地方财政补贴.其补贴标准如下表:
出厂续驶里程R(千米)
补贴(万元/辆)
150≤R<250
3
250≤R<350
4
R≥350
4.5
2017年底随机调査该市1 000辆纯电动汽车,统计其出厂续驶里程R,得到频率分布直方图如下图所示.用样本估计总体,频率估计概率,解决如下问题:
(1)求该市每辆纯电动汽车2017年地方财政补贴的均值;
(2)某企业统计2017年其充电站100天中各天充电车辆数,得到如下的频数分布表.
辆数
[5 500,
6 500)
[6 500,
7 500)
[7 500,
8 500)
[8 500,
9 500)
天数
20
30
40
10
(同一组数据用该区间的中点值作代表)
2018年2月,国家出台政策,将纯电动汽车财政补贴逐步转移到充电基础设施建设上来.该企业拟将转移补贴资金用于添置新型充电设备.现有直流、交流两种充电桩可供购置.直流充电桩5万元/台,每台每天最多可以充电30辆车,每天维护费用500元/台;交流充电桩1万元/台,每台每天最多可以充电4辆车,每天维护费用80元/台.
该企业现有两种购置方案:
方案一:购买100台直流充电桩和900台交流充电桩;
方案二:购买200台直流充电桩和400台交流充电桩.
假设车辆充电时优先使用新设备,且充电一辆车产生25元的收入,用2017年的统计数据,分别估计该企业在两种方案下使用新设备产生的日利润.(日利润=日收入-日维护费用)
5.(2019安徽江淮十校联考,21)棋盘上标有第0,1,2,…,100站,棋子开始位于第0站,棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏,若掷出正面,棋子向前跳出一站;若掷出反面,棋子向前跳出两站,直到跳到第99站或第100站时,游戏结束.设棋子位于第n站的概率为Pn.
(1)当游戏开始时,若抛掷均匀硬币3次后,求棋手所走步数之和X的分布列与数学期望;
(2)证明:Pn+1-Pn=-12(Pn-Pn-1)(1≤n≤98);
(3)求P99、P100的值.
6.(2019福建三明模拟,19)近年来,随着我国汽车消费水平的提高,二手车行业得到迅猛发展,某汽车交易市场对2019年成交的二手车交易前的使用时间(以下简称“使用时间”)进行统计,得到频率分布直方图如图1.
图1
图2
(1)记“在2019年成交的二手车中随机选取一辆,该车的使用年限在(8,16]”为事件A,试估计A的概率;
(2)根据该汽车交易市场的历史资料,得到散点图如图2,其中x(单位:年)表示二手车的使用时间,y(单位:万元)表示相应的二手车的平均交易价格.
由散点图看出,可采用y=ea+bx作为二手车平均交易价格y关于其使用年限x的回归方程,相关数据如下表表中Yi=ln yi,Y=110∑i=110Yi;
x
y
Y
∑i=110xiyi
∑i=110xiYi
∑i=110xi2
5.5
8.7
1.9
301.4
79.75
385
①根据回归方程类型及表中数据,建立y关于x的回归方程;
②该汽车交易市场对使用8年以内(含8年)的二手车收取成交价格4%的佣金,对使用时间8年以上(不含8年)的二手车收取成交价格10%的佣金.在图1对使用时间的分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值.若以2019年的数据作为决策依据,计算该汽车交易市场对成交的每辆车收取的平均佣金.
附注:①对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^=∑i=1nuivi-nu v∑i=1nui2-nu2,α^=v-β^ u.
②参考数据:e2.95≈19.1,e1.75≈5.75,e0.35≈1.73,e-0.65≈0.52,e-1.85≈0.16.
7.(2019安徽六安二中、霍邱一中联考,19)甲将要参加某决赛,赛前A,B,C,D四位同学对冠军得主进行竞猜,每人选择一名选手,已知A,B选择甲的概率均为m,C,D选择甲的概率均为n(m
(2)设四位同学中选择甲的人数为X,求X的分布列和数学期望.
8.(2019四川内江模拟,19)现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查,随机抽调了50人,他们月收入的频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如下表.
月收入
(单位:百元)
[15,25)
[25,35)
[35,45)
[45,55)
[55,65)
[65,75)
频数
5
10
15
10
5
5
赞成人数
4
8
12
5
2
1
(1)由以上统计数据填下面2×2列联表,并问是否有99%的把握认为“月收入以5 500元为分界点”对“楼市限购令”的态度有差异;
月收入不低于
55(百元)的人数
月收入低于
55(百元)的人数
合计
赞成
a=
c=
不赞成
b=
d=
合计
(2)若对在[15,25)、[25,35)的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查,记选中的4人中不赞成“楼市限购令”的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列及数学期望.
参考公式:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.
参考值表:
P(K2≥k0)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
k0
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
P(k2≥K0)
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
9.为了提高生产线的运行效率，工厂对生产线的设备进行了技术改造.为了对比技术改造后的效果，采集了生产线的技术改造前后各20次连续正常运行的时间长度（单位：天）数据，并绘制了如下茎叶图：
（Ⅰ）（1）设所采集的40个连续正常运行时间的中位数，并将连续正常运行时间超过和不超过的次数填入下面的列联表：
超过
不超过
改造前
改造后
试写出，，，的值；
（2）根据（1）中的列联表，能否有的把握认为生产线技术改造前后的连续正常运行时间有差异？
附：，
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
（Ⅱ）工厂的生产线的运行需要进行维护.工厂对生产线的生产维护费用包括正常维护费、保障维护费两种对生产线设定维护周期为天（即从开工运行到第天（）进行维护.生产线在一个生产周期内设置几个维护周期，每个维护周期相互独立.在一个维护周期内，若生产线能连续运行，则不会产生保障维护费；若生产线不能连续运行，则产生保障维护费.经测算，正常维护费为0.5万元次；保障维护费第一次为0.2万元周期，此后每增加一次则保障维护费增加0.2万元.现制定生产线一个生产周期（以120天计）内的维护方案：，，2，3，4.以生产线在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，求一个生产周期内生产维护费的分布列及期望值.
10.在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期．
（1）一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格，
该传染病的潜伏期受诸多因素影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关
潜伏期≤6天
潜伏期＞6天
总计
50岁以上（含50岁）
100
50岁以下
55
总计
200
（2）以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立．为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，其中潜伏期超过6天的人数最有可能（即概率最大）是多少？
附：下面的临界值表仅供参考．
0.05
0.025
0.010
3.841
5.024
6.635
（参考公式：，其中．）
11.共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚．某市有统计数据显示，2020年该市共享单车用户年龄等级分布如图1所示，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示．若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”（20岁－39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用单车用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用单车用户”．已知在“经常使用单车用户”中有是“年轻人”．
（1）现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，补全下列列联表，并根据列联表的独立性检验，判断是否有85%的把握认为经常使用共享单车与年龄有关？
使用共享单车情况与年龄列联表
年轻人
非年轻人
合计
经常使用单车用户
120
不常使用单车用户
80
合计
160
40
200
（2）将（1）中频率视为概率，若从该市市民中随机任取3人，设其中经常使用共享单车的“非年轻人”人数为随机变量，求的分布列与期望．
参考数据：独立性检验界值表
0.15
0.10
0.050
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
其中，，
12.某地区进行疾病普查,为此要检验每个人的血液,如果当地有N人,若逐个检验就需要检验N次,为了减少检验的工作量,把受检验者分组,假设每组有k个人,把这k个人的血液混合在一起检验.若检验结果为阴性,则这k个人的血液全为阴性,因而这k个人只要检验一次就够了;若检验结果为阳性,为了明确这k个人中究竟哪几个人为阳性,就要对这k个人再逐个进行检验,因而这k个人的检验次数为(k+1)次.假设在接受检验的人群中,每个人的检验结果是阳性还是阴性是相互独立的,且每个人的检验结果是阳性的概率为p.
(1)为熟悉检验流程,先对3个人逐个进行检验,若p=0.1,求3人中恰好有1人检验结果为阳性的概率.
(2)设ζ为k个人一组混合检验时每个人的血液需要检验的次数.
(i)当k=5,p=0.1时,求ζ的分布列;
(ii)运用统计概率的相关知识,求当k和p满足什么关系时,用分组的办法能减少检验次数.
参考答案与解析
1.解(1)由题意得:μ=65×0.3+75×0.5+85×0.1+95×0.1=75,
σ2=(65-75)2×0.3+(75-75)2×0.5+(85-75)2×0.1+(95-75)2×0.1=30+10+40=80,∵σ=80=45≈8.8,
∴P(57.4
由题意得,X的可能取值为0,1,2,3,4,且X~B4,15,
∴P(X=0)=C40454=256625;
P(X=1)=C41×15×453=256625;
P(X=2)=C42×152×452=96625;
P(X=3)=C43×153×45=16625;
P(X=4)=C44×154=1625,所以X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
256625
256625
96625
16625
1625
所以E(X)=4×15=45.
2.解(1)根据散点图判断,y=c·dx适宜作为扫码支付的人数y关于活动推出天数x的回归方程类型.
(2)∵y=c·dx,两边同时取常用对数得lg y=lg (c·dx)=lg c+lg d·x;
设lg y=v,∴v=lg c+lg d·x.
∵x=4,v=1.54,∑i=17xi2=140,
∴lg d^=∑i=17xivi-7xv∑i=17xi2-7x2=
50.12-7×4×1.54140-7×42=0.25,
把样本中心点(4,1.54)代入
v=lg c+lg d·x,得lg c^=0.54,
∴v^=0.54+0.25x,∴lg y^=0.54+0.25x,∴y关于x的回归方程式为y^=100.54+0.25x=100.54×(100.25)x=3.47×100.25x.把x=8代入上式,得y^=3.47×102=347,所以活动推出第8天使用扫码支付的人次为3 470.
(3)记一名乘客乘车支付的费用为Z,
则Z的取值可能为2,1.8,1.6,1.4.
P(Z=2)=0.1;P(Z=1.8)=0.3×12=0.15;
P(Z=1.6)=0.6+0.3×13=0.7,P(Z=1.4)=0.3×16=0.05.
分布列为
Z
2
1.8
1.6
1.4
P
0.1
0.15
0.7
0.05
所以,一名乘客一次乘车的平均费用为2×0.1+1.8×0.15+1.6×0.7+1.4×0.05=1.66(元).
3.解(1)根据题意,补充下表,
x/
万步
0≤x
≤0.4
0.4
0.8
1.2
1.6
2.0
2.4
y/人
5
20
50
18
3
3
1
频率
0.05
0.20
0.50
0.18
0.03
0.03
0.01
频率组距
0.125
0.5
1.25
0.45
0.075
0.075
0.025
根据表中数据,作出频率分布直方图如下:
(2)由题意知,步数多于1.2万步的频率为0.25,所以认定步数多于1.2万步的概率为0.25,所以至少有2人多于1.2万步的概率为P=C32×142×34+C33×143=532,综上所述,至少2人步数多于1.2万步的概率为532.
(3)由题知微信好友中任选一人,其每日走路步数不超过0.8万步的概率为14,超过1.2万步的概率为14,
且当X=Y=0或X=Y=1时,ξ=0,P(ξ=0)=12×12+C21×14×14=38,
当X=1,Y=0或X=0,Y=1时,ξ=1,P(ξ=1)=C21×14×12+C21×14×12=12,
当X=2,Y=0或X=0,Y=2时,ξ=2,P(ξ=2)=14×14+14×14=18,
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
38
12
18
E(ξ)=1×12+2×18=34.
4.解(1)依题意可得纯电动汽车地方财政补贴的分布列为:
补贴(万元/辆)
3
4
4.5
概率
0.2
0.5
0.3
纯电动汽车2017年地方财政补贴的平均数为3×0.2+4×0.5+4.5×0.3=3.95(万元).
(2)由充电车辆天数的频数分布表得每天需要充电车辆数的分布列:
辆数
6 000
7 000
8 000
9 000
概率
0.2
0.3
0.4
0.1
若采用方案一,100台直流充电桩和900台交流充电桩每天可充电车辆数为
30×100+4×900=6 600(辆).
可得实际充电车辆数的分布列如下表:
实际充电辆数
6 000
6 600
概率
0.2
0.8
于是方案一下新设备产生的日利润均值约为25×(6 000×0.2+6 600×0.8)-500×100-80×900=40 000(元).
若采用方案二,200台直流充电桩和400台交流充电桩每天可充电车辆数为30×200+4×400=7 600(辆);
可得实际充电车辆数的分布列如下表:
实际充电辆数
6 000
7 000
7 600
概率
0.2
0.3
0.5
于是方案二下新设备产生的日利润均值约为25×(6 000×0.2+7 000×0.3+7 600×0.5)-500×200-80×400=45 500(元).
5.解(1)由题意可知,随机变量X的可能取值有3,4,5,6.
P(X=3)=123=18,P(X=4)=C31·123=38,
P(X=5)=C32·123=38,P(X=6)=123=18.
所以,随机变量X的分布列如下表所示:
X
3
4
5
6
P
18
38
38
18
所以,随机变量X的数学期望为E(X)=3×18+4×38+5×38+6×18=92.
(2)根据题意,棋子要到第(n+1)站,有两种情况,由第n站跳1站得到,其概率为12Pn,也可以由第(n-1)站跳2站得到,其概率为12Pn-1,所以,Pn+1=12Pn+12Pn-1.
等式两边同时减去Pn得Pn+1-Pn=-12Pn+12Pn-1=-12(Pn-Pn-1)(1≤n≤98).
(3)由(2)可得P0=1,P1=12,P2=12P1+12P0=34.
由(2)可知,数列{Pn+1-Pn}是首项为P2-P1=14,公比为-12的等比数列,
∴Pn+1-Pn=14·(-12)n-1=(-12)n+1,∴P99=P1+(P2-P1)+(P3-P2)+…+(P99-P98)=12+(-12)2+(-12)3+…+(-12)99
=12+14[-(-12)98]1-(-12)
=231-12100,
又P99-P98=(-12)99=-1299,则P98=231+1299,
由于若跳到第99站时,自动停止游戏,故有P100=12P98=131+1299.
6.解(1)由频率分布直方图得,该汽车交易市场2019年成交的二手车使用时间在(8,12]的频率为0.07×4=0.28,在(12,16]的频率为0.02×4=0.12,
所以P(A)=0.28+0.12=0.40.
(2)①由y=ea+bx得ln y=a+bx,即Y关于x的线性回归方程为Y^=a^+b^x,
因为b^=∑i=110xiYi-10x·Y∑i=110xi2-10x2=79.75-10×5.5×1.9385-10×5.52=-0.3,
a^=Y-b^ x=1.9-(-0.3)×5.5=3.55,
所以Y关于x的线性回归方程为Y^=3.55-0.3x,
即y关于x的回归方程为y^=e3.55-0.3x.
②根据①中的回归方程y^=e3.55-0.3x和题图1,对成交的二手车可预测;
使用时间在(0,4]的平均成交价格为e3.55-0.3×2=e2.95≈19.1,对应的频率为0.2;
使用时间在(4,8]的平均成交价格为e3.55-0.3×6=e1.75≈5.75,对应的频率为0.36;
使用时间在(8,12]的平均成交价格为e3.55-0.3×10=e0.55≈1.73,对应的频率为0.28;
使用时间在(12,16]的平均成交价格为e3.55-0.3×14=e-0.65≈0.52,对应的频率为0.12;
使用时间在(16,20]的平均成交价格为e3.55-0.3×18=e-1.85≈0.16,对应的频率为0.04;
所以该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金为(0.2×19.1+0.36×5.75)×4%+(0.28×1.73+0.12×0.52+0.04×0.16)×10%=0.290 92≈0.29万元.
7.解(1)由已知可得m2n2=481,(1-m)2(1-n)2=481,1>n>m>0,解得m=13,n=23.
(2)X可能的取值为0,1,2,3,4,
P(X=0)=23×23×13×13=481,
P(X=1)=C21×13×1-13×1-232+1-132×C21×23×1-23=2081,
P(X=2)=C21×13×1-13×C21×23×1-23+132×1-232+1-132×232=3381=1127,
P(X=3)=C21×23×1-23×232+132×C21×23×1-23=2081,
P(X=4)=13×13×23×23=481.
X的分布列如下表:
X
0
1
2
3
4
P
481
2081
1127
2081
481
E(X)=0×484+1×2081+2×1127+3×2081+4×481=2.
8.解(1)2×2列联表:
月收入不低于55
(百元)的人数
月收入低于55
(百元)的人数
合计
赞成
a=3
c=29
32
不赞成
b=7
d=11
18
合计
10
40
50
所以K2=50(3×11-7×29)210×40×32×18≈6.27<6.635,则没有99%的把握认为月收入以5 500元为分界点对“楼市限购令”的态度有差异.
(2)ξ的所有可能取值有0,1,2,3.
所以P(ξ=0)=C42C52×C82C102=610×2845=84225,
P(ξ=1)=C41C52×C82C102+C42C52×C81×C21C102=410×2845+610×1645=104225,
P(ξ=2)=C41C52×C81C21C102+C42C52×C22C102=410×1645+610×145=35225,
P(ξ=3)=C41C52×C22C102=410×145=2225.
则ξ的分布列如下表:
ξ
0
1
2
3
P
84225
104225
35225
2225
ξ的期望值E(ξ)=0×84225+1×104225+2×35225+3×2225=45.
9.答案（Ⅰ）（1），，，，（2）有的把握认为连续正常运行时间有差异；（Ⅱ）分布列见解析，2.275万元.
解析（Ⅰ）（1）由茎叶图知，根据茎叶图可得：，，，.
（2）由于，所以有的把握认为连续正常运行时间有差异.
（Ⅱ）生产周期内有4个维护周期，一个维护周期为30天，一个维护周期内，生产线需保障维护的概率为.
设一个生产周期内需保障维护的次数为次，则正常维护费为万元，保障维护费为万元.
故一个生产周期内需保障维护次时的生产维护费为万元.
由于，设一个生产周期内的生产维护费为万元，则分布列为
2
2.2
2.6
3.2
4
则万元.
故一个生产周期内生产维护费的期望值为2.275万元.
10.答案（1）没有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；（2）8
解析（1）根据题意，补充完整列联表如下：
潜伏期≤6天
潜伏期＞6天
总计
50岁以上（含50岁）
65
35
100
50岁以下
55
45
100
总计
120
80
200
所以，
所以没有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；
（2）根据题意得，该地区每1 名患者潜伏期超过6天发生的概率为，
设被调查的20名患者中潜伏期超过6天的人数为，则，
，
由，
得，、
化简得，解得≤≤，
因为，所以，
所以这20名患者中潜伏期超过6天的人数最有可能为8人.
11.答案（1）列联表见解析，有的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关；（2）分布列见解析，数学期望为．
解析（1）补全的列联表如下：
年轻人
非年轻人
合计
经常使用共享单车
100
20
120
不常使用共享单车
60
20
80
合计
160
40
200
于是，，，，
∴，
即有的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关．
（2）由（1）的列联表可知，
经常使用共享单车的“非年轻人”占样本总数的频率为，
即在抽取的用户中出现经常使用单车的“非年轻人”的概率为0.1，
∵，
∴，
，，
∴的分布列为
0
1
2
3
0.729
0.243
0.027
0.001．
∴的数学期望．
12.解(1)对3人进行检验,每个人的检验结果是相互独立的.
设事件A为“3人中恰有1人检验结果为阳性”,则其概率P(A)=C31·0.1·0.92=0.243.
(2)(i)当k=5,p=0.1时:5人一组混合检验结果为阴性的概率为0.95,每人所需检验的次数为15次;混合检验结果为阳性的概率为1 - 0.95,每人所需检验的次数为65次.
故ζ的分布列为
ζ
15
65
P
0.95
1 - 0.95
(ii)分组时:P(ζ=1k)=(1 - p)k,P(ζ=1k+1)=1 - (1 - p)k,
所以E(ζ)=1k·(1 - p)k+(1k+1)[1 - (1 - p)k]=1 - (1 - p)k+1k.
不分组时,每人所需检验的次数为1次.
要使用分组的办法能减少检验次数,需1 - (1 - p)k+1k<1即1 - p>1kk,所以当1 - p>1kk时,用分组的办法能减少检验次数.
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