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高考数学一轮复习高考大题专项6概率与统计课件
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这是一份高考数学一轮复习高考大题专项6概率与统计课件，共60页。PPT课件主要包含了考情分析，典例剖析，于是X的分布列为等内容，欢迎下载使用。
一、考查范围全面概率与统计解答题对知识点的考查较为全面,近五年的试题考点覆盖了概率与统计的各个章节内容,考查了抽样方法、统计图表、数据的数字特征、用样本估计总体、回归分析、相关系数的计算、独立性检验、古典概型、条件概率、相互独立事件的概率、独立重复试验的概率、离散型随机变量的分布列、数学期望与方差、超几何分布、二项分布、正态分布等基础知识和基本方法.
二、考查方向分散从近五年的高考试题来看,对概率与统计的考查主要有四个方面:一是统计与统计案例,其中回归分析、相关系数的计算、独立性检验、用样本的数字特征估计总体的数字特征是考查重点,常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、概率等知识交汇考查;二是统计与概率分布的综合,常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、频率、概率以及函数知识、概率分布列等知识交汇考查;三是期望与方差的综合应用,常与离散型随机变量、概率、相互独立事件、二项分布等知识交汇考查;四是以生活中的实际问题为背景将正态分布与随机变量的期望和方差相结合综合考查.
三、考查难度波动前几年来看,高考对概率与统计解答题的考查难度相对稳定,一般都控制在中等或中等偏上的程度,多放在解答题的第18或19题位置,近两年难度有所提升,甚至放在后两道解答题位置,综合性较强.但实施新高考后,因为文理同卷,难度又回到中等.
题型一 相关关系的判断及回归分析【例1】 某基地蔬菜大棚采用无土栽培方式种植各类蔬菜.根据过去50周的资料显示,该基地周光照量X(单位:小时)都在30小时以上,其中不足50小时的有5周,不低于50小时且不超过70小时的有35周,超过70小时的有10周.根据统计,
该基地的西红柿增加量y(单位:千克)与使用某种液体肥料的质量x(单位:千克)之间的关系如图所示.
(1)依据上图,是否可用线性回归模型拟合y与x的关系?请计算相关系数r并加以说明(精确到0.01).(若|r|>0.75,则线性相关程度很高,可用线性回归模型拟合)(2)蔬菜大棚对光照要求较大,某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪,但每周光照控制仪运行台数受周光照量X限制,并有如下关系:
若某台光照控制仪运行,则该台光照控制仪周利润为3 000元;若某台光照控制仪未运行,则该台光照控制仪周亏损1 000元.以频率作为概率,商家欲使周总利润的均值达到最大,应安装光照控制仪多少台?
(2)记商家周总利润为Y元,由条件可知至少需安装1台,最多安装3台光照控制仪.①安装1台光照控制仪可获得周总利润3 000元.②安装2台光照控制仪的情形:当X>70时,只有1台光照控制仪运行,此时周总利润Y=3 000-1 000=2 000(元),所以E(Y)=2 000×0.2+6 000×0.8=5 200(元).
故Y的分布列为所以E(Y)=1 000×0.2+5 000×0.7+9 000×0.1=4 600(元).综上可知,为使商家周总利润的均值达到最大,应该安装2台光照控制仪.
解题心得在求两变量相关系数和两变量的回归方程时,由于r和 的公式组成比较复杂,求它们的值计算量比较大,为了计算准确,可将其分成几个部分分别计算,这样等同于分散难点,各个攻破,提高了计算的准确度.
对点训练1 近年来,随着互联网技术的快速发展,共享经济覆盖的范围迅速扩张,继共享单车、共享汽车之后,共享房屋以“民宿”“农家乐”等形式开始在很多平台上线.某创业者计划在某景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”,为了确定未来发展方向,此创业者对该景区附近六家“农家乐”跟踪调查了100天.得到的统计数据如下表,x为收费标准(单位:元/日),t为入住天数(单位:天),以频率作为各自的“入住率”,收费标准x与“入住率”y的散点图如图.
(1)若从以上六家“农家乐”中随机抽取两家深入调查,记ξ为“入住率”超过0.6的农家乐的个数,求ξ的概率分布列.
(3)若一年按365天计算,试估计收费标准为多少时,年销售额L最大?(年销售额L=365·入住率·收费标准x)
题型二 独立性检验的综合问题【例2】 (2020新高考全国1,19)为加强环境保护,治理空气污染,环境监测部门对某市空气质量进行调研,随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位:μg/m3),得下表:
(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度不超过150”的概率;(2)根据所给数据,完成下面的2×2列联表:
(3)根据(2)中的列联表,依据α=0.01的独立性检验,能否认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关联.
(3)零假设为H0:该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度无关联.根据列联表中的数据,经计算得到根据小概率值α=0.01的独立性检验,推断H0不成立,即认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关联,此推断犯错误的概率不大于0.01.
解题心得有关独立性检验的问题的解题步骤:(1)作出2×2列联表;(2)计算随机变量χ2的值;(3)查临界值,检验作答.
对点训练2手机支付也称为移动支付,是指允许用户使用其移动终端(通常是手机)对所消费的商品或服务进行账务支付的一种服务方式.随着信息技术的发展,手机支付越来越成为人们喜欢的支付方式.某机构对某地区年龄在15到75岁的人群“是否使用手机支付”的情况进行了调查,随机抽取了100人,其年龄频率分布表和使用手机支付的人数如下所示:(年龄单位:岁)
(1)若以45岁为分界点,根据以上统计数据填写下面的2×2列联表,依据α=0.001的独立性检验,能否认为“使用手机支付”与年龄有关联.
(2)若从年龄在[55,65),[65,75]的样本中各随机选取2人进行座谈,记选中的4人中“使用手机支付”的人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.参考数据:
解 (1)由统计表可得,低于45岁人数为70人,不低于45岁人数为30人,可得列联表如下
零假设为H0:“使用手机支付”与年龄无关联.根据列联表中的数据,经计算得到根据小概率值α=0.001的独立性检验,推断H0不成立,即认为“使用手机支付”与年龄有关联,此推断犯错误的概率不大于0.001.
(2)由题意可知,年龄段在[55,65),[65,75]中不使用手机支付的人数分别为3,2.X的所有可能取值为0,1,2,3,相应的概率为
题型三 离散型随机变量的分布列类型一 互斥事件、独立事件的概率及分布列【例3】 随着小汽车的普及,“驾驶证”已经成为现代入“必考”的证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试,要顺利地拿到驾驶证,他需要通过四个科目的考试,其中科目二为场地考试.在一次报名中,每个学员有5次参加科目二考试的机会(这5次考试机会中任何一次通过考试,就算顺利通过,即进入下一科目考试;若5次都没有通过,则需重新报名),其中前2次参加科目二考试免费,若前2次都没有通过,则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校对以往2 000个学员第1次参加科目二考试进行了统计,得到下表:
若以上表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率,且每人每次是否通过科目二考试相互独立.现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试,在本次报名中,若这对夫妻参加科目二考试的原则为:通过科目二考试或者用完所有机会为止.(1)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率;(2)若这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过,记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为X,求X的分布列与数学期望.
解 事件Ai表示男学员在第i次考科目二通过,事件Bi表示女学员在第i次考科目二通过(其中i=1,2,3,4,5).(1)事件M表示这对夫妻考科目二都不需要交补考费.
解题心得使用简洁、准确的数学语言描述解答过程是解答这类问题并得分的根本保证.引进字母表示事件可使得事件的描述简单而准确,使得问题描述有条理,不会有遗漏,也不会重复.
对点训练3(2020广西桂林高三模拟)某企业为抓住机遇,计划在某地建立猕猴桃饮品基地,进行饮品A,B,C的开发.(1)在对三种饮品市场投放的前期调研中,对100名试饮人员进行抽样调查,得到对三种饮品选择情况的条形图.若饮品A的百件利润为400元,饮品B的百件利润为300元,饮品C的百件利润为700元,请估计三种饮品的平均百件利润;
(2)为进一步提高企业利润,企业决定对饮品C进行加工工艺的改进和饮品D的研发.已知工艺改进成功的概率为 ,开发新饮品成功的概率为 ,且工艺改进与饮品研发相互独立.①求工艺改进和新品研发恰有一项成功的概率;②若工艺改进成功则可为企业获利80万元,不成功则亏损30万元,若饮品研发成功则获利150万元,不成功则亏损70万元,求该企业获利ξ的数学期望.
类型二 超几何分布【例4】 某市为了解本市1万名小学生的普通话水平,在全市范围内进行了普通话测试,测试后对每个小学生的普通话测试成绩进行统计,发现总体(1万名小学生普通话测试成绩)服从正态分布N(69,49).(1)从这1万名小学生中任意抽取1名小学生,求这名小学生的普通话测试成绩在[62,90]内的概率;(2)现在从总体中随机抽取12名小学生的普通话测试成绩,对应的数据如下:50,52,56,62,63,68,65,64,72,80,67,90.从这12个数据中随机选取4个,记X表示大于总体平均分的个数,求X的方差.参考数据:若Y~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤Y≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤Y≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤Y≤μ+3σ)≈0.997 3.
解题心得判断一个随机变量是否服从超几何分布,关键是要看随机变量是否满足超几何分布的特征:①不放回抽样;②一个总体(共有N个)内含有两种不同的事物A(有M个),B(有N-M个),任取n个,其中恰有X个A.符合以上特征即可断定随机变量服从超几何分布.满足超几何分布模型的事件的总体都是由较明显的两部分组成,如男生,女生;正品,次品;优,劣等.
对点训练4(2020北京东城模拟,17)体温是人体健康状况的直接反应,一般认为成年人腋下温度T(单位:℃)平均在36 ℃~37 ℃之间即为正常体温,超过37.1 ℃即为发热.发热状态下,不同体温可分成以下三种发热类型,低热:37.1≤T≤38;高热:3840.某位患者因患肺炎发热,于12日至26日住院治疗.医生根据病情变化,从14日开始,以3天为一个疗程,分别用三种不同的抗生素为该患者进行消炎退热.住院期间,患者每天上午8:00服药,护士每天下午16:00为患者测量腋下体温,记录如下:
(1)求住院期间该患者体温不低于39 ℃的各天体温平均值;(2)在19~23日期间,医生会随机选取3天在测量体温的同时为该患者进行某一特殊项目“α项目”的检查,记X为高热体温下做“α项目”检查的天数,试求X的分布列与数学期望;(3)抗生素治疗一般在服药后2~8个小时就能出现血液浓度的高峰,开始杀灭细菌,达到消炎退热效果.假设三种抗生素治疗效果相互独立,请依据表中数据,判断哪种抗生素治疗效果最佳,并说明理由.
(3)说明“抗生素B”治疗效果最佳可使用如下理由:自使用“抗生素B”开始治疗后,体温才开始稳定下降,且使用“抗生素B”治疗当天共降温0.7 ℃,是单日降温效果最好的一天,故“抗生素B”治疗效果最佳.说明“抗生素C”治疗效果最佳可使用如下理由:①“抗生素B”使用期间先连续两天降温1.0 ℃又回升0.1 ℃,“抗生素C”使用期间持续降温共计1.4 ℃,说明“抗生素C”降温效果最好,故“抗生素C”治疗效果最佳.②“抗生素B”治疗期间,平均体温约为39.03 ℃,方差约为0.015 6;“抗生素C”治疗期间,平均体温约为38 ℃,方差约为0.106 7,“抗生素C”治疗期间体温离散程度大,说明存在某个时间节点降温效果明显,故“抗生素C”治疗效果最佳.
类型三 古典概型及分布列的综合【例5】 为提升学生的文化素养,养成多读书、读好书的文化生活习惯,某中学开展图书漂流活动,让图书发挥它的最大价值,该校某班图书角有文学名著类图书5本,学科辅导书类图书3本,其他类图书2本,共10本不同的图书,该班班委会从图书角的10本不同的图书中随机挑选3本不同的图书参加学校的图书漂流活动.(1)求选出的三本图书来自两个不同类别的概率;(2)设随机变量X表示选出的3本图书中,文学名著类本数与学科辅导类本数差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望.
解题心得利用古典概型求解分布列的概率一定要注意事件的等可能性以及事件的组成,若涉及排列、组合求解基本事件的个数,则需分清元素有序与无序,分清排列还是组合,做到不重不漏.
对点训练5(2020山西临汾高三模拟)元旦期间,某轿车销售商为了促销,给出了两种优惠方案,顾客只能选择其中的一种.方案一:每满6万元,可减6千元;方案二:金额超过6万元(含6万元),可摇号三次,其规则是依次从装有2个幸运号、2个吉祥号的一号摇号机,装有2个幸运号、2个吉祥号的二号摇号机,装有1个幸运号、3个吉祥号的三号摇号机各摇号一次,其优惠情况为:若摇出3个幸运号则打6折,若摇出2个幸运号则打7折;若摇出1个幸运号则打8折;若没摇出幸运号则不打折.(1)若某型号的车正好6万元,两个顾客都选择第二种方案,求至少有一名顾客比选择方案一更优惠的概率;(2)若购买一款价格为10万元的轿车,应选择哪种付款方案.
类型四 二项分布【例6】 某兴趣小组在科学馆的帕斯卡三角仪器前进行探究实验.如图所示,每次使一个实心小球从帕斯卡三角仪器的顶部入口落下,当它在依次碰到每层的菱形挡板时,会等可能地向左或者向右落下,在最底层的7个出口处各放置一个容器接住小球,该小组连续进行200次试验,并统计容器中的小球个数得到柱状图:
(1)用该实验来估测小球落入4号容器的概率,若估测结果的误差小于5%,则称该实验是成功的.试问:该兴趣小组进行的实验是否成功?(2)再取3个小球进行试验,设其中落入4号容器的小球个数为X,求X的分布列与数学期望.(计算时采用概率的理论值).
解题心得对于实际问题中的随机变量X,如果能够断定它服从二项分布B(n,p),则其概率、均值与方差可直接利用公式 (k=0,1,2,…,n),E(X)=np,D(X)=np(1-p)求得,因此,熟记二项分布的相关公式,可以避免烦琐的运算过程,提高运算速度和准确度.
对点训练6某发电厂新引进4台发电机,已知每台发电机一个月中至多出现1次故障,且每台发电机是否出现故障是相互独立的,出现故障时需1名工人进行维修,每台发电机出现故障的概率为 .(1)若一个月中出现故障的发电机台数为X,求X的分布列及数学期望E(X)和方差D(X);(2)该发电厂至少有多少名工人,才能保证每台发电机在任何时刻同时出现故障时,能及时进行维修的概率不少于90%?(3)已知一名工人每月只有维修1台发电机的能力,每台发电机不出现故障或出现故障能及时维修,就使该厂产生2万元的利润,否则将不产生利润,若该发电厂现有2名工人,要使求该发电厂每月获利的均值不少于6万元,则该发电厂每月需支付给每位工人的工资最多为多少万元?
(2)设该厂有n名工人,则“每台发电机在任何时刻同时出现故障能及时进行维修”为事件“发生故障的发电机台数X≤n”,即X=0,X=1,…,X=n,这n+1个互斥事件的和事件,则
题型四 样本的均值、方差与正态分布的综合【例7】 某学校高二年级举行了由全体学生参加的一分钟跳绳比赛,计分规则如下表:
年级组为了解学生的体质,随机抽取了100名学生的跳绳个数作为一个样本,绘制了如下样本频率分布直方图.
(1)现从样本的100名学生的跳绳个数中,任意抽取2人的跳绳个数,求两人得分之和小于35分的概率;(2)若该校高二年级共有2 000名学生,所有学生的一分钟跳绳个数X近似服从正态分布N(μ,σ2),其中σ2≈225,μ为样本平均数的估计值
(同一组中数据以这组数据所在区间中点值作代表).利用所得的正态分布模型,解决以下问题:①估计每分钟跳绳164个以上的人数(结果四舍五入到整数);②若在全年级所有学生中随机抽取3人,每分钟跳绳在179个以上的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望与方差.附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
解 (1)设“两人得分之和小于35分”为事件A,则事件A包括以下四种情况:①两人得分均为16分;②两人中一人16分,一人17分;③两人中一人16分,一人18分;④两人均17分.由频率分布直方图可得,得16分的有6人,得17分的有12人,得18分的有18人,则由古典概型的概率计算公式可得
解题心得解决正态分布有关的问题,在理解μ,σ2意义的情况下,记清正态分布的密度曲线是一条关于x=μ对称的钟形曲线,很多问题都是利用图象的对称性解决的.
对点训练7某市要对全市中小学生“体能达标”情况进行了解,决定通过随机抽样选择几个样本学校对学生进行体能达标测试,并规定测试成绩低于60分为不合格,否则为合格,若样本学校学生不合格人数不超过其总人数的5%,则该样本学校体能达标为合格.已知某样本学校共有1 000名学生,现从中随机抽取40名学生参加体能达标测试,首先将这40名学生随机分为甲、乙两组,其中甲乙两组学生人数的比为3∶2,测试后,两组各自的成绩统计如下:甲组的平均成绩为70,方差为16,乙组的平均成绩为80,方差为36.(1)估计该样本学校学生体能测试的平均成绩;(2)求该样本学校40名学生测试成绩的标准差s;
(注:1.本题所有数据的最后结果都精确到整数;2.若随机变量Z服从正态分布,则P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)≈0.997 3)
题型五 概率与分布列及其他知识综合交汇【例8】 (2019全国1,理21)为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得-1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得-1分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X.
(1)求X的分布列;(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,pi(i=0,1,…,8)表示“甲药的累计得分为i时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则p0=0,p8=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).假设α=0.5,β=0.8.①证明:{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)为等比数列;②求p4,并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.
解 (1)X的所有可能取值为-1,0,1.P(X=-1)=(1-α)β,P(X=0)=αβ+(1-α)(1-β),P(X=1)=α(1-β).所以X的分布列为
(2)①证明 由(1)得a=0.4,b=0.5,c=0.1.因此pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1,故0.1(pi+1-pi)=0.4(pi-pi-1),即pi+1-pi=4(pi-pi-1).又因为p1-p0=p1≠0,所以{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)为公比为4,首项为p1的等比数列.
解题心得若离散型随机变量分布列与其他知识交汇综合,则需把问题分解成各个基础知识进行逐个求解.本题就是利用递推关系式证明等比数列、累加法求解数列通项公式和数列中的项的问题.
对点训练8(2020甘肃兰大附中高三月考)垃圾分类,是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、分类投放和分类搬运,从而转变成公共资源的一系列活动的总称.分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值,力争物尽其用.2019年6月25日,生活垃圾分类制度入法.到2020年底,先行先试的46个重点城市,要基本建成垃圾分类处理系统;其他地级城市实现公共机构生活垃圾分类全覆盖.某机构欲组建一个有关“垃圾分类”相关事宜的项目组,对各个地区“垃圾分类”的处理模式进行相关报道.该机构从600名员工中进行筛选,筛选方法:每位员工测试A,B,C三项工作,3项测试中至少2项测试“不合格”的员工,将被认定为“暂定”,有且只有一项测试“不合格”的员工将再测试A,B两项,如果这两项中有1项以上(含1项)测试“不合格”,将也被认定为“暂定”,每位员工测试A,B,C三项工作相互独立,每一项测试“不合格”的概率均为p(0
一、考查范围全面概率与统计解答题对知识点的考查较为全面,近五年的试题考点覆盖了概率与统计的各个章节内容,考查了抽样方法、统计图表、数据的数字特征、用样本估计总体、回归分析、相关系数的计算、独立性检验、古典概型、条件概率、相互独立事件的概率、独立重复试验的概率、离散型随机变量的分布列、数学期望与方差、超几何分布、二项分布、正态分布等基础知识和基本方法.
二、考查方向分散从近五年的高考试题来看,对概率与统计的考查主要有四个方面:一是统计与统计案例,其中回归分析、相关系数的计算、独立性检验、用样本的数字特征估计总体的数字特征是考查重点,常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、概率等知识交汇考查;二是统计与概率分布的综合,常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、频率、概率以及函数知识、概率分布列等知识交汇考查;三是期望与方差的综合应用,常与离散型随机变量、概率、相互独立事件、二项分布等知识交汇考查;四是以生活中的实际问题为背景将正态分布与随机变量的期望和方差相结合综合考查.
三、考查难度波动前几年来看,高考对概率与统计解答题的考查难度相对稳定,一般都控制在中等或中等偏上的程度,多放在解答题的第18或19题位置,近两年难度有所提升,甚至放在后两道解答题位置,综合性较强.但实施新高考后,因为文理同卷,难度又回到中等.
题型一 相关关系的判断及回归分析【例1】 某基地蔬菜大棚采用无土栽培方式种植各类蔬菜.根据过去50周的资料显示,该基地周光照量X(单位:小时)都在30小时以上,其中不足50小时的有5周,不低于50小时且不超过70小时的有35周,超过70小时的有10周.根据统计,
该基地的西红柿增加量y(单位:千克)与使用某种液体肥料的质量x(单位:千克)之间的关系如图所示.
(1)依据上图,是否可用线性回归模型拟合y与x的关系?请计算相关系数r并加以说明(精确到0.01).(若|r|>0.75,则线性相关程度很高,可用线性回归模型拟合)(2)蔬菜大棚对光照要求较大,某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪,但每周光照控制仪运行台数受周光照量X限制,并有如下关系:
若某台光照控制仪运行,则该台光照控制仪周利润为3 000元;若某台光照控制仪未运行,则该台光照控制仪周亏损1 000元.以频率作为概率,商家欲使周总利润的均值达到最大,应安装光照控制仪多少台?
(2)记商家周总利润为Y元,由条件可知至少需安装1台,最多安装3台光照控制仪.①安装1台光照控制仪可获得周总利润3 000元.②安装2台光照控制仪的情形:当X>70时,只有1台光照控制仪运行,此时周总利润Y=3 000-1 000=2 000(元),所以E(Y)=2 000×0.2+6 000×0.8=5 200(元).
故Y的分布列为所以E(Y)=1 000×0.2+5 000×0.7+9 000×0.1=4 600(元).综上可知,为使商家周总利润的均值达到最大,应该安装2台光照控制仪.
解题心得在求两变量相关系数和两变量的回归方程时,由于r和 的公式组成比较复杂,求它们的值计算量比较大,为了计算准确,可将其分成几个部分分别计算,这样等同于分散难点,各个攻破,提高了计算的准确度.
对点训练1 近年来,随着互联网技术的快速发展,共享经济覆盖的范围迅速扩张,继共享单车、共享汽车之后,共享房屋以“民宿”“农家乐”等形式开始在很多平台上线.某创业者计划在某景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”,为了确定未来发展方向,此创业者对该景区附近六家“农家乐”跟踪调查了100天.得到的统计数据如下表,x为收费标准(单位:元/日),t为入住天数(单位:天),以频率作为各自的“入住率”,收费标准x与“入住率”y的散点图如图.
(1)若从以上六家“农家乐”中随机抽取两家深入调查,记ξ为“入住率”超过0.6的农家乐的个数,求ξ的概率分布列.
(3)若一年按365天计算,试估计收费标准为多少时,年销售额L最大?(年销售额L=365·入住率·收费标准x)
题型二 独立性检验的综合问题【例2】 (2020新高考全国1,19)为加强环境保护,治理空气污染,环境监测部门对某市空气质量进行调研,随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位:μg/m3),得下表:
(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度不超过150”的概率;(2)根据所给数据,完成下面的2×2列联表:
(3)根据(2)中的列联表,依据α=0.01的独立性检验,能否认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关联.
(3)零假设为H0:该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度无关联.根据列联表中的数据,经计算得到根据小概率值α=0.01的独立性检验,推断H0不成立,即认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关联,此推断犯错误的概率不大于0.01.
解题心得有关独立性检验的问题的解题步骤:(1)作出2×2列联表;(2)计算随机变量χ2的值;(3)查临界值,检验作答.
对点训练2手机支付也称为移动支付,是指允许用户使用其移动终端(通常是手机)对所消费的商品或服务进行账务支付的一种服务方式.随着信息技术的发展,手机支付越来越成为人们喜欢的支付方式.某机构对某地区年龄在15到75岁的人群“是否使用手机支付”的情况进行了调查,随机抽取了100人,其年龄频率分布表和使用手机支付的人数如下所示:(年龄单位:岁)
(1)若以45岁为分界点,根据以上统计数据填写下面的2×2列联表,依据α=0.001的独立性检验,能否认为“使用手机支付”与年龄有关联.
(2)若从年龄在[55,65),[65,75]的样本中各随机选取2人进行座谈,记选中的4人中“使用手机支付”的人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.参考数据:
解 (1)由统计表可得,低于45岁人数为70人,不低于45岁人数为30人,可得列联表如下
零假设为H0:“使用手机支付”与年龄无关联.根据列联表中的数据,经计算得到根据小概率值α=0.001的独立性检验,推断H0不成立,即认为“使用手机支付”与年龄有关联,此推断犯错误的概率不大于0.001.
(2)由题意可知,年龄段在[55,65),[65,75]中不使用手机支付的人数分别为3,2.X的所有可能取值为0,1,2,3,相应的概率为
题型三 离散型随机变量的分布列类型一 互斥事件、独立事件的概率及分布列【例3】 随着小汽车的普及,“驾驶证”已经成为现代入“必考”的证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试,要顺利地拿到驾驶证,他需要通过四个科目的考试,其中科目二为场地考试.在一次报名中,每个学员有5次参加科目二考试的机会(这5次考试机会中任何一次通过考试,就算顺利通过,即进入下一科目考试;若5次都没有通过,则需重新报名),其中前2次参加科目二考试免费,若前2次都没有通过,则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校对以往2 000个学员第1次参加科目二考试进行了统计,得到下表:
若以上表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率,且每人每次是否通过科目二考试相互独立.现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试,在本次报名中,若这对夫妻参加科目二考试的原则为:通过科目二考试或者用完所有机会为止.(1)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率;(2)若这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过,记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为X,求X的分布列与数学期望.
解 事件Ai表示男学员在第i次考科目二通过,事件Bi表示女学员在第i次考科目二通过(其中i=1,2,3,4,5).(1)事件M表示这对夫妻考科目二都不需要交补考费.
解题心得使用简洁、准确的数学语言描述解答过程是解答这类问题并得分的根本保证.引进字母表示事件可使得事件的描述简单而准确,使得问题描述有条理,不会有遗漏,也不会重复.
对点训练3(2020广西桂林高三模拟)某企业为抓住机遇,计划在某地建立猕猴桃饮品基地,进行饮品A,B,C的开发.(1)在对三种饮品市场投放的前期调研中,对100名试饮人员进行抽样调查,得到对三种饮品选择情况的条形图.若饮品A的百件利润为400元,饮品B的百件利润为300元,饮品C的百件利润为700元,请估计三种饮品的平均百件利润;
(2)为进一步提高企业利润,企业决定对饮品C进行加工工艺的改进和饮品D的研发.已知工艺改进成功的概率为 ,开发新饮品成功的概率为 ,且工艺改进与饮品研发相互独立.①求工艺改进和新品研发恰有一项成功的概率;②若工艺改进成功则可为企业获利80万元,不成功则亏损30万元,若饮品研发成功则获利150万元,不成功则亏损70万元,求该企业获利ξ的数学期望.
类型二 超几何分布【例4】 某市为了解本市1万名小学生的普通话水平,在全市范围内进行了普通话测试,测试后对每个小学生的普通话测试成绩进行统计,发现总体(1万名小学生普通话测试成绩)服从正态分布N(69,49).(1)从这1万名小学生中任意抽取1名小学生,求这名小学生的普通话测试成绩在[62,90]内的概率;(2)现在从总体中随机抽取12名小学生的普通话测试成绩,对应的数据如下:50,52,56,62,63,68,65,64,72,80,67,90.从这12个数据中随机选取4个,记X表示大于总体平均分的个数,求X的方差.参考数据:若Y~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤Y≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤Y≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤Y≤μ+3σ)≈0.997 3.
解题心得判断一个随机变量是否服从超几何分布,关键是要看随机变量是否满足超几何分布的特征:①不放回抽样;②一个总体(共有N个)内含有两种不同的事物A(有M个),B(有N-M个),任取n个,其中恰有X个A.符合以上特征即可断定随机变量服从超几何分布.满足超几何分布模型的事件的总体都是由较明显的两部分组成,如男生,女生;正品,次品;优,劣等.
对点训练4(2020北京东城模拟,17)体温是人体健康状况的直接反应,一般认为成年人腋下温度T(单位:℃)平均在36 ℃~37 ℃之间即为正常体温,超过37.1 ℃即为发热.发热状态下,不同体温可分成以下三种发热类型,低热:37.1≤T≤38;高热:38
(1)求住院期间该患者体温不低于39 ℃的各天体温平均值;(2)在19~23日期间,医生会随机选取3天在测量体温的同时为该患者进行某一特殊项目“α项目”的检查,记X为高热体温下做“α项目”检查的天数,试求X的分布列与数学期望;(3)抗生素治疗一般在服药后2~8个小时就能出现血液浓度的高峰,开始杀灭细菌,达到消炎退热效果.假设三种抗生素治疗效果相互独立,请依据表中数据,判断哪种抗生素治疗效果最佳,并说明理由.
(3)说明“抗生素B”治疗效果最佳可使用如下理由:自使用“抗生素B”开始治疗后,体温才开始稳定下降,且使用“抗生素B”治疗当天共降温0.7 ℃,是单日降温效果最好的一天,故“抗生素B”治疗效果最佳.说明“抗生素C”治疗效果最佳可使用如下理由:①“抗生素B”使用期间先连续两天降温1.0 ℃又回升0.1 ℃,“抗生素C”使用期间持续降温共计1.4 ℃,说明“抗生素C”降温效果最好,故“抗生素C”治疗效果最佳.②“抗生素B”治疗期间,平均体温约为39.03 ℃,方差约为0.015 6;“抗生素C”治疗期间,平均体温约为38 ℃,方差约为0.106 7,“抗生素C”治疗期间体温离散程度大,说明存在某个时间节点降温效果明显,故“抗生素C”治疗效果最佳.
类型三 古典概型及分布列的综合【例5】 为提升学生的文化素养,养成多读书、读好书的文化生活习惯,某中学开展图书漂流活动,让图书发挥它的最大价值,该校某班图书角有文学名著类图书5本,学科辅导书类图书3本,其他类图书2本,共10本不同的图书,该班班委会从图书角的10本不同的图书中随机挑选3本不同的图书参加学校的图书漂流活动.(1)求选出的三本图书来自两个不同类别的概率;(2)设随机变量X表示选出的3本图书中,文学名著类本数与学科辅导类本数差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望.
解题心得利用古典概型求解分布列的概率一定要注意事件的等可能性以及事件的组成,若涉及排列、组合求解基本事件的个数,则需分清元素有序与无序,分清排列还是组合,做到不重不漏.
对点训练5(2020山西临汾高三模拟)元旦期间,某轿车销售商为了促销,给出了两种优惠方案,顾客只能选择其中的一种.方案一:每满6万元,可减6千元;方案二:金额超过6万元(含6万元),可摇号三次,其规则是依次从装有2个幸运号、2个吉祥号的一号摇号机,装有2个幸运号、2个吉祥号的二号摇号机,装有1个幸运号、3个吉祥号的三号摇号机各摇号一次,其优惠情况为:若摇出3个幸运号则打6折,若摇出2个幸运号则打7折;若摇出1个幸运号则打8折;若没摇出幸运号则不打折.(1)若某型号的车正好6万元,两个顾客都选择第二种方案,求至少有一名顾客比选择方案一更优惠的概率;(2)若购买一款价格为10万元的轿车,应选择哪种付款方案.
类型四 二项分布【例6】 某兴趣小组在科学馆的帕斯卡三角仪器前进行探究实验.如图所示,每次使一个实心小球从帕斯卡三角仪器的顶部入口落下,当它在依次碰到每层的菱形挡板时,会等可能地向左或者向右落下,在最底层的7个出口处各放置一个容器接住小球,该小组连续进行200次试验,并统计容器中的小球个数得到柱状图:
(1)用该实验来估测小球落入4号容器的概率,若估测结果的误差小于5%,则称该实验是成功的.试问:该兴趣小组进行的实验是否成功?(2)再取3个小球进行试验,设其中落入4号容器的小球个数为X,求X的分布列与数学期望.(计算时采用概率的理论值).
解题心得对于实际问题中的随机变量X,如果能够断定它服从二项分布B(n,p),则其概率、均值与方差可直接利用公式 (k=0,1,2,…,n),E(X)=np,D(X)=np(1-p)求得,因此,熟记二项分布的相关公式,可以避免烦琐的运算过程,提高运算速度和准确度.
对点训练6某发电厂新引进4台发电机,已知每台发电机一个月中至多出现1次故障,且每台发电机是否出现故障是相互独立的,出现故障时需1名工人进行维修,每台发电机出现故障的概率为 .(1)若一个月中出现故障的发电机台数为X,求X的分布列及数学期望E(X)和方差D(X);(2)该发电厂至少有多少名工人,才能保证每台发电机在任何时刻同时出现故障时,能及时进行维修的概率不少于90%?(3)已知一名工人每月只有维修1台发电机的能力,每台发电机不出现故障或出现故障能及时维修,就使该厂产生2万元的利润,否则将不产生利润,若该发电厂现有2名工人,要使求该发电厂每月获利的均值不少于6万元,则该发电厂每月需支付给每位工人的工资最多为多少万元?
(2)设该厂有n名工人,则“每台发电机在任何时刻同时出现故障能及时进行维修”为事件“发生故障的发电机台数X≤n”,即X=0,X=1,…,X=n,这n+1个互斥事件的和事件,则
题型四 样本的均值、方差与正态分布的综合【例7】 某学校高二年级举行了由全体学生参加的一分钟跳绳比赛,计分规则如下表:
年级组为了解学生的体质,随机抽取了100名学生的跳绳个数作为一个样本,绘制了如下样本频率分布直方图.
(1)现从样本的100名学生的跳绳个数中,任意抽取2人的跳绳个数,求两人得分之和小于35分的概率;(2)若该校高二年级共有2 000名学生,所有学生的一分钟跳绳个数X近似服从正态分布N(μ,σ2),其中σ2≈225,μ为样本平均数的估计值
(同一组中数据以这组数据所在区间中点值作代表).利用所得的正态分布模型,解决以下问题:①估计每分钟跳绳164个以上的人数(结果四舍五入到整数);②若在全年级所有学生中随机抽取3人,每分钟跳绳在179个以上的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望与方差.附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
解 (1)设“两人得分之和小于35分”为事件A,则事件A包括以下四种情况:①两人得分均为16分;②两人中一人16分,一人17分;③两人中一人16分,一人18分;④两人均17分.由频率分布直方图可得,得16分的有6人,得17分的有12人,得18分的有18人,则由古典概型的概率计算公式可得
解题心得解决正态分布有关的问题,在理解μ,σ2意义的情况下,记清正态分布的密度曲线是一条关于x=μ对称的钟形曲线,很多问题都是利用图象的对称性解决的.
对点训练7某市要对全市中小学生“体能达标”情况进行了解,决定通过随机抽样选择几个样本学校对学生进行体能达标测试,并规定测试成绩低于60分为不合格,否则为合格,若样本学校学生不合格人数不超过其总人数的5%,则该样本学校体能达标为合格.已知某样本学校共有1 000名学生,现从中随机抽取40名学生参加体能达标测试,首先将这40名学生随机分为甲、乙两组,其中甲乙两组学生人数的比为3∶2,测试后,两组各自的成绩统计如下:甲组的平均成绩为70,方差为16,乙组的平均成绩为80,方差为36.(1)估计该样本学校学生体能测试的平均成绩;(2)求该样本学校40名学生测试成绩的标准差s;
(注:1.本题所有数据的最后结果都精确到整数;2.若随机变量Z服从正态分布,则P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)≈0.997 3)
题型五 概率与分布列及其他知识综合交汇【例8】 (2019全国1,理21)为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得-1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得-1分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X.
(1)求X的分布列;(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,pi(i=0,1,…,8)表示“甲药的累计得分为i时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则p0=0,p8=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).假设α=0.5,β=0.8.①证明:{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)为等比数列;②求p4,并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.
解 (1)X的所有可能取值为-1,0,1.P(X=-1)=(1-α)β,P(X=0)=αβ+(1-α)(1-β),P(X=1)=α(1-β).所以X的分布列为
(2)①证明 由(1)得a=0.4,b=0.5,c=0.1.因此pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1,故0.1(pi+1-pi)=0.4(pi-pi-1),即pi+1-pi=4(pi-pi-1).又因为p1-p0=p1≠0,所以{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)为公比为4,首项为p1的等比数列.
解题心得若离散型随机变量分布列与其他知识交汇综合,则需把问题分解成各个基础知识进行逐个求解.本题就是利用递推关系式证明等比数列、累加法求解数列通项公式和数列中的项的问题.
对点训练8(2020甘肃兰大附中高三月考)垃圾分类,是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、分类投放和分类搬运,从而转变成公共资源的一系列活动的总称.分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值,力争物尽其用.2019年6月25日,生活垃圾分类制度入法.到2020年底,先行先试的46个重点城市,要基本建成垃圾分类处理系统;其他地级城市实现公共机构生活垃圾分类全覆盖.某机构欲组建一个有关“垃圾分类”相关事宜的项目组,对各个地区“垃圾分类”的处理模式进行相关报道.该机构从600名员工中进行筛选,筛选方法:每位员工测试A,B,C三项工作,3项测试中至少2项测试“不合格”的员工,将被认定为“暂定”,有且只有一项测试“不合格”的员工将再测试A,B两项,如果这两项中有1项以上(含1项)测试“不合格”,将也被认定为“暂定”,每位员工测试A,B,C三项工作相互独立,每一项测试“不合格”的概率均为p(0
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