2021高考数学（文）大一轮复习习题升级增分训练简化解析几何运算的5个技巧 word版含答案

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这是一份2021高考数学（文）大一轮复习习题升级增分训练简化解析几何运算的5个技巧 word版含答案，共8页。试卷主要包含了已知双曲线C等内容，欢迎下载使用。

A．eq \f(\r(3),3) B．eq \f(2,3)
C．eq \f(\r(2),2) D．1
解析：选C 如图所示，设P(x0，y0)(y0＞0)，
则yeq \\al(2,0)＝2px0，
即x0＝eq \f(y\\al(2,0),2p)．
设M(x′，y′)，
由eq \(PM,\s\up7(―→))＝2eq \(MF,\s\up7(―→))，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′－x0＝2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)－x′))，,y′－y0＝20－y′，))
化简可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝\f(p＋x0,3)，,y′＝\f(y0,3).))
∴直线OM的斜率为k＝eq \f(\f(y0,3),\f(p＋x0,3))＝eq \f(y0,p＋\f(y\\al(2,0),2p))＝eq \f(2p,\f(2p2,y0)＋y0)≤eq \f(2p,2\r(2p2))＝eq \f(\r(2),2)(当且仅当y0＝eq \r(2)p时取等号)．
2．设双曲线eq \f(x2,a)＋eq \f(y2,b)＝1的一条渐近线为y＝－2x，且一个焦点与抛物线y＝eq \f(1,4)x2的焦点相同，则此双曲线的方程为( )
A．eq \f(5,4)x2－5y2＝1 B．5y2－eq \f(5,4)x2＝1
C．5x2－eq \f(5,4)y2＝1 D．eq \f(5,4)y2－5x2＝1
解析：选D 因为x2＝4y的焦点为(0,1)，
所以双曲线的焦点在y轴上．
因为双曲线的一条渐近线为y＝－2x，
所以设双曲线的方程为y2－4x2＝λ(λ＞0)，
即eq \f(y2,λ)－eq \f(x2,\f(λ,4))＝1，
则λ＋eq \f(λ,4)＝1，λ＝eq \f(4,5)，
所以双曲线的方程为eq \f(5,4)y2－5x2＝1，故选D．
3．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c,0)，P为双曲线上任一点，且eq \(PF1,\s\up7(―→))·eq \(PF2,\s\up7(―→))最小值的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)c2，－\f(1,2)c2))，则该双曲线的离心率的取值范围为( )
A．(1，eq \r(2)] B．[eq \r(2)，2]
C．(0，eq \r(2)] D．．
4．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，斜率为eq \f(4,3)的直线交抛物线于A，B两点，若eq \(AF,\s\up7(―→))＝λeq \(FB,\s\up7(―→)) (λ＞1)，则λ的值为( )
A．5 B．4
C．eq \f(4,3) D．eq \f(5,2)
解析：选B 根据题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由eq \(AF,\s\up7(―→))＝λeq \(FB,\s\up7(―→))，
得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)－x1，－y1))＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－\f(p,2)，y2))，
故－y1＝λy2，即λ＝－eq \f(y1,y2)．
设直线AB的方程为y＝eq \f(4,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，
联立直线与抛物线方程，
消元得y2－eq \f(3,2)py－p2＝0．
故y1＋y2＝eq \f(3,2)p，y1y2＝－p2，
eq \f(y1＋y22,y1y2)＝eq \f(y1,y2)＋eq \f(y2,y1)＋2＝－eq \f(9,4)，
即－λ－eq \f(1,λ)＋2＝－eq \f(9,4)．
又λ＞1，解得λ＝4．
5．(2015·四川高考)设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)2＋y2＝r2(r>0)相切于点M，且M为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是( )
A．(1,3) B．(1,4)
C．(2,3) D．(2,4)
解析：选D 设Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,1),4)，y1))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,2),4)，y2))，Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,1)＋y\\al(2,2),8)，\f(y1＋y2,2)))，C(5,0)为圆心，当y1≠－y2时，kAB＝eq \f(4,y1＋y2)，kCM＝eq \f(4y1＋y2,y\\al(2,1)＋y\\al(2,2)－40)，由kAB·kCM＝－1⇒yeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,2)＝24，所以Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(y1＋y2,2)))，又r2＝|CM|2＝4＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y1＋y2,2)))2＝10＋eq \f(1,2)y1y2，所以(2r2－20)2＝yeq \\al(2,1)yeq \\al(2,2)，所以yeq \\al(2,1)，yeq \\al(2,2)是方程t2－24t＋(2r2－20)2＝0的两个不同的正根，由Δ＞0得2＜r＜4．综上，r的取值范围是(2,4)．
6．中心为原点，一个焦点为F(0,5eq \r(2))的椭圆，截直线y＝3x－2所得弦中点的横坐标为eq \f(1,2)，则该椭圆方程为( )
A．eq \f(2x2,75)＋eq \f(2y2,25)＝1 B．eq \f(x2,75)＋eq \f(y2,25)＝1
C．eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,75)＝1 D．eq \f(2x2,25)＋eq \f(2y2,75)＝1
解析：选C 由已知得c＝5eq \r(2)，
设椭圆的方程为eq \f(x2,a2－50)＋eq \f(y2,a2)＝1，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,a2－50)＋\f(y2,a2)＝1，,y＝3x－2，))
消去y得(10a2－450)x2－12(a2－50)x＋4(a2－50)－a2(a2－50)＝0，设直线y＝3x－2与椭圆的交点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
由根与系数关系得x1＋x2＝eq \f(12a2－50,10a2－450)，
由题意知x1＋x2＝1，
即eq \f(12a2－50,10a2－450)＝1，
解得a2＝75，
所以该椭圆方程为eq \f(y2,75)＋eq \f(x2,25)＝1．
7．已知双曲线C：eq \f(x2,2)－y2＝1，点M的坐标为(0,1)．设P是双曲线C上的点，Q是点P关于原点的对称点．记λ＝eq \(MP,\s\up7(―→))·eq \(MQ,\s\up7(―→))，则λ的取值范围是________．
解析：设P(x0，y0)，则Q(－x0，－y0)，
λ＝eq \(MP,\s\up7(―→))·eq \(MQ,\s\up7(―→))
＝(x0，y0－1)·(－x0，－y0－1)
＝－xeq \\al(2,0)－yeq \\al(2,0)＋1
＝－eq \f(3,2)xeq \\al(2,0)＋2．
因为|x0|≥eq \r(2)，
所以λ的取值范围是(－∞，－1]．
答案：(－∞，－1]
8．(2017·长春质检)已知AB为圆x2＋y2＝1的一条直径，点P为直线x－y＋2＝0上任意一点，则eq \(PA,\s\up7(―→))·eq \(PB,\s\up7(―→))的最小值为________．
解析：由题意，设A(cs θ，sin θ)，P(x，x＋2)，
则B(－cs θ，－sin θ)，
∴eq \(PA,\s\up7(―→))＝(cs θ－x，sin θ－x－2)，
eq \(PB,\s\up7(―→))(－cs θ－x，－sin θ－x－2)，
∴eq \(PA,\s\up7(―→))·eq \(PB,\s\up7(―→))
＝(cs θ－x)(－cs θ－x)＋(sin θ－x－2)(－sin θ－x－2)
＝x2＋(x＋2)2－cs2θ－sin2θ
＝2x2＋4x＋3
＝2(x＋1)2＋1，
当且仅当x＝－1，
即P(－1，1)时，eq \(PA,\s\up7(―→))·eq \(PB,\s\up7(―→))取最小值1．
答案：1
9．设抛物线eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2pt2，,y＝2pt))(t为参数，p＞0)的焦点为F，准线为l．过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B．设Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)p，0))，AF与BC相交于点E．若|CF|＝2|AF|，且△ACE的面积为3eq \r(2)，则p的值为________．
解析：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2pt2，,y＝2pt))(p＞0)消去t可得抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，∴Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，|AB|＝|AF|＝eq \f(1,2)|CF|＝eq \f(3,2)p，可得A(p，eq \r(2)p)．
易知△AEB∽△FEC，
∴eq \f(|AE|,|FE|)＝eq \f(|AB|,|FC|)＝eq \f(1,2)，
故S△ACE＝eq \f(1,3)S△ACF＝eq \f(1,3)×3p×eq \r(2)p×eq \f(1,2)＝eq \f(\r(2),2)p2＝3eq \r(2)，
∴p2＝6．∵p＞0，∴p＝eq \r(6)．
答案：eq \r(6)
10．(2016·河北三市二联)已知离心率为eq \f(\r(6),3)的椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的一个焦点为F，过F且与x轴垂直的直线与椭圆交于A，B两点，|AB|＝eq \f(2\r(3),3)．
(1)求此椭圆的方程；
(2)已知直线y＝kx＋2与椭圆交于C，D两点，若以线段CD为直径的圆过点E(－1,0)，求k的值．
解：(1)设焦距为2c，
∵e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(6),3)，a2＝b2＋c2，
∴eq \f(b,a)＝eq \f(\r(3),3)，由题意可知eq \f(b2,a)＝eq \f(\r(3),3)，
∴b＝1，a＝eq \r(3)，
∴椭圆的方程为eq \f(x2,3)＋y2＝1．
(2)将y＝kx＋2代入椭圆方程，
得(1＋3k2)x2＋12kx＋9＝0，
又直线与椭圆有两个交点，
所以Δ＝(12k)2－36(1＋3k2)＞0，
解得k2＞1．
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
则x1＋x2＝－eq \f(12k,1＋3k2)，x1x2＝eq \f(9,1＋3k2)，
若以CD为直径的圆过E点，
则eq \(eq \(PB,\s\up7(―→)),\s\up7(―→))·eq \(ED,\s\up7(―→))＝0，
即(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝0，
而y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4，
则(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2
＝(k2＋1)x1x2＋(2k＋1)(x1＋x2)＋5
＝eq \f(9k2＋1,1＋3k2)－eq \f(12k2k＋1,1＋3k2)＋5＝0，
解得k＝eq \f(7,6)，满足k2＞1．
11．(2016·山东高考节选)平面直角坐标系xOy中，椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率是eq \f(\r(3),2)，抛物线E：x2＝2y的焦点F是C的一个顶点．
(1)求椭圆C的方程．
(2)设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D．直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．求证：点M在定直线上．
解：(1)由题意知eq \f(\r(a2－b2),a)＝eq \f(\r(3),2)，
可得a2＝4b2．
因为抛物线E的焦点为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))，
所以b＝eq \f(1,2)，a＝1．
所以椭圆C的方程为x2＋4y2＝1．
(2)证明：设Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，\f(m2,2)))(m＞0)．
由x2＝2y，可得y′＝x，
所以直线l的斜率为m．
因此直线l的方程为y－eq \f(m2,2)＝m(x－m)，
即y＝mx－eq \f(m2,2)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)，
联立方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋4y2＝1，,y＝mx－\f(m2,2)，))
得(4m2＋1)x2－4m3x＋m4－1＝0．
由Δ＞0，
得0＜m2＜2＋eq \r(5)．(*)
由根与系数的关系得x1＋x2＝eq \f(4m3,4m2＋1)，
因此x0＝eq \f(2m3,4m2＋1)．
将其代入y＝mx－eq \f(m2,2)，
得y0＝eq \f(－m2,24m2＋1)．
因为eq \f(y0,x0)＝－eq \f(1,4m)，
所以直线OD的方程为y＝－eq \f(1,4m)x．
联立方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝－\f(1,4m)x，,x＝m，))
得点M的纵坐标yM＝－eq \f(1,4)，
所以点M在定直线y＝－eq \f(1,4)上．
12．(2016·合肥质检)已知中心在原点，焦点在y轴上的椭圆C，其上一点P到两个焦点F1，F2的距离之和为4，离心率为eq \f(\r(3),2)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线y＝kx＋1与曲线C交于A，B两点，求△OAB面积的取值范围．
解：(1)设椭圆的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)，
由题意可知2a＝4，eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)，又a2＋b2＝c2，
解得a＝2，c＝eq \r(3)，b＝1，
故椭圆C的方程为eq \f(y2,4)＋x2＝1．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋\f(y2,4)＝1，,y＝kx＋1))得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0，
故x1＋x2＝－eq \f(2k,k2＋4)，x1x2＝－eq \f(3,k2＋4)，①
设△OAB的面积为S，
由x1x2＝－eq \f(3,k2＋4)＜0，
知S＝eq \f(1,2)(|x1|＋|x2|)＝eq \f(1,2)|x1－x2|
＝eq \f(1,2)eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝2eq \r(\f(k2＋3,k2＋42))，
令k2＋3＝t，知t≥3，
∴S＝2eq \r(\f(1,t＋\f(1,t)＋2))．
对函数y＝t＋eq \f(1,t)(t≥3)，知y′＝1－eq \f(1,t2)＝eq \f(t2－1,t2)＞0，
∴y＝t＋eq \f(1,t)在t∈[3，＋∞)上单调递增，
∴t＋eq \f(1,t)≥eq \f(10,3)，
∴0＜eq \f(1,t＋\f(1,t)＋2)≤eq \f(3,16)，∴0＜S≤eq \f(\r(3),2)，
即△OAB面积的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),2)))．