2021高考数学(文)大一轮复习习题 升级增分训练 利用导数探究含参数函数的性质 word版含答案
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1.已知函数f(x)=x-ax2-ln(1+x)(a>0).
(1)若x=2是f(x)的极值点,求a的值;
(2)求f(x)的单调区间.
解:f′(x)=,x∈(-1,+∞).
(1)依题意,得f′(2)=0,即=0,解得a=.
经检验,a=符合题意,故a的值为.
(2)令f′(x)=0,得x1=0,x2=-1.
①当0<a<1时,f(x)与f′(x)的变化情况如下:
x | (-1,x1) | x1 | (x1,x2) | x2 | (x2,+∞) |
f′(x) | - | 0 | + | 0 | - |
f(x) | | f(x1) | | f(x2) | |
∴f(x)的单调增区间是,单调减区间是(-1,0)和.
②当a=1时,f(x)的单调减区间是(-1,+∞).
③当a>1时,-1<x2<0,f(x)与f′(x)的变化情况如下:
x | (-1,x2) | x2 | (x2,x1) | x1 | (x1,+∞) |
f′(x) | - | 0 | + | 0 | - |
f(x) | | f(x2) | | f(x1) | |
∴f(x)的单调增区间是,单调减区间是和(0,+∞).
综上,当0<a<1时,f(x)的单调增区间是,
单调减区间是(-1,0)和;
当a=1时,f(x)的单调减区间是(-1,+∞);
当a>1时,f(x)的单调增区间是,单调减区间是和(0,+∞).
2.已知函数f(x)=
(1)求f(x)在区间(-∞,1)上的极小值和极大值点;
(2)求f(x)在(e为自然对数的底数)上的最大值.
解:(1)当x<1时,f′(x)=-3x2+2x=-x(3x-2),
令f′(x)=0,解得x=0或x=.
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x | (-∞,0) | 0 | |||
f′(x) | - | 0 | + | 0 | - |
f(x) | | 极小值 | | 极大值 | |
故当x=0时,函数f(x)取得极小值为f(0)=0,函数f(x)的极大值点为x=.
(2)①当-1≤x<1时,由(1)知,函数f(x)在和上单调递减,在上单调递增.
因为f(-1)=2,f=,f(0)=0,
所以f(x)在上单调递增,
则f(x)在上的最大值为f(e)=a.
综上所述,当a≥2时,f(x)在上的最大值为a;
当a<2时,f(x)在上的最大值为2.
3.已知函数f(x)=ax-1-ln x(a∈R).
(1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数;
(2)若函数f(x)在x=1处取得极值,∀x∈(0,+∞),f(x)≥bx-2恒成立,求实数b的取值范围.
解:(1)由已知得f′(x)=a-=(x>0).
当a≤0时,f′(x)≤0在(0,+∞)上恒成立,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,
∴f(x)在(0,+∞)上没有极值点.
当a>0时,由f′(x)<0,得0<x<,
由f′(x)>0,得x>,
∴f(x)在上单调递减,在上单调递增,
即f(x)在x=处有极小值.
∴当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上没有极值点,
当a>0时,f(x)在(0,+∞)上有一个极值点.
(2)∵函数f(x)在x=1处取得极值,
∴f′(1)=0,解得a=1,∴f(x)≥bx-2⇒1+-≥b,
令g(x)=1+-,则g′(x)=,
令g′(x)=0,得x=e2.
则g(x)在(0,e2)上单调递减,在(e2,+∞)上单调递增,
∴g(x)min=g(e2)=1-,即b≤1-,
故实数b的取值范围为.
4.已知方程f(x)·x2-2ax+f(x)-a2+1=0,其中a∈R,x∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在.
当a<0时,由(1)得,f(x)在(0,-a)上单调递减,在(-a,+∞)上单调递增,所以f(x)在.
综上所述,实数a的取值范围是(-∞,-1]∪(0,1].
5.设函数f(x)=x2-ax+b.
(1)讨论函数f(sin x)在内的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值;
(2)记f0(x)=x2-a0x+b0,求函数|f(sin x)-f0(sin x)|在上的最大值D;
(3)在(2)中,取a0=b0=0,求z=b-满足条件D≤1时的最大值.
解:(1)由题意,
f(sin x)=sin2x-asin x+b=sin x(sin x-a)+b,
则f′(sin x)=(2sin x-a)cos x,
因为-<x<,所以cos x>0,-2<2sin x<2.
①a≤-2,b∈R时,函数f(sin x)单调递增,无极值;
②a≥2,b∈R时,函数f(sin x)单调递减,无极值;
③对于-2<a<2,在内存在唯一的x0,使得2sin x0=a.
-<x≤x0时,函数f(sin x)单调递减;
x0≤x<时,函数f(sin x)单调递增.
因此,-2<a<2,b∈R时,函数f(sin x)在x0处有极小值f(sin x0)=f=b-.
(2)当-≤x≤时,|f(sin x)-f0(sin x)|=|(a0-a)sin x+b-b0|≤|a-a0|+|b-b0|,
当(a0-a)(b-b0)≥0,x=时等号成立,
当(a0-a)(b-b0)<0时,x=-时等号成立.
由此可知,|f(sin x)-f0(sin x)|在上的最大值为D=|a-a0|+|b-b0|.
(3)D≤1即为|a|+|b|≤1,
此时0≤a2≤1,-1≤b≤1,从而z=b-≤1.
取a=0,b=1,则|a|+|b|≤1,并且z=b-=1.
由此可知,z=b-满足条件D≤1的最大值为1.
6.已知函数f(x)=x-,g(x)=aln x(a∈R).
(1)当a≥-2时,求F(x)=f(x)-g(x)的单调区间;
(2)设h(x)=f(x)+g(x),且h(x)有两个极值点为x1,x2,其中x1∈,求h(x1)-h(x2)的最小值.
解:(1)由题意得F(x)=x--aln x(x>0),
则F′(x)=,令m(x)=x2-ax+1,则Δ=a2-4.
①当-2≤a≤2时,Δ≤0,从而F′(x)≥0,
所以F(x)的单调递增区间为(0,+∞);
②当a>2时,Δ>0,设F′(x)=0的两根为
x1=,x2=,
所以F(x)的单调递增区间为
和,
F(x)的单调递减区间为.
综上,当-2≤a≤2时,F(x)的单调递增区间为(0,+∞);
当a>2时,F(x)的单调递增区间为
和,
F(x)的单调递减区间为.
(2)对h(x)=x-+aln x,x∈(0,+∞)求导得,
h′(x)=1++=,
h′(x)=0的两根分别为x1,x2,则有x1·x2=1,x1+x2=-a,
所以x2=,从而有a=-x1-.
令H(x)=h(x)-h
=x-+ln x-
=2,
即H′(x)=2ln x=(x>0).
当x∈时,H′(x)<0,所以H(x)在上单调递减,
又H(x1)=h(x1)-h=h(x1)-h(x2),
所以min=H=5ln 2-3.