2021高考数学（理）大一轮复习习题：第四章 三角函数、解三角形 word版含答案

这是一份2021高考数学（理）大一轮复习习题：第四章 三角函数、解三角形 word版含答案，共120页。试卷主要包含了角的概念；2，任意角的三角函数等内容，欢迎下载使用。

第四章三角函数、解三角形
第一节
任意角和弧度制、任意角的三角函数

本节主要包括3个知识点：
1.角的概念；2.弧度制及其应用；
3.任意角的三角函数.


突破点(一)　角的概念
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．角的定义
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
2．角的分类
角的分类
3．终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”


终边相同的角
[例1]　(1)设集合M＝，N＝xx＝·180°＋45°，k∈Z，那么(　　)
A．M＝N B．M⊆N
C．N⊆M D．M∩N＝∅
(2)在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．
[解析]　(1)法一：由于M＝xx＝·180°＋45°，k∈Z＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，
N＝＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M⊆N.
法二：由于M中，x＝·180°＋45°＝k·90°＋45°＝45°·(2k＋1)，k∈Z,2k＋1是奇数；而N中，x＝·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k∈Z，k＋1是整数，因此必有M⊆N.
(2)所有与45°有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，
则令－720°≤45°＋k×360°<0°，得－765°≤k×360°<－45°，解得－≤k<－(k∈Z)，
从而k＝－2或k＝－1.将k＝－2，k＝－1分别代入β＝45°＋k×360°(k∈Z)，得β＝－675°或β＝－315°.
[答案]　(1)B　(2)－675°或－315°
[方法技巧]
终边相同角的集合的应用
利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角．　


象限角
[例2]　(1)给出下列四个命题：①－是第二象限角；②是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
(2)若角α是第二象限角，则是(　　)
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第一或第三象限角
D．第二或第四象限角
[解析]　(1)－＝－2π＝＋π－2π，从而－是第三象限角，故①错误；＝π＋，从而是第三象限角，故②正确；－400°＝－360°－40°，从而－400°是第四象限角，故③正确；－315°＝－360°＋45°，从而－315°是第一象限角，故④正确．
(2)∵α是第二象限角，
∴＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，
∴＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z.
当k为偶数时，是第一象限角；
当k为奇数时，是第三象限角．
[答案]　(1)C　(2)C
[方法技巧]
确定(n≥2，且n∈N*)的终边位置的方法
(1)讨论法
①用终边相同角的形式表示出角α的范围；
②写出的范围；
③根据k的可能取值讨论确定的终边所在位置．
(2)等分象限角的方法
已知角α是第m(m＝1,2,3,4)象限角，求是第几象限角．
①等分：将每个象限分成n等份；
②标注：从x轴正半轴开始，按照逆时针方向顺次循环标上1,2,3,4，直至回到x轴正半轴；
③选答：出现数字m的区域，即为的终边所在的象限．

能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1.给出下列命题：
①第二象限角大于第一象限角；
②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；
③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形半径的大小无关；
④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同；
⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角．
其中正确命题的个数是(　　)
A．1　　　　　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
解析：选A　由于第一象限角如370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin＝sin，但与的终边不相同，故④错；当cos θ＝－1，θ＝π时，θ既不是第二象限角，也不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确．
2.集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　)


解析：选C　当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋，此时α表示的范围与π＋≤α≤π＋表示的范围一样．比较各选项，可知选C.
3.若α为第一象限角，则β＝k·180°＋α(k∈Z)是第________象限角．
解析：∵α是第一象限角，∴k为偶数时，k·180°＋α的终边在第一象限；k为奇数时，k·180°＋α的终边在第三象限．即β＝k·180°＋α(k∈Z)是第一或第三象限角．
答案：一或三
4.终边在直线y＝x上的角的集合为________．
解析：终边在直线y＝x上的角的集合为αα＝kπ＋，k∈Z.
答案：αα＝kπ＋，k∈Z
5.已知α与150°角的终边相同，写出与α终边相同的角的集合，并判断是第几象限角．
解：与α终边相同的角的集合为{α|α＝k·360°＋150°，k∈Z}．
则＝k·120°＋50°，k∈Z.
若k＝3n(n∈Z)，是第一象限角；
若k＝3n＋1(n∈Z)，是第二象限角；
若k＝3n＋2(n∈Z)，是第四象限角．
故是第一、第二或第四象限角．
突破点(二)　弧度制及其应用

基础联通 抓主干知识的“源”与“流”

1．弧度制的定义
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
2．弧度制下的有关公式
角α的弧度数公式
|α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
①1°＝ rad；②1 rad＝°
弧长公式
弧长l＝|α|r
扇形面积公式
S＝lr＝|α|r2

考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”


扇形的弧长及面积公式

[典例]　(1)已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是(　　)
A．1 B．4 C．1或4 D．2或4
(2)若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB＝12 cm，则弧长l＝________cm.
[解析]　(1)设此扇形的半径为r，弧长为l，
则解得或
从而α＝＝＝4或α＝＝＝1.
(2)设扇形的半径为r cm，如图．
由sin 60°＝，得r＝4(cm)，
又α＝，
所以l＝|α|·r＝×4＝π(cm)．
[答案]　(1)C　(2)π
　[方法技巧]
弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略
(1)明确弧度制下弧长及扇形面积公式，在使用公式时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)分析题目已知哪些量、要求哪些量，然后灵活地运用弧长公式、扇形面积公式直接求解，或合理地利用圆心角所在三角形列方程(组)求解．　

能力练通 抓应用体验的“得”与“失”

1．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm，则扇形的面积为(　　)
A．40π cm2　　　　　　 B．80π cm2
C．40 cm2 D．80 cm2
解析：选B　∵72°＝，∴S扇形＝αr2＝××202＝80π(cm2)．
2．如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的倍，则该弧所对的圆心角是原来的________倍．
解析：设圆的半径为r，弧长为l，则其弧度数为.
将半径变为原来的一半，弧长变为原来的倍，
则弧度数变为＝3·，
即弧度数变为原来的3倍．
答案：3
3．弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为________，面积为________．
解析：由题可知，弧长l＝3π，圆心角α＝135°＝，
所以半径r＝＝＝4.面积S＝lr＝×3π×4＝6π.
答案：4　6π
4．已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？
解：设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝40.
又S＝θr2＝r(40－2r)＝r(20－r)＝－(r－10)2＋100≤100.
当且仅当r＝10时，Smax＝100，此时2×10＋10θ＝40，θ＝2.
所以当r＝10，θ＝2时，扇形的面积最大．

突破点(三)　任意角的三角函数

基础联通 抓主干知识的“源”与“流”

三角函数
正弦
余弦
正切
定义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么
y叫做α的正弦，记作sin α
x叫做α的余弦，记作cos α
叫做α的正切，记作tan α
各象限符号
Ⅰ
＋
＋
＋
Ⅱ
＋
－
－
Ⅲ
－
－
＋
Ⅳ
－
＋
－
三角函数线

有向线段MP为正弦线

有向线段OM为余弦线

有向线段AT为正切线

考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”


三角函数值的符号判定
[例1]　(1)若sin αtan α<0，且<0，则角α是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
(2)sin 2·cos 3·tan 4的值(　　)
A．小于0 B．大于0
C．等于0 D．不确定
[解析]　(1)由sin αtan α＜0可知sin α，tan α异号，则α为第二或第三象限角．
由＜0可知cos α，tan α异号，则α为第三或第四象限角．综上可知，α为第三象限角．
(2)2 rad,3 rad是第二象限角，所以sin 2>0，cos 3<0，4 rad是第三象限角，所以tan 4>0，故sin 2·cos 3·tan 4<0.
[答案]　(1)C　(2)A


根据三角函数的定义求三角函数值

[例2]　(1)已知角α的终边经过点P(4，－3)，则sin α＝________.
(2)若角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α， cos α和tan α的值．
[解析]　(1)sin α＝＝－.
(2)设α终边上任一点为P(－4a,3a)，
当a＞0时，r＝5a，sin α＝，cos α＝－，tan α＝－；
当a＜0时，r＝－5a，sin α＝－，cos α＝，tan α＝－.
[答案]　(1)－
[方法技巧]
由三角函数定义求三角函数值的方法
(1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解．
(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．　


由三角函数值求点的坐标
[例3]　(1)若角α的终边上有一点P(－4，a)，且sin α·cos α＝，则a的值为(　　)
A．4 B．±4
C．－4或－ D.
(2)若420°角的终边所在直线上有一点(x,3)，则x的值为________．
[解析]　(1)由三角函数的定义得sin α·cos α＝·＝＝，
即a2＋16a＋16＝0，
解得a＝－4或－.故选C.
(2)由三角函数的定义知tan 420°＝，
所以x＝＝＝.
[答案]　(1)C　(2)
[方法技巧]
求角α终边上点的坐标的类型及方法
(1)已知角α的某三角函数值，求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．
(2)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．

能力练通 抓应用体验的“得”与“失”

1.若θ是第二象限角，则下列选项中能确定为正值的是(　　)
A．sin B．cos
C．tan D．cos 2θ
解析：选C　由θ是第二象限角可得为第一或第三象限角，所以tan>0，故选C.
2.已知θ是第四象限角，则sin(sin θ)(　　)
A．大于0 B．大于等于0
C．小于0 D．小于等于0
解析：选C　∵θ是第四象限角，∴sin θ∈(－1,0)．令sin θ＝α，当－1<α<0时，sin α<0.故sin(sin θ)<0.
3.已知角α的终边与单位圆的交点P，则tan α＝(　　)
A. B．±
C. D．±
解析：选B　因为P在单位圆上，所以x2＋2＝1，解得x＝±.所以tan α＝±.
4.设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cos α＝x，则tan α＝(　　)
A. B.
C．－ D．－
解析：选D　∵α是第二象限角，∴x<0.
又由题意知＝x，
解得x＝－3.
∴tan α＝＝－.
5.已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围是________．
解析：∵cos α≤0，sin α＞0，
∴即－2 答案：(－2,3]

近五年全国卷对本节内容未直接考查

[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考
[练基础小题——强化运算能力]
1．若cos α>0且tan α<0，则α是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：选D　由cos α>0，得α的终边在第一或第四象限或x轴非负半轴上，又由tan α<0，得α的终边在第二或第四象限，所以α是第四象限角．
2．若α＝k·360°＋θ，β＝m·360°－θ(k，m∈Z)，则角α与β的终边的位置关系是(　　)
A．重合 B．关于原点对称
C．关于x轴对称 D．关于y轴对称
解析：选C　角α与θ终边相同，β与－θ终边相同．又角θ与－θ的终边关于x轴对称，所以角α与β的终边关于x轴对称．
3．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0<α<π)的弧度数为(　　)
A. B.
C. D．2
解析：选C　设圆的半径为r，则其内接正三角形的边长为r.根据题意，由r＝αr，得α＝.
4．角α的终边与直线y＝3x重合，且sin α<0，又P(m，n)是角α终边上一点，且|OP|＝，则m－n等于(　　)
A．2 B．－2
C．4 D．－4
解析：选A　∵角α的终边与直线y＝3x重合，且sin α<0，
∴角α的终边在第三象限．又P(m，n)是角α终边上一点，故m<0，n<0.又|OP|＝，∴解得m＝－1，n＝－3，故m－n＝2.
5．设角α是第三象限角，且＝－sin，则角是第________象限角．
解析：由角α是第三象限角，知2kπ＋π<α<2kπ＋(k∈Z)，则kπ＋< 答案：四
[练常考题点——检验高考能力]
一、选择题
1．已知sin θ－cos θ>1，则角θ的终边在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B　由已知得(sin θ－cos θ)2>1，即1－2sin θcos θ>1，则sin θcos θ<0.又由sin θ－cos θ>1知sin θ>cos θ，所以sin θ>0>cos θ，所以角θ的终边在第二象限．
2．若α是第三象限角，则y＝＋的值为(　　)
A．0 B．2
C．－2 D．2或－2
解析：选A　由于α是第三象限角，
所以是第二或第四象限角．
当是第二象限角时，sin>0，cos<0，
y＝＋＝1－1＝0；
当是第四象限角时，sin<0，cos>0，
y＝＋＝－1＋1＝0.故选A.
3．已知角α的终边经过一点P(x，x2＋1)(x>0)，则tan α的最小值为(　　)
A．1 B．2
C. D.
解析：选B　tan α＝＝x＋≥2 ＝2，当且仅当x＝1时取等号，即tan α的最小值为2.故选B.
4．如图，在直角坐标系xOy中，射线OP交单位圆O于点P，若∠AOP＝θ，则点P的坐标是(　　)
A．(cos θ，sin θ)
B．(－cos θ，sin θ)
C．(sin θ，cos θ)
D．(－sin θ，cos θ)
解析：选A　由三角函数定义知，点P的横坐标x＝cos θ，纵坐标y＝sin θ.
5．已知角α的终边与单位圆x2＋y2＝1交于P，则cos 2α＝(　　)
A．－ B．1
C. D．－
解析：选A　∵角α的终边与单位圆x2＋y2＝1交于P，
∴2＋(y0)2＝1，∴y0＝±，
则cos α＝，sin α＝±，
∴cos 2α＝cos2α－sin2α＝－.
6．(2017·连云港质检)已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　∵＝，
∴角α为第四象限角，且sin α＝－，cos α＝.
∴角α的最小正值为.
二、填空题
7．已知点P(sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，则θ是第________象限角．
解析：因为点P(sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，
所以即
所以θ为第二象限角．
答案：二
8．已知角α的终边上一点P(－，m)(m≠0)，且sin α＝，
则m＝________.
解析：由题设知点P的横坐标x＝－，纵坐标y＝m，
∴r2＝|OP|2＝(－)2＋m2(O为原点)，
即r＝.
∴sin α＝＝＝，
∴r＝＝2，
即3＋m2＝8，解得m＝±.
答案：±
9．一扇形的圆心角为120°，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________．
解析：设扇形半径为R，内切圆半径为r，如图．
则(R－r)sin 60°＝r，
即R＝r.
又S扇＝|α|R2＝××R2＝R2＝2r2＝πr2，S内切圆＝πr2，
所以＝.
答案：(7＋4)∶9
10．在(0,2π)内，使sin x>cos x成立的x的取值范围为________．
解析：如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x＝cos x的x值，sin＝cos＝，sin＝cos＝－.根据三角函数线的变化规律可知，满足题中条件的角x∈.
答案：
三、解答题
11．已知sin α＜0，tan α＞0.
(1)求角α的集合；
(2)求角终边所在的象限；
(3)试判断 tansin cos的符号．
解：(1)由sin α＜0，知角α的终边在第三、四象限或y轴的非正半轴上；
由tan α＞0, 知角α的终边在第一、三象限，
故角α的终边在第三象限，其集合为
.
(2)由2kπ＋π＜α＜2kπ＋，k∈Z，
得kπ＋＜＜kπ＋，k∈Z，
当k为偶数时，角终边在第二象限；
当k为奇数时，角终边在第四象限．
故角终边在第二或第四象限．
(3)当角在第二象限时，tan ＜0，
sin ＞0, cos ＜0，
所以tansincos取正号；
当在第四象限时， tan＜0，
sin＜0, cos＞0，
所以 tansincos也取正号．
因此，tansin cos 取正号．
12．已知扇形AOB的周长为8.
(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.
解：设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α，
(1)由题意可得
解得或
∴α＝＝或α＝＝6.
(2)∵2r＋l＝8，
∴S扇＝lr＝r(8－2r)＝r(4－r)＝－(r－2)2＋4≤4，
当且仅当r＝2，l＝4，
即α＝＝2时，扇形面积取得最大值4.
此时弦长AB＝2sin 1×2＝4sin 1.

第二 节
同角三角函数的基本关系与诱导公式

本节主要包括2个知识点：
1.同角三角函数的基本关系；
2.三角函数的诱导公式.

突破点(一)　同角三角函数的基本关系

基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．
(2)商数关系：tan α＝.
2．同角三角函数基本关系式的应用技巧
技巧
解读
适合题型
切弦互化
主要利用公式tan θ＝化成正弦、余弦，或者利用公式＝tan θ化成正切
表达式中含有sin θ，cos θ与tan θ
“1”的变换
1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝(sin θ±cos θ)2∓2sin θcos θ＝tan
表达式中需要利用“1”转化
和积转换
利用关系式(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ进行变形、转化
表达式中含有sin θ±cos θ或sin θcos θ

考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”


化简求值
[例1]　(2017·南京模拟)已知α为第二象限角，则cos α·＋sin α ＝________.
[解析]　原式＝cos α ＋sin α
＝cos α·＋ sin α·，
因为α是第二象限角，
所以sin α＞0, cos α＜0，
所以cos α·＋sin α·＝－1＋1＝0，即原式等于0.
[答案]　0

条件求值
[例2]　若tan α＝2，则
(1)＝________；
(2)4sin2α－3sin αcos α－5cos2α＝________.
[解析]　(1)＝＝＝－1.
(2)4sin2α－3sin αcos α－5cos2α
＝＝
＝＝1.
[答案]　(1)－1　(2)1
[方法技巧]
同角三角函数关系式应用的注意事项
(1)同角并不拘泥于角的形式，如sin2＋cos2＝1，＝tan 3x都成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．
(2)对于含有sin α，cos α的齐次式，可根据同角三角函数商的关系，通过除以某一齐次项，转化为只含有正切的式子，即化弦为切，整体代入．


　sin α±cos α与sin αcos α关系的应用
[例3]　已知x∈(－π，0)，sin x＋cos x＝.
(1)求sin x－cos x的值；
(2)求的值．
[解]　(1)由sin x＋cos x＝，
平方得sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝，
整理得2sin xcos x＝－.
∴(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝.
由x∈(－π，0)，知sin x<0，
又sin x＋cos x>0，
∴cos x>0，则sin x－cos x<0，
故sin x－cos x＝－.
(2)＝
＝＝＝－.

[方法技巧]
同角三角函数关系式的方程思想
对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，知一可求二，转化公式为(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，体现了方程思想的应用．　

能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1.若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值等于(　　)
A. B．－ C. D．－
解析：选D　因为α为第四象限角，故cos α＝＝ ＝，所以tan α＝＝＝－.
2.(2017·厦门质检)已知sin αcos α＝，且<α<，则cos α－sin α的值为(　　)
A．－ B. C．－ D.
解析：选B　∵<α<，∴cos α<0，sin α<0且|cos α|<|sin α|，∴cos α－sin α>0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，∴cos α－sin α＝.
3.已知sin α＋cos α＝，则tan α＝(　　)
A. B. C．－ D．－
解析：选A　∵sin α＋cos α＝，∴(sin α＋cos α)2＝3，即sin2α＋2sin αcos α＋2cos2α＝3，
∴＝3，∴＝3，
即2tan2α－2tan α＋1＝0，解得tan α＝.

4.sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝________.
解析：原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋sin245°＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin244°＋cos244°)＋＝＋＝44.
答案：44
5.已知tan α＝－，求：
(1)的值；
(2)的值；
(3)sin2α＋2sin αcos α的值．
解：(1)＝＝＝.
(2)＝＝＝＝＝－.
(3)sin2α＋2sin αcos α＝＝＝＝－.

突破点(二)　三角函数的诱导公式
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”

1．三角函数的诱导公式
组数
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin_α
－sin_α
－sin_α
sin_α
cos_α
cos_α
余弦
cos_α
－cos_α
cos_α
－cos_α
sin_α
－sin_α
正切
tan_α
tan_α
－tan_α
－tan_α


2.特殊角的三角函数值
角α
0°
30°
45°
60°
90°
120°
150°
180°
角α的弧度数
0






π
sin α
0



1


0
cos α
1



0
－
－
－1
tan α
0

1


－
－
0

考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”


诱导公式的应用

1.利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤

也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了”．
2．利用诱导公式化简三角函数的要求
(1)化简过程是恒等变形；
(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．
[典例]　(1)若sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，则＝(　　)
A. B. C. D.
(2)求值：sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＝________.
[解析]　(1)方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－，x2＝2，则sin α＝－.
原式＝＝－＝.
(2)原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°sin 1 050°
＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)
＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°
＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)
＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°
＝×＋×＝1.
[答案]　(1)B　(2)1

　[方法技巧]
应用诱导公式化简求值的注意事项
(1)已知角求值问题，关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用．
(2)对给定的式子进行化简或求值时，要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化．特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名出错．

能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．已知sin＝，那么cos α＝(　　)
A．－ B．－ C. D.
解析：选C　∵sin＝sin＝cos α，∴cos α＝.
2．sin 210°cos 120°的值为(　　)
A. B．－ C．－ D.
解析：选A　sin 210°cos 120°＝－sin 30°(－cos 60°)＝－×＝.
3．已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是(　　)
A．{1，－1,2，－2} B．{－1,1}
C．{2，－2} D．{1，－1,0,2，－2}
解析：选C　k为偶数时，A＝＋＝2；k为奇数时，A＝＋＝－2.则A的值构成的集合为{2，－2}．
4．已知tan＝，则tan＝________.
解析：tan＝tan＝tanπ－－α＝－tan＝－.
答案：－
5．已知α为第三象限角，
f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若cos＝，求f(α)的值．
解：(1)f(α)＝
＝＝－cos α.
(2)∵cos＝，
∴－sin α＝，从而sin α＝－.
又α为第三象限角，
∴cos α＝－＝－，
∴f(α)＝－cos α＝.
[全国卷5年真题集中演练——明规律]
1.(2016·全国丙卷)若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝(　　)
A. B.
C．1 D.
解析：选A　因为tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝＝＝＝.故选A.
2．(2016·全国乙卷)已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________.
解析：由题意知sin＝，θ是第四象限角，
所以cos＞0，
所以cos＝ ＝.
则tan＝tan
＝－
＝－
＝－×＝－.
答案：－
[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考
[练基础小题——强化运算能力]
1．若α∈，sin α＝－，则cos(－α)＝(　　)
A．－ B.
C. D．－
解析：选B　因为α∈，sin α＝－，所以cos α＝，则cos(－α)＝cos α＝.
2．若sin θcos θ＝，则tan θ＋的值是(　　)
A．－2 B．2
C．±2 D.
解析：选B　tan θ＋＝＋＝＝2.
3．已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|＜，则θ等于(　　)
A．－ B．－
C. D.
解析：选D　∵sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，∴－sin θ＝－cos θ，∴tan θ＝.∵|θ|＜，∴θ＝.
4．已知α∈，sin α＝，则tan α＝________.
解析：∵α∈，sin α＝，∴cos α＝－＝－，∴tan α＝＝－.
答案：－
5.＝________.
解析：原式＝
＝＝
＝＝1.
答案：1
[练常考题点——检验高考能力]
一、选择题
1．sin(－600°)的值为(　　)
A. B.
C．1 D.
解析：选A　sin(－600°)＝sin(－720°＋120°)＝sin 120°＝.
2．已知tan(α－π)＝，且α∈，则sin＝(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：选B　由tan(α－π)＝得tan α＝.又因为α∈，所以α为第三象限的角，由可得，sin α＝－，cos α＝－.所以sin＝cos α＝－.
3．已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2 017)的值为(　　)
A．－1 B．1
C．3 D．－3
解析：选D　∵f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β)
＝asin α＋bcos β＝3，
∴f(2 017)＝asin(2 017π＋α)＋bcos(2 017π＋β)
＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)
＝－asin α－bcos β
＝－(asin α＋bcos β)＝－3.
4．已知2tan α·sin α＝3，－<α<0，则sin α＝(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：选B　因为2tan α·sin α＝3，所以＝3，所以2sin2α＝3cos α，即2－2cos2α＝3cos α，所以cos α＝或cos α＝－2(舍去)，又－<α<0，所以sin α＝－.
5．若θ∈，sin θ·cos θ＝，则sin θ＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　∵sin θ·cos θ＝，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θ·cos θ＝，(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，∵θ∈，∴sin θ＋cos θ＝　①，sin θ－cos θ＝　②，联立①②得，sin θ＝.
6．(2017·长沙模拟)若sin θ，cos θ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为(　　)
A．1＋ B．1－
C．1± D．－1－
解析：选B　由题意知，sin θ＋cos θ＝－，sin θcos θ＝.∵(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴＝1＋，解得m＝1±，又Δ＝4m2－16m≥0，∴m≤0或m≥4，∴m＝1－.
二、填空题
7．化简：·sin·cos＝________.
解析：·sin·cos＝·(－cos α)·(－sin α)＝－cos2α.
答案：－cos2α
8．若f(α)＝(k∈Z)，则f(2 017)＝________.
解析：①当k为偶数时，设k＝2n(n∈Z)，原式＝＝＝－1；
②当k为奇数时，设k＝2n＋1(n∈Z)，
原式＝
＝＝－1.
综上所述，当k∈Z时，f(α)＝－1，
故f(2 017)＝－1.
答案：－1
9．若角θ满足＝3，则tan θ的值为________．
解析：由＝3，得＝3，等式左边分子分母同时除以cos θ，得＝3，解得tan θ＝1.
答案：1
10．已知角A为△ABC的内角，且sin A＋cos A＝，则tan A的值为________．
解析：∵sin A＋cos A＝　①，
①式两边平方得1＋2sin Acos A＝，
∴sin Acos A＝－，
则(sin A－cos A)2＝1－2sin Acos A＝1＋＝，
∵角A为△ABC的内角，∴sin A>0，
又sin Acos A＝－<0，
∴cos A<0，
∴sin A－cos A>0，
则sin A－cos A＝　②.
由①②可得sin A＝，cos A＝－，
∴tan A＝＝＝－.
答案：－
三、解答题
11．已知sin(3π＋α)＝2sin，求下列各式的值：
(1)；
(2)sin2α＋sin 2α.
解：由已知得sin α＝2cos α.
(1)原式＝＝－.
(2)原式＝
＝＝.
12．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根分别是sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求：
(1)＋的值；
(2)m的值；
(3)方程的两根及此时θ的值．
解：(1)原式＝＋
＝＋
＝＝sin θ＋cos θ.
由条件知sin θ＋cos θ＝，
故＋＝.
(2)由已知，得sin θ＋cos θ＝，sin θcos θ＝，
又1＋2sin θcos θ＝(sin θ＋cos θ)2，可得m＝.
(3)由
得或
又θ∈(0,2π)，故θ＝或θ＝.
第三节
三角函数的图象与性质


本节主要包括2个知识点：
1.三角函数的定义域和值域；
2.三角函数的性质.

突破点(一)　三角函数的定义域和值域
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”

三角函数
正弦函数y＝sin x
余弦函数y＝cos x
正切函数y＝tan x
图象



定义域
R
R
xx∈R，且x

值域
[－1,1]
[－1,1]
R
最值
当且仅当x＝＋2kπ(k∈Z)时，取得最大值1；当且仅当x＝－＋2kπ(k∈Z)时，取得最小值－1
当且仅当x＝2kπ(k∈Z)时，取得最大值1；当且仅当x＝π＋2kπ(k∈Z)时，取得最小值－1


考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”


三角函数的定义域
[例1]　函数y＝lg(2sin x－1)＋的定义域是________．
[解析]　要使函数y＝lg(2sin x－1)＋有意义，
则即
解得2kπ＋≤x<2kπ＋，k∈Z.
即函数的定义域为，k∈Z.
[答案]　，k∈Z
[方法技巧]
三角函数定义域的求法
求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
[提醒]　解三角不等式时要注意周期，且k∈Z不可以忽略．　


三角函数的值域(最值)

求解三角函数的值域(最值)常见的题目类型：
(1)形如y＝asin x＋bcos x＋k的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求值域(最值)；
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋k的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
(3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
[例2]　(1)函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为(　　)
A．2－ B．0 C．－1 D．－1－
(2)函数y＝3－sin x－2cos2x，x∈的值域为________．
[解析]　(1)∵0≤x≤9，∴－≤x－≤，
∴sin∈.
∴y∈[－，2]，∴ymax＋ymin＝2－.
(2)∵x∈，∴sin x∈.
又y＝3－sin x－2cos2x＝3－sin x－2(1－sin2x)＝22＋，∴当sin x＝时，ymin＝；
当sin x＝－或sin x＝1时，ymax＝2.
故该函数的值域为.
[答案]　(1)A　(2)
[方法技巧]
三角函数值域或最值的三种求法
(1)直接法：直接利用sin x，cos x的值域求出．
(2)化一法：化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，确定ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)．
(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，转化为二次函数，求在给定区间上的值域(最值)问题．

能力练通 抓应用体验的“得”与“失”

1.函数y＝ 的定义域为(　　)
A.
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D．R
解析：选C　要使函数有意义，则cos x－≥0，即cos x≥，解得2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.
2.函数f(x)＝sin在区间上的最小值为(　　)
A．－1 B．－ C．0 D.
解析：选B　因为0≤x≤，所以－≤2x－≤，由正弦函数的图象知，－≤sin≤1，所以函数f(x)＝sin在区间上的最小值为－.
3.函数y＝的定义域为________．
解析：要使函数有意义，必须有
即故函数的定义域为xx≠＋kπ且x≠＋kπ，k∈Z.
答案：
4.函数y＝lg(sin 2x)＋的定义域为________．
解析：由
得
∴－3≤x<－或0 ∴函数y＝lg(sin 2x)＋的定义域为∪.
答案：∪
5.求函数y＝cos2x＋sin x的最大值与最小值．
解：令t＝sin x，则y＝－t2＋t＋1＝－2＋.
∵|x|≤，∴t∈，
∴当t＝时，ymax＝，当t＝－时，ymin＝.
∴函数y＝cos2x＋sin x的最大值为，最小值为.
突破点(二)　三角函数的性质
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”

函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象



最小正周期
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
2kπ－，
2kπ＋为增；
2kπ＋，
2kπ＋为减，k∈Z
[2kπ，2kπ＋π]为减；[2kπ－π，2kπ]为增，k∈Z
kπ－，kπ＋为增，k∈Z
对称中心
(kπ，0)，k∈Z
，k∈Z
，k∈Z
对称轴
x＝kπ＋，k∈Z
x＝kπ，k∈Z


考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”


三角函数的单调性
考法(一)　求三角函数的单调区间
[例1]　求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝sin，x∈[0，π]；
(2)f(x)＝|tan x|；
(3)f(x)＝cos，x∈.
[解]　(1)当－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，
即－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z时，函数f(x)是增函数．
当2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，
即2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z时，函数f(x)是减函数．
又x∈[0，π]，所以f(x)的单调递增区间为，
单调递减区间为.

(2)观察图象可知，y＝|tan x|的单调递增区间是，k∈Z，单调递减区间是kπ－，kπ，k∈Z.
(3)当2kπ－π≤2x－≤2kπ(k∈Z)，
即kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z时，函数f(x)是增函数；
当2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，即kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z时，函数f(x)是减函数．
因此函数f(x)在上的单调递增区间是－，，单调递减区间为，.

[方法技巧]
求三角函数单调区间的两种方法
(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解．
(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．
[提醒]　求解三角函数的单调区间时，若x的系数为负，应先化为正，同时切莫忽视函数自身的定义域．

考法(二)　已知单调区间求参数范围
[例2]　已知ω>0，函数f(x)＝sin在上是减函数，则ω的取值范围是________．
[解析]　由＜x＜π，得ω＋＜ωx＋＜πω＋，由题意知⊆＋2kπ，＋2kπ(k∈Z)且≥2×，则
且0＜ω≤2，故≤ω≤.
[答案]　

[方法技巧]　已知单调区间求参数范围的三种方法
子集法
求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解
反子
集法
由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解
周期
性法
由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解


三角函数的周期性

[例3]　(1)函数y＝1－2sin2是(　　)
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
(2)若函数f(x)＝2tan的最小正周期T满足1＜T＜2，则自然数k的值为________．
[解析]　(1)y＝1－2sin2＝cos 2x－＝－sin 2x，
所以f(x)是最小正周期为π的奇函数．
(2)由题意知，1＜＜2，
即|k|＜π＜2|k|.又k∈N，
所以k＝2或k＝3.
[答案]　(1)A　(2)2或3
[方法技巧]
三角函数周期的求解方法
(1)定义法：直接利用周期函数的定义求周期．
(2)公式法：①三角函数y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的最小正周期分别为2π，2π，π；②y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.
(3)图象法：利用三角函数图象的特征求周期．如：相邻两最高点(最低点)之间为一个周期，最高点与相邻的最低点之间为半个周期．



三角函数的奇偶性
[例4]　(1)函数f(x)＝(1＋cos 2x)sin2x(x∈R)是(　　)
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数
D．最小正周期为的偶函数
(2)若函数f(x)＝sin(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝(　　)
A. B.
C. D.
[解析]　(1)由题意知，f(x)＝(1＋cos 2x)sin2x＝(1＋cos 2x)(1－cos 2x)＝(1－cos22x)＝(1－cos 4x)，即f(x)＝(1－cos 4x)，则T＝＝，f(－x)＝(1－cos 4x)＝f(x)，因此函数f(x)是最小正周期为的偶函数．
(2)由f(x)＝sin是偶函数，可得＝kπ＋，k∈Z，即φ＝3kπ＋(k∈Z)，又φ∈[0,2π]，所以φ＝.
[答案]　(1)D　(2)C
[方法技巧]
与三角函数的奇偶性相关的结论
(1)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
(2)若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)．
(3)若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．


三角函数的对称性
[例5]　(1)函数f(x)＝sin的图象的一条对称轴是(　　)
A．x＝ B．x＝
C．x＝－ D．x＝－
(2)函数y＝cos(3x＋φ)的图象关于原点成中心对称图形，则φ＝________.
[解析]　(1)由x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝kπ＋(k∈Z)，当k＝－1时，x＝－，∴x＝－是f(x)＝sin图象的一条对称轴．
(2)由题意，得y＝cos(3x＋φ)是奇函数，故φ＝kπ＋(k∈Z)．
[答案]　(1)C　(2)kπ＋，k∈Z
[方法技巧]
三角函数对称轴和对称中心的求解方法
(1)定义法：正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心是图象与x轴的交点，即函数的零点．
(2)公式法：函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴为x＝－＋，对称中心为；函数y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴为x＝－，对称中心为；函数y＝Atan(ωx＋φ)的对称中心为.上述k∈Z.　

能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1.函数y＝3cos的最小正周期是(　　)
A.　　　　　　　　　　　 B.
C．2π D．5π
解析：选D　由T＝＝5π，知该函数的最小正周期为5π.
2.已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈R)，则“f(x)是奇函数”是“φ＝”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B　f(x)是奇函数时，φ＝＋kπ(k∈Z)，充分性不成立；φ＝时，f(x)＝Acos＝－Asin ωx，为奇函数，必要性成立．所以“f(x)是奇函数”是“φ＝”的必要不充分条件．
3.若函数y＝cos(ω∈N*)图象的一个对称中心是，则ω的最小值为(　　)
A．1 B．2 C．4 D．8
解析：选B　由题可知，＋＝kπ＋(k∈Z)，所以ω＝6k＋2(k∈Z)．又ω∈N*，则ωmin＝2.
4.已知函数f(x)＝2sin(2x＋φ)在区间上单调且最大值不大于，则φ的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　因为函数f(x)＝2sin(2x＋φ)在区间上单调且最大值不大于，又φ－<2x＋φ≤＋φ，所以2×＋φ≤，且2×＋φ≥－，解得－≤φ≤0，故选D.
5.(2017·武汉调研)已知函数f(x)＝sin(x∈R)，下列结论错误的是(　　)
A．函数f(x)是偶函数
B．函数f(x)的最小正周期为π
C．函数f(x)在区间上是增函数
D．函数f(x)的图象关于直线x＝对称
解析：选D　f(x)＝sin＝－cos 2x，此函数为最小正周期为π的偶函数，所以A，B正确．由函数y＝cos x的单调性知C正确．函数图象的对称轴方程为x＝(k∈Z)，显然，无论k取任何整数，x≠，所以D错误．
6.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，对于任意x都有f＝f，则f的值为________．
解析：∵f＝f，∴x＝是函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的一条对称轴．∴f＝±2.
答案：2或－2
7.函数y＝2sin(x∈[0，π])为增函数的区间是________．
解析：∵y＝2sin＝－2sin，
∴只需求y＝2sin的减区间即可．
∵y＝sin x的减区间为，k∈Z，
∴令2x－∈，k∈Z，
得x∈，k∈Z.
∵x∈[0，π]，∴x∈.即函数y＝2sin(x∈[0，π])为增函数的区间是.
答案：

[全国卷5年真题集中演练——明规律]
1.(2016·全国乙卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为(　　)
A．11 B．9 C．7 D．5
解析：选B　由题意得且|φ|≤，则ω＝2k＋1，k∈Z，φ＝或φ＝－.对比选项，将选项值分别代入验证：若ω＝11，则φ＝－，此时f(x)＝sin，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，不满足f(x)在区间上单调；若ω＝9，则φ＝，此时f(x)＝sin，满足f(x)在区间上单调递减，故选B.
2．(2014·新课标全国卷Ⅰ)在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos2x＋，④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为(　　)
A．①②③ B．①③④
C．②④ D．①③
解析：选A　①y＝cos|2x|，最小正周期为π；②y＝|cos x|，最小正周期为π；③y＝cos，最小正周期为π；④y＝tan，最小正周期为.所以最小正周期为π的所有函数为①②③，故选A.
3．(2012·新课标全国卷)已知ω>0,0<φ<π，直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则 φ＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　由于直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两条相邻的对称轴，所以函数f(x)的最小正周期T＝2π，所以ω＝1，所以＋φ＝kπ＋(k∈Z)，又0<φ<π，所以φ＝.
[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考
[练基础小题——强化运算能力]
1．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是(　　)
A．y＝cos B．y＝sin
C．y＝sin 2x＋cos 2x D．y＝sin x＋cos x
解析：选A　y＝cos＝－sin 2x，最小正周期T＝＝π，且为奇函数，其图象关于原点对称，故A正确；y＝sin＝cos 2x，最小正周期为π，且为偶函数，其图象关于y轴对称，故B不正确；C，D均为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，故C，D不正确．
2．函数f(x)＝tan的单调递增区间是(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析：选B　由kπ－＜2x－＜kπ＋(k∈Z)，得－＜x＜＋(k∈Z)，所以函数f(x)＝tan的单调递增区间为(k∈Z)．
3．已知函数y＝sin ωx(ω>0)在区间上为增函数，且图象关于点(3π，0)对称，则ω的取值集合为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　由题意知即其中k∈Z，则ω＝，ω＝或ω＝1，即ω的取值集合为.
4．设函数f(x)＝3sin，若存在这样的实数x1，x2，对任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为________．
解析：∵对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，∴f(x1)，f(x2)分别为函数f(x)的最小值和最大值，∴|x1－x2|的最小值为T＝×＝2.
答案：2
5．已知x∈(0，π]，关于x的方程2sin＝a有两个不同的实数解，则实数a的取值范围为________．
解析：令y1＝2sin，x∈(0，π]，y2＝a，作出y1的图象如图所示．若2sin＝a在(0，π]上有两个不同的实数解，则y1与y2应有两个不同的交点，所以 答案：(，2)
[练常考题点——检验高考能力]
一、选择题
1．若函数f(x)同时具有以下两个性质：①f(x)是偶函数；②对任意实数x，都有f＝f.则f(x)的解析式可以是(　　)
A．f(x)＝cos x B．f(x)＝cos
C．f(x)＝sin D．f(x)＝cos 6x
解析：选C　由题意可得，函数f(x)是偶函数，且它的图象关于直线x＝对称．因为f(x)＝cos x是偶函数，f＝，不是最值，故不满足图象关于直线x＝对称，故排除A.因为函数f(x)＝cos＝－sin 2x是奇函数，不满足条件①，故排除B.因为函数f(x)＝sin＝cos 4x是偶函数，且f＝－1，是最小值，故满足图象关于直线x＝对称，故C满足条件．因为函数f(x)＝cos 6x是偶函数，f＝0，不是最值，故不满足图象关于直线x＝对称，故排除D.
2．已知函数f(x)＝－2sin(2x＋φ)(|φ|<π), 若f＝－2，则f(x)的一个单调递增区间可以是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　∵f＝－2，∴－2sin＝－2，即sin＝1.∴＋φ＝＋2kπ，又∵|φ|<π，∴φ＝，∴f(x)＝－2sin.由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.当k＝0时，得≤x≤.即f(x)的一个单调递增区间可以是.
3．函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间内的图象是(　　)

解析：选D　y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|
＝对比选项，可知选D.
4．若函数f(x)＝sin(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且该函数图象关于点(x0,0)成中心对称，x0∈，则x0＝(　　)
A. B. C. D.
解析：选A　由题意得＝，T＝π，则ω＝2.由2x0＋＝kπ(k∈Z)，得x0＝－(k∈Z)，又x0∈，所以x0＝.
5．设函数f(x)＝(x∈R)，则f(x)(　　)
A．在区间上是减函数
B．在区间上是增函数
C．在区间上是增函数
D．在区间上是减函数
解析：选B　由f(x)＝可知，f(x)的最小正周期为π.由kπ≤x＋≤＋kπ(k∈Z)，得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，即f(x)在(k∈Z)上单调递增；由＋kπ≤x＋≤π＋kπ(k∈Z)，得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，即f(x)在(k∈Z)上单调递减．将各选项逐项代入验证，可知B正确．
6．(2017·安徽江南十校联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，|φ|<的最小正周期为4π，且对任意x∈R，都有f(x)≤f成立，则f(x)图象的一个对称中心的坐标是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　由f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝.因为f(x)≤f恒成立，所以f(x)max＝f，即×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，所以φ＝＋2kπ(k∈Z)，由|φ|<，得φ＝，故f(x)＝sin.令x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝2kπ－(k∈Z)，故f(x)图象的对称中心为(k∈Z)，当k＝0时，f(x)图象的一个对称中心的坐标为，故选A.
二、填空题
7．函数y＝tan的图象与x轴交点的坐标是________．
解析：由2x＋＝kπ(k∈Z)得，x＝－(k∈Z)．
∴函数y＝tan的图象与x轴交点的坐标是，k∈Z.　　
答案：，k∈Z
8．若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________.
解析：∵f(x)＝sin ωx(ω>0)过原点，
∴当0≤ωx≤，即0≤x≤时，y＝sin ωx是增函数；
当≤ωx≤，即≤x≤时，y＝sin ωx是减函数．
由f(x)＝sin ωx(ω>0)在上单调递增，
在上单调递减知，＝，∴ω＝.
答案：
9．已知函数f(x)＝3sin(ω>0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x∈，则f(x)的取值范围是________．
解析：由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f(x)＝3sin，当x∈时，－≤2x－≤，所以－≤sin≤1，故f(x)∈.
答案：
10．已知函数f(x)＝cos，其中x∈m∈R且m>，若f(x)的值域是，则m的最大值是________．
解析：由x∈，可知≤3x＋≤3m＋，∵f＝cos＝－，且f＝cos π＝－1，∴要使f(x)的值域是，需要π≤3m＋≤，解得≤m≤，即m的最大值是.
答案：
三、解答题
11．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π.
(1)求当f(x)为偶函数时φ的值；
(2)若f(x)的图象过点，求f(x)的单调递增区间．
解：∵f(x)的最小正周期为π，则T＝＝π，∴ω＝2，
∴f(x)＝sin(2x＋φ)．
(1)当f(x)为偶函数时，f(－x)＝f(x)．即sin(2x＋φ)＝sin(－2x＋φ)，展开整理得sin 2xcos φ＝0，由已知，上式对任意x∈R都成立，∴cos φ＝0.∵0<φ<，∴φ＝.
(2)由f(x)的图象过点，得sin＝，
即sin＝.
又∵0<φ<，∴<＋φ<π，
∴＋φ＝，则φ＝.∴f(x)＝sin.
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
∴f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
12．已知函数f(x)＝a＋b.
(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调增区间；
(2)若x∈[0，π]时，函数f(x)的值域是[5,8]，求a，b的值．
解：f(x)＝a(1＋cos x＋sin x)＋b
＝asin＋a＋b.
(1)当a＝－1时，f(x)＝－sin＋b－1，
由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
∴f(x)的单调增区间为，k∈Z.
(2)∵0≤x≤π，∴≤x＋≤，
∴－≤sin≤1，依题意知a≠0.
①当a>0时，∴a＝3－3，b＝5.
②当a<0时，∴a＝3－3，b＝8.
综上所述，a＝3－3，b＝5或a＝3－3，b＝8.
第四节
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用


本节主要包括2个知识点：
1.函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象；
2.三角函数模型的简单应用.


突破点(一)　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”

1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝
f＝＝
ωx＋φ
φ

2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
x
－
－＋

－

ωx＋φ
0

π

2π
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
3.由函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法

考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”


函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换

1.“五点法”画图
(1)y＝sin x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)，图象如图①所示．

(2)y＝cos x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)，图象如图②所示．
2．三角函数图象的变换
函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)中，参数A，ω，φ，k的变化引起图象的变换：A的变化引起图象中振幅的变换，即纵向伸缩变换；ω的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换；φ的变化引起左右平移变换，k的变化引起上下平移变换．图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”．
[例1]　某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx＋φ
0

π

2π
x





Asin(ωx＋φ)
0
5

－5
0
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；
(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平移个单位长度，得到y＝g(x)的图象，求y＝g(x)的图象离原点O最近的对称中心；
(3)说明函数f(x)的图象是由y＝sin x的图象经过怎样的变换得到的．
[解]　(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－，数据补全如下表：
ωx＋φ
0

π

2π
x





Asin(ωx＋φ)
0
5
0
－5
0
则函数解析式为f(x)＝5sin.
(2)由(1)知f(x)＝5sin，
因此g(x)＝5sin＝5sin.
因为y＝sin x的对称中心为(kπ，0)，k∈Z，
令2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－，k∈Z，
即y＝g(x)图象的对称中心为，k∈Z，
其中离原点O最近的对称中心为.
(3)把y＝sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度，得到y＝sin的图象，再把y＝sin的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象，最后把y＝sin上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变)，即可得到y＝5sin2x－的图象．
[易错提醒]
(1)由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)的变换：向左平移(ω>0，φ>0)个单位长度而非φ个单位长度．
(2)平移前后两个三角函数的名称如果不一致，应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值．　


由图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
求函数解析式y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)是常见问题，一般和函数周期、最值及图象变换相结合．由图象(或性质)求三角函数解析式的方法：
(1)A，k由最值确定，在一个周期内(或者从最高点到相邻的最低点)，若最大值为M，最小值为m，则A＝，k＝.特别地，当k＝0时，A＝M＝－m.
(2)ω由周期T确定，即由＝T求出．常用的确定T值的方法如下：
①曲线与x轴的相邻两个交点之间的距离为；
②最高点的横坐标和与其相邻的最低点的横坐标之间的距离为；
③相邻的两个最低点(最高点)之间的距离为T；
④有时还可以从图中读出或者的长度来确定ω.
(3)φ值的确定有三种途径：
代入法
将图象中一个已知点代入或将图象与直线y＝b的交点代入求解(此时要注意交点在增区间还是在减区间)
五点法
由特殊点确定，可以利用最高点或最低点，也可以利用零点．利用零点时，通常把“五点法”中的第一个点(x0,0)(初始点)作为突破口，由“第一个点”(图象上升时与x轴的交点)可得等式ωx0＋φ＝2kπ(k∈Z)；由“第三个点”(图象下降时与x轴的交点)可得等式为ωx0＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)．再由已知条件中φ的具体范围确定相应的φ值
变换法
运用逆向思维，由图象变换来确定．由f(x)＝Asin(ωx＋φ)＝Asin ω知，“五点法”中的第一个点就是由原点平移而来的，可从图中读出此点横坐标，令其等于－，即可得到φ值
　　　　　　　　　　　　　　　　
[例2]　(1)(2017·石家庄模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<的部分图象如图所示，则f的值为(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－1
(2)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图所示，f＝－，则f＝(　　)
A．－ B．－
C. D.
[解析]　(1)由图象可得A＝，最小正周期T＝4×＝π，则ω＝＝2.由f＝sin＝－，且|φ|<，得φ＝，则f(x)＝sin，f＝sin＝sin＝－1.
(2)由题图知＝－＝，
∴T＝，即ω＝3，
当x＝时，y＝0，即3×＋φ＝2kπ－，k∈Z，
∴φ＝2kπ－，k∈Z，取k＝1，则φ＝－，
∴f(x)＝Acos.
则Acos＝－，解得A＝，
∴f(x)＝cos，
故f＝cos＝－.
[答案]　(1)D　(2)A
[易错提醒]
(1)一般情况下，ω的值是唯一确定的，但φ的值是不确定的，它有无数个，如果求出的φ值不在指定范围内，可以通过加减的整数倍达到目的．
(2)正弦函数、余弦函数的两个相邻的对称中心、两条相邻的对称轴之间的距离并不是函数的一个周期，而是半个周期，在解题中要考虑到这一点．


三角函数图象与性质的综合应用
[例3]　已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)x∈R，ω、A>0,0<φ<的最大值为2，最小正周期为π，直线x＝是其图象的一条对称轴．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数g(x)＝f－f的单调递增区间．
[解]　(1)由题意，得A＝2，ω＝＝2，
又直线x＝是f(x)的图象的一条对称轴，
所以2sin＝±2，
即sin＝±1，
所以＋φ＝kπ＋(k∈Z)，
解得φ＝kπ＋(k∈Z)，又0<φ<，∴φ＝.
故f(x)＝2sin.
(2)g(x)＝2sin－2sin2＋
＝2sin 2x－2sin
＝2sin 2x－2
＝sin 2x－cos 2x
＝2sin.
令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以函数g(x)的单调递增区间是，k∈Z.
[方法技巧]
三角函数图象与性质的综合问题的求解思路
先将y＝f(x)化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，再借助y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．

能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1.(2017·西安模拟)函数y＝sin在区间上的简图是(　　)


解析：选A　令x＝0，得y＝sin＝－，排除B、D.当x∈时，－≤2x－≤－，在此区间上函数不会出现最高点，排除C，故选A.
2.(2016·四川高考)为了得到函数y＝sin2x－的图象，只需把函数y＝sin 2x的图象上所有的点(　　)
A．向左平行移动个单位长度
B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动个单位长度
D．向右平行移动个单位长度
解析：选D　∵y＝sin＝sin，
∴将函数y＝sin 2x的图象向右平行移动个单位长度，可得y＝sin的图象．
3.函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)ω>0，－<φ<的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是(　　)
A．2，－ B．2，－
C．4，－ D．4，
解析：选A　由图可得，＝－＝，∴T＝π，则ω＝2，∵图象过点B，∴2sin＝2，∴2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，∵－<φ<，∴φ＝－.
4.(2016·银川二模)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)的图象与x轴的一个交点到其相邻的一条对称轴的距离为，若f＝，则函数f(x)在上的最小值为(　　)
A. B．－ C．－ D．－
解析：选C　由题意得，函数f(x)的最小正周期T＝4×＝π＝，解得ω＝2.因为点在函数f(x)的图象上，所以Asin＝0，解得φ＝kπ＋，k∈Z，由0<φ<π，可得φ＝.因为f＝，所以Asin2×＋＝，解得A＝，所以f(x)＝sin2x＋.当x∈时，2x＋∈，sin2x＋∈，且当2x＋＝，即x＝时，函数f(x)取得最小值，最小值为－，故选C.
5.(2017·江西百校联盟联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象在y轴右侧的第一个最高点为P，在原点右侧与x轴的第一个交点为Q，则f的值为(　　)
A．1 B. C. D.
解析：选C　由题意得＝－，所以T＝π，所以ω＝2，则f(x)＝sin(2x＋φ)，将点P代入f(x)＝sin(2x＋φ)，得sin＝1，所以φ＝＋2kπ(k∈Z)．又|φ|<，所以φ＝，即f(x)＝sin(x∈R)，所以f＝sin＝sin＝，选C.
6.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，－≤φ<的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求ω和φ的值；
(2)当x∈时，求函数y＝f(x)的最大值和最小值．
解：(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，
所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.
又因为f(x)的图象关于直线x＝对称，
所以2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，即φ＝kπ－，k∈Z，
又－≤φ<，所以φ＝－.
综上，ω＝2，φ＝－.
(2)由(1)知f(x)＝sin，
当x∈时，－≤2x－≤，
所以，当2x－＝，即x＝时，f(x)最大值＝；
当2x－＝－，即x＝0时，f(x)最小值＝－.

突破点(二)　三角函数模型的简单应用
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”



三角函数模型的实际应用

三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面：
(1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则．
(2)把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．
[典例]　某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－cost－sint，t∈[0,24)．
(1)求实验室这一天的最大温差；
(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？
[解]　(1)因为f(t)＝10－cost－sint＝10－2sin，又0≤t＜24，所以≤t＋<，所以－1≤sin≤1.
当t＝2时，sin＝1；
当t＝14时，sin＝－1.
于是f(t)在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.
故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.
(2)依题意，当f(t)>11时实验室需要降温．
由(1)得f(t)＝10－2sin，
故有10－2sin>11，
即sin<－.
又0≤t<24，因此 即10 故在10时至18时实验室需要降温．
[方法技巧]
解决三角函数实际应用题的四个注意点
(1)活用辅助角公式准确化简；
(2)准确理解题意，实际问题数学化；
(3)“ωx＋φ”整体处理；
(4)活用函数图象性质，数形结合．

能力练通 抓应用体验的“得”与“失”

1．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　)

A．5　　　　　　　　　　　　 B．6
C．8 D．10
解析：选C　根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k＝2，k＝5，最大值为3＋k＝8.
2．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋BA>0，ω>0，|φ|<的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低为5千元．则7月份的出厂价格为________元．


解析：作出函数简图如图：三角函数模型为：y＝Asin(ωx＋φ)＋B，由题意知：A＝2 000，B＝7 000，T＝2×(9－3)＝12，∴ω＝＝.将(3，9 000)看成函数图象的第二个特殊点，则有×3＋φ＝，∴φ＝0，故f(x)＝2 000sinx＋7 000(1≤x≤12，x∈N*)．
∴f(7)＝2 000×sin＋7 000＝6 000.
故7月份的出厂价格为6 000元．
答案：6 000
3．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos(x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的平均气温最高，为28 ℃，12月份的平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃.
解析：依题意知，a＝＝23，A＝＝5，
所以y＝23＋5cos，
当x＝10时，y＝23＋5cos＝20.5.
答案：20.5
4.如图所示，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝Asin ωx(A>0，ω>0)，x∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S(3,2)，赛道的后一部分为折线段MNP，求A，ω的值和M，P两点间的距离．
解：依题意，有A＝2，＝3，
又T＝，所以ω＝，所以y＝2sinx，x∈[0,4]，
所以当x＝4时，y＝2sin＝3，
所以M(4,3)，又P(8,0)，
所以MP＝＝＝5(km)，
即M，P两点间的距离为5 km.
5．(2017·青岛调研)某市新体育公园的中心广场平面图如图所示，在y轴左侧的观光道(单位：米)曲线段是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)，x∈[－4,0]的图象且最高点为B(－1,4)，在y轴右侧的观光道曲线段是以CO为直径的半圆弧．
(1)试确定A，ω和φ的值；
(2)现要在y轴右侧的半圆中修建一条步行道CDO，点C与半圆弧上的一点D之间设计为直线段(造价为2万元/米)．点D到点O之间设计为沿半圆弧的弧形(造价为1万元/米)．设∠DCO＝θ(弧度)，试用θ来表示修建步行道CDO的造价预算，并求该造价预算的最大值？(注：只考虑步行道的长度，不考虑步行道的宽度)
解：(1)因为最高点为B(－1,4)，所以A＝4.
由图可得＝－1－(－4)＝3，所以T＝12，
因为T＝＝12，所以ω＝，
所以4＝4sin，即sin＝1，
又0<φ<π，所以φ＝.
(2)由(1)知y＝4sin，x∈[－4,0]，得点C(0，2)，即CO＝2，取CO的中点F，连接DF，DO，
因为弧为半圆弧，所以∠DFO＝2θ，∠CDO＝90°，
即＝2θ×＝2θ，则圆弧段的造价预算为2θ万元，
在Rt△CDO中，CD＝2cos θ，则直线段CD的造价预算为4cos θ万元，
所以步行道CDO的造价预算g(θ)＝4cos θ＋2θ，θ∈.
由g′(θ)＝4(－sin θ)＋2＝2(1－2sin θ)，得当θ＝时，g′(θ)＝0，
当θ∈时，g′(θ)>0，
即g(θ)在上单调递增；
当θ∈时，g′(θ)<0，
即g(θ)在上单调递减．
所以g(θ)在θ＝时取得极大值也是最大值6＋π，即修建步行道CDO的造价预算的最大值为万元．

[全国卷5年真题集中演练——明规律]　　　　　 　　　　　　　　　　

1．(2016·全国乙卷)将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为(　　)
A．y＝2sin B．y＝2sin
C．y＝2sin D．y＝2sin
解析：选D　函数y＝2sin的周期为π，将函数y＝2sin的图象向右平移个周期即个单位长度，所得图象对应的函数为y＝2sin＝2sin，故选D.
2．(2016·全国甲卷)若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为(　　)
A．x＝－(k∈Z)
B．x＝＋(k∈Z)
C．x＝－(k∈Z)
D．x＝＋(k∈Z)
解析：选B　将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝2sin ＝2sin的图象．由2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，即平移后图象的对称轴为x＝＋(k∈Z)．
3．(2015·新课标全国卷Ⅰ)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为(　　)
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
解析：选D　由图象知，周期T＝2＝2，∴＝2，∴ω＝π.由π×＋φ＝＋2kπ，得φ＝＋2kπ，k∈Z，
不妨取φ＝，则f(x)＝cos.由2kπ＜πx＋＜2kπ＋π，k∈Z，得2k－＜x＜2k＋，k∈Z，∴f(x)的单调递减区间为，k∈Z，故选D.
4．(2016·全国丙卷)函数y＝sin x－cos x的图象可由函数y＝sin x＋cos x的图象至少向右平移________个单位长度得到．
解析：因为y＝sin x＋cos x＝2sin，y＝sin x－cos x＝2sin，所以把y＝2sin的图象至少向右平移个单位长度可得y＝2sin的图象．
答案：
5．(2013·新课标全国卷Ⅱ)函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ<π)的图象向右平移个单位后，与函数y＝sin的图象重合，则φ＝________.
解析：将y＝cos(2x＋φ)的图象向右平移个单位后得到y＝cos的图象，化简得y＝－cos(2x＋φ)，又可变形为y＝sin.由题意可知φ－＝＋2kπ(k∈Z)，所以φ＝＋2kπ(k∈Z)，结合－π≤φ<π知φ＝.
答案：
[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考

[练基础小题——强化运算能力]
1．要得到函数y＝sin 的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象(　　)
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
解析：选B　由y＝sin＝sin得，只需将y＝sin 4x的图象向右平移个单位即可，故选B.
2．(2017·渭南模拟)由y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y＝2sin的图象，则f(x)为(　　)
A．2sin B．2sin
C．2sin D．2sin
解析：选B　y＝2siny＝2sin
y＝2sin＝2sin＝f(x)．
3.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<的部分图象如图所示，则φ＝(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析：选D　由图可知A＝2，T＝4×＝π，故ω＝＝2，又f＝2，所以2sin＝2，所以2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，故φ＝＋2kπ，k∈Z，又|φ|<，所以φ＝.
4．(2016·长沙四校联考)将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，－≤φ<图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度得到y＝sin x的图象，则函数f(x)的单调递增区间为(　　)
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
解析：选C　将y＝sin x的图象向右平移个单位长度得到的函数为y＝sin，将函数y＝sin的图象上每一点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，则函数变为y＝sin＝f(x)，由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，可得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，选C.


5.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，|φ|<的部分图象如图所示，则y＝f取得最小值时x的集合为________．
解析：根据所给图象，周期T＝4×＝π，故ω＝＝2，因此f(x)＝sin(2x＋φ)，又图象经过点，所以有2×＋φ＝kπ(k∈Z)，再由|φ|<，得φ＝－，所以f(x)＝sin，则f＝sin2x＋，当2x＋＝－＋2kπ(k∈Z)，即x＝－＋kπ(k∈Z)时，y＝f取得最小值．
答案：
[练常考题点——检验高考能力]
一、选择题
1．(2017·汕头调研)已知函数周期为π，其图象的一条对称轴是x＝，则此函数的解析式可以是(　　)
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
解析：选A　由函数周期为π，排除D；又其图象的一条对称轴是x＝，所以x＝时，函数取得最值，而f＝sin＝1，所以A正确．
2.(2017·洛阳统考)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<的部分图象如图所示，则f(x)的解析式是(　　)
A．f(x)＝sin B．f(x)＝sin
C．f(x)＝sin D．f(x)＝sin
解析：选D　由图象可知A＝1，＝－，∴T＝π，∴ω＝＝2，故排除A，C，把x＝代入检验知，选项D符合题意．
3．(2017·湖北八校联考)把函数y＝sin x(x∈R)的图象上所有点向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到图象的函数解析式为(　　)
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
解析：选C　把函数y＝sin x(x∈R)的图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数y＝sin(x∈R)的图象；再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到图象的函数解析式为y＝sin(x∈R)．
4．(2017·郑州模拟)将函数f(x)＝－cos 2x的图象向右平移个单位后得到函数g(x)的图象，则g(x)具有性质(　　)
A．最大值为1，图象关于直线x＝对称
B．在上单调递减，为奇函数
C．在上单调递增，为偶函数
D．周期为π，图象关于点对称
解析：选B　由题意得，g(x)＝－cos 2＝－cos2x－＝－sin 2x.A.最大值为1正确，而g＝0，图象不关于直线x＝对称，故A错误；B.当x∈时，2x∈，g(x)单调递减，显然g(x)是奇函数，故B正确；C.当x∈时，2x∈，此时不满足g(x)单调递增，也不满足g(x)是偶函数，故C错误；D.周期T＝＝π，g＝－，故图象不关于点对称．故选B.
5．(2017·太原模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期是π，若将f(x)的图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f(x)的图象(　　)
A．关于直线x＝对称 B．关于直线x＝对称
C．关于点对称 D．关于点对称
解析：选B　∵f(x)的最小正周期为π，∴＝π，ω＝2，∴f(x)的图象向右平移个单位后得到g(x)＝sin＝sin的图象，又g(x)的图象关于原点对称，∴－＋φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝＋kπ，k∈Z，又|φ|<，∴φ＝－，∴f(x)＝sin.当x＝时，2x－＝－，∴A，C错误；当x＝时，2x－＝，∴B正确，D错误．
6．将函数f(x)＝sin 2x的图象向右平移φ个单位后得到函数g(x)的图象．若对满足|f(x1)－g(x2)|＝2的x1，x2，有|x1－x2|min＝，则φ＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　由已知得g(x)＝sin (2x－2φ)，满足|f(x1)－g(x2)|＝2，不妨设此时y＝f(x)和y＝g(x)分别取得最大值与最小值，又|x1－x2|min＝，令2x1＝，2x2－2φ＝－，此时|x1－x2|＝＝，又0<φ<，故φ＝，选D.
二、填空题
7.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0，|φ|＜的部分图象如图所示，若x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝________.
解析：观察图象可知，A＝1，T＝2＝π，
∴ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋φ)．
将代入上式得sin＝0，
即－＋φ＝kπ，k∈Z，
由|φ|＜，得φ＝，则f(x)＝sin.
函数图象的对称轴为x＝＝.
又x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，
∴＝，即x1＋x2＝，
∴f(x1＋x2)＝sin＝.
答案：
8．(2017·山东师大附中模拟)设P为函数f(x)＝sinx的图象上的一个最高点，Q为函数g(x)＝cosx的图象上的一个最低点，则|PQ|的最小值是________．
解析：由题意知两个函数的周期都为T＝＝4，由正、余弦函数的图象知，f(x)与g(x)的图象相差个周期，设P，Q分别为函数f(x)，g(x)图象上的相邻的最高点和最低点，设P(x0,1)，则Q(x0＋1，－1)，则|PQ|min＝＝.
答案：
9．将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，－≤φ<图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sin x的图象，则f＝________.
解析：把函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度得到y＝sin的图象，再把函数y＝sin图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数f(x)＝sin的图象，所以f＝sin＝sin＝.
答案：
10．已知f(x)＝sin(ω>0)，f＝f，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则ω＝________.
解析：依题意，x＝＝时，y有最小值，即sin＝－1，则ω＋＝2kπ＋(k∈Z)．所以ω＝8k＋(k∈Z)．因为f(x)在区间上有最小值，无最大值，所以－≤，即ω≤12，令k＝0，得ω＝.
答案：
三、解答题
11.函数f(x)＝cos(πx＋φ)0<φ<的部分图象如图所示．
(1)求φ及图中x0的值；
(2)设g(x)＝f(x)＋f，求函数g(x)在区间上的最大值和最小值．
解：(1)由题图得f(0)＝，所以cos φ＝，因为0<φ<，故φ＝.由于f(x)的最小正周期等于2，所以由题图可知1 (2)因为f＝cos＝cos＝－sin πx，所以g(x)＝f(x)＋f＝cos－sin πx＝cos πxcos－sin πxsin －sin πx＝cos πx－sin πx＝sin.当x∈时，－≤－πx≤.所以－≤sin≤1，故当－πx＝，即x＝－时，g(x)取得最大值；当－πx＝－，即x＝时，g(x)取得最小值－.
12．(2017·洛阳质检)如图，摩天轮上一点P在时刻t(单位：分钟)距离地面的高度y(单位：米)满足y＝Asin(ωt＋φ)＋b，φ∈[－π，π]，已知该摩天轮的半径为50米，圆心O距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P的起始位置在摩天轮的最低点处．
(1)根据条件写出y关于t的解析式；
(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离地面的高度超过85米？
解：(1)由题设可知A＝50，b＝60，
又T＝＝3，所以ω＝，
从而y＝50sin＋60.
由题设知t＝0时y＝10，
将t＝0，y＝10代入y＝50sin＋60，得sin φ＝－1，又φ∈[－π，π]，从而φ＝－，
因此y＝60－50cost(t≥0)．
(2)要使点P距离地面的高度超过85米，则有y＝60－50cost>85，
即cost<－，解得 所以在摩天轮转动的一圈内，点P距离地面的高度超过85米的时间有1分钟.

第五节
本节主要包括3个知识点：
1.三角函数的化简求值；　2.三角函数的条件求值；
3.三角恒等变换的综合问题.
三角恒等变换



突破点(一)　三角函数的化简求值

基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
C(α－β)
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
C(α＋β)
cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β
S(α－β)
sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β
S(α＋β)
sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β
T(α－β)
tan(α－β)＝；变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)
T(α＋β)
tan(α＋β)＝；变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)

2.二倍角公式

S2α
sin 2α＝2sin_αcos_α；变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2
C2α
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
变形：cos2α＝，sin2α＝
T2α
tan 2α＝

考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”


三角函数式的化简

1.三角函数式化简的一般要求：(1)函数名称尽可能少；(2)项数尽可能少；(3)尽可能不含根式；(4)次数尽可能低、尽可能求出值．
2．常用的基本变换方法有：异角化同角、异名化同名、异次化同次，降幂或升幂，“1”的代换，弦切互化等．
[例1]　已知α∈(0，π)，化简：
＝________.
[解析]　原式＝
.
因为α∈(0，π)，所以∈，
所以cos>0，
所以原式＝
＝·
＝cos2－sin2＝cos α.
[答案]　cos α

[方法技巧]　　三角函数式的化简要遵循“三看”原则


三角函数的给角求值

[例2]　求值：(1)－sin 10°－tan 5°；
(2)sin 50°(1＋tan 10°)．
[解]　(1)原式＝－sin 10°－
＝－sin 10°·
＝－sin 10°·
＝－2cos 10°＝
＝
＝
＝＝.
(2)sin 50°(1＋tan 10°)＝sin 50°(1＋tan 60°·tan 10°)
＝sin 50°·
＝sin 50°·
＝
＝＝＝1.

[方法技巧]
给角求值问题的解题规律
解决给角求值问题的关键是两种变换：一是角的变换，注意各角之间是否具有和差关系、互补(余)关系、倍半关系，从而选择相应公式进行转化，把非特殊角的三角函数相约或相消，从而转化为特殊角的三角函数；二是结构变换，在熟悉各种公式的结构特点、符号特征的基础上，结合所求式子的特点合理地进行变形．

能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1.计算：＝(　　)
A.　　　　　　 B.
C. D．－
解析：选A　
＝
＝＝.
2.(1＋tan 18°)·(1＋tan 27°)的值是(　　)
A. B．1＋
C．2 D．2(tan 18°＋tan 27°)
解析：选C　原式＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27°＝1＋tan 18°tan 27°＋tan 45°(1－tan 18°tan 27°)＝2，故选C.
3.化简：＝________.
解析：
＝
＝
＝
＝
＝
＝＝tan α.
答案：tan α
4.化简：＝________.
解析：原式＝
＝
＝＝cos 2x.
答案：cos 2x

突破点(二)　三角函数的条件求值

考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”


给值求值问题
[例1]　(2017·合肥模拟)已知cos·cos－α＝－，α∈.
(1)求sin 2α的值；
(2)求tan α－的值．
[解]　(1)∵cos·cos＝cos＋α·sin＝sin＝－，
∴sin＝－.
∵α∈，∴2α＋∈，
∴cos＝－，∴sin 2α＝sin
＝sincos－cossin＝.
(2)∵α∈，∴2α∈，
又由(1)知sin 2α＝，∴cos 2α＝－.
∴tan α－＝－＝＝＝－2×＝2.

[方法技巧]

给值求值问题的求解思路
(1)先化简所求式子；
(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；
(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．


给值求角问题
[例2]　(1)设α，β为钝角，且sin α＝，cos β＝－，则α＋β的值为(　　)
A. B.
C. D.或
(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为________．
[解析]　(1)∵α，β为钝角，sin α＝，cos β＝－，
∴cos α＝，sin β＝，
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝>0.
又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈，
∴α＋β＝.
(2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝
＝＝>0，
∴0<α<.
又∵tan 2α＝＝＝>0，
∴0<2α<，∴tan(2α－β)＝＝＝1.
∵tan β＝－<0，∴<β<π，∴－π<2α－β<0，
∴2α－β＝－.
[答案]　(1)C　(2)－

[方法技巧]
给值求角时选取函数的原则和解题步骤
(1)通过先求角的某个三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：
①已知正切函数值，选正切函数；
②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是，选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数较好；若角的范围为，选正弦函数较好．
(2)解给值求角问题的一般步骤：
①求角的某一个三角函数值；
②确定角的范围；
③根据角的范围写出所求的角的大小．　

能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1.已知sin 2α＝，则cos2＝(　　)
A. B.
C．－ D．－
解析：选B　cos2＝＝＝＝.
2.(2017·深圳模拟)若α，β都是锐角，且cos α＝，sin(α－β)＝，则cos β＝(　　)
A. B.
C.或－ D.或
解析：选A　∵α，β都是锐角，且cos α＝，sin(α－β)＝，∴sin α＝，cos(α－β)＝，从而cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝，故选A.
3.(2017·成都模拟)若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是(　　)
A. B.
C.或 D.或
解析：选A　因为α∈，所以2α∈，又sin 2α＝，所以2α∈，α∈，故cos 2α＝－.又β∈，所以β－α∈，故cos(β－α)＝－.所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos 2α·cos(β－α)－sin 2αsin(β－α)＝－×－×＝，又α＋β∈，故α＋β＝.

4.若锐角α，β满足(1＋tan α)(1＋tan β)＝4，则α＋β＝________.
解析：因为(1＋tan α)(1＋tan β)＝4，所以1＋(tan α＋tan β)＋3tan αtan β＝4，即(tan α＋tan β)＝3－3tan αtan β＝3(1－tan αtan β)，即tan α＋tan β＝(1－tan αtan β)．∴tan(α＋β)＝＝.又∵α，β为锐角，∴α＋β＝.
答案：
5.已知α∈，且sin＋cos＝.
(1)求cos α的值；
(2)若sin(α－β)＝－，β∈，求cos β的值．
解：(1)已知sin＋cos＝，两边同时平方，得1＋2sincos＝，则sin α＝.
又<α<π，所以cos α＝－＝－.
(2)因为<α<π，<β<π，
所以－<α－β<.
又sin(α－β)＝－，
所以cos(α－β)＝.
则cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝－×＋×＝－.

突破点(三)　三角恒等变换的综合问题

利用三角恒等变换将三角函数化简后研究图象及性质是高考的热点．在高考中以解答题的形式出现，考查三角函数的值域、最值、单调性、周期、奇偶性、对称性等问题.

考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”


三角恒等变换与三角函数性质的综合问题
[典例]　已知向量m＝(sin x,1)，n＝Acos x，cos 2x(A>0)，函数f(x)＝m·n的最大值为6.
(1)求A；
(2)将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的值域．
[解]　(1)f(x)＝m·n
＝Asin xcos x＋cos 2x
＝A
＝Asin.
因为A>0，由题意知A＝6.
(2)由(1)知f(x)＝6sin.
将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位后得到y＝6sin＝6sin的图象；
再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到y＝6sin的图象．
因此g(x)＝6sin.
因为x∈，所以4x＋∈，
故g(x)在上的值域为[－3,6]．
[方法技巧]
三角恒等变换在三角函数图象和性质中的应用
(1)图象变换问题
先根据和角公式、倍角公式把函数表达式变为正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)＋t或余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)＋t的形式，再进行图象变换．
(2)函数性质问题
求函数周期、最值、单调区间的方法步骤：
①利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成y＝Asin(ωx＋φ)＋t或y＝Acos(ωx＋φ)＋t的形式；
②利用公式T＝(ω>0)求周期；
③根据自变量的范围确定ωx＋φ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为求二次函数的最值；
④根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋t或y＝Acos(ωx＋φ)＋t的单调区间．　

能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．已知函数f(x)＝2sin xsin.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)当x∈时，求函数f(x)的值域．
解：(1)f(x)＝2sin x＝×＋sin 2x＝sin＋.
所以函数f(x)的最小正周期为T＝π.
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间是，k∈Z.
(2)当x∈时，2x－∈，
sin∈，
f(x)∈.
故f(x)的值域为.
2．已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx－1，x∈R(其中ω>0)．
(1)求函数f(x)的值域；
(2)若函数y＝f(x)的图象与直线y＝－1的两个相邻交点间的距离为，求函数y＝f(x)的单调增区间．
解：(1)f(x)＝2－1
＝2sin－1.
由－1≤sin≤1，得－3≤2sin－1≤1.
所以函数f(x)的值域为[－3,1]．
(2)由题设条件及三角函数图象和性质可知，y＝f(x)的周期为π，所以＝π，即ω＝2.
所以f(x)＝2sin－1，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以函数y＝f(x)的单调增区间为(k∈Z)．
3．已知函数f(x)＝2cos2ωx－1＋2sin ωxcos ωx(0<ω<1)，直线x＝是函数f(x)的图象的一条对称轴．
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)已知函数y＝g(x)的图象是由y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移个单位长度得到的，若g＝，α∈，求sin α的值．
解：(1)f(x)＝cos 2ωx＋sin 2ωx＝2sin，
由于直线x＝是函数f(x)＝2sin的图象的一条对称轴，所以sin＝±1，
因此ω＋＝kπ＋(k∈Z)，
解得ω＝k＋(k∈Z)，
又0<ω<1，所以ω＝，
所以f(x)＝2sin.
由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的单调递增区间为2kπ－，2kπ＋(k∈Z)．
(2)由题意可得g(x)＝2sin，
即g(x)＝2cos，
由g＝2cos＝2cos＝，得cos＝，
又α∈，故<α＋<，所以sin＝，
所以sin α＝sin＝sin·cos－cos·sin＝×－×＝.
[全国卷5年真题集中演练——明规律]
1.(2016·全国甲卷)函数f(x)＝cos 2x＋6cos的最大值为(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：选B　∵f(x)＝cos 2x＋6cos＝cos 2x＋6sin x＝1－2sin2x＋6sin x＝－22＋，
又sin x∈[－1,1]，∴当sin x＝1时，f(x)取得最大值5.故选B.
2．(2015·新课标全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析：选D　sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝，故选D.

3．(2014·新课标全国卷Ⅰ)设α∈，β∈，且tan α＝，则(　　)
A．3α－β＝ B．2α－β＝
C．3α＋β＝ D．2α＋β＝
解析：选B　由条件得＝，
即sin αcos β＝cos α(1＋sin β)，
sin(α－β)＝cos α＝sin，

因为－<α－β<，0<－α<，
所以α－β＝－α，所以2α－β＝.
4．(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知sin 2α＝，则cos2α＋＝(　　)
A. B. C. D.
解析：选A　cos2＝＝(1－sin 2α)＝.
5．(2013·新课标全国卷Ⅱ)设θ为第二象限角，若tan＝，则sin θ＋cos θ＝________.
解析：将tan＝利用两角和的正切公式展开，则＝，求得tan θ＝－.又因为θ在第二象限，则sin θ＝，cos θ＝－，从而sin θ＋cos θ＝－＝－.
答案：－
[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考
[练基础小题——强化运算能力]
1．计算的值为(　　)
A．－ B.
C. D．－
解析：选B　＝
＝＝＝.
2．已知sin＝，－＜α＜0，则cos的值是(　　)
A. B.
C．－ D．1
解析：选C　由已知得cos α＝，sin α＝－，
所以cos＝cos α＋sin α＝－.
3．(2017·江西新余三校联考)已知cos＝－，则sin的值为(　　)
A. B.
C．± D．±
解析：选C　因为cos＝cos＝，所以有sin2＝＝＝，从而求得sin的值为±，故选C.
4．已知sin－α＝，则cos2的值是(　　)
A. B.
C．－ D．－
解析：选D　∵sin＝，
∴cos＝cos2－α
＝1－2sin2－α＝，
∴cos2＋α＝cos
＝cosπ－＝－cos－2α＝－.
5．已知sin＋sin α＝，则sin的值是________．
解析：∵sin＋sin α＝，
∴sincos α＋cos sin α＋sin α＝，
∴sin α＋cos α＝，
即sin α＋cos α＝，
故sin＝sin αcos＋cos αsin
＝－＝－.
答案：－
[练常考题点——检验高考能力]
一、选择题
1．已知sin 2α＝，则cos2＝(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析：选D　依题意得cos2＝cos αcos＋sin αsin2＝(cos α＋sin α)2＝(1＋sin 2α)＝.
2．已知cos＝－，则cos x＋cos＝(　　)
A．－ B．±
C．－1 D．±1
解析：选C　∵cos＝－，
∴cos x＋cosx－＝cos x＋cos xcos＋sin xsin＝cos x＋sin x＝＝cos＝×＝－1.
3．若tan α＝2tan，则＝(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选C　＝＝
＝＝
＝＝＝3，故选C.
4．已知sin＝，cos 2α＝，则sin α＝(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：选C　由sin＝得sin α－cos α＝，　①
由cos 2α＝得cos2α－sin2α＝，
所以(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)＝，　②
由①②可得cos α＋sin α＝－，　③
由①③可得sin α＝.
5．在斜三角形ABC中，sin A＝－cos B·cos C，且tan B·tan C＝1－，则角A的值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　由题意知，sin A＝－cos B·cos C＝sin(B＋C)＝sin B·cos C＋cos B·sin C，
在等式－cos B·cos C＝sin B·cos C＋cos B·sin C两边同除以cos B·cos C得tan B＋tan C＝－，
又tan B·tan C＝1－，
所以tan(B＋C)＝＝－1.
由已知，有tan A＝－tan(B＋C)，
则tan A＝1，所以A＝.
6．已知锐角α，β满足sin α－cos α＝，tan α＋tan β＋·tan αtan β＝，则α，β的大小关系是(　　)
A．α<<β B．β<<α
C.<α<β D.<β<α
解析：选B　∵α为锐角，sin α－cos α＝，
∴α>.又tan α＋tan β＋tan αtan β＝，
∴tan(α＋β)＝＝，
∴α＋β＝，又α>，
∴β<<α.
二、填空题
7．函数f(x)＝sin－2sin2x的最小正周期是________．
解析：∵f(x)＝sin 2x－cos 2x－(1－cos 2x)＝sin 2x＋cos 2x－＝sin－，∴f(x)的最小正周期T＝＝π.
答案：π
8．已知cos4α－sin4α＝，且α∈，则cos＝________.
解析：∵α∈，cos4α－sin4α＝(sin2α＋cos2α)(cos2α－sin2α)＝cos 2α＝>0，∴2α∈，∴sin 2α＝＝，∴cos＝cos 2α－sin 2α＝×－×＝.
答案：
9．已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且α，β∈，则α＋β＝________.
解析：由题意得tan α＋tan β＝－3<0，tan α·tan β＝4>0，∴tan(α＋β)＝＝，且tan α<0，tan β<0，又α，β∈，故α，β∈，∴α＋β∈(－π，0)，∴α＋β＝－.
答案：－
10．若0<α<，－<β<0，cos＝，cos－＝，则cos＝________.
解析：∵0<α<，－<β<0，∴<＋α<，<－<，∴sin＝＝，sin＝＝，∴cos＝cos＋α－－＝coscos＋sin＋αsin＝.
答案：
三、解答题
11．已知函数f(x)＝cos2x＋sin xcos x，x∈R.
(1)求f的值；
(2)若sin α＝，且α∈，求f.
解：(1)f＝cos2＋sincos＝2＋×＝.
(2)因为f(x)＝cos2x＋sin xcos x＝＋sin 2x
＝＋(sin 2x＋cos 2x)＝＋sin，
所以f＝＋sin
＝＋sin＝＋.
因为sin α＝，且α∈，
所以cos α＝－，
所以f＝＋×－×
＝.
12．(2016·天津高考)已知函数f(x)＝4tan xsin·cos－.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)讨论f(x)在区间上的单调性．
解：(1)f(x)的定义域为.
f(x)＝4tan xcos xcos－
＝4sin xcos－
＝4sin x－
＝2sin xcos x＋2sin2x－
＝sin 2x＋(1－cos 2x)－
＝sin 2x－cos 2x＝2sin.
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)令z＝2x－，则函数y＝2sin z的单调递增区间是，k∈Z.
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
设A＝，B＝x－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，易知A∩B＝.
所以当x∈时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减.






第六节
　正弦定理和余弦定理

本节主要包括3个知识点：
1.利用正、余弦定理解三角形；
2.利用正、余弦定理判断三角形的形状；
3.正、余弦定理的综合应用.


突破点(一)　利用正、余弦定理解三角形
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”

定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝＝＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径)
a2＝b2＋c2－2bccos A；
b2＝a2＋c2－2accos_B；
c2＝a2＋b2－2abcos_C　
变形形式
a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，
c＝2Rsin_C；
sin A＝；sin B＝；
sin C＝；
a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；
asin B＝bsin A，bsin C
＝csin B，asin C＝csin A；
＝2R
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝

考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”

利用正弦定理解三角形
利用正弦定理可以解决的两类问题
(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角．
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角．由于三角形的形状不能唯一确定，会出现两解、一解和无解三种情况．
在△ABC中，已知a，b和A，解的个数见下表

A为钝角
A为直角
A为锐角
a>b
一解
一解
一解
a＝b
无解
无解
一解
a 无解
无解
a>bsin A
两解
a＝bsin A
一解
a 无解

[例1]　(1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，且a>b，则B＝(　　)
A. B. C. D.
(2)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sin B＝，C＝，则b＝________.
[解析]　(1)利用正弦定理的变形，得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，代入asin Bcos C＋csin Bcos A＝b中，得2Rsin A·sin Bcos C＋2Rsin Csin Bcos A＝×2Rsin B，所以sin Acos C＋sin Ccos A＝，即sin(A＋C)＝，所以sin B＝.已知a>b，所以B不是最大角，所以B＝.
(2)在△ABC中，∵sin B＝，0 ∴B＝或B＝.
又∵B＋C<π，C＝，∴B＝，
∴A＝π－－＝.
∵＝，∴b＝＝1.
[答案]　(1)A　(2)1
[易错提醒]
(1)应用正弦定理求角时容易出现增解或漏解的错误，要根据条件和三角形的限制条件合理取舍．
(2)求角时易忽略角的范围而导致错误，需要根据大边对大角，大角对大边的规则，画图帮助判断．　


利用余弦定理解三角形
利用余弦定理可以解决的两类问题
(1)已知两边及夹角，先求第三边，再求其余两个角．
(2)已知三边，求三个内角．
[例2]　(1)在△ABC中，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，则这个三角形的最大边等于(　　)
A．4 B．14
C．4或14 D．24
(2)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acos C＋c＝b，则A＝________.
[解析]　(1)因为a－b＝4，所以b＝a－4且a>b.又a＋c＝2b，所以c＝a－8，所以a大于c，则A＝120°.
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝(a－4)2＋(a－8)2－2(a－4)·(a－8)·，所以a2－18a＋56＝0.
所以a＝14或a＝4(舍去)．故选B.
(2)由余弦定理得cos C＝，将其代入acos C＋c＝b中得，a×＋c＝b，化简整理得b2＋c2－a2＝bc，于是cos A＝＝，所以A＝.
[答案]　(1)B　(2)

利用正、余弦定理解三角形
[例3]　设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B.
(1)求a的值；
(2)求sin的值．
[解]　(1)因为A＝2B，所以sin A＝sin 2B＝2sin Bcos B.
由正、余弦定理，得a＝2b·.
因为b＝3，c＝1，所以a2＝12，a＝2.
(2)由余弦定理，得cos A＝＝＝－.
因为0 故sin＝sin Acos＋cos Asin＝.

[方法技巧]
正、余弦定理的运用技巧
解三角形时，一般是根据正弦定理求边或列等式，若式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；余弦定理揭示的是三角形的三条边与其中一个角之间的关系，若式子中含有角的余弦或边的二次式，则考虑用余弦定理；若以上特征都不明显，则要考虑两个定理都有可能用到．

能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝2asin B，则A＝(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A．30° B．45° C．60° D．75°
解析：选A　因为在锐角△ABC中，b＝2asin B，由正弦定理得，sin B＝2sin Asin B，所以sin A＝，又0° 2.(2016·兰州一模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝3，c＝2，则A＝(　　)
A. B. C. D.
解析：选C　由余弦定理，得cos A＝＝＝，又A∈(0，π)，
∴A＝，故选C.
3.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2 ，cos A＝且b＜c，则b＝(　　)
A．3 B．2 C．2 D.
解析：选C　由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccos A，即4＝b2＋12－6b，解得b＝2或4.又b＜c，∴b＝2.
4.(2017·合肥模拟)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cos C＝________.
解析：由正弦定理，得＝，
即＝，解得sin C＝.
∵AB 答案：
5.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cos C＝－，3sin A＝2sin B，则c＝________.
解析：∵3sin A＝2sin B，∴由正弦定理可得3a＝2b.又a＝2，∴b＝3.由余弦定理可知c2＝a2＋b2－2abcos C，
∴c2＝22＋32－2×2×3×＝16，∴c＝4.
答案：4
6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin2B＋sin2C＝sin2A＋sin Bsin C.
(1)求角A的大小；
(2)若cos B＝，a＝3，求c的值．
解：(1)由正弦定理可得b2＋c2＝a2＋bc，
由余弦定理得cos A＝＝，
因为A∈(0，π)，所以A＝.
(2)由(1)可知sin A＝，
因为cos B＝，B为△ABC的内角，
所以sin B＝，
故sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B
＝×＋×＝.
由正弦定理＝得
c＝sin C＝×＝1＋.
突破点(二)　利用正、余弦定理判断三角形的形状
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”

1．应用余弦定理判断三角形形状的方法
在△ABC中，c是最大的边，
若c2 若c2＝a2＋b2，则△ABC是直角三角形；
若c2>a2＋b2，则△ABC是钝角三角形．
2．判断三角形形状的常用技巧
若已知条件中既有边又有角，则
(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论.
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”


利用正、余弦定理判断三角形的形状
[典例]　(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 A．钝角三角形　　　　　　 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等边三角形
(2)(2017·锦州模拟)在△ABC中，cos2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为(　　)
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
[解析]　(1)已知0，于是有cos B<0，则B为钝角，所以△ABC是钝角三角形．
(2)∵cos2＝，∴＝，
即1＋cos B＝.
由余弦定理得1＋＝.
整理得c2＝a2＋b2，即△ABC为直角三角形．
[答案]　(1)A　(2)B
[易错提醒]
在判断三角形的形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．　

能力练通 抓应用体验的“得”与“失”

1．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sin Acos B＝sin C，那么△ABC一定是(　　)
A．直角三角形　　　　　　 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
解析：选B　由正弦定理得2acos B＝c，再由余弦定理得
2a·＝c，整理得a2＝b2，即a＝b，所以△ABC是等腰三角形．
2．(2017·浙江金丽衢十二校联考)已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝＝，则该三角形的形状是(　　)
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．钝角三角形
解析：选A　因为＝，由正弦定理得＝，所以sin 2A＝sin 2B.由＝，可知a≠b，所以A≠B.又A，B∈(0，π)，所以2A＝180°－2B，即A＋B＝90°，所以C＝90°，于是△ABC是直角三角形．故选A.
3．在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，则△ABC的形状是(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
解析：选D　因为(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，所以b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]＝a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]，化简整理得a2cos Asin B＝b2sin Acos B．由正弦定理、余弦定理得，a2b＝b2a，所以a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，所以a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0，即a＝b或a2＋b2＝c2.所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．
4．在△ABC中，已知a2＋b2－c2＝ab，且2cos Asin B＝sin C，试判断△ABC的形状．
解：由正弦定理得＝，
由2cos Asin B＝sin C，有cos A＝＝.
又由余弦定理得cos A＝，
∴＝，
即c2＝b2＋c2－a2，
所以a2＝b2，所以a＝b.
又∵a2＋b2－c2＝ab，
∴2b2－c2＝b2，所以b2＝c2，
∴b＝c，∴a＝b＝c.
∴△ABC为等边三角形．
突破点(三)　正、余弦定理的综合应用
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”


三角形面积问题

三角形的面积是与解三角形息息相关的内容，经常出现在高考题中，难度不大．解题的前提条件是熟练掌握三角形面积公式，具体的题型及解题策略为：
(1)利用正弦定理、余弦定理解三角形，求出三角形的有关元素之后，直接求三角形的面积，或求出两边之积及夹角正弦，再求解．
(2)把面积作为已知条件之一，与正弦定理、余弦定理结合求出三角形的其他各量．面积公式中涉及面积、两边及两边夹角正弦四个量，结合已知条件列方程求解．
[例1]　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(2b－c)cos A＝acos C.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝3，b＝2c，求△ABC的面积．
[解]　(1)根据正弦定理，由(2b－c)cos A＝acos C，
得2sin Bcos A＝sin Acos C＋sin Ccos A，
即2sin Bcos A＝sin(A＋C)，
所以2sin Bcos A＝sin B，
因为0 所以cos A＝，因为0 (2)因为a＝3，b＝2c，由(1)得A＝，
所以cos A＝＝＝，
解得c＝，所以b＝2.
所以S△ABC＝bcsin A＝×2××＝.
[方法技巧]
三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．


三角形中的范围问题
解三角形问题中，求解某个量(式子)的取值范围是命题的热点，其主要解决思路是：
要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大．
[例2]　设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝btan A，且B为钝角．
(1)证明：B－A＝；
(2)求sin A＋sin C的取值范围．
[解]　(1)证明：由a＝btan A及正弦定理，得＝＝，
所以sin B＝cos A，即sin B＝sin.
因为B为钝角，所以A为锐角，
所以＋A∈，
则B＝＋A，
即B－A＝.
(2)由(1)知，C＝π－(A＋B)＝π－＝－2A>0，
所以A∈.
于是sin A＋sin C＝sin A＋sin
＝sin A＋cos 2A＝－2sin2A＋sin A＋1
＝－22＋.
因为0 所以0 因此<－22＋≤.
由此可知sin A＋sin C的取值范围是.
[易错提醒]
涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．



正、余弦定理在平面几何中的应用

在平面几何图形中考查正弦定理、余弦定理是近几年高考的热点，解决这类问题既要抓住平面图形的几何性质，也要灵活选择正弦定理、余弦定理、三角恒等变换公式．
此类题目求解时，一般有如下思路：
(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；
(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．
做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．
[例3]　(2017·广东茂名模拟)如图，已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B＝，b＝，c＝2，D为BC的中点．
(1)求cos∠BAC的值；
(2)求AD的值．
[解]　(1)法一：由正弦定理得sin C＝sin B＝×＝.又∵在△ABC中，b>c，∴C ∴cos C＝＝ ＝，
∴cos∠BAC＝cos(π－B－C)＝－cos(B＋C)
＝－(cos Bcos C－sin Bsin C)
＝sin Bsin C－cos Bcos C
＝×－×＝.
法二：在△ABC中，由余弦定理得b2＝c2＋a2－2c·acos B，∴7＝4＋a2－2×2×a×，
即(a－3)(a＋1)＝0，解得a＝3(a＝－1舍去)，
∴cos∠BAC＝＝＝.
(2)法一：在△ABC中，由余弦定理得a2＝c2＋b2－2c·bcos∠BAC＝4＋7－2×2××＝9.
∴a＝3，∴BD＝.
在△ABD中，由余弦定理得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos B＝4＋－2×2××＝.
∴AD＝.
法二：如图，取AC的中点E，连接DE，
则DE＝AB＝1，AE＝AC＝，cos∠AED＝－cos∠BAC.
在△ADE中，由余弦定理得AD2＝AE2＋DE2－2AE·DE·cos∠AED＝＋1－2××1×＝.
∴AD＝.
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是(　　)
A．3 B. C. D．3
解析：选C　由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab＝(a－b)2＋6，∴ab＝6，
∴S△ABC＝absin C＝×6×＝.
2.如图，在△ABC中，C＝，BC＝4，点D在边AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E为垂足，若DE＝2，则cos A＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　因为DE⊥AB，DE＝2，所以AD＝，所以DB＝AD＝.因为AD＝DB，所以A＝∠ABD，所以∠BDC＝A＋∠ABD＝2A.在△BCD中，由正弦定理＝，得＝，化简整理得cos A＝.
3.(2017·海淀模拟)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝2a，则角A的取值范围是________．
解析：由已知及正弦定理得sin2Asin B＋sin Bcos2A＝2sin A，即sin B(sin2A＋cos2A)＝2sin A，∴sin B＝2sin A，∴b＝2a，由余弦定理得cos A＝＝＝≥＝，当且仅当c＝a时取等号，∵A为三角形的内角，且y＝cos x在(0，π)上是减函数，∴0 答案：
4.(2017·广东揭阳模拟)已知△ABC中，角A，B，C成等差数列，且△ABC的面积为1＋，则AC边的长的最小值是________．
解析：∵A，B，C成等差数列，∴A＋C＝3B，又A＋B＋C＝π，∴B＝.设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由S△ABC＝acsin B＝1＋得ac＝2(2＋)，由余弦定理及a2＋c2≥2ac，得b2≥(2－)ac，即b2≥(2－)×2(2＋)，∴b≥2(当且仅当a＝c时等号成立)，∴AC边的长的最小值为2.
答案：2
5.已知△ABC是斜三角形，内角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c.若csin A＝acos C.
(1)求角C；
(2)若c＝，且sin C＋sin(B－A)＝5sin 2A，求△ABC的面积．
解：(1)根据＝，可得csin A＝asin C，
又∵csin A＝acos C，∴asin C＝acos C，
∴sin C＝cos C，∴tan C＝＝，
∵C∈(0，π)，∴C＝.
(2)∵sin C＋sin(B－A)＝5sin 2A，sin C＝sin(A＋B)，
∴sin(A＋B)＋sin(B－A)＝5sin 2A，
∴2sin Bcos A＝5×2sin Acos A.
∵△ABC为斜三角形，∴cos A≠0，∴sin B＝5sin A.
由正弦定理可知b＝5a，①
由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，
∴21＝a2＋b2－2ab×＝a2＋b2－ab，②
由①②解得a＝1，b＝5，
∴S△ABC＝absin C＝×1×5×＝.
[全国卷5年真题集中演练——明规律]
1．(2016·全国丙卷)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cos A＝(　　)
A. B.
C．－ D．－
解析：选C　设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则由题意得S△ABC＝a·a＝acsin B，又B＝，所以c＝a.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋a2－2×a×a×＝a2，所以b＝a.所以cos A＝＝＝－.
2．(2014·新课标全国卷Ⅱ)钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝(　　)
A．5 B. C．2 D．1
解析：选B　由题意可得AB·BC·sin B＝，又AB＝1，BC＝，所以sin B＝，所以B＝45°或B＝135°.
当B＝45°时，由余弦定理可得
AC＝＝1，
此时AC＝AB＝1，BC＝，易得A＝90°，
与“钝角三角形”条件矛盾，舍去．
所以B＝135°.由余弦定理可得
AC＝＝.
3．(2016·全国甲卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝________.
解析：在△ABC中，∵cos A＝，cos C＝，
∴sin A＝，sin C＝，∴sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝.
又∵＝，∴b＝＝＝.
答案：
4．(2015·新课标全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是________．
解析：如图所示，延长BA，CD，两延长线相交于点E，过点C作CF∥AD交AB于点F，则BF ∴BF＝＝－.
在等腰三角形ECB中，∠CEB＝30°，∠ECB＝75°，
BE＝CE，BC＝2，＝，
∴BE＝×＝＋.
∴－ 答案：(－，＋)
5．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，则△ABC面积的最大值为________．
解析：由正弦定理得(2＋b)(a－b)＝(c－b)c，
即(a＋b)·(a－b)＝(c－b)c，即b2＋c2－a2＝bc，
所以cos A＝＝，
又A∈(0，π)，所以A＝，
又b2＋c2－a2＝bc≥2bc－4，即bc≤4，
故S△ABC＝bcsin A≤×4×＝，当且仅当b＝c＝2时，等号成立，则△ABC面积的最大值为.
答案：
6．(2016·全国乙卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c.
(1)求C；
(2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
解：(1)由已知及正弦定理得
2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C，
即2cos Csin(A＋B)＝sin C，
故2sin Ccos C＝sin C.
可得cos C＝，所以C＝.
(2)由已知得absin C＝.
又C＝，所以ab＝6.
由已知及余弦定理得a2＋b2－2abcos C＝c2，
故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25，即a＋b＝5.
所以△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋.
7．(2015·新课标全国卷Ⅱ)△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．
(1)求；
(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．
解：(1)S△ABD＝AB·ADsin∠BAD，
S△ADC＝AC·ADsin∠CAD.
因为S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，所以AB＝2AC.
由正弦定理，得＝＝.
(2)因为S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝2DC＝.
在△ABD和△ADC中，由余弦定理，知
AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，
AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC.
故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6.
由(1)，知AB＝2AC，
所以AC＝1.
8．(2013·新课标全国卷Ⅰ)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.
(1)若PB＝，求PA；
(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.

解：(1)由已知得，∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.在△PBA中，由余弦定理得PA2＝AB2＋PB2－2AB·PBcos∠PBA＝3＋－2××cos 30°＝.故PA＝.
(2)设∠PBA＝α，由已知得＝cos，即PB＝sin α.
在△PBA中，由正弦定理得＝，
化简得cos α＝4sin α.
所以tan α＝，即tan∠PBA＝.
[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考
[练基础小题——强化运算能力]
1．在△ABC中，若＝，则B的值为(　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
解析：选B　由正弦定理知，＝，∴sin B＝cos B，∴B＝45°.
2．在△ABC中，已知AB＝3，A＝120°，且△ABC的面积为，则BC＝(　　)
A．3 B．5 C．7 D．15
解析：选C　由S△ABC＝得×3×ACsin 120°＝，所以AC＝5，因此BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝9＋25＋2×3×5×＝49，解得BC＝7.
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若asin A＋bsin B A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
解析：选C　根据正弦定理可得a2＋b2 4．已知在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大内角的大小为________．
解析：由sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7知，三角形的三边之比a∶b∶c＝3∶5∶7，最大的角为C.由余弦定理得cos C＝－，∴C＝120°.
答案：120°
5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为3，b－c＝2，cos A＝－，则a的值为________．
解析：在△ABC中，由cos A＝－可得sin A＝，
所以有解得
答案：8
[练常考题点——检验高考能力]
一、选择题
1．在△ABC中，若＝3，b2－a2＝ac，则cos B的值为(　　)
A. B. C. D.
解析：选D　由题意知，c＝3a，b2－a2＝ac＝c2－2accos B，所以cos B＝＝＝.
2．在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，若S＋a2＝(b＋c)2，则cos A等于(　　)
A. B．－ C. D．－
解析：选D　由S＋a2＝(b＋c)2，得a2＝b2＋c2－2bcsin A－1，由余弦定理可得sin A－1＝cos A，结合sin2A＋cos2A＝1，可得cos A＝－或cos A＝－1(舍去)．
3．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是(　　)
A．有一解 B．有两解
C．无解 D．有解但解的个数不确定
解析：选C　由正弦定理得＝，
∴sin B＝＝＝>1.
∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．
4．已知△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若A＝，b＝2acos B，c＝1，则△ABC的面积等于(　　)
A. B. C. D.
解析：选B　由正弦定理得sin B＝2sin Acos B，
故tan B＝2sin A＝2sin＝，又B∈(0，π)，所以B＝，
又A＝＝B，则△ABC是正三角形，
所以S△ABC＝bcsin A＝×1×1×＝.
5．(2017·渭南模拟)在△ABC中，若a2－b2＝bc且＝2，则A＝(　　)
A. B. C. D.
解析：选A　因为＝2，故＝2，即c＝2b，则cos A＝＝＝＝，所以A＝.
6．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝，则B＝(　　)
A. B. C. D.
解析：选C　根据正弦定理＝＝＝2R，得＝＝，即a2＋c2－b2＝ac，所以cos B＝＝，故B＝.
二、填空题
7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c＝1，B＝45°，cos A＝，则b＝________.
解析：因为cos A＝，所以sin A＝＝＝，所以sin C＝sin[180°－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝cos 45°＋sin 45°＝.由正弦定理＝，得b＝×sin 45°＝.
答案：
8．在△ABC中，若b＝2，A＝120°，三角形的面积S＝，则三角形外接圆的半径为________．
解析：由面积公式，得S＝bcsin A，代入数据得c＝2，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12，故a＝2，由正弦定理，得2R＝＝，解得R＝2.
答案：2
9．在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝________.
解析：由正弦定理得＝，由余弦定理得cos A＝，∵a＝4，b＝5，c＝6，∴＝＝2··cos A＝2××＝2××＝1.
答案：1
10．在△ABC中，B＝120°，AB＝，A的角平分线AD＝，则AC＝________.

解析：如图，在△ABD中，由正弦定理，得＝，
∴sin∠ADB＝.
由题意知0°<∠ADB<60°，
∴∠ADB＝45°，∴∠BAD＝180°－45°－120°＝15°.
∴∠BAC＝30°，C＝30°，∴BC＝AB＝.在△ABC中，由正弦定理，得＝，∴AC＝.
答案：
三、解答题
11．(2017·河北三市联考)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且asin B＝－bsin.
(1)求A；
(2)若△ABC的面积S＝c2，求sin C的值．
解：(1)∵asin B＝－bsin，
∴由正弦定理得sin Asin B＝－sin Bsin，则sin A＝－sin，即sin A＝－sin A－cos A，化简得tan A＝－，∵A∈(0，π)，∴A＝.
(2)∵A＝，∴sin A＝，
由S＝bcsin A＝bc＝c2，得b＝c，
∴a2＝b2＋c2－2bccos A＝7c2，则a＝c，
由正弦定理得sin C＝＝.
12．(2017·郑州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos 2C－cos 2A＝2sin·sin.
(1)求角A的值；
(2)若a＝且b≥a，求2b－c的取值范围．
解：(1)由已知得2sin2A－2sin2C＝2cos2C－sin2C，化简得sin A＝，故A＝或.
(2)由题知，若b≥a，则A＝，又a＝，
所以由正弦定理可得＝＝＝2，得b＝2sin B，c＝2sin C，
故2b－c＝4sin B－2sin C＝4sin B－2sin＝3sin B－cos B＝2sin.
因为b≥a，所以≤B＜，≤B－＜，
所以2sin∈[，2)．即2b－c的取值范围为[，2).

第七节
解三角形应用举例
本节主要包括3个知识点：
1.距离问题；　2.高度问题；3.角度问题.


突破点(一)　距离问题
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．测量距离问题的三种类型
(1)两点间不可达又不可视．
(2)两点间可视但不可达．
(3)两点都不可达．
2．解决距离问题的方法
选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”


两点都不可到达的距离问题

[例1]　如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出AB的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠ACB＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠ADB＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB.
若测得CD＝ km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B两点间的距离．
[解]　∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，
∴∠DAC＝60°，∴AC＝CD＝ (km)．
在△BCD中，∠DBC＝180°－∠CDB－∠DCB＝45°，
由正弦定理，得BC＝·sin∠CDB＝·sin 30°＝.
在△ABC中，由余弦定理，得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB
＝＋－2×××＝.
∴AB＝(km)．即A，B两点间的距离为 km.

两点不可到达又不可视的距离问题

[例2]　如图所示，要测量一座山的山脚两侧A，B两点间的距离，其方法为先选定适当的位置C，用经纬仪测出角α，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离．即AB＝.
若测得AC＝400 m，BC＝600 m，∠ACB＝60°，试计算AB的长．
[解]　在△ABC中，由余弦定理得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB，
∴AB2＝4002＋6002－2×400×600cos 60°＝280 000.
∴AB＝200 (m)．
即A，B两点间的距离为200 m.

两点间可视但有一点不可到达的距离问题

[例3]　如图所示，A，B两点在一条河的两岸，测量者在A的同侧，且B点不可到达，要测出AB的距离，其方法是在A所在的岸边选定一点C，可以测出AC的距离m，再借助仪器，测出∠ACB＝α，∠BAC＝β，在△ABC中，运用正弦定理就可以求出AB.
若测出AC＝60 m，∠BAC＝75°，∠BCA＝45°，则A，B两点间的距离为________m.
[解析]　在△ABC中，B＝180°－75°－45°＝60°，
所以由正弦定理得，＝，
∴AB＝＝＝20(m)．
即A，B两点间的距离为20 m.
[答案]　20

[方法技巧]
距离问题的求解策略
(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．
(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．　

能力练通 抓应用体验的“得”与“失”

1.如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为(　　)
A．50 m B．50 m
C．25 m D. m
解析：选A　由题，B＝30°，由正弦定理得
AB＝＝＝50(m)．
2.如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，某同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了四种测量方案：(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)①测量A，C，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a；④测量a，b，B.则一定能确定A，B间距离的所有方案的序号为(　　)
A．①②③ B．②③④
C．①③④ D．①②③④
解析：选A　已知三角形的两角及一边，可以确定三角形，故①③正确；已知两边及其夹角，可以确定三角形，故②正确；已知两边与其中一边的对角，三角形的个数可能为一个、两个或零个，即三角形不能唯一确定，故④错误．


3.如图，为了测量两座山峰上两点P，Q之间的距离，选择山坡上一段长度为300米且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为________米．
解析：设AQ∩PB＝C(图略)，可知∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°，又∠PBA＝∠PBQ＝60°，∴∠AQB＝30°，∴△ABQ为等腰三角形，∴AC＝CQ，BC⊥AQ，∴△PQA为等腰三角形，∵∠PAQ＝60°，∴△PQA为等边三角形，故PQ＝AQ，在Rt△ACB中，AC＝AB·sin 60°＝300×＝，∴PQ＝AQ＝900.故P，Q两点间的距离为900米．
答案：900
4.如图，CD是京九铁路线上的一条穿山隧道，开凿前，在CD所在水平面上的山体外取点A，B，并测得四边形ABCD中，∠ABC＝，
∠BAD＝，AB＝BC＝400米，AD＝250米，则应开凿的隧道CD的长为________．
解析：在△ABC中，AB＝BC＝400，∠ABC＝，所以△ABC为等边三角形，所以AC＝400，∠ACB＝.又因为∠BAC＝，∠BAD＝，所以∠DAC＝∠BAD－∠BAC＝.在△ADC中，AD＝250，AC＝400，∠DAC＝，由余弦定理可得CD2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos∠DAC，即CD2＝2502＋4002－2×250×400×cos.解得CD＝350(米)．
答案：350米
5.要测量河对岸A，B两点之间的距离，选取相距 km 的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，则A，B之间的距离为________km.
解析：如图所示，在△ACD中，∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝120°，则∠CAD＝∠ADC＝30°，
∴AC＝CD＝(km)．
在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，则∠CBD＝60°.
∴由正弦定理得BC＝＝.
在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝()2＋2－2×××cos 75°＝3＋2＋－＝5，
∴AB＝(km)，即A，B之间的距离为 km.
答案：

突破点(二)　高度问题

基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．

2．坡角与坡度
坡面与水平面所成的二面角的度数叫坡角(如图②，角θ为坡角)；坡面的铅直高度与水平长度之比叫坡度(如图②，i为坡度)，坡度又称为坡比．

考点
贯通
　




抓高考命题的“形”与“神”






测量高度问题
[典例]　如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.

[解析]　由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，
∠ABC＝180°－75°＝105°，
故∠ACB＝45°.
又AB＝600 m，
故由正弦定理得＝，
解得BC＝300 m.
在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝300×＝100 (m)．
[答案]　100

[方法技巧]
求解高度问题的三个关注点
(1)在处理有关高度问题时，关键是要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)的含义．
(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．
(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．　　

能力练通 抓应用体验的“得”与“失”

1．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高是(　　)
A. 米 B. 米
C．200 米 D．200 米
解析：选A　如图所示，AB为山高，CD为塔高，则由题意知，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝200(米)．则AC＝＝(米)．在△ACD中，∠CAD＝60°－30°＝30°，∠ACD＝30°，∴∠ADC＝120°.由正弦定理得＝，∴CD＝＝(米)．
2．(2017·江西联考)某位居民站在离地20 m高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为60°，小高层底部的俯角为45°，那么这栋小高层的高度为(　　)

A．20m B．20(1＋)m
C．10(＋)m D．20(＋)m
解析：选B　如图，设AB为阳台的高度，CD为小高层的高度，AE为水平线．由题意知AB＝20 m，∠DAE＝45°，∠CAE＝60°，故AE＝DE＝AB＝20 m，CE＝AE·tan 60°＝20m.所以CD＝20(1＋)m，故选B.


3.如图，塔AB底部为点B，若C，D两点相距为100 m并且与点B在同一水平线上，现从C，D两点测得塔顶A的仰角分别为45°和30°，则塔AB的高约为(精确到0.1 m，≈1.73，≈1.41)(　　)
A．36.4 m 　　　　 B．115.6 m
C．120.5 m 　　　　 D．136.5 m
解析：选D　由题，∠DAC＝∠ACB－∠ADC＝15°.在△ACD中，＝，所以AC＝＝＝ m，在Rt△ABC中，AB＝AC＝＝50(＋1)≈136.5 m.
4．要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，求电视塔的高度．
解：如图，设电视塔AB高为x m，
则在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°得BC＝x.
在Rt△ADB中，∠ADB＝30°，
则BD＝x.
在△BDC中，由余弦定理得，
BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos 120°，
即(x)2＝x2＋402－2·x·40·cos 120°，
解得x＝40，所以电视塔高为40 m.

突破点(三)　角度问题

基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图①)．
2．方向角
相对于某一正方向的水平角
(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图②)；
(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向；
(3)南偏西等其他方向角类似．
　　
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”


测量角度问题

[典例]　在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．
[解]　如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，
则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.
根据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos 120°，
解得x＝2.故AC＝28，BC＝20.
根据正弦定理得＝，
解得sin α＝＝.
所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为.
[方法技巧]
解决角度问题的三个注意事项
(1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义．
(2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值．
(3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．　

能力练通 抓应用体验的“得”与“失”

1.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为(　　)
A．a km B.a km
C.a km D．2a km
解析：选B　由题可得，∠ACB＝120°.在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝a2＋a2－2a2cos 120°＝3a2，故|AB|＝a，即灯塔A与灯塔B的距离为a km.
2．(2017·德州检测)某货轮在A处看灯塔S在北偏东30°方向，它向正北方向航行24海里到达B处，看灯塔S在北偏东75°方向．则此时货轮到灯塔S的距离为________海里．
解析：根据题意知，如图在△ABS中，AB＝24，∠BAS＝30°，∠ASB＝45°，由正弦定理，得＝，∴BS＝＝12，故此时货轮到灯塔S的距离为12海里．
答案：12
3.如图所示，在东海某岛的雷达观测站A，发现位于其北偏东45°，距离20海里的B处有一货船正匀速直线行驶．半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北θ(0°<θ<45°)的C处，且cos θ＝.已知A，C两处的距离为10海里，则该货船的船速为________海里/小时．
解析：∵cos θ＝，∴sin θ＝.
∵∠BAC＝45°－θ，
∴cos∠BAC＝cos(45°－θ)＝(cos θ＋sin θ)＝.
由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝800＋100－2×20×10×＝340，
故BC＝2(海里)．
∴货船的船速为4海里/小时．
答案：4
4.如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cos θ的值．
解：在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800，则BC＝20.
由正弦定理，得＝，所以sin∠ACB＝·sin∠BAC＝.
由∠BAC ＝120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB＝.
由θ＝∠ACB＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos ∠ACB cos 30°－sin∠ACBsin 30°＝.
[全国卷5年真题集中演练——明规律]
　(2014·新课标全国卷Ⅰ)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________m.
解析：在Rt△ABC中，BC＝100 m，∠CAB＝45°，
所以AC＝100 m，
在△MAC中，∠AMC＝180°－∠MAC－∠MCA＝45°，
由正弦定理得＝，
解得MA＝100 m，
在Rt△MNA中，MN＝MA·sin 60°＝150 m.
即山高MN为150 m.
答案：150
[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考

[练基础小题——强化运算能力]
1.如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　)
A．北偏东10°　　 B．北偏西10°
C．南偏东80° D．南偏西80°
解析：选D　由条件及图可知，∠A＝∠CBA＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.
2．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于(　　)

A．240(－1)m B．180(－1)m
C．120(－1)m D．30(＋1)m
解析：选C　∵tan 15°＝tan(60°－45°)＝＝2－，∴BC＝60tan 60°－60tan 15°＝120(－1)(m)，故选C.
3.如图，某工程中要将一长为100 m，倾斜角为75°的斜坡改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长________m.
解析：设坡底需加长x m，由正弦定理得＝，解得x＝100.
答案：100
4．如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，且∠B与∠D互补，则AC的长为________km.
解析：∵82＋52－2×8×5×cos(π－D)＝32＋52－2×3×5×cos D，∴cos D＝－.∴AC＝＝7(km)．
答案：7
5.如图，已知在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在海岛北偏东30°，俯角为30°的B处，到11时10分又测得该船在海岛北偏西60°，俯角为60°的C处．轮船沿BC行驶一段时间后，到达海岛的正西方向的D处，此时轮船距海岛A有________千米．
解析：由已知可求得AB＝，AC＝，BC＝，所以sin∠ACB＝，cos∠ACB＝.在△ACD中，∠DAC＝90°－60°＝30°，∠ACD＝180°－∠ACB，sin∠ADC＝sin(∠ACD＋∠DAC)＝sin∠ACD·cos∠DAC＋sin∠DACcos∠ACD＝，由正弦定理可求得AD＝＝.
答案：
[练常考题点——检验高考能力]
一、选择题
1．已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为(　　)
A．10 km B．10 km
C．10 km D．10 km
解析：选D　如图所示，由余弦定理可得：AC2＝100＋400－2×10×20×cos 120°＝700，
∴AC＝10(km)．

2．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为(　　)
A．8 km/h B．6 km/h
C．2 km/h D．10 km/h
解析：选B　设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sin θ＝＝，从而cos θ＝，所以由余弦定理得2＝2＋12－2××2×1×，解得v＝6 km/h.
3．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　)
A．10 海里　　　　　　　 B．10 海里
C．20 海里 D．20 海里
解析：选A　如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得＝，解得BC＝10(海里)．
4．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是(　　)
A．50 m B．100 m
C．120 m D．150 m
解析：选A　设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在△ABC中，∠BAC＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝h，根据余弦定理得，(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos 60°，即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50 m.

5．如图，某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 km/h的速度由A处出发，沿北偏东60°方向进行海面巡逻，当航行半小时到达B处时，发现北偏西45°方向有一艘船C，若船C位于A的北偏东30°方向上，则缉私艇所在的B处与船C的距离是(　　)
A．5(＋)km B．5(－)km
C．10(－)km D．10(＋)km
解析：选C　由题意，知∠BAC＝60°－30°＝30°，∠ABC＝30°＋45°＝75°，则∠ACB＝180°－75°－30°＝75°，∴AC＝AB＝40×＝20(km)．由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC＝202＋202－2×20×20×cos 30°＝800－400＝400(2－)，∴BC＝＝＝10(－1)＝10(－)km.故选C.

6.(2016·武汉武昌区调研)如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600 km处的热带风暴中心正以20 km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450 km以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为(　　)
A．14 h B．15 h
C．16 h D．17 h
解析：选B　记现在热带风暴中心的位置为点A，t小时后热带风暴中心到达B点位置，在△OAB中，OA＝600，AB＝20t，∠OAB＝45°，根据余弦定理得OB2＝6002＋400t2－2×600×20t×，令OB2≤4502，即4t2－120t＋1 575≤0，解得≤t≤，所以该码头将受到热带风暴影响的时间为－＝15(h)．


二、填空题
7.(2016·河南调研)如图，在山底A点处测得山顶仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1 000米至S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为________米．
解析：由题图知∠BAS＝45°－30°＝15°，∠ABS＝45°－(90°－∠DSB)＝30°，∴∠ASB＝135°，
在△ABS中，由正弦定理可得＝，
∴AB＝1 000，∴BC＝＝1 000(米)．
答案：1 000
8.如图，在水平地面上有两座直立的相距60 m的铁塔AA1和BB1.已知从塔AA1的底部看塔BB1顶部的仰角是从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的2倍，从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角．则从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的正切值为________；塔BB1的高为________m.
解析：设从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角为α，则AA1＝60tan α，BB1＝60tan 2α.
∵从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角，
∴△A1AC∽△CBB1，
∴＝，∴AA1·BB1＝900，
∴3 600tan αtan 2α＝900，
∴tan α＝，tan 2α＝，
则BB1＝60tan 2α＝45(m)．
答案：　45
9．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.
解析：如图，OM＝AOtan 45°＝30(m)，
ON＝AOtan 30°＝30×＝10(m)，
在△MON中，由余弦定理得，
MN＝
＝＝10(m)．
答案：10
10．如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10 000 m，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为________m．(取 ＝1.4, ＝1.7)

解析：如图，作CD垂直于AB的延长线于点D，由题意知∠A＝15°，∠DBC＝45°，∴∠ACB＝30°.AB＝50×420＝21 000(m)．又在△ABC中，＝，∴BC＝×sin 15°＝10 500(－)．∵CD⊥AD，∴CD＝BC·sin∠DBC＝10 500(－)×＝10 500(－1)＝7 350(m)．
故山顶的海拔高度h＝10 000－7 350＝2 650(m)．
答案：2 650
三、解答题
11.已知在岛A南偏西38° 方向，距岛A 3海里的B处有一艘缉私艇．岛A处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛北偏西22° 方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？


解：如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x海里，则BC＝0.5x，AC＝5海里，依题意，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°，
由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 120°，
所以BC2＝49，BC＝0.5x＝7，解得x＝14.
又由正弦定理得sin∠ABC＝＝＝，
所以∠ABC＝38°，
又∠BAD＝38°，所以BC∥AD，
故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船．

12.已知在东西方向上有M，N两座小山，山顶各有一个发射塔A，B，塔顶A，B的海拔高度分别为AM＝100米和BN＝200米，一测量车在小山M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方向行驶了100米后到达点Q，在点Q处测得发射塔顶B处的仰角为θ，且∠BQA＝θ，经测量tan θ＝2，求两发射塔顶A，B之间的距离．
解：在Rt△AMP中，∠APM＝30°，AM＝100，
∴PM＝100.连接QM(图略)，
在△PQM中，∠QPM＝60°，又PQ＝100，
∴△PQM为等边三角形，
∴QM＝100.
在Rt△AMQ中，由AQ2＝AM2＋QM2，得AQ＝200.
在Rt△BNQ中，tan θ＝2，BN＝200，
∴BQ＝100，cos θ＝.
在△BQA中，BA2＝BQ2＋AQ2－2BQ·AQcos θ＝50 000，
∴BA＝100.
即两发射塔顶A，B之间的距离是100米．