2021高考数学（理）大一轮复习习题：第四章 三角函数、解三角形 课时达标检测（十九） 任意角和弧度制、任意角的三角函数 word版含答案

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1．若cs α>0且tan α<0，则α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：选D 由cs α>0，得α的终边在第一或第四象限或x轴非负半轴上，又由tan α<0，得α的终边在第二或第四象限，所以α是第四象限角．
2．若α＝k·360°＋θ，β＝m·360°－θ(k，m∈Z)，则角α与β的终边的位置关系是( )
A．重合 B．关于原点对称
C．关于x轴对称 D．关于y轴对称
解析：选C 角α与θ终边相同，β与－θ终边相同．又角θ与－θ的终边关于x轴对称，所以角α与β的终边关于x轴对称．
3．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0<α<π)的弧度数为( )
A.eq \f(π,3) B.eq \f(π,2)
C.eq \r(3) D．2
解析：选C 设圆的半径为r，则其内接正三角形的边长为eq \r(3)r.根据题意，由eq \r(3)r＝αr，得α＝eq \r(3).
4．角α的终边与直线y＝3x重合，且sin α<0，又P(m，n)是角α终边上一点，且|OP|＝eq \r(10)，则m－n等于( )
A．2 B．－2
C．4 D．－4
解析：选A ∵角α的终边与直线y＝3x重合，且sin α<0，
∴角α的终边在第三象限．又P(m，n)是角α终边上一点，故m<0，n<0.又|OP|＝eq \r(10)，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n＝3m，,\r(m2＋n2)＝\r(10)，))解得m＝－1，n＝－3，故m－n＝2.
5．设角α是第三象限角，且eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)))＝－sineq \f(α,2)，则角eq \f(α,2)是第________象限角．
解析：由角α是第三象限角，知2kπ＋π<α<2kπ＋eq \f(3π,2)(k∈Z)，则kπ＋eq \f(π,2)答案：四
一、选择题
1．已知sin θ－cs θ>1，则角θ的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B 由已知得(sin θ－cs θ)2>1，即1－2sin θcs θ>1，则sin θcs θ<0.又由sin θ－cs θ>1知sin θ>cs θ，所以sin θ>0>cs θ，所以角θ的终边在第二象限．
2．若α是第三象限角，则y＝eq \f(sin \f(α,2),sin\f(α,2))＋eq \f(cs\f(α,2),cs\f(α,2))的值为( )
A．0 B．2
C．－2 D．2或－2
解析：选A 由于α是第三象限角，
所以eq \f(α,2)是第二或第四象限角．
当eq \f(α,2)是第二象限角时，sineq \f(α,2)>0，cseq \f(α,2)<0，
y＝eq \f(sin\f(α,2),sin\f(α,2))＋eq \f(－cs\f(α,2),cs\f(α,2))＝1－1＝0；
当eq \f(α,2)是第四象限角时，sineq \f(α,2)<0，cseq \f(α,2)>0，
y＝eq \f(－sin\f(α,2),sin\f(α,2))＋eq \f(cs\f(α,2),cs\f(α,2))＝－1＋1＝0.故选A.
3．已知角α的终边经过一点P(x，x2＋1)(x>0)，则tan α的最小值为( )
A．1 B．2
C.eq \f(1,2) D.eq \r(2)
解析：选B tan α＝eq \f(x2＋1,x)＝x＋eq \f(1,x)≥2 eq \r(x·\f(1,x))＝2，当且仅当x＝1时取等号，即tan α的最小值为2.故选B.
4．如图，在直角坐标系xOy中，射线OP交单位圆O于点P，若∠AOP＝θ，则点P的坐标是( )
A．(cs θ，sin θ)
B．(－cs θ，sin θ)
C．(sin θ，cs θ)
D．(－sin θ，cs θ)
解析：选A 由三角函数定义知，点P的横坐标x＝cs θ，纵坐标y＝sin θ.
5．已知角α的终边与单位圆x2＋y2＝1交于Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，y0))，则cs 2α＝( )
A．－eq \f(1,2) B．1
C.eq \f(1,2) D．－eq \f(\r(3),2)
解析：选A ∵角α的终边与单位圆x2＋y2＝1交于Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，y0))，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋(y0)2＝1，∴y0＝±eq \f(\r(3),2)，
则cs α＝eq \f(1,2)，sin α＝±eq \f(\r(3),2)，
∴cs 2α＝cs2α－sin2α＝－eq \f(1,2).
6．(2017·连云港质检)已知角α的终边上一点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(2π,3)，cs\f(2π,3)))，则角α的最小正值为( )
A.eq \f(5π,6) B.eq \f(2π,3)
C.eq \f(5π,4) D.eq \f(11π,6)
解析：选D ∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(2π,3)，cs\f(2π,3)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))，
∴角α为第四象限角，且sin α＝－eq \f(1,2)，cs α＝eq \f(\r(3),2).
∴角α的最小正值为eq \f(11π,6).
二、填空题
7．已知点P(sin θcs θ，2cs θ)位于第三象限，则θ是第________象限角．
解析：因为点P(sin θcs θ，2cs θ)位于第三象限，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin θcs θ<0，,2cs θ<0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin θ>0，,cs θ<0，))
所以θ为第二象限角．
答案：二
8．已知角α的终边上一点P(－eq \r(3)，m)(m≠0)，且sin α＝eq \f(\r(2)m,4)，
则m＝________.
解析：由题设知点P的横坐标x＝－eq \r(3)，纵坐标y＝m，
∴r2＝|OP|2＝(－eq \r(3))2＋m2(O为原点)，
即r＝eq \r(3＋m2).
∴sin α＝eq \f(m,r)＝eq \f(\r(2)m,4)＝eq \f(m,2\r(2))，
∴r＝eq \r(3＋m2)＝2eq \r(2)，
即3＋m2＝8，解得m＝±eq \r(5).
答案：±eq \r(5)
9．一扇形的圆心角为120°，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________．
解析：设扇形半径为R，内切圆半径为r，如图．
则(R－r)sin 60°＝r，
即R＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(2\r(3),3)))r.
又S扇＝eq \f(1,2)|α|R2＝eq \f(1,2)×eq \f(2π,3)×R2＝eq \f(π,3)R2＝eq \f(π,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(2\r(3),3)))2r2＝eq \f(7＋4\r(3),9)πr2，S内切圆＝πr2，
所以eq \f(S扇,S内切圆)＝eq \f(7＋4\r(3),9).
答案：(7＋4eq \r(3))∶9
10．在(0,2π)内，使sin x>cs x成立的x的取值范围为________．
解析：如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x＝cs x的x值，sineq \f(π,4)＝cseq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2)，sineq \f(5π,4)＝cseq \f(5π,4)＝－eq \f(\r(2),2).根据三角函数线的变化规律可知，满足题中条件的角x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(5π,4))).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(5π,4)))
三、解答题
11．已知sin α＜0，tan α＞0.
(1)求角α的集合；
(2)求角eq \f(α,2)终边所在的象限；
(3)试判断 taneq \f(α,2)sin eq \f(α,2)cseq \f(α,2)的符号．
解：(1)由sin α＜0，知角α的终边在第三、四象限或y轴的非正半轴上；
由tan α＞0, 知角α的终边在第一、三象限，
故角α的终边在第三象限，其集合为
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ＋π＜α＜2kπ＋\f(3π,2)，k∈Z)))).
(2)由2kπ＋π＜α＜2kπ＋eq \f(3π,2)，k∈Z，
得kπ＋eq \f(π,2)＜eq \f(α,2)＜kπ＋eq \f(3π,4)，k∈Z，
当k为偶数时，角eq \f(α,2)终边在第二象限；
当k为奇数时，角eq \f(α,2)终边在第四象限．
故角eq \f(α,2)终边在第二或第四象限．
(3)当角eq \f(α,2)在第二象限时，tan eq \f(α,2)＜0，
sin eq \f(α,2)＞0, cs eq \f(α,2)＜0，
所以taneq \f(α,2)sineq \f(α,2)cseq \f(α,2)取正号；
当eq \f(α,2)在第四象限时， taneq \f(α,2)＜0，
sineq \f(α,2)＜0, cseq \f(α,2)＞0，
所以 taneq \f(α,2)sineq \f(α,2)cseq \f(α,2)也取正号．
因此，taneq \f(α,2)sin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)取正号．
12．已知扇形AOB的周长为8.
(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.
解：设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α，
(1)由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2r＋l＝8，,\f(1,2)lr＝3，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(r＝3，,l＝2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(r＝1，,l＝6，))
∴α＝eq \f(l,r)＝eq \f(2,3)或α＝eq \f(l,r)＝6.
(2)∵2r＋l＝8，
∴S扇＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)r(8－2r)＝r(4－r)＝－(r－2)2＋4≤4，
当且仅当r＝2，l＝4，
即α＝eq \f(l,r)＝2时，扇形面积取得最大值4.
此时弦长AB＝2sin 1×2＝4sin 1.