2021高考数学（理）大一轮复习习题：第四章 三角函数、解三角形 课时达标检测（十八） 定积分与微积分基本定理 word版含答案

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1.eq \i\in(0,1,)exdx的值等于( )
A．e B．1－e
C．e－1 D.eq \f(1,2)(e－1)
解析：选C eq \i\in(0,1,)exdx＝ex|eq \\al(1,0)＝e1－e0＝e－1.
2．已知t是常数，若eq \i\in(0,t,)(2x－2)dx＝8，则t＝( )
A．1 B．－2
C．－2或4 D．4
解析：选D 由eq \i\in(0,t,)(2x－2)dx＝8得，(x2－2x)eq \a\vs4\al(|)eq \\al(t,0)＝t2－2t＝8，解得t＝4或t＝－2(舍去)．
3．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v＝gt(g为常数)，则电视塔高为( )
A.eq \f(1,2)g B．g
C.eq \f(3,2)g D．2g
解析：选C 由题意知电视塔高为eq \i\in(1,2,)gtdt＝eq \f(1,2)gt2eq \a\vs4\al(|)eq \\al(2,1)＝2g－eq \f(1,2)g＝eq \f(3,2)g.
4．由曲线y＝x2，y＝eq \r(x)围成的封闭图形的面积为( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,3) C.eq \f(2,3) D．1
解析：选B 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x2，,y＝\r(x)，))得交点为(0,0)和(1,1)，故所求面积(如图阴影部分的面积)为eq \i\in(0,1,)(eq \r(x)－x2)dx＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(eq \f(2,3)xeq \f(3,2)－eq \f(1,3)x3)))|eq \\al(1,0)＝eq \f(1,3).
5．eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))dx＝________.
解析：依题意得eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))dx＝ (sin x＋cs x)dx＝(sin x－cs x) eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(eq \f(π,2),0))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(π,2)－cs\f(π,2)))－(sin 0－cs 0)＝2.
答案：2
一、选择题
1．定积分|x2－2x|dx＝( )
A．5 B．6 C．7 D．8
解析：选D ∵|x2－2x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x，－2≤x＜0，,－x2＋2x，0≤x≤2，))
∴eq \i\in(,2,－2)eq \a\vs4\al(|)x2－2xeq \a\vs4\al(|)dx＝eq \i\in(,0,－2)(x2－2x)dx＋eq \i\in(0,2,)(－x2＋2x)dx＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x3－x2))eq \a\vs4\al(|)eq \\al(0,－2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)x3＋x2))eq \a\vs4\al(|)eq \\al(2,0)＝8.
2．(2017·河北五校联考 )若f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg x ，x＞0，,x＋\i\in(0,a,)3t2dt，x≤0，))f(f(1))＝1，则a的值为( )
A．1 B．2 C．－1 D．－2
解析：选A 因为f(1)＝lg 1＝0，f(0)＝eq \i\in(0,a,)3t2dt＝t3|eq \\al(a,0)＝a3，所以由f(f(1))＝1得a3＝1，所以a＝1.
3．若S1＝eq \i\in(1,2,)eq \f(1,x)dx，S2＝eq \i\in(1,2,)(ln x＋1)dx，S3＝eq \i\in(1,2,)xdx，则S1，S2，S3的大小关系为( )
A．S1C．S1解析：选A 如图，分别画出对应图形，比较围成图形的面积，易知选A.
4．(2017·贵阳监测)若由曲线f(x)＝eq \r(x)与y轴及直线y＝m(m>0)围成的图形的面积为eq \f(8,3)，则m的值为( )
A．2 B．3 C．1 D．8
解析：选A 由题意得，围成的图形的面积S＝eq \a\vs4\al(\i\in(0,m2,)) (m－eq \r(x))dx＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(mx－\f(2,3)x\f(3,2)))eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2,a))m20＝m3－eq \f(2,3)m3＝eq \f(8,3)，解得m＝2.
5．设变力F(x)(单位：N)作用在质点M上，使M沿x轴正方向从x＝1 m处运动到x＝10 m处，已知F(x)＝x2＋1且方向和x轴正方向相同，则变力F(x)对质点M所做的功为( )
A．1 J B．10 J C．342 J D．432 J
解析：选C 变力F(x)＝x2＋1使质点M沿x轴正方向从x＝1运动到x＝10所做的功W＝∫eq \\al(10,1)F(x)dx＝∫eq \\al(10,1)(x2＋1)dx＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x3＋x))|eq \\al(10,1)＝342(J)．
6．若函数f(x)，g(x)满足eq \i\in(,1,)－1f(x)g(x)dx＝0，则称f(x)，g(x)为区间上的一组正交函数．给出三组函数：
①f(x)＝sineq \f(1,2)x，g(x)＝cseq \f(1,2)x；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g(x)＝x2.其中为区间上的正交函数的组数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：选C 对于①，eq \i\in(,1,－1)sineq \f(1,2)xcseq \f(1,2)xdx＝eq \i\in(,1,－1)eq \f(1,2)sin xdx＝0，所以①是区间上的一组正交函数；对于②，eq \i\in(,1,－1) (x＋1)(x－1)dx＝eq \i\in(,1,－1) (x2－1)dx≠0，所以②不是区间上的一组正交函数；对于③，eq \i\in(,1,－1)x·x2dx＝eq \i\in(,1,－1)x3dx＝0，所以③是区间上的一组正交函数．选C.
二、填空题
7．若函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)，则eq \i\in(1,e,)f(x)dx＝________.
解析：eq \i\in(1,e,)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))dx＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x2,2)＋ln x))eq \a\vs4\al(|)eq \\al(e,1)＝eq \f(e2＋1,2).
答案：eq \f(e2＋1,2)
8．(2017·洛阳统考)函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，－1≤x＜0，,ex，0≤x≤1))的图象与直线x＝1及x轴所围成的封闭图形的面积为________．
解析：由题意知所求面积为eq \i\in(,0,－1)(x＋1)dx＋eq \i\in(0,1,)exdx＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x2＋x))eq \a\vs4\al(|)eq \\al(0,－1)＋exeq \a\vs4\al(|)eq \\al(1,0)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－1))＋(e－1)＝e－eq \f(1,2).
答案：e－eq \f(1,2)
9.eq \i\in(1,e,)eq \f(1,x)dx＋eq \i\in(,2,－2)eq \r(4－x2)dx＝________；
解析：eq \i\in(1,e,)eq \f(1,x)dx＝ln xeq \a\vs4\al(|)eq \\al(e,1)＝1－0＝1，因为eq \i\in(,2,－2)eq \r(4－x2)dx表示的是圆x2＋y2＝4在x轴上方的面积，故eq \i\in(,2,－2)eq \r(4－x2)dx＝eq \f(1,2)π×22＝2π.所以原式＝2π＋1.
答案：2π＋1
10．如图，由曲线y＝x2和直线y＝t2(0解析：设图中阴影部分的面积为S(t)，则S(t)＝eq \i\in(0,t,)(t2－x2)dx＋eq \i\in(t,1,)(x2－t2)dx＝eq \f(4,3)t3－t2＋eq \f(1,3).由S′(t)＝2t(2t－1)＝0，得t＝eq \f(1,2)为S(t)在区间(0,1)上的最小值点，此时S(t)min＝Seq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(1,4).
答案：eq \f(1,4)
三、解答题
11．已知f(x)为二次函数，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，eq \i\in(0,1,)f(x)dx＝－2.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在上的最大值与最小值．
解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f′(x)＝2ax＋b.
由f(－1)＝2，f′(0)＝0，
得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－b＋c＝2，,b＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(c＝2－a，,b＝0，))
∴f(x)＝ax2＋2－a.
又eq \i\in(0,1,)f(x)dx＝eq \i\in(0,1,)(ax2＋2－a)dx
＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)ax3＋2－ax))eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(1,0))＝2－eq \f(2,3)a＝－2.
∴a＝6，从而f(x)＝6x2－4.
(2)∵f(x)＝6x2－4，x∈．
∴当x＝0时，f(x)min＝－4；
当x＝±1时，f(x)max＝2.
12．已知函数f(x)＝x3－x2＋x＋1，求其在点(1,2)处的切线与函数g(x)＝x2围成的图形的面积．
解：∵(1,2)为曲线f(x)＝x3－x2＋x＋1上的点，
设过点(1,2)处的切线的斜率为k，
则k＝f′(1)＝(3x2－2x＋1)eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x,＝1))＝2，
∴过点(1,2)处的切线方程为y－2＝2(x－1)，
即y＝2x.
y＝2x与函数g(x)＝x2围成的图形如图：
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x2，,y＝2x))可得交点A(2,4)，O(0,0)，
故y＝2x与函数g(x)＝x2围成的图形的面积
S＝eq \i\in(0,2,)(2x－x2)dx＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－\f(1,3)x3))eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(,,,,))eq \\al(2,0)＝4－eq \f(8,3)＝eq \f(4,3).