2021高考数学（理）大一轮复习习题：第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布列 课时达标检测（五十九） 二项分布与正态分布 word版含答案

这是一份2021高考数学（理）大一轮复习习题：第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布列 课时达标检测（五十九） 二项分布与正态分布 word版含答案，共7页。试卷主要包含了全员必做题，重点选做题，冲刺满分题等内容，欢迎下载使用。

一、全员必做题
1．若同时抛掷两枚骰子，当至少有5点或6点出现时，就说这次试验成功，则在3次试验中至少有1次成功的概率是( )
A.eq \f(125,729) B.eq \f(80,243) C.eq \f(665,729) D.eq \f(100,243)
解析：选C 一次试验中，至少有5点或6点出现的概率为1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))＝1－eq \f(4,9)＝eq \f(5,9)，设X为3次试验中成功的次数，则X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(5,9)))，故所求概率P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－Ceq \\al(0,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,9)))0×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,9)))3＝eq \f(665,729)，故选C.
2．(2017·石家庄模拟)设X～N(1，σ2)，其正态分布密度曲线如图所示，且P(X≥3)＝0.022 8，那么向正方形OABC中随机投掷20 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为( )
附：(随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954 4)．
A．12 076 B．13 174 C．14 056 D．7 539
解析：选B 由题意得，P(X≤－1)＝P(X ≥3)＝0.022 8，
∴P(－1∵P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954 4，
∴1－2σ＝－1，故σ＝1，∴P(03．在一个质地均匀的小正方体的六个面中，三个面标0，两个面标1，一个面标2，将这个小正方体连续掷两次，若向上的数字的乘积为偶数，则该乘积为非零偶数的概率为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(8,9) C.eq \f(1,16) D.eq \f(5,32)
解析：选D 两次数字乘积为偶数，可先考虑其反面——只需两次均出现1向上，故两次数字乘积为偶数的概率为1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,6)))2＝eq \f(8,9)；若乘积非零且为偶数，需连续两次抛掷小正方体的情况为(1,2)或(2,1)或(2,2)，概率为eq \f(1,3)×eq \f(1,6)×2＋eq \f(1,6)×eq \f(1,6)＝eq \f(5,36).故所求条件概率为eq \f(\f(5,36),\f(8,9))＝eq \f(5,32).
4．某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定．小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．
(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求X的分布列和数学期望．
解：(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”为事件A，则P(A)＝eq \f(5,6)×eq \f(4,5)×eq \f(3,4)＝eq \f(1,2).
(2)依题意得，X所有可能的取值是1,2,3.又P(X＝1)＝eq \f(1,6)，P(X＝2)＝eq \f(5,6)×eq \f(1,5)＝eq \f(1,6)，P(X＝3)＝eq \f(5,6)×eq \f(4,5)×1＝eq \f(2,3).所以X的分布列为
所以E(X)＝1×eq \f(1,6)＋2×eq \f(1,6)＋3×eq \f(2,3)＝eq \f(5,2).
5．小辛参加某次知识竞赛，对于5道高难度的四选一的选择题，前3道题小辛做对每个题目的概率都为eq \f(1,2)，后2道题由于不会，就都随便选择一个答案，已知每个题目能否做对是相互独立的．
(1)求这5道题目小辛至少做对1道的概率；
(2)若用X表示小辛做对的题目数，试求X的分布列和数学期望．
解：(1)5道题全做错的概率P＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))2＝eq \f(9,128)，
故至少做对1道的概率为1－P＝1－eq \f(9,128)＝eq \f(119,128).
(2)由题意可知X的所有可能的取值为0,1,2,3,4,5.
P(X＝0)＝eq \f(9,128)；
P(X＝1)＝Ceq \\al(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3×Ceq \\al(1,2)×eq \f(1,4)×eq \f(3,4)＝eq \f(33,128)；
P(X＝2)＝Ceq \\al(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))2＋Ceq \\al(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2×Ceq \\al(1,2)×eq \f(1,4)×eq \f(3,4)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))2＝eq \f(46,128)＝eq \f(23,64)；
P(X＝3)＝Ceq \\al(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))2＋Ceq \\al(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))1×Ceq \\al(1,2)×eq \f(1,4)×eq \f(3,4)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))2＝eq \f(30,128)＝eq \f(15,64)；
P(X＝4)＝Ceq \\al(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3×Ceq \\al(1,2)×eq \f(1,4)×eq \f(3,4)＝eq \f(9,128)；
P(X＝5)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))2＝eq \f(1,128).
故X的分布列为
所以E(X)＝0×eq \f(9,128)＋1×eq \f(33,128)＋2×eq \f(23,64)＋3×eq \f(15,64)＋4×eq \f(9,128)＋5×eq \f(1,128)＝2.
二、重点选做题
1．为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100 km/h的有40人，不超过100 km/h的有15人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过100 km/h的有20人，不超过100 km/h的有25人．
(1)完成下面2×2列联表，并判断有多大的把握认为“平均车速超过100 km/h与性别有关”？
附：K2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.
(2)在被调查的驾驶员中，从平均车速不超过100 km/h的人中随机抽取2人，求这2人恰好是1名男性驾驶员和1名女性驾驶员的概率；
(3)以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车平均车速超过100 km/h且为男性驾驶员的车辆数为X，求X的分布列和数学期望E(X)．
解：(1)完成的2×2列联表如下：
K2＝eq \f(100×40×25－15×202,55×45×60×40)≈8.249>7.879，所以有99.5%的把握认为“平均车速超过100 km/h与性别有关”．
(2)平均车速不超过100 km/h的驾驶员有40人，从中随机抽取2人的方法总数为Ceq \\al(2,40)，记“这2人恰好是1名男性驾驶员和1名女性驾驶员”为事件A，则事件A所包含的基本事件数为Ceq \\al(1,15)Ceq \\al(1,25)，所以所求的概率P(A)＝eq \f(C\\al(1,15)C\\al(1,25),C\\al(2,40))＝eq \f(15×25,20×39)＝eq \f(25,52).
(3)根据样本估计总体的思想，从总体中任取1辆车，平均车速超过100 km/h且为男性驾驶员的概率为eq \f(40,100)＝eq \f(2,5)，故X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(2,5))).
所以P(X＝0)＝Ceq \\al(0,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))3＝eq \f(27,125)；
P(X＝1)＝Ceq \\al(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))2＝eq \f(54,125)；
P(X＝2)＝Ceq \\al(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))＝eq \f(36,125)；
P(X＝3)＝Ceq \\al(3,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))0＝eq \f(8,125).
所以X的分布列为
E(X)＝0×eq \f(27,125)＋1×eq \f(54,125)＋2×eq \f(36,125)＋3×eq \f(8,125)＝eq \f(6,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或EX＝3×\f(2,5)＝\f(6,5))).
2．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为eq \f(1,2)，且各次击鼓出现音乐相互独立．
(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；
(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．
解：(1)X可能的取值为10,20,100，－200.根据题意，有
P(X＝10)＝Ceq \\al(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))2＝eq \f(3,8)，
P(X＝20)＝Ceq \\al(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))1＝eq \f(3,8)，
P(X＝100)＝Ceq \\al(3,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))0＝eq \f(1,8)，
P(X＝－200)＝Ceq \\al(0,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))0×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))3＝eq \f(1,8).
所以X的分布列为
(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i＝1,2,3)，则P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(X＝－200)＝eq \f(1,8).所以“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为1－P(A1A2A3)＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)))3＝1－eq \f(1,512)＝eq \f(511,512).因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是eq \f(511,512).
(3)数学期望E(X)＝10×eq \f(3,8)＋20×eq \f(3,8)＋100×eq \f(1,8)－200×eq \f(1,8)＝－eq \f(5,4).
这表明，获得分数X的均值为负，
因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大．
三、冲刺满分题
1．甲、乙两俱乐部举行乒乓球团体对抗赛．双方约定：
①比赛采取五场三胜制(先赢三场的队伍获得胜利，比赛结束)；
②双方各派出三名队员，前三场每位队员各比赛一场．已知甲俱乐部派出队员A1，A2，A3，其中A3只参加第三场比赛，另外两名队员A1，A2比赛场次未定；乙俱乐部派出队员B1，B2，B3，其中B1参加第一场与第五场比赛，B2参加第二场与第四场比赛，B3只参加第三场比赛．
根据以往的比赛情况，甲俱乐部三名队员对阵乙俱乐部三名队员获胜的概率如下表：
(1)若甲俱乐部计划以3∶0取胜，则应如何安排A1，A2两名队员的出场顺序，使得取胜的概率最大？
(2)若A1参加第一场与第四场比赛，A2参加第二场与第五场比赛，各队员每场比赛的结果互不影响，设本次团体对抗赛比赛的场数为随机变量X，求X的分布列及数学期望E(X)．
解：(1)设A1，A2分别参加第一场，第二场，则P1＝eq \f(5,6)×eq \f(2,3)×eq \f(2,3)＝eq \f(10,27)，设A2，A1分别参加第一场、第二场，则P2＝eq \f(3,4)×eq \f(2,3)×eq \f(2,3)＝eq \f(1,3)，∴P1>P2，∴甲俱乐部安排A1参加第一场，A2参加第二场，则以3∶0取胜的概率最大．
(2)比赛场数X的所有可能取值为3,4,5，P(X＝3)＝eq \f(5,6)×eq \f(2,3)×eq \f(2,3)＋eq \f(1,6)×eq \f(1,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(7,18)，P(X＝4)＝eq \f(5,6)Ceq \\al(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(1,3)×eq \f(2,3)＋eq \f(1,6)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3＋eq \f(1,6)Ceq \\al(1,2)×eq \f(1,3)×eq \f(2,3)×eq \f(1,3)＋eq \f(5,6)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))3＝eq \f(19,54)，P(X＝5)＝1－P(X＝3)－P(X＝4)＝eq \f(7,27)，∴X的分布列为
∴E(X)＝3×eq \f(7,18)＋4×eq \f(19,54)＋5×eq \f(7,27)＝eq \f(209,54).
2．某茶楼有四类茶饮，假设为顾客准备泡茶工具所需的时间相互独立，且都是整数(单位：分钟)．现统计该茶楼服务员以往为100位顾客准备泡茶工具所需的时间t，结果如表所示．
注：服务员在准备泡茶工具时的间隔时间忽略不计，并将频率视为概率．
(1)求服务员恰好在第6分钟开始准备第三位顾客的泡茶工具的概率；
(2)用X表示至第4分钟末服务员已准备好了泡茶工具的顾客数，求X的分布列及均值．
解：(1)由题意知t的分布列如下．
设A表示事件“服务员恰好在第6分钟开始准备第三位顾客的泡茶工具”，则事件A对应两种情形：
①为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间为2分钟，且为第二位顾客准备泡茶工具所需的时间为3分钟；
②为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间为3分钟，且为第二位顾客准备泡茶工具所需的时间为2分钟．
所以P(A)＝P(t＝2)×P(t＝3)＋P(t＝3)×P(t＝2)＝eq \f(1,5)×eq \f(3,10)＋eq \f(3,10)×eq \f(1,5)＝eq \f(3,25).
(2)X的所有可能取值为0,1,2，
X＝0对应为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间超过4分钟，所以P(X＝0)＝P(t＞4)＝P(t＝6)＝eq \f(1,10)；
X＝1对应为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间为2分钟且为第二位顾客准备泡茶工具所需的时间超过2分钟，或为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间为3分钟，或为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间为4分钟，
所以P(X＝1)＝P(t＝2)·P(t＞2)＋P(t＝3)＋P(t＝4)＝eq \f(1,5)×eq \f(4,5)＋eq \f(3,10)＋eq \f(2,5)＝eq \f(43,50)；
X＝2对应为两位顾客准备泡茶工具所需的时间均为2分钟，所以P(X＝2)＝P(t＝2)·P(t＝2)＝eq \f(1,5)×eq \f(1,5)＝eq \f(1,25).
所以X的分布列为
所以X的均值E(X)＝0×eq \f(1,10)＋1×eq \f(43,50)＋2×eq \f(1,25)＝eq \f(47,50).
X
1
2
3
P
eq \f(1,6)
eq \f(1,6)
eq \f(2,3)
X
0
1
2
3
4
5
P
eq \f(9,128)
eq \f(33,128)
eq \f(23,64)
eq \f(15,64)
eq \f(9,128)
eq \f(1,128)
平均车速超过100 km/h
平均车速不超过100 km/h
总计
男性驾驶员
女性驾驶员
总计
P(K2≥k0)
0.150
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
平均车速超过100 km/h
平均车速不超过100 km/h
总计
男性驾驶员
40
15
55
女性驾驶员
20
25
45
总计
60
40
100
X
0
1
2
3
P
eq \f(27,125)
eq \f(54,125)
eq \f(36,125)
eq \f(8,125)
X
10
20
100
－200
P
eq \f(3,8)
eq \f(3,8)
eq \f(1,8)
eq \f(1,8)
A1
A2
A3
B1
eq \f(5,6)
eq \f(3,4)
eq \f(1,3)
B2
eq \f(2,3)
eq \f(2,3)
eq \f(1,2)
B3
eq \f(6,7)
eq \f(5,6)
eq \f(2,3)
X
3
4
5
P
eq \f(7,18)
eq \f(19,54)
eq \f(7,27)
类别
铁观音
龙井
金骏眉
大红袍
顾客数(人)
20
30
40
10
时间t(分钟/人)
2
3
4
6
t
2
3
4
6
P
eq \f(1,5)
eq \f(3,10)
eq \f(2,5)
eq \f(1,10)
X
0
1
2
P
eq \f(1,10)
eq \f(43,50)
eq \f(1,25)