2021高考数学（理）大一轮复习习题：第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布列 课时达标检测（五十六） 随机事件的概率 word版含答案

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1．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )
A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B．“至少有一个黑球”与“都是红球”
C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
D．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”
解析：选D A中的两个事件是包含关系，不是互斥事件；B中的两个事件是对立事件；C中的两个事件都包含“一个黑球一个红球”的事件，不是互斥关系；D中的两个事件是互斥而不对立的关系．
2．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别为0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是( )
A．A∪B与C是互斥事件，也是对立事件
B．B∪C与D是互斥事件，也是对立事件
C．A∪C与B∪D是互斥事件，但不是对立事件
D．A与B∪C∪D是互斥事件，也是对立事件
解析：选D 由于A，B，C，D彼此互斥，且A∪B∪C∪D是一个必然事件，故其事件的关系可由如图所示的Venn图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．
3．甲、乙两人下棋，和棋的概率为eq \f(1,2)，乙获胜的概率为eq \f(1,3)，则下列说法正确的是( )
A．甲获胜的概率是eq \f(1,6) B．甲不输的概率是eq \f(1,2)
C．乙输了的概率是eq \f(2,3) D．乙不输的概率是eq \f(1,2)
解析：选A “甲获胜”是“和棋或乙获胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率是P＝1－eq \f(1,2)－eq \f(1,3)＝eq \f(1,6)，故A正确；“乙输了”等于“甲获胜”，其概率为eq \f(1,6)，故C不正确；设事件A为“甲不输”，则A是“甲胜”、“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(A)＝eq \f(1,6)＋eq \f(1,2)＝eq \f(2,3)或设事件A为“甲不输”，则A是“乙获胜”的对立事件，所以P(A)＝1－eq \f(1,3)＝eq \f(2,3)，故B不正确；同理，“乙不输”的概率为eq \f(5,6)，故D不正确．
4．某城市2016年的空气质量状况如下表所示：
其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50解析：由题意可知2016年空气质量达到良或优的概率为P＝eq \f(1,10)＋eq \f(1,6)＋eq \f(1,3)＝eq \f(3,5).
答案：eq \f(3,5)
5．口袋内装有一些除颜色不同之外其他均相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，若红球有21个，则黑球有________个．
解析：摸到黑球的概率为1－0.42－0.28＝0.3.设黑球有n个，则eq \f(0.42,21)＝eq \f(0.3,n)，故n＝15.
答案：15
一、选择题
1．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一个产品是正品(甲级)的概率为( )

A．0.95 B．0.97 C．0.92 D．0.08
解析：选C 记抽检的产品是甲级品为事件A，是乙级品为事件B，是丙级品为事件C，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－5%－3%＝92%＝0.92.
2．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：
则样本数据落在区间[10,40)的频率为( )
A．0.35 B．0.45 C．0.55 D．0.65
解析：选B 数据落在[10,40)的概率为eq \f(2＋3＋4,20)＝eq \f(9,20)＝0.45，故选B.
3．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( )

A．134石 B．169石 C．338石 D．1 365石
解析：选B 这批米内夹谷约为eq \f(28,254)×1 534≈169石，故选B.
4．从某校高二年级的所有学生中，随机抽取20人，测得他们的身高(单位：cm)分别为：
162,153,148,154,165,168,172,171,173,150，
151,152,160,165,164,179,149,158,159,175.
根据样本频率分布估计总体分布的原理，在该校高二年级的所有学生中任抽一人，估计该生的身高在155.5 cm～170.5 cm之间的概率约为( )
A.eq \f(2,5) B.eq \f(1,2) C.eq \f(2,3) D.eq \f(1,3)
解析：选A 从已知数据可以看出，在随机抽取的这20位学生中，身高在155.5 cm～170.5 cm之间的学生有8人，频率为eq \f(2,5)，故可估计在该校高二年级的所有学生中任抽一人，其身高在155.5 cm～170.5 cm之间的概率约为eq \f(2,5).
5．若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，则实数a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)，2)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)，\f(3,2)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5,4)，\f(3,2))) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5,4)，\f(4,3)))
解析：选D 由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0<2－a<1，,0<4a－5<1，,3a－3≤1，))解得eq \f(5,4)6．做掷一个骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A＋eq \(B,\s\up6(－))发生的概率为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(2,3) D.eq \f(5,6)
解析：选C 由于基本事件总数为6，故P(A)＝eq \f(2,6)＝eq \f(1,3)，P(B)＝eq \f(4,6)＝eq \f(2,3)，从而P(eq \(B,\s\up6(－)))＝1－P(B)＝1－eq \f(2,3)＝eq \f(1,3)，又A与eq \(B,\s\up6(－))互斥，故P(A＋eq \(B,\s\up6(－)))＝P(A)＋P(eq \(B,\s\up6(－)))＝eq \f(1,3)＋eq \f(1,3)＝eq \f(2,3).故选C.
二、填空题
7．已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别是0.8,0.12,0.05，则这台纺纱机在1小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为________，________.
解析：断头不超过两次的概率P1＝0.8＋0.12＋0.05＝0.97.于是，断头超过两次的概率P2＝1－P1＝1－0.97＝0.03.
答案：0.97 0.03
8．2014年6月，一篇关于“键盘侠”的时评引发了大家对“键盘侠”的热议(“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象)．某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有9 600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有________人．
解析：在随机抽取的50人中，持反对态度的频率为1－eq \f(14,50)＝eq \f(18,25)，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有9 600×eq \f(18,25)＝6 912(人)．
答案：6 912
9．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．
解析：由题意得an＝(－3)n－1，易知前10项中奇数项为正，偶数项为负，所以小于8的项为第一项和偶数项，共6项，即6个数，所以P＝eq \f(6,10)＝eq \f(3,5).
答案：eq \f(3,5)
10．若A，B互为对立事件，其概率分别为P(A)＝eq \f(4,x)，P(B)＝eq \f(1,y)，则x＋y的最小值为________．
解析：由题意，x>0，y>0，eq \f(4,x)＋eq \f(1,y)＝1.则x＋y＝(x＋y)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,x)＋\f(1,y)))＝5＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4y,x)＋\f(x,y)))≥9，当且仅当x＝2y时等号成立，故x＋y的最小值为9.
答案：9
三、解答题
11．某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关．据统计，当X＝70时，Y＝460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值为
140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.
(1)完成如下的频率分布表：
近20年六月份降雨量频率分布表
(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率．
解：(1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个．故近20年六月份降雨量频率分布表为
(2)由已知可得Y＝eq \f(X,2)＋425，
故P(“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”)
＝P(Y<490或Y>530)＝P(X<130或X>210)
＝P(X＝70)＋P(X＝110)＋P(X＝220)
＝eq \f(1,20)＋eq \f(3,20)＋eq \f(2,20)＝eq \f(3,10).
故今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率为eq \f(3,10).
12.某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量 Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．
(1)完成下表，并求所种作物的平均年收获量；
(2)在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48 kg的概率．
解：(1)所种作物的总株数为1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株．列表如下：
所种作物的平均年收获量为eq \f(51×2＋48×4＋45×6＋42×3,15)
＝eq \f(102＋192＋270＋126,15)＝eq \f(690,15)＝46.
(2)由(1)知，P(Y＝51)＝eq \f(2,15)，P(Y＝48)＝eq \f(4,15).
故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48 kg的概率为P(Y≥48)＝P(Y＝51)＋P(Y＝48)＝eq \f(2,15)＋eq \f(4,15)＝eq \f(2,5).
污染指数T
30
60
100
110
130
140
概率P
eq \f(1,10)
eq \f(1,6)
eq \f(1,3)
eq \f(7,30)
eq \f(2,15)
eq \f(1,30)
分组
[10,20)
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70)
频数
2
3
4
5
4
2
降雨量
70
110
140
160
200
220
频率
eq \f(1,20)
eq \f(4,20)
eq \f(2,20)
降雨量
70
110
140
160
200
220
频率
eq \f(1,20)
eq \f(3,20)
eq \f(4,20)
eq \f(7,20)
eq \f(3,20)
eq \f(2,20)
X
1
2
3
4
Y
51
48
45
42
Y
51
48
45
42
频数
4
Y
51
48
45
42
频数
2
4
6
3