高中数学高考2018高考数学（理）大一轮复习习题：第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布列 课时达标检测（五十九） 二项分布与正态分布 Word版含答案

课时达标检测（五十九）  二项分布与正态分布

一、全员必做题

1．若同时抛掷两枚骰子，当至少有5点或6点出现时，就说这次试验成功，则在3次试验中至少有1次成功的概率是(　　)

A.      B.     C.      D.

解析：选C　一次试验中，至少有5点或6点出现的概率为1－×＝1－＝，设X为3次试验中成功的次数，则X～B，故所求概率P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－C×0×3＝，故选C.

2．(2017·石家庄模拟)设X～N(1，σ2)，其正态分布密度曲线如图所示，且P(X≥3)＝0.022 8，那么向正方形OABC中随机投掷20 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为(　　)

附：(随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954 4)．

A．12 076     B．13 174     C．14 056   D．7 539

解析：选B　由题意得，P(X≤－1)＝P(X ≥3)＝0.022 8，

∴P(－1<X<3)＝1－0.022 8×2＝0.954 4，

∵P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954 4，

∴1－2σ＝－1，故σ＝1，∴P(0<X<1)＝P(0<X<2)＝0.341 3，故估计落入阴影部分的点的个数为20 000×(1－0.341 3)＝13 174，故选B.

3．在一个质地均匀的小正方体的六个面中，三个面标0，两个面标1，一个面标2，将这个小正方体连续掷两次，若向上的数字的乘积为偶数，则该乘积为非零偶数的概率为(　　)

A.  B.  C.  D.

解析：选D　两次数字乘积为偶数，可先考虑其反面——只需两次均出现1向上，故两次数字乘积为偶数的概率为1－2＝；若乘积非零且为偶数，需连续两次抛掷小正方体的情况为(1,2)或(2,1)或(2,2)，概率为××2＋×＝.故所求条件概率为＝.

4．某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定．小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．

(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；

(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求X的分布列和数学期望．

解：(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”为事件A，则P(A)＝××＝.

(2)依题意得，X所有可能的取值是1,2,3.又P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，P(X＝3)＝××1＝.所以X的分布列为

所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝.

5．小辛参加某次知识竞赛，对于5道高难度的四选一的选择题，前3道题小辛做对每个题目的概率都为，后2道题由于不会，就都随便选择一个答案，已知每个题目能否做对是相互独立的．

(1)求这5道题目小辛至少做对1道的概率；

(2)若用X表示小辛做对的题目数，试求X的分布列和数学期望．

解：(1)5道题全做错的概率P＝3×2＝，

故至少做对1道的概率为1－P＝1－＝.

(2)由题意可知X的所有可能的取值为0,1,2,3,4,5.

P(X＝0)＝；

P(X＝1)＝C×1×2×2＋3×C××＝；

P(X＝2)＝C×2×1×2＋C×1×2×C××＋3×2＝＝；

P(X＝3)＝C×1×2×2＋C×2×1×C××＋3×2＝＝；

P(X＝4)＝C×2×1×2＋3×C××＝；

P(X＝5)＝3×2＝.

故X的分布列为

所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝2.

二、重点选做题

1．为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100 km/h的有40人，不超过100 km/h的有15人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过100 km/h的有20人，不超过100 km/h的有25人．

(1)完成下面2×2列联表，并判断有多大的把握认为“平均车速超过100 km/h与性别有关”？

附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.

(2)在被调查的驾驶员中，从平均车速不超过100 km/h的人中随机抽取2人，求这2人恰好是1名男性驾驶员和1名女性驾驶员的概率；

(3)以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车平均车速超过100 km/h且为男性驾驶员的车辆数为X，求X的分布列和数学期望E(X)．

解：(1)完成的2×2列联表如下：

K2＝≈8.249>7.879，所以有99.5%的把握认为“平均车速超过100 km/h与性别有关”．

(2)平均车速不超过100 km/h的驾驶员有40人，从中随机抽取2人的方法总数为C，记“这2人恰好是1名男性驾驶员和1名女性驾驶员”为事件A，则事件A所包含的基本事件数为CC，所以所求的概率P(A)＝＝＝.

(3)根据样本估计总体的思想，从总体中任取1辆车，平均车速超过100 km/h且为男性驾驶员的概率为＝，故X～B.

所以P(X＝0)＝C03＝；

P(X＝1)＝C2＝；

P(X＝2)＝C2＝；

P(X＝3)＝C30＝.

所以X的分布列为

E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

2．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．

(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；

(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？

(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．

解：(1)X可能的取值为10,20,100，－200.根据题意，有

P(X＝10)＝C×1×2＝，

P(X＝20)＝C×2×1＝，

P(X＝100)＝C×3×0＝，

P(X＝－200)＝C×0×3＝.

所以X的分布列为

(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i＝1,2,3)，则P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(X＝－200)＝.所以“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为1－P(A1A2A3)＝1－3＝1－＝.因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是.

(3)数学期望E(X)＝10×＋20×＋100×－200×＝－.

这表明，获得分数X的均值为负，

因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大．

三、冲刺满分题

1．甲、乙两俱乐部举行乒乓球团体对抗赛．双方约定：

①比赛采取五场三胜制(先赢三场的队伍获得胜利，比赛结束)；

②双方各派出三名队员，前三场每位队员各比赛一场．已知甲俱乐部派出队员A1，A2，A3，其中A3只参加第三场比赛，另外两名队员A1，A2比赛场次未定；乙俱乐部派出队员B1，B2，B3，其中B1参加第一场与第五场比赛，B2参加第二场与第四场比赛，B3只参加第三场比赛．

根据以往的比赛情况，甲俱乐部三名队员对阵乙俱乐部三名队员获胜的概率如下表：

(1)若甲俱乐部计划以3∶0取胜，则应如何安排A1，A2两名队员的出场顺序，使得取胜的概率最大？

(2)若A1参加第一场与第四场比赛，A2参加第二场与第五场比赛，各队员每场比赛的结果互不影响，设本次团体对抗赛比赛的场数为随机变量X，求X的分布列及数学期望E(X)．

解：(1)设A1，A2分别参加第一场，第二场，则P1＝××＝，设A2，A1分别参加第一场、第二场，则P2＝××＝，∴P1>P2，∴甲俱乐部安排A1参加第一场，A2参加第二场，则以3∶0取胜的概率最大．

(2)比赛场数X的所有可能取值为3,4,5，P(X＝3)＝××＋××＝，P(X＝4)＝C×××＋×3＋C×××＋×3＝，P(X＝5)＝1－P(X＝3)－P(X＝4)＝，∴X的分布列为

∴E(X)＝3×＋4×＋5×＝.

2．某茶楼有四类茶饮，假设为顾客准备泡茶工具所需的时间相互独立，且都是整数(单位：分钟)．现统计该茶楼服务员以往为100位顾客准备泡茶工具所需的时间t，结果如表所示．

注：服务员在准备泡茶工具时的间隔时间忽略不计，并将频率视为概率．

(1)求服务员恰好在第6分钟开始准备第三位顾客的泡茶工具的概率；

(2)用X表示至第4分钟末服务员已准备好了泡茶工具的顾客数，求X的分布列及均值．

解：(1)由题意知t的分布列如下．

设A表示事件“服务员恰好在第6分钟开始准备第三位顾客的泡茶工具”，则事件A对应两种情形：

①为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间为2分钟，且为第二位顾客准备泡茶工具所需的时间为3分钟；

②为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间为3分钟，且为第二位顾客准备泡茶工具所需的时间为2分钟．

所以P(A)＝P(t＝2)×P(t＝3)＋P(t＝3)×P(t＝2)＝×＋×＝.

(2)X的所有可能取值为0,1,2，

X＝0对应为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间超过4分钟，所以P(X＝0)＝P(t＞4)＝P(t＝6)＝；

X＝1对应为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间为2分钟且为第二位顾客准备泡茶工具所需的时间超过2分钟，或为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间为3分钟，或为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间为4分钟，

所以P(X＝1)＝P(t＝2)·P(t＞2)＋P(t＝3)＋P(t＝4)＝×＋＋＝；

X＝2对应为两位顾客准备泡茶工具所需的时间均为2分钟，所以P(X＝2)＝P(t＝2)·P(t＝2)＝×＝.

所以X的分布列为

所以X的均值E(X)＝0×＋1×＋2×＝.