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人教版高三数学一轮复习备考教学设计：平面向量的应用 罗田县育英高中
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这是一份人教版高三数学一轮复习备考教学设计：平面向量的应用 罗田县育英高中，共17页。教案主要包含了难点突破策略，训练题的选择及其意图，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
罗田县育英高中
一．考纲要求
平面向量是高中数学的新增内容是高考命题的基本素材和主要背景之一，也是近几年高考的热点。向量有着极其丰富的实际背景，是近代数学中重要和基本的概念之一。
向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，它同时具有代数的运算性和几何的直观性，是数形结合的典范。向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇。
（一）、2016考试说明及解读
说明：近三年考纲没有变化
（二）近三年全国卷部分考题展示：平面向量与解三角形交汇的题目
（三）2016年全国卷（文科）数学考查平面向量的情况统计：
3个选择题和7个填空题，其中有3道题是平面向量与解三角形的交汇
（四）考情分析
1．考查题型主要是以选择、填空为主，分值为10分左右，基本属容易题，也可以为中档的解答题．
2． 考查内容主要是平面向量的共线与垂直的充要条件，平面向量的线性运算和数量积运算，平面向量的应用等．
（五）高考预测
1．预计本章在今后的高考中，还将以向量的线性运算、向量的夹角、模、数量积为命题热点，将更加注重向量与其他知识的交汇，以考查基础知识、基本技能为主．
2．题型主要以选择、填空为主，因此训练题的难度多数应该控制在中档即可，要适当增加以向量为载体考查平面几何，三角函数，解析几何，数列，不等式等问题的综合训练．
3．对于能力型高考题的准备，向量具有基础知识的特点，是一种工具性和方法性知识，更要立足基本知识，基本方法，基本技能。
二．复习目标
1、通过平面向量的线性运算和数量积运算，强化对平面向量基本概念的理解及提高向量运算求解能力。
2、通过向量与其它知识交汇的题型，体会向量的工具性作用。特别是要关注向量与三角函数、解三角形、解析几何的结合。
3、关注数学思想方法在本章中的渗透：
思想方法：数形结合的思想、类比的思想、分类讨论的思想、化归的思想、函数与方程的思想等。
解题方法：基向量法、坐标法、待定系数法、几何作图法、函数法等。
三．专题知识体系构建的方法与总体构思（复习计划）
（一）进度安排
本专题共有四讲内容：
第一讲 平面向量的概念及其线性运算
第二讲 平面向量基本定理及坐标表示
第三讲 平面向量的数量积
第四讲 平面向量应用举例
前三讲每讲3课时，第四讲4课时，包括作业评讲，测试及评讲，共需两周时间。
（二）知识结构：
（三）学情分析
在文科高考备考中，我发现学生对平面向量这一块知识不够重视：
1、知识遗忘厉害，需在知识点的梳理上下功夫；
2、概念理解模糊，需在概念的辨析上强化练习；
3、数形转换不灵活，需在运算中突破这一难点。
因此，在教学中，我们应坚持在广泛应用向量的基础上，让学生掌握向量的思想方法，并借助于向量，运用联系的观点、运动观点、审美的观点、进行纵横联系，广泛联想，将各部分的数学知识、数学思想方法进行合理重组和整合，充分展示应用向量的过程；体现向量法解题的简单美、和谐美，就能充分体现“向量”在提高学生的数学能力方面的教学价值。
四．重点知识强化策略（常见题型和解题方法）
1、平面向量的线性运算：加法、减法、数乘运算
掌握平行四边形法则、三角形法则、向量共线的充要条件、平面向量基本定理、线性运算的坐标运算。
1、坐标运算
典例1]1）、已知点A（2，3），B（-1，5），且有 ，则点C的坐标为（ ）。
A.（-7，9） B.（-3，4） C.（-5，7） D.（-7，7）
2）、已知向量， ，且，则=（）。
A.（-2，-4）B.（-3，-6）C.（-4，-8）D.（-5，-10）
2、运用基向量法运算的题型
典例2]、如右图所示，在中，，，AD与BC
相交于点M，设，，试用和表示向量.
解析]令
则.
又A、M、D三点共线
∴存在唯一实数t，使 即
∴，消去t得 ①
同理依据B、M、C共线得 ②
由①②得，，即.
方法规律]本题难点是找不到问题的切入口，关键是引导学生用已知基底，来表示另一些向量，尽可能地转化到平行四边形或三角形中去，利用共线建立方程组，用方程的思想求解。
（二）数量积运算
设计意图]通过例3、例4巩固数量积的坐标运算，培养学生的转化能力。
1．坐标运算
典例3] 1）、已知向量，且则x=（ ）。
A.-3 B.-1 C.1 D.3
2）、在□ABCD中，则 。
2．可转化为坐标运算的题型
典例4]已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足， 则的最大值是（ ）
A.1 B.2 C. D.
解析] 方法一 建系，用坐标法求解
方法二 作图，用几何法求解
方法规律]1、当条件中出现两向量的模已知且垂直时，可考虑建系，运用坐标法求解。
2、若作出和向量，差向量发现出现特殊位置关系时，也可用几何法求解。
此二法均可让学生体会化归思想在求解中的应用。
典例4]巩固练习
eq \\ac(○,1). 在中，，且，点M满足，则__________.
eq \\ac(○,2).在矩形中，设、的长分别为2，1，若M、N分别是BC、CD上的点，
且满足，则的取值范围是___________.
3. 利用数量积的定义和几何意义求解的题型。
设计意图]灵活运用数量积的定义和几何意义解题是一个难点，可通过例5强化向量的模、夹角、数量积运算，巩固学生在线性运算中学到数形转换能力。
典例5]
1）已知非零向量,满足||=||=|-|则向量与+的夹角为______。
答案：
方法规律]方法一，利用夹角公式求解；方法二利用几何作图求解。
2）已知
①若的夹角为，求；
②若垂直，求的夹角。
解析]①
②
方法规律]掌握夹角与模的相关运算方法，关注常用公式：。
3）如右图，在平行四边形ABCD中，，
AB
C
O
D
P
垂足为，且=3，则
答案：18
方法规律]方法一，利用数量积的几何意义求解；方法二，利用三角形法则求解。
（三）向量的应用：向量与其它知识的交汇
交汇问题剖析
平面向量是高中数学的重要内容，具有代数与几何的双重身份，作为工具，平面向量可以与其他知识自然交汇在一起，使数学问题的情境新颖别致、和谐融合，既体现了知识的交汇综合，又凸现了向量的重要作用，也成为了高考中的热点题型.
设计意图]在一轮复习中，向量安排在三角函数与解三角形之后，可通过例6、7、8，以向量作为载体巩固三角函数与解三角形中的相关运算，收到一箭双雕的效果。
1、向量与三角函数的交汇
典例6]已知向量.
eq \\ac(○,1)若，求向量与的夹角；
eq \\ac(○,2)若，求函数的最值；
eq \\ac(○,3)函数的图象可以由函数的图象经过怎样的变换得到？
解： eq \\ac(○,1)∵，∴. 又，
，设、的夹角为，
∵， ∴.
eq \\ac(○,2)
，
∵, ∴，
∴当时；当时，.
eq \\ac(○,3)先把的图象上的所有点向右平移个单位长度，得到的图象，再把所得图象上所有的点向上平移个单位长度，就得到
的图象.
方法规律]解决向量与三角知识的综合题的关键是把向量关系转化为向量的有关运算，然后再进一步转化为实数运算（即坐标运算）.
2、与三角变换的交汇
典例7]设向量，， .
eq \\ac(○,1)若与垂直，求的值；
eq \\ac(○,2)求的最大值；
eq \\ac(○,3)若，求证：∥.
解析] eq \\ac(○,1)因为与垂直，所以
因此.
eq \\ac(○,2)由得
.
且当时，等号成立，
所以的最大值为.
eq \\ac(○,3)证明由，得，所以∥.
方法规律]利用向量的数量积和模的概念等去向量的外衣，转化为三角函数问题，即可解决。
3、与解三角形的交汇
典例8]在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足
，.
eq \\ac(○,1)求的面积；
eq \\ac(○,2)若，求a的值.
解析]： eq \\ac(○,1)因为，
所以，
又由得，所以，
因此.
eq \\ac(○,2)由（1）知，bc=5，又b+c=6.
所以b=5，c=1，或b=1，c=5.
由余弦定理，得，所以.
方法规律]向量知识与解三角形的交汇问题，应重视正、余弦定理，以及三角形面积公式的应用.
4、与平面几何的交汇
设计意图] 以三角形四心问题为载体，让学生熟悉平面向量的线性运算、数量积的运算法则，可渗透化归的思想，培养学生灵活运用运算法则的解题能力。
典例9]三角形四心问题
eq \\ac(○,1)、已知点O、N、P在所在的平面内，且，，
，则点O、N、P依次为的______________.
解析]①∵，∴∴O为的外心.
②取BC的中点D. 由∴
∴即∴N为的重心
③由得∴，即
同理， ∴P为的垂心.
∴点O、N、P依次为的外心、重心、垂心.
eq \\ac(○,2)O是所在平面内一定点，动点P满足，，则点P的轨迹一定通过的_________心.
解析]令，，则.则
∴，令 则，又＞0
∴P在射线AQ上. 又，∴AQ平分.
∴点P的轨迹一定通过的内心。
设计意图]在复习完平面向量之后，可在复习不等式、数列、解析几何时通过例10、11、12这样的题型及时巩固向量的运算求解能力。进一步让学生体会向量的载体作用、工具性作用，培养学生的数学应用意识。
5、向量与不等式的交汇
典例10] eq \\ac(○,1)已知，如果是钝角，则x的取值范围是________.
eq \\ac(○,2)定义，其中M是内一点，m、n、p分别是、、的面积，
已知中，，=30°，，则的最小值是____________.
答案：（1）； （2）18
方法规律]平面向量与不等式交汇问题是高考的常考题型之一，应注重一元二次不等式及基本不等式的应用.
6、向量与数列的交汇
典例11]已知数列是等差数列，其前n项和为Sn.
eq \\ac(○,1)若平面上的三个不共线的向量，，满足，且A、B、C三点共线，求S2010；
eq \\ac(○,2)求证：点，，，…，在同一直线上.
eq \\ac(○,1)解：由A、B、C三点共线，则向量与共线，设是实数），
∴，即有,
又∵，∴，，故.
又是等差数列的前n项和，
∴.
eq \\ac(○,2)证明：设的首项为a1，公差为d，
则， ∴，
又∵， ，
∴，即向量、共线，
∴P1、P2、Pn三点共线，也即点，，，…，在同一直线上.
方法规律]近几年向量与数列知识相结合是高考的常考点，主要以向量为载体引出数列知识的考查，平时应加强练习.
7、向量与解析几何的交汇
典例12]已知平面上一定点和直线，P为该平面上一动点，
作，垂足为Q，且
eq \\ac(○,1)求动点P的轨迹方程；
eq \\ac(○,2)若EF为圆的任一条直径，求的最值.
解析] eq \\ac(○,1)设，则.
由，得，
即，
化简得.
所以点P在椭圆上，其方程为
eq \\ac(○,2)因，
又P是椭圆上任一点，设，
则有，即，又N（0，1），
所以
因，所以当时，取得最大值20，故的最大值为19；
当时，取得最小值为（此时）,故的最小值为.
方法规律]向量在解析几何中的作用：
（1）载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题。
（2）工具作用：利用；∥，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法.
四、难点突破策略
(一）本章难点
平面向量的线性运算、数量积间的数形转换。
（二）难点突破策略
1、 复习课的设计
以教材为蓝本以一轮复习资料为载体，通过预习评价——小组讨论（解决预习中的问题）——回归课本、梳理知识点、强化概念的理解——典例分析，师生互动，归纳思想方法——练习巩固反馈提升为主线构建高效课堂。
2、在概念理解上下功夫
教师可通过一组小题来强化概念的理解：如单位向量、相等向量、零向量、数量积中的投影等。
（1）设，都是非零向量，则下列四个条件中，一定能使成立的是（ ）
A. B.∥C. D.⊥
答案A
（2）的外接圆的圆心为O，AB=2，AC=3，，则=_________.
答案：
（3）定义两个平面向量的一种运算，则对于两个平面向量，，下列结论错误的是（ ）
A. B.
C.
D. 若，，则
答案：B
（4）设θ为两个非零向量，的夹角.已知对任意实数t，的最小值为1（ ）
A. 若θ确定，则||唯一确定B. 若θ确定，则||唯一确定
C. 若||确定，则θ唯一确定D. 若||确定，则θ唯一确定
答案：B
3、抓住平面向量中两种主要方法：基向量法和坐标法
（1）能转化为坐标运算的可考虑建立平面直角坐标系利用坐标法求解（条件中有已知两向量的模和夹角比较特殊时）；
（2）不能转化为坐标运算的应渗透函数、方程的思想灵活运用基向量法求解；
eq \\ac(○,1). 已知在中，∠ACB为钝角，，，且.若函数的最小值为，则的最小值为_______.
答案：
eq \\ac(○,2). 设G为的重心，若A=120°，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
eq \\ac(○,3). 已知的外接圆的圆心为O，半径为1，若，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
4、重视向量运算的几何意义，运用几何作图法解题。
典例] 已知向量，向量，向量，则向量与向量的夹角的取值范围是___________.
答案：
5、关注两个重要结论在解题中的作用
1）在中，若D为BC的中点，则
2）若与不共线，且，则A、B、C共线的充要条件。
五、训练题的选择及其意图
试题以平面向量为主线，重点考查向量共线、垂直、数量积、模等运算及应用问题并穿插集合、逻辑、函数与导数，三角函数与解三角形等已复习知识，让学生全面检查所学知识，方法是否掌握，常见方法是否会用，常见转化技巧是否掌握，针对反馈情况在下一阶复习中再考查掌握不太好的题型，在滚动中逐步熟练掌握复习的内容。（附一份试卷）
一、选择题（每小题5分，共50分）
1.设集合，，若，则y的值为（ ）
A. 0B.1C. 2D. 3
2. 命题：“存在x∈R+，”的否定是（ ）
A. 存在x∈R+，B. 任意x∈R+，
C. 存在x∈R+，D. 任意x∈R+，
3. 已知非零向量,，设与的数量积为m，与的夹角为，则“m＜0”是“为钝角”的（ ）
A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件
4. 已知点A（1，2），B（-2，6），则与共线且同向的单位向量为（ ）
A. 或B. C. 或D.
5.已知函数在定义域为，函数定义域是（）
A. B. C. D.
6.将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（ ）
A. B. C. D.
7. 在平面直角坐标平面xOy中，若定点A（1，2）与动点P（1，y）满足向量在向量上的投影为，则=（ ）
A. 1B. 3C. D. 5
8. 如在图所示为函数的部分图象，若，则=（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
9. 在三角形ABC中，若，则角A的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知函数在处的切线的斜率为3，则当取得最大值时，=（ ）
A. 0B. D. D.
二、填空题（每小题3分，共35分）
11. 若，，则的取值范围是__________.
12. 设、都是锐角，且，，则=__________.
13. 设，是平面直角坐标系（坐标原点为O）内分别与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，且，，则的面积等于__________.
14. 已知圆C的直径为3，在直径AB上取一点D使，E，F为另一直径的两个端点，则=____________.
15. 在中，角A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且，则A=__________.
16. 已知，则使等式成立的角的集合为____________.
17. 已知中，，，的对边分别为a，b，c，若a=1，，则的周长的取值范围是_______________.
三、解答题（共65分）
18.（本小题满分12分）
中，AC=3，向量，且.
（1）求角A；
（2）的面积为3，求BC.
19. （本小题满分12分）
已知向量，其中＞0，且，又函数的图象两相邻对称轴之间的距离为.（1）求函数在区间上的值域；
（2）若A，B，C为三个内角且满足：,，求的值.
20.（本小题满分13分）
已知向量，单位向量与向量的数量积,
（1）求向量;
（2）若向量且，向量，其中A、C为的内角，且A、B、C依次成等差数列，求的取值范围.
21. （本小题满分14分）
如图，椭圆和双曲线有公共顶点,分别在且异于点。直线的斜率分别为且。
（1）求证：共线。
（2）设分别为的右焦点，
,求的值
22. （本小题满分14分）
已知函数，函数的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴.
（1）求a的值；
（2）求函数的极小值；
（3）设斜率为k的直线与函数的图象交于两点，，其中x1＜x2.证明＜k＜.
【参考答案】
1-5 ABCBD 6-10 ADCBB
11 、3,13]；12、；13、5；14、-2；15、；
16、；17、(2,3]
18、（1）；（2）
19、（1）]；（2）.
20、（1）；（2）).
21. 解：（1）设，则
由
即 所以O、P、Q三点共线
（2） 由PF1//QF2知|OP|：|OQ|=
因为O、P、Q三点共线，所以 …………①
设直线PQ的斜率为k，则
…………②
由①②得 又
从而
22、（１）ａ＝１；（２）－２．内容
知识要求
了解（A）
理解（B）
掌握（C）
平面向量
平面向量的相关概念
√
向量的线性运算
平面向量的线性运算及其几何意义
√
平面向量的线性运算的性质及其几何意义
√
平面向量的基本定理及坐标表示
平面向量的基本定理
√
平面向量的正交分解及其坐标表示
√
用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算
√
用坐标表示平面向量共线的条件
√
平面向量的数量积
平面向量数量积的概念
√
数量积与向量投影的关系
√
数量积的坐标表示
√
用数量积表示两个向量的夹角
√
用数量积判断两个平面向量的垂直关系
√
向量的应用
用向量方法解决简单的平面几何问题
√
年份
考题
考点解析
2014年
6．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则eq \(EB,\s\up6(→))＋eq \(FC,\s\up6(→))＝( ) A.eq \(AD,\s\up6(→)) B.eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→)) C.eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→)) D.eq \(BC,\s\up6(→))
向量的运算与解三角形
2015年
已知在△ABC中，|eq \(BC,\s\up6(→))|＝10，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝－16，D为边BC的中点，则|eq \(AD,\s\up6(→))|等于( ) A.6 B.5C.4 D.3
向量的运算与解三角形
2016年
（3）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=
（A）30°（B）45°（C）60°（D）120°
考查平面向量的坐标运算及与解三角形的交汇
罗田县育英高中
一．考纲要求
平面向量是高中数学的新增内容是高考命题的基本素材和主要背景之一，也是近几年高考的热点。向量有着极其丰富的实际背景，是近代数学中重要和基本的概念之一。
向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，它同时具有代数的运算性和几何的直观性，是数形结合的典范。向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇。
（一）、2016考试说明及解读
说明：近三年考纲没有变化
（二）近三年全国卷部分考题展示：平面向量与解三角形交汇的题目
（三）2016年全国卷（文科）数学考查平面向量的情况统计：
3个选择题和7个填空题，其中有3道题是平面向量与解三角形的交汇
（四）考情分析
1．考查题型主要是以选择、填空为主，分值为10分左右，基本属容易题，也可以为中档的解答题．
2． 考查内容主要是平面向量的共线与垂直的充要条件，平面向量的线性运算和数量积运算，平面向量的应用等．
（五）高考预测
1．预计本章在今后的高考中，还将以向量的线性运算、向量的夹角、模、数量积为命题热点，将更加注重向量与其他知识的交汇，以考查基础知识、基本技能为主．
2．题型主要以选择、填空为主，因此训练题的难度多数应该控制在中档即可，要适当增加以向量为载体考查平面几何，三角函数，解析几何，数列，不等式等问题的综合训练．
3．对于能力型高考题的准备，向量具有基础知识的特点，是一种工具性和方法性知识，更要立足基本知识，基本方法，基本技能。
二．复习目标
1、通过平面向量的线性运算和数量积运算，强化对平面向量基本概念的理解及提高向量运算求解能力。
2、通过向量与其它知识交汇的题型，体会向量的工具性作用。特别是要关注向量与三角函数、解三角形、解析几何的结合。
3、关注数学思想方法在本章中的渗透：
思想方法：数形结合的思想、类比的思想、分类讨论的思想、化归的思想、函数与方程的思想等。
解题方法：基向量法、坐标法、待定系数法、几何作图法、函数法等。
三．专题知识体系构建的方法与总体构思（复习计划）
（一）进度安排
本专题共有四讲内容：
第一讲 平面向量的概念及其线性运算
第二讲 平面向量基本定理及坐标表示
第三讲 平面向量的数量积
第四讲 平面向量应用举例
前三讲每讲3课时，第四讲4课时，包括作业评讲，测试及评讲，共需两周时间。
（二）知识结构：
（三）学情分析
在文科高考备考中，我发现学生对平面向量这一块知识不够重视：
1、知识遗忘厉害，需在知识点的梳理上下功夫；
2、概念理解模糊，需在概念的辨析上强化练习；
3、数形转换不灵活，需在运算中突破这一难点。
因此，在教学中，我们应坚持在广泛应用向量的基础上，让学生掌握向量的思想方法，并借助于向量，运用联系的观点、运动观点、审美的观点、进行纵横联系，广泛联想，将各部分的数学知识、数学思想方法进行合理重组和整合，充分展示应用向量的过程；体现向量法解题的简单美、和谐美，就能充分体现“向量”在提高学生的数学能力方面的教学价值。
四．重点知识强化策略（常见题型和解题方法）
1、平面向量的线性运算：加法、减法、数乘运算
掌握平行四边形法则、三角形法则、向量共线的充要条件、平面向量基本定理、线性运算的坐标运算。
1、坐标运算
典例1]1）、已知点A（2，3），B（-1，5），且有 ，则点C的坐标为（ ）。
A.（-7，9） B.（-3，4） C.（-5，7） D.（-7，7）
2）、已知向量， ，且，则=（）。
A.（-2，-4）B.（-3，-6）C.（-4，-8）D.（-5，-10）
2、运用基向量法运算的题型
典例2]、如右图所示，在中，，，AD与BC
相交于点M，设，，试用和表示向量.
解析]令
则.
又A、M、D三点共线
∴存在唯一实数t，使 即
∴，消去t得 ①
同理依据B、M、C共线得 ②
由①②得，，即.
方法规律]本题难点是找不到问题的切入口，关键是引导学生用已知基底，来表示另一些向量，尽可能地转化到平行四边形或三角形中去，利用共线建立方程组，用方程的思想求解。
（二）数量积运算
设计意图]通过例3、例4巩固数量积的坐标运算，培养学生的转化能力。
1．坐标运算
典例3] 1）、已知向量，且则x=（ ）。
A.-3 B.-1 C.1 D.3
2）、在□ABCD中，则 。
2．可转化为坐标运算的题型
典例4]已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足， 则的最大值是（ ）
A.1 B.2 C. D.
解析] 方法一 建系，用坐标法求解
方法二 作图，用几何法求解
方法规律]1、当条件中出现两向量的模已知且垂直时，可考虑建系，运用坐标法求解。
2、若作出和向量，差向量发现出现特殊位置关系时，也可用几何法求解。
此二法均可让学生体会化归思想在求解中的应用。
典例4]巩固练习
eq \\ac(○,1). 在中，，且，点M满足，则__________.
eq \\ac(○,2).在矩形中，设、的长分别为2，1，若M、N分别是BC、CD上的点，
且满足，则的取值范围是___________.
3. 利用数量积的定义和几何意义求解的题型。
设计意图]灵活运用数量积的定义和几何意义解题是一个难点，可通过例5强化向量的模、夹角、数量积运算，巩固学生在线性运算中学到数形转换能力。
典例5]
1）已知非零向量,满足||=||=|-|则向量与+的夹角为______。
答案：
方法规律]方法一，利用夹角公式求解；方法二利用几何作图求解。
2）已知
①若的夹角为，求；
②若垂直，求的夹角。
解析]①
②
方法规律]掌握夹角与模的相关运算方法，关注常用公式：。
3）如右图，在平行四边形ABCD中，，
AB
C
O
D
P
垂足为，且=3，则
答案：18
方法规律]方法一，利用数量积的几何意义求解；方法二，利用三角形法则求解。
（三）向量的应用：向量与其它知识的交汇
交汇问题剖析
平面向量是高中数学的重要内容，具有代数与几何的双重身份，作为工具，平面向量可以与其他知识自然交汇在一起，使数学问题的情境新颖别致、和谐融合，既体现了知识的交汇综合，又凸现了向量的重要作用，也成为了高考中的热点题型.
设计意图]在一轮复习中，向量安排在三角函数与解三角形之后，可通过例6、7、8，以向量作为载体巩固三角函数与解三角形中的相关运算，收到一箭双雕的效果。
1、向量与三角函数的交汇
典例6]已知向量.
eq \\ac(○,1)若，求向量与的夹角；
eq \\ac(○,2)若，求函数的最值；
eq \\ac(○,3)函数的图象可以由函数的图象经过怎样的变换得到？
解： eq \\ac(○,1)∵，∴. 又，
，设、的夹角为，
∵， ∴.
eq \\ac(○,2)
，
∵, ∴，
∴当时；当时，.
eq \\ac(○,3)先把的图象上的所有点向右平移个单位长度，得到的图象，再把所得图象上所有的点向上平移个单位长度，就得到
的图象.
方法规律]解决向量与三角知识的综合题的关键是把向量关系转化为向量的有关运算，然后再进一步转化为实数运算（即坐标运算）.
2、与三角变换的交汇
典例7]设向量，， .
eq \\ac(○,1)若与垂直，求的值；
eq \\ac(○,2)求的最大值；
eq \\ac(○,3)若，求证：∥.
解析] eq \\ac(○,1)因为与垂直，所以
因此.
eq \\ac(○,2)由得
.
且当时，等号成立，
所以的最大值为.
eq \\ac(○,3)证明由，得，所以∥.
方法规律]利用向量的数量积和模的概念等去向量的外衣，转化为三角函数问题，即可解决。
3、与解三角形的交汇
典例8]在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足
，.
eq \\ac(○,1)求的面积；
eq \\ac(○,2)若，求a的值.
解析]： eq \\ac(○,1)因为，
所以，
又由得，所以，
因此.
eq \\ac(○,2)由（1）知，bc=5，又b+c=6.
所以b=5，c=1，或b=1，c=5.
由余弦定理，得，所以.
方法规律]向量知识与解三角形的交汇问题，应重视正、余弦定理，以及三角形面积公式的应用.
4、与平面几何的交汇
设计意图] 以三角形四心问题为载体，让学生熟悉平面向量的线性运算、数量积的运算法则，可渗透化归的思想，培养学生灵活运用运算法则的解题能力。
典例9]三角形四心问题
eq \\ac(○,1)、已知点O、N、P在所在的平面内，且，，
，则点O、N、P依次为的______________.
解析]①∵，∴∴O为的外心.
②取BC的中点D. 由∴
∴即∴N为的重心
③由得∴，即
同理， ∴P为的垂心.
∴点O、N、P依次为的外心、重心、垂心.
eq \\ac(○,2)O是所在平面内一定点，动点P满足，，则点P的轨迹一定通过的_________心.
解析]令，，则.则
∴，令 则，又＞0
∴P在射线AQ上. 又，∴AQ平分.
∴点P的轨迹一定通过的内心。
设计意图]在复习完平面向量之后，可在复习不等式、数列、解析几何时通过例10、11、12这样的题型及时巩固向量的运算求解能力。进一步让学生体会向量的载体作用、工具性作用，培养学生的数学应用意识。
5、向量与不等式的交汇
典例10] eq \\ac(○,1)已知，如果是钝角，则x的取值范围是________.
eq \\ac(○,2)定义，其中M是内一点，m、n、p分别是、、的面积，
已知中，，=30°，，则的最小值是____________.
答案：（1）； （2）18
方法规律]平面向量与不等式交汇问题是高考的常考题型之一，应注重一元二次不等式及基本不等式的应用.
6、向量与数列的交汇
典例11]已知数列是等差数列，其前n项和为Sn.
eq \\ac(○,1)若平面上的三个不共线的向量，，满足，且A、B、C三点共线，求S2010；
eq \\ac(○,2)求证：点，，，…，在同一直线上.
eq \\ac(○,1)解：由A、B、C三点共线，则向量与共线，设是实数），
∴，即有,
又∵，∴，，故.
又是等差数列的前n项和，
∴.
eq \\ac(○,2)证明：设的首项为a1，公差为d，
则， ∴，
又∵， ，
∴，即向量、共线，
∴P1、P2、Pn三点共线，也即点，，，…，在同一直线上.
方法规律]近几年向量与数列知识相结合是高考的常考点，主要以向量为载体引出数列知识的考查，平时应加强练习.
7、向量与解析几何的交汇
典例12]已知平面上一定点和直线，P为该平面上一动点，
作，垂足为Q，且
eq \\ac(○,1)求动点P的轨迹方程；
eq \\ac(○,2)若EF为圆的任一条直径，求的最值.
解析] eq \\ac(○,1)设，则.
由，得，
即，
化简得.
所以点P在椭圆上，其方程为
eq \\ac(○,2)因，
又P是椭圆上任一点，设，
则有，即，又N（0，1），
所以
因，所以当时，取得最大值20，故的最大值为19；
当时，取得最小值为（此时）,故的最小值为.
方法规律]向量在解析几何中的作用：
（1）载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题。
（2）工具作用：利用；∥，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法.
四、难点突破策略
(一）本章难点
平面向量的线性运算、数量积间的数形转换。
（二）难点突破策略
1、 复习课的设计
以教材为蓝本以一轮复习资料为载体，通过预习评价——小组讨论（解决预习中的问题）——回归课本、梳理知识点、强化概念的理解——典例分析，师生互动，归纳思想方法——练习巩固反馈提升为主线构建高效课堂。
2、在概念理解上下功夫
教师可通过一组小题来强化概念的理解：如单位向量、相等向量、零向量、数量积中的投影等。
（1）设，都是非零向量，则下列四个条件中，一定能使成立的是（ ）
A. B.∥C. D.⊥
答案A
（2）的外接圆的圆心为O，AB=2，AC=3，，则=_________.
答案：
（3）定义两个平面向量的一种运算，则对于两个平面向量，，下列结论错误的是（ ）
A. B.
C.
D. 若，，则
答案：B
（4）设θ为两个非零向量，的夹角.已知对任意实数t，的最小值为1（ ）
A. 若θ确定，则||唯一确定B. 若θ确定，则||唯一确定
C. 若||确定，则θ唯一确定D. 若||确定，则θ唯一确定
答案：B
3、抓住平面向量中两种主要方法：基向量法和坐标法
（1）能转化为坐标运算的可考虑建立平面直角坐标系利用坐标法求解（条件中有已知两向量的模和夹角比较特殊时）；
（2）不能转化为坐标运算的应渗透函数、方程的思想灵活运用基向量法求解；
eq \\ac(○,1). 已知在中，∠ACB为钝角，，，且.若函数的最小值为，则的最小值为_______.
答案：
eq \\ac(○,2). 设G为的重心，若A=120°，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
eq \\ac(○,3). 已知的外接圆的圆心为O，半径为1，若，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
4、重视向量运算的几何意义，运用几何作图法解题。
典例] 已知向量，向量，向量，则向量与向量的夹角的取值范围是___________.
答案：
5、关注两个重要结论在解题中的作用
1）在中，若D为BC的中点，则
2）若与不共线，且，则A、B、C共线的充要条件。
五、训练题的选择及其意图
试题以平面向量为主线，重点考查向量共线、垂直、数量积、模等运算及应用问题并穿插集合、逻辑、函数与导数，三角函数与解三角形等已复习知识，让学生全面检查所学知识，方法是否掌握，常见方法是否会用，常见转化技巧是否掌握，针对反馈情况在下一阶复习中再考查掌握不太好的题型，在滚动中逐步熟练掌握复习的内容。（附一份试卷）
一、选择题（每小题5分，共50分）
1.设集合，，若，则y的值为（ ）
A. 0B.1C. 2D. 3
2. 命题：“存在x∈R+，”的否定是（ ）
A. 存在x∈R+，B. 任意x∈R+，
C. 存在x∈R+，D. 任意x∈R+，
3. 已知非零向量,，设与的数量积为m，与的夹角为，则“m＜0”是“为钝角”的（ ）
A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件
4. 已知点A（1，2），B（-2，6），则与共线且同向的单位向量为（ ）
A. 或B. C. 或D.
5.已知函数在定义域为，函数定义域是（）
A. B. C. D.
6.将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（ ）
A. B. C. D.
7. 在平面直角坐标平面xOy中，若定点A（1，2）与动点P（1，y）满足向量在向量上的投影为，则=（ ）
A. 1B. 3C. D. 5
8. 如在图所示为函数的部分图象，若，则=（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
9. 在三角形ABC中，若，则角A的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知函数在处的切线的斜率为3，则当取得最大值时，=（ ）
A. 0B. D. D.
二、填空题（每小题3分，共35分）
11. 若，，则的取值范围是__________.
12. 设、都是锐角，且，，则=__________.
13. 设，是平面直角坐标系（坐标原点为O）内分别与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，且，，则的面积等于__________.
14. 已知圆C的直径为3，在直径AB上取一点D使，E，F为另一直径的两个端点，则=____________.
15. 在中，角A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且，则A=__________.
16. 已知，则使等式成立的角的集合为____________.
17. 已知中，，，的对边分别为a，b，c，若a=1，，则的周长的取值范围是_______________.
三、解答题（共65分）
18.（本小题满分12分）
中，AC=3，向量，且.
（1）求角A；
（2）的面积为3，求BC.
19. （本小题满分12分）
已知向量，其中＞0，且，又函数的图象两相邻对称轴之间的距离为.（1）求函数在区间上的值域；
（2）若A，B，C为三个内角且满足：,，求的值.
20.（本小题满分13分）
已知向量，单位向量与向量的数量积,
（1）求向量;
（2）若向量且，向量，其中A、C为的内角，且A、B、C依次成等差数列，求的取值范围.
21. （本小题满分14分）
如图，椭圆和双曲线有公共顶点,分别在且异于点。直线的斜率分别为且。
（1）求证：共线。
（2）设分别为的右焦点，
,求的值
22. （本小题满分14分）
已知函数，函数的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴.
（1）求a的值；
（2）求函数的极小值；
（3）设斜率为k的直线与函数的图象交于两点，，其中x1＜x2.证明＜k＜.
【参考答案】
1-5 ABCBD 6-10 ADCBB
11 、3,13]；12、；13、5；14、-2；15、；
16、；17、(2,3]
18、（1）；（2）
19、（1）]；（2）.
20、（1）；（2）).
21. 解：（1）设，则
由
即 所以O、P、Q三点共线
（2） 由PF1//QF2知|OP|：|OQ|=
因为O、P、Q三点共线，所以 …………①
设直线PQ的斜率为k，则
…………②
由①②得 又
从而
22、（１）ａ＝１；（２）－２．内容
知识要求
了解（A）
理解（B）
掌握（C）
平面向量
平面向量的相关概念
√
向量的线性运算
平面向量的线性运算及其几何意义
√
平面向量的线性运算的性质及其几何意义
√
平面向量的基本定理及坐标表示
平面向量的基本定理
√
平面向量的正交分解及其坐标表示
√
用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算
√
用坐标表示平面向量共线的条件
√
平面向量的数量积
平面向量数量积的概念
√
数量积与向量投影的关系
√
数量积的坐标表示
√
用数量积表示两个向量的夹角
√
用数量积判断两个平面向量的垂直关系
√
向量的应用
用向量方法解决简单的平面几何问题
√
年份
考题
考点解析
2014年
6．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则eq \(EB,\s\up6(→))＋eq \(FC,\s\up6(→))＝( ) A.eq \(AD,\s\up6(→)) B.eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→)) C.eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→)) D.eq \(BC,\s\up6(→))
向量的运算与解三角形
2015年
已知在△ABC中，|eq \(BC,\s\up6(→))|＝10，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝－16，D为边BC的中点，则|eq \(AD,\s\up6(→))|等于( ) A.6 B.5C.4 D.3
向量的运算与解三角形
2016年
（3）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=
（A）30°（B）45°（C）60°（D）120°
考查平面向量的坐标运算及与解三角形的交汇
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