初中数学北师大版八年级下册4 角平分线优质教学设计

第一章  三角形的证明

4  角平分线

课时1 角平分线的性质与判定

1.会证明角平分线的性质定理及其逆定理.

2.经历探索、猜测、证明的过程，进一步提高学生的推理证明意识和能力．体验解决问题的方法，发展实践能力和创新意识.

3.经历探索、猜想、证明使学生掌握研究解决问题的方法.

正确地表述角平分线性质定理的逆命题及其证明.

正确地表述角平分线性质定理的逆命题及其证明.

让学生到黑板上画出他们收集到的日常生活中应用角平分线的例子，并分别说出它们的作用.

【教学说明】高度评价学生的参与热情和学习成果，激励学生继续努力.尤其是对于其中很有创意的发现，可以以该学生名字命名，以此鼓励.提高学生的积极性.

探究1：角平分线定理

已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．

求证：PD=PE．

证明：∵∠1=∠2，OP=OP，

∠PDO=∠PEO=90°，

∴△PDO≌△PEO(AAS)．

∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)．

【教学说明】请同学们自己尝试着证明上述结论，然后在全班进行交流．教师在教学过程中对有困难的学生要给予指导.

【归纳结论】角平分线上的点到这个角两边的距离相等.

探究2：角平分线的判定定理.

已知：在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足且PD=PE.

求证：点P在∠AOB的角平分线上．

证明：∴PD⊥OA，PE⊥OB，

∴∠PDO=∠ PEO=90°．

在Rt△ODP和Rt△OEP中,OP=OP，PD=PE，

∴Rt△ODP ≌Rt△OEP(HL定理)．

∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)．

∴点P在∠AOB的角平分线上.

【归纳结论】在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.

例1.如图，已知：∠C=90°，DE是AB的垂直平分线，D为垂足，交BC于E，AB=2AC. 求证：CE=DE.

证明：连接AE，由于∠C=90°，AB=2AC，

∴∠B=30°，∠CAB=60°.

∵DE是AB的垂直平分线，

∴AE=BE，∴∠EAB=∠B=30°，

∴∠CAE=60°－30°=30°，

即AE是∠CAB的角平分线，

∴CE=DE.

例2.如图，已知：E是∠AOB的平分线上的一点，且EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C、D. 求证：OE垂直平分CD.

证明：∵OE是∠AOB的平分线，

∴CE=DE，

∴Rt△OCE≌Rt△ODE，

∴OC=OD，

∴O与E都在CD的垂直平分线上，

∴OE垂直平分CD.

例3.如图，已知：在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于D，且DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F. 求证：AD是EF的垂直平分线.

证明：∵AD是∠BAC的平分线，且DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE=DF，

∴Rt△ADE≌Rt△ADF，

∴AE=AF，

∴A与D都在EF的垂直平分线上，

∴AD就是EF的垂直平分线.

【教学说明】综合利用角平分线的性质和判定直角三角形.垂直平分线的相关性质解决问题.进一步发展学生的推论证明能力.在学生独立完成推理过程的基础上，教师要给出书写示范.

本节课应掌握：

1.角平分线上的点到这个角两边的距离相等..

2.在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.

 教材“习题1.9”中第2、3 题.