考点03 与圆有关的计算-2021年中考数学一轮复习基础夯实（安徽专用）

考点三 与圆有关的计算

知识点整合

一、正多边形的有关概念

正多边形中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．

正多边形半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形半径．

正多边形中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形中心角．

正多边形边心距：正多边形中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．

二、与圆有关的计算公式

1．弧长和扇形面积的计算

扇形的弧长l=；扇形的面积S==．

2．圆锥与侧面展开图

（1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长．

（2）若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，

圆锥的侧面积为S圆锥侧=．

圆锥的表面积：S圆锥表=S圆锥侧+S圆锥底=πrl+πr2=πr·（l+r）．

在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解．

考向一 正多边形与圆

任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆．

典例引领、

1．（2019·乐清市英华学校九年级期中）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD．则∠CBD的度数是（      ）

A．30° B．45° C．60° D．90°

【答案】A

【分析】

根据正六边形的内角和求得∠BCD，然后根据等腰三角形的性质即可得到结论．

【详解】

∵在正六边形ABCDEF中，∠BCD＝＝120°，BC＝CD，

∴∠CBD＝（180°﹣120°）＝30°，

故选A．

【点睛】

本题考查的是正多边形和圆、等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟记多边形的内角和是解题的关键．

2．（2015·全国九年级课时练习）同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

试题解析：设圆的半径为R，
如图（一），连接OB，过O作OD⊥BC于D，

则∠OBC=30°，BD=OB•cos30°=R，
故BC=2BD=R；
如图（二），连接OB、OC，过O作OE⊥BC于E，

则△OBE是等腰直角三角形，
2BE2=OB2，即BE=R，
故BC=R；
故圆内接正三角形、正方形的边长之比为．
故选A．

变式拓展

1．（2020·河北衡水市·九年级期中）如图，已知正五边形内接于，连结，则的度数是（  ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据多边形内角和定理、正五边形的性质求出∠ABC、CD=CB，根据等腰三角形的性质求出∠CBD，计算即可．

【详解】

∵五边形为正五边形

∴

∵

∴

∴

故选C．

【点睛】

本题考查的是正多边形和圆、多边形的内角和定理，掌握正多边形和圆的关系、多边形内角和等于（n-2）×180°是解题的关键．

2．（2015·浙江金华市·中考真题）如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则的值是（ ）

A． B． C． D．2

【答案】C

【解析】

试题分析：如图，连接AC、BD、OF，设⊙O的半径是r，则OF=r，

∵AO是∠EAF的平分线，∴∠OAF=60°÷2=30°，∵OA=OF，

∴∠OFA=∠OAF=30°，

∴∠COF=30°+30°=60°，

∴FI=rsin60°=，

∴EF=，

∵AO=2OI，

∴OI=，CI=r﹣=，

∴，

∴，

∴，

即则的值是．

故选C．

考点：正多边形与圆的关系．正多边形的半径③中心角边心距

3．（2017·河南九年级其他模拟）以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（  ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造直角三角形分别求出边心距的长，由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形，进而可得其面积．

【详解】

如图1，

∵OC=1，

∴OD=1×sin30°=；

如图2，

∵OB=1，

∴OE=1×sin45°=；

如图3，

∵OA=1，

∴OD=1×cos30°=，

则该三角形的三边分别为：、、，

∵（）2+（）2=（）2，

∴该三角形是以、为直角边，为斜边的直角三角形，

∴该三角形的面积是，

故选：D．

【点睛】

考查正多边形的外接圆的问题，应用边心距，半径和半弦长构成直角三角形，来求相关长度是解题关键。

4．（2020·河北九年级其他模拟）如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

图中阴影部分面积等于6个小半圆的面积和﹣（大圆的面积﹣正六边形的面积）即可得到结果．

【详解】

解：6个月牙形的面积之和，

故选A．

【点睛】

本题考查了正多边形与圆，圆的面积的计算，正六边形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．

5．（2016·陕西九年级专题练习）已知圆的半径是，则该圆的内接正六边形的面积是（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

试题分析：连接正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，等边三角形的边长是2，高为3，

因而等边三角形的面积是3，∴正六边形的面积=18，故选C．

【考点】正多边形和圆．

考向二 弧长和扇形面积

1．弧长公式：；

2．扇形面积公式：或．

典例引领

1．（2020·江苏邗江区·九年级期末）如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（　　）

A． B． C．2 D．2

【答案】D

【解析】

【分析】莱洛三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积=三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．

【详解】过A作AD⊥BC于D，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC=BC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，

∵AD⊥BC，

∴BD=CD=1，AD=BD=，

∴△ABC的面积为BC•AD==，

S扇形BAC==，

∴莱洛三角形的面积S=3×﹣2×=2π﹣2，

故选D．

【点睛】本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出莱洛三角形的面积=三块扇形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键．

2．（2020·山西九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=2，以AB的中点为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为(     )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为 H，则有AD=2AH，∠AHO=90°，在Rt△ABC中，利用∠A的正切值求出∠A=30°，继而可求得OH、AH长，根据圆周角定理可求得∠BOC =60°，然后根据S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD进行计算即可.

【详解】

连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为 H，

则有AD=2AH，∠AHO=90°，

在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=2，tan∠A=，

∴∠A=30°，

∴OH=OA=，AH=AO•cos∠A=，∠BOC=2∠A=60°，

∴AD=2AH=，

∴S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD==，

故选A.

【点睛】

本题考查了垂径定理，圆周角定理，扇形面积，解直角三角形等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.

3．（2019·安徽九年级专题练习）如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．

（1）求证：AE=ED；

（2）若AB=10，∠CBD=36°，求的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）

【详解】

分析：（1）根据平行线的性质得出∠AEO=90°，再利用垂径定理证明即可；

（2）根据弧长公式解答即可．

详证明：（1）∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∵OC∥BD，

∴∠AEO=∠ADB=90°，

即OC⊥AD，

∴AE=ED；

（2）∵OC⊥AD，

∴ ，

∴∠ABC=∠CBD=36°，

∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°，

∴ =．

点睛：此题考查弧长公式，关键是根据弧长公式和垂径定理解答．

变式拓展

1．（2020·黑龙江甘南县·九年级其他模拟）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F．

（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若BD=2，BF=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．

【答案】（1）直线BC与⊙O相切，证明见解析；（2）

【分析】

（1）连接OD，证明OD∥AC，即可证得∠ODB=90°，从而证得BC是圆的切线；

（2）在直角三角形OBD中，设OF=OD=x，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为圆的半径，求出圆心角的度数，直角三角形ODB的面积减去扇形DOF面积即可确定出阴影部分面积．

【详解】

解：（1）BC与⊙O相切．理由如下：

连接OD．∵AD是∠BAC的平分线

∴∠BAD=∠CAD．

∵OD=OA

∴∠OAD=∠ODA

∴∠CAD=∠ODA

∴OD∥AC

∴∠ODB=∠C=90°，即OD⊥BC．

又∵BC过半径OD的外端点D，∴BC与⊙O相切；

（2）设OF=OD=x，则OB=OF+BF=x+2．

根据勾股定理得：，

即，

解得：x=2，即OD=OF=2

∴OB=2+2=4．

Rt△ODB中

∵OD=OB

∴∠B=30°

∴∠DOB=60°

∴S扇形DOF==

则阴影部分的面积为S△ODB﹣S扇形DOF==．

故阴影部分的面积为．

2．（2020·江西定南县·九年级期末）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F．

（1）求证：DF⊥AC；

（2）若⊙O的半径为4，∠CDF=22．5°，求阴影部分的面积．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【分析】

（1）连接，易得，由，易得，等量代换得，利用平行线的判定得，由切线的性质得，得出结论；

（2）连接，利用（1）的结论得，易得，得出，利用扇形的面积公式和三角形的面积公式得出结论．

【详解】

（1）证明：连接，

，

，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB．

∴∠ODB=∠ACB，

∴OD∥AC．

∵DF是⊙O的切线，

∴DF⊥OD．

∴DF⊥AC．

（2）连结OE，

∵DF⊥AC，∠CDF=22．5°．

∴∠ABC=∠ACB=67．5°，∴∠BAC=45°．

∵OA=OE，∴∠AOE=90°．

的半径为4，

，，

．

【点睛】

本题主要考查了切线的性质，扇形的面积与三角形的面积公式，圆周角定理等，作出适当的辅助线，利用切线性质和圆周角定理，数形结合是解答此题的关键．

3．（2020·江苏九年级期中）如图，已知四边形ABCD内接于圆O，连结BD，∠BAD=105°，∠DBC=75°．

（1）求证：BD=CD；

（2）若圆O的半径为3，求的长．

【答案】（1）证明过程见解析；（2）π

【分析】

（1）直接利用圆周角定理得出∠DCB的度数，再利用∠DCB=∠DBC求出答案；

（2）首先求出的度数，再利用弧长公式直接求出答案．

【详解】

（1）∵四边形ABCD内接于圆O，

 ∴∠DCB+∠BAD=180°，

 ∵∠BAD=105°，

∴∠DCB=180°﹣105°=75°，

 ∵∠DBC=75°，

 ∴∠DCB=∠DBC=75°，

 ∴BD=CD；

（2）∵∠DCB=∠DBC=75°，

 ∴∠BDC=30°，

由圆周角定理，得，的度数为：60°，

 故，

答：的长为π．

考点：（1）圆内接四边形的性质；（2）弧长的计算．

4．（2020·江苏无锡市·九年级期中）如图，AB为⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD=60°，P为AB延长线上的点，∠APD=30°．

（1）求证：DP是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为3cm，求图中阴影部分的面积．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】

（1）连接OD，求出∠AOD，求出∠DOB，求出∠ODP，根据切线判定推出即可．

（2）求出OP、DP长，分别求出扇形DOB和△ODP面积，即可求出答案．

【详解】

解：（1）证明：连接OD，

∵∠ACD=60°，

∴由圆周角定理得：∠AOD=2∠ACD=120°．

∴∠DOP=180°﹣120°=60°．

∵∠APD=30°，

∴∠ODP=180°﹣30°﹣60°=90°．

∴OD⊥DP．

∵OD为半径，

∴DP是⊙O切线．

（2）∵∠ODP=90°，∠P=30°，OD=3cm，

∴OP=6cm，由勾股定理得：DP=3cm．

∴图中阴影部分的面积