（新高考专用）2021年新高考数学难点：专题46 整体代换诱导公式法求三角函数值

专题46 整体代换诱导公式法求三角函数值

一、单选题

1．已知，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

由已知求得，再由诱导公式可求得选项.

【详解】

因为，且，所以，所以，

又，

故选：D.

【点睛】

关键点点睛：对于三角函数给值求值型问题，关键在于得出所求的角与已知角之间的特殊关系，求解时，注意尽可能缩小角的范围，以便确定三角函数的值的符号.

2．计算（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

利用诱导公式进行化简求值.

【详解】

利用诱导公式进行化简求值，

，

故选：B.

3．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

利用诱导公式将题干条件化简，即可得答案.

【详解】

由题意得：

故选：B.

4．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

将转化成，在用诱导公式化简，代入求值即可.

【详解】

由得.

故选：A

5．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

利用，结合二倍角公式可求得结果.

【详解】

由得：.

故选：A.

6．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

利用同角三角函数平方关系和二倍角公式可求得，利用诱导公式可求得结果.

【详解】

由得：，

，.

故选：.

7．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

设，则，然后利用诱导公式求解即可.

【详解】

设，则，

故．

故选：B

8．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

依题意原式为，再利用诱导公式化简计算可得；

【详解】

解：因为，所以

故选：B

9．设，.若对任意实数都有，则满足条件的有序实数对的对数为（    ）

A．1 B．2 C．9 D．12

【答案】B

【分析】

根据三角函数恒成立，则对应的图象完全相同求得a、b即可．

【详解】

∵对于任意实数都有，

则函数的周期相同，，

若，此时，

此时，

若，则方程 ，

则，则，

综上满足条件的有序实数组为，，共有2组.

故选：B

10．已知函数的部分图象如图所示，若存在，满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

利用图象求得函数的解析式为，由结合正弦函数的对称性得出，且有，将代入结合诱导公式可求得的值.

【详解】

由图象知函数的最小正周期为，，

又，

且，

，，

所以，，，，

当时，，

因为存在，满足，

即，则，可得，且，

则.

故选：C.

【点睛】

方法点睛：根据三角函数的部分图象求函数解析式的方法：

（1）求、，；

（2）求出函数的最小正周期，进而得出；

（3）取特殊点代入函数可求得的值.

11．已知，则（ ）

A． B．-2  C． D．

【答案】B

【分析】

利用诱导公式化简得，再根据已知代入求解即可.

【详解】

解：由诱导公式得：，

因为，

所以.

故选：B.

12．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

利用诱导公式可求得的值.

【详解】

.

故选：C.

13．已知，则的值等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据题意，化简得，再利用诱导公式对进行化简求值即可.

【详解】

解：由题可知，，

由于，

所以.

故选：C.

14．（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

直接利用诱导公式得答案.

【详解】

依题意.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查诱导公式，属于基础题.

15．已知，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

由已知利用诱导公式可求出的值，结合角的范围，利用同角三角函数基本关系式可求，进而根据诱导公式，同角三角函数基本关系式即可计算求解.

【详解】

由题意，，所以，则，

因为，所以，即，

所以.

故选：B.

【点睛】

本题考查三角函数诱导公式、同角三角函数基本关系式的运用，考查学生的计算能力，属于基础题.

16．式子的值为（    ）

A． B． C． D．2

【答案】B

【分析】

由正余弦的倍角公式、诱导公式即可化简求值.

【详解】

由，，

∴，

故选：B

【点睛】

本题考查了利用三角恒等变换化简求值，属于简单题.

17．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据诱导公式计算得到，故，解得答案.

【详解】

解：由诱导公式可知，

又得：，

所以，

.

故选：C.

【点睛】

本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和转化能力，是中档题.

18．如果，且，那么（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

利用先求得的值，由此求得的值.

【详解】

依题意，

由于，

所以，

所以，

所以.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、诱导公式，属于基础题.

19．已知cos =，则=（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

直接利用诱导公式求解即可

【详解】

解：因为cos =，

所以，

故选：A

【点睛】

此题考查诱导公式的应用，属于基础题

20．已知是第二象限角，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

求出的范围，进而可求出的值，再利用诱导公式可求出和，结合，可求出答案.

【详解】

因为是第二象限角，所以，

则，

因为，所以，

则，

则，

，

所以.

故选：D.

【点睛】

本题考查三角函数诱导公式的运用，考查同角三角函数的基本关系的运用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.

二、多选题

21．下列关于函数的图像或性质的说法中，正确的为（    ）

A．函数的图像关于直线对称

B．将函数的图像向右平移个单位所得图像的函数为

C．函数在区间上单调递增

D．若，则

【答案】AD

【分析】

令得到对称轴，即可判断A；根据平移变换知识可判断B；求出其单调增区间即可判断C；利用配角法即可判断D.

【详解】

对于A，令 ，解得，当时，得，故A正确；

对于B，将函数的图像向右平移个单位，得，故B错误；

对于C，令，故C错误；

对于D，若，则，故D正确.

故选：AD

【点睛】

方法点睛：函数的性质：

(1) .

(2)周期

(3)由 求对称轴

(4)由求增区间；由求减区间.

22．函数的部分图象如图所示，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】

根据最小值求得，根据周期求得，根据点求得，由此求得的解析式，结合诱导公式确定正确选项.

【详解】

由图象可得，，解得，所以，所以，又的图象过点，则，解得，又，所以，即

.

故选BD

【点睛】

本小题主要考查根据三角函数图象求三角函数解析式，考查诱导公式，属于中档题.

第II卷（非选择题）

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三、双空题

23．（1）一个扇形的半径为，弧长是半径的倍，则扇形的面积等于________．

（2）（a，b为常数，），若，则_______．

【答案】       

【分析】

（1）首先利用扇形的弧长公式求出扇形的圆心角，再利用扇形的面积公式即可求解.

（2）利用诱导公式即可求解.

【详解】

（1）根据题意可知，弧长，

设扇形的圆心角为，所以，解得，

所以扇形的面积；

（2）由，

所以，

所以

所以

.

故答案为：；

24．已知函数，若方程的解为，则______，_______．

【答案】       

【分析】

由已知求出的范围，根据方程的解的对称性可求得；再利用表示，即可表示为，再根据已知条件结合三角函数求值即可得到答案.

【详解】

，，

又方程的解为，，

解得．，

由，可得，．

又，可得，

.

故答案为：；．

【点睛】

关键点点睛：本题考查了三角函数的对称性，及利用诱导公式化简三角函数并求值，解题的关键是要注意到是的两个根，由三角函数图象的对称性得到两个根的对称性，从而得解，考查了学生的分析解题能力与转化能力，属于中档题.

25．已知，则_________，_______．

【答案】       

【分析】

利用诱导公式可求得的值，利用诱导公式结合同角三角函数的基本关系可求得的值.

【详解】

，则，

.

故答案为：；.

【点睛】

本题考查利用诱导公式和同角三角函数的基本关系求值，考查计算能力，属于基础题.

四、填空题

26．若，且，则__________.

【答案】

【分析】

利用诱导公式进行整体代换，并利用同角三角函数关系式进行求值.

【详解】

由诱导公式得，

，

，

，

又，

，

故答案为：.

27．已知，则________.

【答案】

【分析】

由，再结合诱导公式可得结果.

【详解】

【点睛】

方法点睛：利用诱导公式求值或化简时，常用拼凑角,，常见的互余关系有：与，与，与等；常见的互补关系有： 与，与等；

28．设，，，若对任意实数都有，则满足条件的的所有取值的和为______．

【答案】

【分析】

结合进行分类讨论，由此求得的所有可能取值，进而求得满足条件的的所有取值的和.

【详解】

因为对任意实数都有，所以．

当时，方程等价于，则两函数的周期相同，即．当时，，此时；当时，，此时．

当时，方程等价于．当时，此时；当时，，此时．综上，的所有取值为，，，，和为．

故答案为：

29．关于函数有如下命题，其中正确的有______

①的表达式可改写为

②是以为最小正周期的周期函数；

③的图象关于点对称；

④的图象关于直线对称.

【答案】①③

【分析】

①利用诱导公式变形，判断选项；②利用周期公式，判断选项；③代入函数判断是否为0，判断选项；④代入选项，是否取得最值，判断选项.

【详解】

①，故①正确；

②的最小正周期，故②不正确；

③当时，，此时函数值为0，所以函数的图象关于点对称，故③正确；

④当时，，此时函数值是0，不是函数的对称轴，故④不正确. 

故答案为：①③

【点睛】

思路点睛：本题考查的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线或点是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求的范围，验证次区间是否是函数的增或减区间.

30．已知，则_________．

【答案】

【分析】

由，利用诱导公式、二倍角余弦可得即可求值.

【详解】

由题意知：，而，

∴，

故答案为：.

【点睛】

关键点点睛：首先由整体代换法得到的关系，结合诱导公式、二倍角公式得到含有已知三角函数值的函数式求值.

31．______．

【答案】

【分析】

利用诱导公式化简求值

【详解】

解：，

故答案为：

32．已知，则______.

【答案】

【分析】

根据与的关系，结合诱导公式求解出的值.

【详解】

设，则，

故.

故答案为：.

33．若点在函数的图象上，则的值为______.

【答案】

【分析】

由已知可得，，解得，代入，利用诱导公式化简求值.

【详解】

由点在函数的图像上，得，解得

所以

故答案为：

34．在平面直角坐标系中，角和角均以为始边，它们的终边关于x轴对称.若，则______.

【答案】

【分析】

由题意可得，由此能求出结果.

【详解】

∵在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于x轴对称，

∴，

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查三角函数的对称性，属于基础题.

35．已知，则的值为________.

【答案】

【分析】

先利用诱导公式化简，得，再利用诱导公式化简，从而可得结果

【详解】

解：由，得，

所以，

故答案为：

【点睛】

此题考查诱导公式的应用，属于基础题

36．化简_____________.

【答案】-1

【分析】

直接由诱导公式化简即可.

【详解】

.

故答案为：-1

【点睛】

本题考查利用诱导公式化简求值，属于基础题.

37．若，且，则______.

【答案】

【分析】

利用诱导公式可得，，从而根据诱导公式及同角三角函数的基本关系求解即可.

【详解】

∵，且，

∴，

∴.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了诱导公式及同角三角函数的基本关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

38．若，则______．

【答案】

【分析】

由，可得出答案.

【详解】

因为，所以.

故答案为：.

【点睛】

本题考查三角函数诱导公式的应用，考查学生的计算能力，属于基础题.

39．已知，则___________.

【答案】

【分析】

由已知函数值，根据诱导公式即可求的值.

【详解】

，

故答案为：

【点睛】

本题考查了利用诱导公式求函数值，利用已知函数值，应用诱导公式转化成含有目标函数中代数式形式的函数求函数值；

40．已知，则______.

【答案】

【分析】

先由二倍角公式求出，再由诱导公式知，代入计算即可得答案.

【详解】

因为,

所以,

所以,

故答案为：.

【点睛】

本题考查了二倍角公式，诱导公式的应用，属于基础题.

41．若，则________.

【答案】

【分析】

利用结合余弦的诱导公式求解即可.

【详解】

因为，所以.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用诱导公式求三角函数值，属于简单题，整体代入是关键.

五、解答题

42．已知，且，求的值.

【答案】.

【分析】

利用同角三角函数的基本关系可求得的值，再结合诱导公式可求得所求代数式的值.

【详解】

，，

又，，.

,

.

.

43．如图，在平面直角坐标系中，为单位圆上一点，射线OA绕点O按逆时针方向旋转后交单位圆于点B，点B的纵坐标y关于的函数为.

（1）求函数的解析式，并求；

（2）若，求的值.

【答案】（1），；（2）.

【分析】

（1）由三角函数的定义得到，进而代入计算；

（2）由已知得，将所求利用诱导公式转化即得.

【详解】

解：（1）因为，

所以，

由三角函数定义，得.

所以.

（2）因为，所以，

所以

.

【点睛】

本题考査三角函数的定义，三角函数性质，诱导公式.考查运算求解能力，推理论证能力.考查转化与化归，数形结合等数学思想.

已知求时要将已知中的角作为整体不分离，观察所求中的角与已知中的角的关系，利用诱导公式直接转化是化简求值的常见类型.

44．已知

（1）化简；

（2）若，求的值．

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）根据诱导公式，将原式直接化简整理即可；

（2）根据（1）的结果，由诱导公式，以及同角三角函数基本关系，即可求出结果.

【详解】

（1）

；

（2）因为，由（1）得，

所以.

45．（1）已知角的终边上有一点，求的值.

（2）已知，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）根据题意先确定角的三角函数值，然后利用诱导公式将原式化简，然后求值；
（2）将化为，根据题目条件可求得，再利用可求得，然后求解的值.

【详解】

解：（1）原式

因为知角的终边上有一点，根据任意角三角函数的定义可知：，

故原式.

（2）由，可得

，

，

又

.

【点睛】

本题考查任意角三角函数的概念及诱导公式，考查两角和与差的正余弦公式，难度一般.

46．已知，

（1）化简；

（2）若，且，求的值；

（3）证明：，并求满足的的取值集合.

【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析；.

【分析】

（1）利用诱导公式化简可得结果；

（2）根据同角三角函数平方关系可求得结果；

（3）利用向量数量积的定义和坐标运算，可证得两角差的余弦公式，代换角可得两角和的正弦公式，令可证得结论；结合可将不等式化为，利用正弦函数的性质可求得结果.

【详解】

（1）；

（2），

，，，

当时，，；

（3）证明：设为单位圆上两点，

则，

将换为，则，

令，则；

由得：，即，

，解得：，

即满足的的取值集合为

【点睛】

本题考查三角函数部分知识的综合应用问题，涉及到利用诱导公式化简、利用同角三角函数平方关系求值、二倍角正弦公式的证明、利用正弦型函数的值域求解定义域的问题；本题综合性较强，对于学生的运算求解能力有较高要求.

47．已知角α为第一象限角，且．

（1）求的值；

（2）求的值．

【答案】(1);(2)7

【分析】

（1）利用同角三角函数的平方关系、商数关系，即可得答案；

（2）利用诱导公式进行化简得到关于，的式子，再转化成关于的式子，即可得答案；

【详解】

（1）角α为第一象限角，且，

，

.

（2）原式.

【点睛】

本题考查同角三角函数基本关系、诱导公式化简求值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.

48．已知角的终边经过点.

（1）求，；

（2）求的值.

【答案】（1），；（2）.

【分析】

（1）先求出，再由三角函数定义可得，；

（2）由（1）可知，，再结合诱导公式求得.

【详解】

解：（1）由题意可得：，

由角的终边上的点的性质可得，；

（2）由（1）可知，，再结合诱导公式得：

，

所以

【点睛】

本题考查根据角的终边上的点求三角函数值、根据诱导公式化简求值，是基础题.