2021年中考数学：专题30 圆的基本性质（知识点串讲）

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专题30 圆的基本性质
【知识要点】
知识点一 圆的基础概念
圆的概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆．这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．
特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．
确定圆的条件：
⑴ 圆心；
⑵ 半径，
⑶ 其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．
补充知识：
1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；
2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；
3）半径相等的圆叫做等圆．
弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦．
弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作AB，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧．
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，
小于半圆的弧叫做劣弧．
弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距．
弦心距、半径、弦长的关系：（考点）

知识点二 垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
常见辅助线做法（考点）：
1） 过圆心，作垂线，连半径，造RT△，用勾股，求长度；
2） 有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．
知识点一 圆的基础概念
圆的概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆．这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．
特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．
确定圆的条件：
⑷ 圆心；
⑸ 半径，
⑹ 其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．
补充知识：
1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；
2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；
3）半径相等的圆叫做等圆．
弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦．
弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作AB，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧．
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，
小于半圆的弧叫做劣弧．
弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距．
弦心距、半径、弦长的关系：（考点）

知识点二 垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
常见辅助线做法（考点）：
3） 过圆心，作垂线，连半径，造RT△，用勾股，求长度；
4）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．
知识点三 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角．
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等
知识点二 圆周角定理（考点）
圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等．
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角）
知识点三 圆内接四边形
圆内接四边形概念：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形。这个圆叫做这个多边形的外接圆。
性质：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角．
【考查题型】

考查题型一 圆的周长与面积问题
典例1．如图中三个小圆周长之和与大圆周长比较,较长的是(　　)

A．三个小圆周长之和 B．大圆周长
C．一样长 D．不能确定
【答案】C
【提示】如图,设大圆的直径为d,三个小圆的直径依次为d',d″,d‴,根据圆的周长公式即可解答.
【详解】如图,设大圆的直径为d,三个小圆的直径依次为d',d″,d‴,

则大圆周长为πd;三个小圆周长之和为πd'+πd″+πd‴=π(d'+d″+d‴).因为d=d'+d″+d‴,所以三个小圆周长之和与大圆周长一样长.
变式1-1．如图，⊙O的半径为，分别以的直径上的两个四等分点，为圆心，为半径作圆，则图中阴影部分的面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【提示】把阴影部分进行对称平移，再根据半圆的面积公式计算即可.
【详解】,
∴图中阴影部分的面积为.故选B.
变式1-2．图案的地砖，要求灰、白两种颜色面积大致相同，那么下面最符合要求的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【提示】设正方形边长为2a，依次表示出每个图形灰色和白色区域的面积，比较即可得出结论．
【详解】设正方形边长为2a，则：
A、灰色区域面积=正方形面积－圆的面积= ，白色区域面积=圆面积=，两者相差很大；
B、灰色区域面积=正方形面积－圆的面积= ，白色区域面积=圆面积=，两者相差很大；
C、色区域面积=正方形面积－圆的面积= ，白色区域面积=圆面积=，两者相差很大；
D、灰色区域面积=半圆的面积－正方形面积= ，白色区域面积=正方形面积－灰色区域面积=，两者比较接近．
故选D．
变式1-3．如图，一枚半径为r的硬币沿着直线滚动一圈，圆心经过的距离是（　　）

A．4πr                                         B．2πr                                       
C．πr                                        D．2r
【答案】B
【提示】一枚半径为r的硬币沿着直线滚动一圈，圆心经过的距离就是圆的周长．
【详解】圆心经过的距离就是圆的周长，所以是2πr.，故选B.

考查题型二 利用垂径定理进行计算
典例2．（2020·贵州黔东南苗族侗族自治州·中考真题）如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OD＝3：5，则AB的长为（　　）

A．8 B．12 C．16 D．2
【答案】C
【提示】连接OA，先根据⊙O的直径CD＝20，OM：OD＝3：5求出OD及OM的长，再根据勾股定理可求出AM的长，进而得出结论．
【详解】连接OA，

∵⊙O的直径CD＝20，OM：OD＝3：5，
∴OD＝10，OM＝6，
∵AB⊥CD，
∴，
∴AB＝2AM＝16．
故选：C．
变式2-1．（2020·湖北中考真题）如图，点在⊙O上，，垂足为E．若，，则（ ）

A．2 B．4 C． D．
【答案】D
【提示】连接OC，根据圆周角定理求得，在中可得，可得OC的长度，故CE长度可求得，即可求解．
【详解】解：连接OC，

∵，
∴，
在中，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴
∵，垂足为E，
∴，
故选：D．
变式2-2．如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=2，CD=1，则BE的长是　　

A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【提示】根据垂径定理求出AD,根据勾股定理列式求出半径 ，根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】解：∵半径OC垂直于弦AB，
∴AD=DB= AB=
在Rt△AOD中，OA2=(OC-CD)2+AD2,即OA2=(OA-1)2+( )2，
解得，OA=4
∴OD=OC-CD=3，
∵AO=OE,AD=DB,
∴BE=2OD=6
故选B
变式2-3．（2020·曲阜模拟）⊙O的半径是13，弦AB∥CD，AB＝24，CD＝10，则AB与CD的距离是（　　）
A．7 B．17 C．7或17 D．34
【答案】C
【提示】先作出图象根据勾股定理分别求出弦AB,CD的弦心距OE,OF,再根据两弦在圆心同侧和在圆心异侧两种情况讨论.
【详解】解：如图,
设E、F为AB、CD的中点，
AE=AB=24=12,
CF=CD=10=5,
OE===5,
OF===12,
①当两弦在圆心同侧时,距离=OF-OE=12-5=7;
②当两弦在圆心异侧时,距离=OE+OF=12+5=17.
所以距离为7或17.
故选C.
变式2-4．（2020·陕西中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（　　）

A．55° B．65° C．60° D．75°
【答案】B
【提示】连接CD，根据圆内接四边形的性质得到∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，根据垂径定理得到OD⊥BC，求得BD＝CD，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：连接CD，
∵∠A＝50°，
∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，
∵E是边BC的中点，
∴OD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴∠ODB＝∠ODC＝∠BDC＝65°，
故选：B．

考查题型三 垂径定理的实际应用
典例3．（2020·广东广州市·中考真题）往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【提示】过点O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA，根据垂径定理即可求得AD的长，又由⊙O的直径为，求得OA的长，然后根据勾股定理，即可求得OD的长，进而求得油的最大深度的长．
【详解】解：过点O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA，
由垂径定理得：，
∵⊙O的直径为，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴油的最大深度为，
故选：．

变式3-1．（2020·宁夏中考真题）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深寸，锯道长尺（1尺寸）．问这根圆形木材的直径是______寸．

【答案】26
【提示】根据题意可得，由垂径定理可得尺寸，设半径，则，在中，根据勾股定理可得：，解方程可得出木材半径，即可得出木材直径.
【详解】解：由题可知，
为半径，
尺寸，
设半径，
，

在中，根据勾股定理可得：

解得：,
木材直径为26寸；
故答案为：26.
变式3-2．（2019·湖南湘潭市·中考真题）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积（弦×矢+矢2）．孤田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理（当半径⊥弦时，平分）可以求解．现已知弦米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为_____平方米．

【答案】10
【提示】根据垂径定理得到，由勾股定理得到，求得，根据弧田面积（弦×矢+矢2）即可得到结论．
【详解】解：∵弦米，半径弦，
∴，
∴，
∴，
∴弧田面积（弦×矢+矢2），
故答案为10
变式3-3．（2020·佳木斯市模拟）如图是一圆形水管的截面图，已知⊙O的半径OA＝13，水面宽AB＝24，则水的深度CD是_____．

【答案】8
【提示】
先根据垂径定理求出AC的长，再根据勾股定理求出OC的长，根据CD＝OD﹣OC即可得出结论．
【详解】
解：∵⊙O的半径OA＝13，水面宽AB＝24，OD⊥AB，
∴OD＝OA＝13，AC＝AB＝12，
在Rt△AOC中，OC＝＝＝5，
∴CD＝OD﹣OC＝13﹣5＝8．
故答案为：8．
变式3-4．（2020·广西梧州市·九年级二模）如图，圆柱形水管的截面半径是，阴影部分为有水部分，水面宽，则水的最大深度是__________．

【答案】1.6
【提示】
如图（见解析），先根据圆的性质得出水的最大深度为CD的长，再根据垂径定理、勾股定理求出OC的长，由此即可得．
【详解】
如图，设圆心为点O，过点O作于点C，延长CO交圆O于点D，连接OA
由圆的性质可知，圆的半径为，水的最大深度为CD的长
由垂径定理得：
在中，
则
即水的最大深度是
故答案为：．

考查题型四 利用弧、弦、圆心角的关系求解
典例4．（2020·四川泸州市·中考真题）如图，中，，．则的度数为（ ）

A．100° B．90° C．80° D．70°
【答案】C
【提示】首先根据弧、弦、圆心角的关系得到AB=AC，再根据等腰三角形的性质可得∠A的度数，然后根据圆周角定理可得∠BOC=2∠A，进而可得答案．
【详解】解：∵AB=AC，
∴AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=70°，
∴∠A=180°-70°×2=40°，
∵圆O是△ABC的外接圆，
∴∠BOC=2∠A=40°×2=80°，
故选C．
变式4-1．（2020·山东青岛市·中考真题）如图，是⊙O的直径，点，在⊙O上，AB=AD，交于点．若．则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【提示】先根据圆周角定理得到∠，再根据等弧所对的弦相等，得到，∠，最后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得到∠CAD=，∠BAG=，即可求解．
【详解】
解：∵是的直径
∴∠
∵AB=AD
∴
∴∠
∵
∴∠
∴∠
∴∠
故选：B．
变式4-2．（2020·山西模拟）如图，AB是⊙O的直径，BC=CD=DE，∠COD=34°，则∠AEO的度数是（ ）

A．51° B．56° C．68° D．78°
【答案】A
【解析】
如图，在⊙ O中，

∵BC=CD=DE，
∴∠BOC=∠COE=∠DOE=34°，
∵AB是⊙ O的直径，
∴∠BOC+∠COE+∠DOE+∠AOE=180°，
∴∠AOE=180°-34°-34°-34°=78°，
∵OA=OE，
∴∠AEO=∠A=.
故选A.
变式4-3．（2020·扬州市一模）如图，AB是⊙O的弦，OA、OC是⊙O的半径，AC=BC，∠BAO=37°，则∠AOC的度数是（　　）度.

A．74 B．106 C．117 D．127
【答案】D
【提示】连接OB，进而得出∠AOB的度数，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠AOC的度数．
【详解】连接OB，

∵OA=OB，∠BAO=37°，
∴∠AOB=180°-2×37°=106°，
∵AC=BC，
∴∠AOC=∠BOC=＝127°，
故选D．
考查题型五 利用弧、弦、圆心角的关系求证
典例5．（2019·富顺县中考真题）如图，⊙中，弦与相交于点,,连接.
求证：⑴AD=BC；
⑵.

【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【提示】
（1）由AB=CD知AB=CD，即AD+AC=BC+AC，据此可得答案；
（2）由AD=BC知AD=BC，结合∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE可证△ADE≌△CBE，从而得出答案．
【详解】
证明（1）∵AB=CD，
∴AB=CD，即AD+AC=BC+AC，
∴AD=BC；
（2）∵AD=BC，
∴AD=BC，
又∵∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE，
∴△ADE≌△CBE（ASA），
∴AE=CE．
变式5-1．（2020·安徽中考真题）如图，是半圆的直径，是半圆上不同于的两点与相交于点是半圆所任圆的切线，与的延长线相交于点，
求证：；
若求平分．

【答案】证明见解析；证明见解析．
【提示】
利用证明利用为直径，证明结合已知条件可得结论；
利用等腰三角形的性质证明： 再证明 利用切线的性质与直径所对的圆周角是直角证明： 从而可得答案．
【详解】
证明：
∴AD=BC,

为直径，


．
证明：



为半圆的切线，





平分．
考查题型六 圆周角定理
典例6．（2020·吉林长春市·中考真题）如图，是⊙O的直径，点、在⊙O上，，则的大小为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【提示】根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得到∠BOC=2∠BDC=40°，即可求出答案.
【详解】∵,
∴∠BOC=2∠BDC=40°，
∴∠AOC=180°-∠BOC=140°，
故选：B.
变式6-1．（2020·浙江杭州市·中考真题）如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E．设∠AED＝α，∠AOD＝β，则（　　）

A．3α+β＝180° B．2α+β＝180° C．3α﹣β＝90° D．2α﹣β＝90°
【答案】D
【提示】根据直角三角形两锐角互余性质，用α表示∠CBD，进而由圆心角与圆周角关系，用α表示∠COD，最后由角的和差关系得结果．
【详解】解：∵OA⊥BC，
∴∠AOB＝∠AOC＝90°，
∴∠DBC＝90°﹣∠BEO
＝90°﹣∠AED
＝90°﹣α，
∴∠COD＝2∠DBC
＝180°﹣2α，
∵∠AOD+∠COD＝90°，
∴β+180°﹣2α＝90°，
∴2α﹣β＝90°，
故选：D．

变式6-2．（2020·黑龙江牡丹江市·朝鲜族学校中考真题）如图，点在圆上，若弦的长度等于圆半径的倍，则的度数是( )．

A．22.5° B．30° C．45° D．60°
【答案】C
【提示】设圆心为，连接，如图，先证明为等腰直角三角形得到，然后根据圆周角定理确定的度数．
【详解】解：设圆心为，连接，如图，
∵弦的长度等于圆半径的倍，
即，
∴，
∴为等腰直角三角形， ，
∴°．
故选C．

变式6-3．（2020·辽宁鞍山市·中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为，若，则的度数为（ ）

A．30° B．25° C．15° D．10°
【答案】A
【提示】连接OB和OC，证明△OBC为等边三角形，得到∠BOC的度数，再利用圆周角定理得出∠A．
【详解】解：连接OB和OC，
∵圆O半径为2，BC=2，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∴∠A=30°，
故选A．

变式6-4．（2020·四川广元市·中考真题）如图，是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿的路线匀速运动，设（单位：度），那么y与点P运动的时间（单位：秒）的关系图是（ ）

A． B．C．D．
【答案】B
【提示】
根据图示，分三种情况：（1）当点P沿O→C运动时；（2）当点P沿C→B运动时；（3）当点P沿B→O运动时；分别判断出y的取值情况，进而判断出y与点P运动的时间x（单位：秒）的关系图是哪个即可．
【详解】
解：（1）当点P沿O→C运动时，
当点P在点O的位置时，y＝90°，
当点P在点C的位置时，
∵OA＝OC，
∴y＝45°，
∴y由90°逐渐减小到45°；
（2）当点P沿C→B运动时，
根据圆周角定理，可得
y≡90°÷2＝45°；
（3）当点P沿B→O运动时，
当点P在点B的位置时，y＝45°，
当点P在点O的位置时，y＝90°，
∴y由45°逐渐增加到90°．
故选：B．
考查题型七 同弧或等弧所对的圆周角相等
典例7．（2020·四川眉山市·中考真题）如图，四边形的外接圆为⊙，，，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【提示】根据同弧所对的圆周角相等及等边对等角，可得，根据三角形的内角和可得，利用角的和差运算即可求解．
【详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
变式7-1．（2020·四川内江市·中考真题）如图，点A、B、C、D在⊙O上，，点B是AC的中点，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【提示】根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOB＝∠AOC，再根据圆周角定理解答．
【详解】连接OB，
∵点B是AC的中点，
∴∠AOB＝∠AOC＝60°，
由圆周角定理得，∠D＝∠AOB＝30°，
故选：A．

变式7-2．（2020·江苏扬州市·中考真题）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【提示】首先根据圆周角定理可知，∠ABC＝，在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义求出∠ABC的正弦值．
【详解】∵和∠ABC所对的弧长都是，
∴根据圆周角定理知，∠ABC＝，
∴在Rt△ACB中，AB=
根据锐角三角函数的定义知，sin∠ABC＝，
∴=，
故选A．
考查题型八 直径所对的圆周角是直角
典例8．（2020·甘肃金昌市·中考真题）如图，是圆上一点，是直径，，，点在圆上且平分弧，则的长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【提示】由是圆O的直径，可得∠A=∠D=90°，又在圆上且平分弧，则∠CBD=∠BCD=45°，即△BCD是等腰直角三角形.在Rt△ABC中，根据勾股定理求出BC长，从而可求DC的长.
【详解】
解：∵是圆O的直径，
∴∠A=∠D=90°.
又在圆上且平分弧，
∴∠CBD=∠BCD=45°，即△BCD是等腰直角三角形.
在Rt△ABC中，，，根据勾股定理，得BC==2.
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴CD==.
故选:D.
变式8-1．（2020·江苏镇江市·中考真题）如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠ADC＝106°，则∠CAB等于（　　）

A．10° B．14° C．16° D．26°
【答案】C
【提示】连接BD，如图，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，则可计算出∠BDC＝16°，然后根据圆周角定理得到∠CAB的度数．
【详解】解：连接BD，如图，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝106°﹣90°＝16°，
∴∠CAB＝∠BDC＝16°．
故选：C．

变式8-2．（2020·海南中考真题）如图，已知是的直径，是弦，若则等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【提示】先由圆周角定理得到∠DAB=∠BCD=36°，然后根据是的直径确定∠ADB=90°，最后根据直角三角形两锐角互余即可解答．
【详解】解：∵是弦，若
∴∠DAB=∠BCD=36°
∵是的直径
∴∠ADB=90°
∴∠ABD=90°-∠DAB=54°．
故选：A．
变式8-3．（2020·辽宁营口市·中考真题）如图，AB为⊙O的直径，点C，点D是⊙O上的两点，连接CA，CD，AD．若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是（　　）

A．110° B．130° C．140° D．160°
【答案】B
【提示】连接BC，如图，利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，则∠B＝50°，然后利用圆的内接四边形的性质求∠ADC的度数．
【详解】
解：如图，连接BC，

∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠CAB＝90°﹣40°＝50°，
∵∠B+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣50°＝130°．
故选：B．