2021年中考数学：专题23 勾股定理（专题测试 原卷及解析卷）

专题23 勾股定理

（满分：100分 时间：90分钟）

班级_________     姓名_________     学号_________     分数_________

一、单选题(共10小题，每小题3分，共计30分)

1．（2020·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）如图，正方形的边长为4，点在上且，为对角线上一动点，则周长的最小值为（    ）．

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】B

【分析】

连接ED交AC于一点F，连接BF，根据正方形的对称性得到此时的周长最小，利用勾股定理求出DE即可得到答案.

【详解】

连接ED交AC于一点F，连接BF，

∵四边形ABCD是正方形，

∴点B与点D关于AC对称，

∴BF=DF，

∴的周长=BF+EF+BE=DE+BE，此时周长最小，

∵正方形的边长为4，

∴AD=AB=4，∠DAB=90°，

∵点在上且，

∴AE=3，

∴DE=，

∴的周长=5+1=6，

故选：B.

2．（2020·柳州市柳林中学中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=3，则cosB==（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

直接利用勾股定理得出BC的长，再利用锐角三角函数关系得出答案．

【详解】

∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=3，

∴，

∴．

故选：C．

3．（2020·广西河池市·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD于点E，BF⊥CD于点F．若FB＝FE＝2，FC＝1，则AC的长是（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

连接BC，因为AB是直径，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，可证△ACE∽△CBF，根据相似三角形的判定和性质定理可得，并用勾股定理求出BC的长度，代入公式，求出AC的长度，即可得到结论．

【详解】

解：如图所示，连接BC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠ACE+∠BCF＝90°，

∵BF⊥CD，

∴∠CFB＝90°，

∴∠CBF+∠BCF＝90°，

∴∠ACE＝∠CBF，

∵AE⊥CD，

∴∠AEC＝∠CFB＝90°，

∴△ACE∽△CBF，

∴，

∵FB＝FE＝2，FC＝1，

∴CE＝CF+EF＝3，BC＝，

∴，

∴，

故选：B．

4．（2020·辽宁葫芦岛市·中考真题）如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，点和点在边上，，连接轴，则的值为（    ）

A． B．3 C．4 D．

【答案】C

【分析】

依次可证明△OFE和△AFD为等腰直角三角形，再依据勾股定理求得DF的长度，即可得出D点坐标，从而求得k的值．

【详解】

解：∵，，x轴⊥y轴，

∴OE=OF=1，∠FOE=90°，∠OEF=∠OFE=45°，

∴，

∴，

∵四边形ABCD为矩形，

∴∠A=90°，

∵轴，

∴∠DFE=∠OEF=45°，

∴∠ADF=45°，，

∴

∴D(4，1)，

∴，解得，

故选：C．

5．（2020·内蒙古赤峰市·中考真题）如图，经过平面直角坐标系的原点O，交x轴于点B(-4，0)，交y轴于点C(0，3)，点D为第二象限内圆上一点.则∠CDO的正弦值是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

连接BC，且∠BOC=90°，用勾股定理求出BC的长度，∠CDO与∠OBC均为所对圆周角，所以sin∠CDO=sin∠OBC，即∠CDO的正弦值可求．

【详解】

解：如下图所示，连接BC，

∵⊙A过原点O，且∠BOC=90°，OB=4，OC=3，

∴根据勾股定理可得：，

又∵同弧所对圆周角相等，∠CDO与∠OBC均为所对圆周角，

∴∠CDO=∠OBC，故sin∠CDO=sin∠OBC=，

故选：A．

6．（2020·广西河池市·中考真题）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则sinB的值是（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

直接利用勾股定理得出AB的长，再利用锐角三角函数得出答案．

【详解】

解：如图所示：

∵∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，

∴，

∴．

故选：D．

7．（2020·山东淄博市·中考真题）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（     ）

A．12 B．24 C．36 D．48

【答案】D

【详解】

由图2知，AB＝BC＝10，当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的高为8（即此时BP＝8），即可求解．

【解答】解：由图2知，AB＝BC＝10，当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的高为8（即此时BP＝8），当y＝8时，PC＝＝＝6，△ABC的面积＝×AC×BP＝×8×12＝48，

故选：D．

8．（2020·黑龙江大庆市·中考真题）已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，和6，8，，且这两个直角三角形不相似，则的值为（    ）

A．或 B．15 

C． D．

【答案】A

【分析】

判断未知边m、n是直角三角形的直角边还是斜边，再根据勾股定理计算出m、n的值，最后根据题目中两个三角形不相似，对应边的比值不同进行判断．

【详解】

解：在第一个直接三角形中，若m是直角边，则，

若m是斜边，则；

在第二个直接三角形中，若n是直角边，则，

若n是斜边，则；

又因为两个直角三角形不相似，故m=5和n=10不能同时取，

即当m=5，，，

当，n=10，，

故选：A．

9．（2020·广西中考真题）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃(读，门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2(图2为图1的平面示意图)，推开双门，双门间隙的距离为寸，点和点距离门槛都为尺(尺寸)，则的长是（  ）

A．寸 B．寸 C．寸 D．寸

【答案】C

【分析】

画出直角三角形，根据勾股定理即可得到结论．

【详解】

设OA=OB=AD=BC=，过D作DE⊥AB于E，

则DE=10，OE=CD=1，AE=．
在Rt△ADE中，
，即，
解得．
故门的宽度（两扇门的和）AB为101寸．
故选：C．

10．（2020·广东广州市·中考真题）如图，中，，，，以点为圆心，为半径作，当时，与的位置关系是（  ）

A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定

【答案】B

【分析】

根据中，， ，求出AC的值，再根据勾股定理求出BC 的值，比较BC与半径r的大小，即可得出与的位置关系．

【详解】

解：∵中，， ，

∴cosA=

∵，

∴AC=4

∴BC=

当时，与的位置关系是：相切

故选：B

二、填空题(共5小题，每小题4分，共计20分)

11．（2020·江苏扬州市·中考真题）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈（1丈10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？答：折断处离地面________尺高．

【答案】

【分析】

竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，利用勾股定理解题即可．

【详解】

解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，
根据勾股定理得：x2+32=（10-x）2，

解得：；

故答案为：．

12．（2020·宁夏）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深寸，锯道长尺（1尺寸）．问这根圆形木材的直径是______寸．

【答案】26

【分析】

根据题意可得，由垂径定理可得尺寸，设半径，则，在中，根据勾股定理可得：，解方程可得出木材半径，即可得出木材直径.

【详解】

解：由题可知，

为半径，

尺寸，

设半径，

，

在中，根据勾股定理可得：

解得：,

木材直径为26寸；

故答案为：26.

13．（2020·黑龙江绥化市·中考真题）在中，，若，则的长是________．

【答案】17

【分析】

在Rt△ABC中，根据勾股定理列出方程即可求解．

【详解】

解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB-AC=2，BC=8，
∴AC2+BC2=AB2，
即（AB-2）2+82=AB2，
解得AB=17．
故答案为：17．

14．（2020·浙江绍兴市·中考真题）如图1，直角三角形纸片的一条直角边长为2，剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按图2放入一个边长为3的正方形中（纸片在结合部分不重叠无缝隙），则图2中阴影部分面积为_____．

【答案】4．

【分析】

根据题意和图形，可以得到直角三角形的一条直角边的长和斜边的长，从而可以得到直角三角形的另一条直角边长，再根据图形，可知阴影部分的面积是四个直角三角形的面积，然后代入数据计算即可.

【详解】

解：由题意可得，

直角三角形的斜边长为3，一条直角边长为2，

故直角三角形的另一条直角边长为：，

故阴影部分的面积是：，

故答案为：4.

15．（2020·贵州黔南布依族苗族自治州·中考真题）如图所示，在四边形中，，，．连接，，若，则长度是_________．

【答案】10

【分析】

根据直角三角形的边角间关系，先计算，再在直角三角形中，利用勾股定理即可求出．

【详解】

解：在中，

∵，

∴．

在中，

．

故答案为：10．

三、解答题(共5小题，每小题10分，共计50分)

16．（2020·四川广安市·中考真题）如图，将等腰三角形纸片ABC沿底边BC上的高AD剪成两个三角形，AB=5个单位长度，BC=6个单位长度．用这两个三角形来拼成四边形，请在下列网格中画出你拼成的四边形（每个小正方形的边长均为1个单位长度，所画四边形全等视为同一种情况），并直接在对应的横线上写出该四边形两条对角线长度的和．

【答案】作图和对应的四边形两条对角线长度的和见解析

【分析】

根据三线合一即可求出BD的长，利用勾股定理即可求出AD的长，然后根据拼成不同的四边形分类讨论，分别画出对应的图形，利用勾股定理结合网格分别求出对角线的长即可求出结论．

【详解】

解：∵△ABC为等腰三角形，AD是BC边上的高，AB=5个单位长度，BC=6个单位长度

∴BD=BC=3个单位长度

∴AD=个单位长度

①按如下图所示拼成的四边形，

∴一条对角线AC=4个单位长度，另一条对角线BC=个单位长度

∴该四边形两条对角线长度的和为个单位长度

故答案为：个单位长度；

②按如下图所示拼成的四边形，

∴一条对角线AB=5个单位长度，另一条对角线CD=5个单位长度

∴该四边形两条对角线长度的和为10个单位长度

故答案为：10个单位长度；

③按如下图所示拼成的四边形，

∴一条对角线BD=3个单位长度，另一条对角线AC=个单位长度

∴该四边形两条对角线长度的和为个单位长度

故答案为：个单位长度．

17．（2020·江苏连云港市·中考真题）如图，在四边形中，，对角线的垂直平分线与边、分别相交于、．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）若，，求菱形的周长．

【答案】（1）见解析；（2）52

【分析】

（1）先证明，得到四边形为平行四边形，再根据菱形定义证明即可；

（2）先根据菱形性质求出OB、OM、再根据勾股定理求出BM，问题的得解．

【详解】

（1）∵，∴．

∵是对角线的垂直平分线，

∴，．

在和中，，

∴，

∴，

∴四边形为平行四边形．

又∵，

∴四边形为菱形．

（2）∵四边形为菱形，，．

∴，，．

在中，．

∴菱形的周长．

18．（2019·湖北中考真题）在一次海上救援中，两艘专业救助船同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船在的正北方向，事故渔船在救助船的北偏西30°方向上，在救助船的西南方向上，且事故渔船与救助船相距120海里．

（1）求收到求救讯息时事故渔船与救助船之间的距离；

（2）若救助船A，分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．

【答案】（1）收到求救讯息时事故渔船与救助船之间的距离为海里；（2）救助船先到达．

【解析】

【分析】

(1)如图，作于，在△PAC中先求出PC的长，继而在△PBC中求出BP的长即可；

(2)根据“时间=路程÷速度”分别求出救助船A和救助船B所需的时间，进行比较即可.

【详解】

(1)如图，作于，

则，

由题意得：海里，，，

∴海里，是等腰直角三角形，

∴海里，海里，

答：收到求救讯息时事故渔船与救助船之间的距离为海里；

(2)∵海里，海里，救助船分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，

∴救助船所用的时间为(小时)，

救助船所用的时间为(小时)，

∵，

∴救助船先到达．

19．（2020·浙江绍兴市·八年级期中）如图所示，A、B两块试验田相距200m，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠．

甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B；

乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑．

（1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）；

（2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明．

【答案】（1）△ABC是直角三角形，理由见解析；（2）（2）甲方案所修的水渠较短；理由见解析

【分析】

（1）由勾股定理的逆定理即可得出△ABC是直角三角形；
（2）由△ABC的面积求出CH，得出AC+BC＜CH+AH+BH，即可得出结果．

【详解】

解：（1）△ABC是直角三角形；

理由如下：

∴AC2+BC2＝1602+1202＝40000，AB2＝2002＝40000，

∴AC2+BC2＝AB2，

∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；

（2）甲方案所修的水渠较短；

理由如下：

∵△ABC是直角三角形，

∴△ABC的面积＝AB•CH＝AC•BC，

∴CH＝（m），

∵AC+BC＝160+120＝280（m），CH+AH+BH=CH+AB＝96+200＝296（m），

∴AC+BC＜CH+AH+BH，

∴甲方案所修的水渠较短．

20．（2020·江苏南京市·）某校九年级数学兴趣小组的同学进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测量某塔的高度．他们先在点用高1．5米的测角仪测得塔顶的仰角为30°，然后沿方向前行到达点处，在处测得塔顶的仰角为60°．请根据他们的测量数据求此塔的高．（结果精确，参考数据:，，)．

【答案】米

【分析】

首先证明，在中，利用勾股定理求出即可解决问题；

【详解】

解：由题意：，，，，

∵，，

，

在中，

∵，，

．

，

，

，

．