2021年中考数学：专题20 全等三角形的辅助线问题（专题测试原卷及解析卷）

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班级_________ 姓名_________ 学号_________ 分数_________
一、单选题(共10小题，每小题3分，共计30分)
1．如图，点是正方形内一点，，，，则的长为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
将绕着点A顺时针旋转90°得到，连接，则是等腰直角三角形，，然后根据勾股定理即可得到结论．
【详解】
将绕着点A顺时针旋转90°得到，连接，则是等腰直角三角形
∴
∴，
∴
∵
∴
∴
故选C．
2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的平分线AE交CD于E，连结BE，且BE也平分∠ABC，则以下的命题中正确的个数是（）
①BC+AD=AB ； ②Ｅ为CD中点
③∠AEB=90°； ④S△ABE=S四边形ABCD
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】
在AB上截取AF=AD．证明△AED≌△AEF，△BEC≌△BEF．可证4个结论都正确．
【详解】
解：在AB上截取AF=AD．
则△AED≌△AEF（SAS）．
∴∠AFE=∠D．
∵AD∥BC，∴∠D+∠C=180°．
∴∠C=∠BFE．
∴△BEC≌△BEF（AAS）．
∴①BC=BF，故AB=BC+AD；
②CE=EF=ED，即E是CD中点；
③∠AEB=∠AEF+∠BEF=∠DEF+∠CEF=×180°=90°；
④S△AEF=S△AED，S△BEF=S△BEC，
∴S△AEB=S四边形BCEF+S四边形EFAD=S四边形ABCD．
故选D．
3．如图，ΔABC≌ΔABC，点B在AB边上，线段AB，AC交于点D．若∠A＝40°，∠B＝60°，则∠ACB的度数为( )
A．100°B．120°C．135°D．140°
【答案】D
【分析】
利用全等三角形的性质即可解答.
【详解】
解：已知ΔABC≌ΔABC，
则∠AC B=∠ACB=180°-∠A-∠B=80°，
又因为CB=C B，且∠B=60°，
故三角形C BB是等边三角形，
∠BCB=60°，
故∠ACB=60°+80°=140°，
答案选D.
4．如图，已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为1，l2，l3之间的距离为3，则AC的长是（）
A．B．5C．D．
【答案】D
【分析】
过A作AD⊥l3于D，过C作CE⊥l3于E，得到AD=3，CE=4，根据AAS可证明≌，可求出BE=AD=3，根据勾股定理求出BC的长，进而求出AC的长即可．
【详解】
过A作AD⊥l3于D，过C作CE⊥l3于E，由题可得，AD=3，CE=4，
∵AD⊥l3，CE⊥l3，
∴∠ADB=∠ABC=∠CEB=90°，
∴∠DAB+∠ABD=90°，∠ABD+∠CBE=90°，
∴∠DAB=∠CBE，
又∵AB=BC，
∴≌，
∴AD=BE=3，
∵CE=4，
∴在中，，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴．
故选：D．
5．如图AB=7，AC=3，则中线AD的取值范围是： ( )
A．4【答案】C
【分析】
延长AD到E，使DE=AD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=AB，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE的取值范围，然后即可得解．
【详解】
解：如图，延长AD到E，使DE=AD，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△ABD和△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴CE=AB，
∵AB=7，AC=3，
∴7-3＜AE＜7+3，
即4＜AE＜10，
∴2＜AD＜5．
故选：C．
6．如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转90°后，得到，连接．以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（）
A．②④B．①④C．②③D．①③
【答案】D
【分析】
根据旋转变换的性质判断①；根据全等三角形的判定定理判断②；根据SAS定理判断③；根据全等三角形的性质、三角形的三边关系判断④．
【详解】
解：∵△ADC绕点A顺时针旋转90°得△AFB，
∴△ADC≌△AFB，①正确；
∵EA与DA不一定相等，
∴△ABE与△ACD不一定全等，②错误；
∵∠FAD＝90°，∠DAE＝45°，
∴∠FAE＝∠DAE＝45°，
在△AED和△AEF中，
∴△AED≌△AEF，③正确；
∵△ADC≌△AFB，
∴BF＝CD，
∵BE＋BF＞DE
∴BE＋DC＞DE，④错误；
故选：D．
7．如图，在四边形中，是的平分线，且．若，则四边形的周长为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
在线段AC上作AF=AB，证明△AEF≌△AEB可得∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB，再证明△CEF≌△CED可得CD=CF，即可求得四边形的周长．
【详解】
解：在线段AC上作AF=AB，
∵AE是的平分线，
∴∠CAE=∠BAE，
又∵AE=AE，
∴△AEF≌△AEB（SAS），
∴∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB，
∵AB∥CD，
∴∠D+∠B=180°，
∵∠AFE+∠CFE=180°，
∴∠D=∠CFE，
∵，
∴∠AEF+∠CEF=90°，∠AEB+∠CED=90°，
∴∠CEF=∠CED，
在△CEF和△CED中
∵,
∴△CEF≌△CED（AAS）
∴CE=CF，
∴四边形的周长=AC+AB+BD+CD=AC+AF+CF+BD=2AC+BD=，
故选：B．
8．如图所示的正方形中，点在边上，把绕点顺时针旋转得到，．旋转角的度数是（）
A．110°B．90°C．70°D．20°
【答案】B
【分析】
根据正方形的性质得到AB=AD，∠BAD=，由旋转的性质推出≌，求出∠FAE=∠BAD=，即可得到答案．
【详解】
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=，
由旋转得≌，
∴∠FAB=∠EAD，
∴∠FAB+∠∠BAE=∠EAD+∠BAE，
∴∠FAE=∠BAD=，
∴旋转角的度数是，
故选：B．
9．已知△ABC，AB=4，AC=2，BC边上的中线AD长度可能是（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】
画出示意图，根据倍长中线证明全等，再结合三角形的三边关系分析即可．
【详解】
如图所示，AD为BC边上的中线，BD=CD，
延长AD至E，使得AD=DE，连接CE，则∠ADB=∠CDE，
∴，
∴AB=CE=2，
则在△ACE中，，即：，
∴，B选项符合要求，
故选：B．
10．如图，已知：，，，，则（）
A．B．C．或D．
【答案】B
【分析】
连接，可证≌，根据全等三角形对应角相等可以得到，，代入角度即可求出和的度数，最后利用三角形内角和定理即可求解．
【详解】
连接，如图，
在与中
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
二、填空题(共5小题，每小题4分，共计20分)
11．在△ABC中，AB=6，AC=4，AD是边BC的中线，则中线AD的长度取值范围是_________．
【答案】1＜AD＜5
【分析】
延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，证△ADC≌△EDB，推出EB＝AC，根据三角形的三边关系定理求出即可．
【详解】
解：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ADC和△EDB中，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴EB＝AC＝4，
∵AB＝6，
∴2＜AE＜10，
∴1＜AD＜5．
故答案为：1＜AD＜5．
12．如图，在四边形中，，，，若，，则点到的距离是______．
【答案】4
【分析】
作DE⊥BC交BC延长线于E,作DF⊥AB，垂足为F，证明四边形BFDE是矩形，得到DF=BE，证明△ABC≌CED，得到AB=CE=3，问题得解．
【详解】
解：作DE⊥BC交BC延长线于E,作DF⊥AB，垂足为F，
∵,
∴四边形BFDE是矩形，
∴DF=BE
∵，，DE⊥BE,
∴∠B=∠E=90°，
∠BAC+∠ACB=∠DCE+∠ACB=90°，
∴∠BAC=∠DCE，
又∵，
∴△ABC≌CED，
∴AB=CE=3，
∴DF=BE=BC+EC=4．
故答案为：4
13．如图，P是等边三角形ABC内一点，∠APB，∠BPC，∠CPA的大小之比为5：6：7，则以PA，PB，PC为边的三角形三内角大小之比（从小到大）是_________________．
【答案】2：3：4．
【分析】
将△APB绕A点逆时针旋转60°得△AP′C，显然有△AP′C≌△APB，连PP′，证△AP′P是等边三角形，PP′=AP，所以△P′CP的三边长分别为PA，PB，PC；由∠APB：∠BPC：∠CPA=5：6：7，设∠APB=5xº，∠BPC=6xº，∠CPA=7xº，5x+6x+7x=360，x=20，得到∠APB=100°，∠BPC=120°，∠CPA=140°，这样可分别求出∠PP′C=40°，∠P′PC=80°，∠PCP′=60°即可．
【详解】
如图，将△APB绕A点逆时针旋转60°得△AP′C，显然有△AP′C≌△APB，连PP′，
∵AP′=AP，∠P′AP=60°，
∴△AP′P是等边三角形，
∴PP′=AP，
∵P′C=PB，
∴△P′CP的三边长分别为PA，PB，PC，
∵∠APB+∠BPC+∠CPA=360°，∠APB：∠BPC：∠CPA=5：6：7，
设∠APB=5xº，∠BPC=6xº，∠CPA=7xº，
∴5x+6x+7x=360，
∴18x=360，
∴x=20，
∴∠APB=100°，∠BPC=120°，∠CPA=140°，
∴∠PP′C=∠AP′C-∠AP′P=∠APB-∠AP′P=100°-60°=40°，
∠P′PC=∠APC-∠APP′=140°-60°=80°，
∠PCP′=180°-（40°+80°）=60°，
∴∠PP′C：∠PCP′：∠P′PC=40°：60°:80°=2：3：4．
故答案为：2：3：4．
14．已知，，于点，于点，下面四个结论：①；②；③；④.其中正确的是___ (填序号)
【答案】①②④
【分析】
根据三角形内角和定理即可判断①；由同角的余角相等，得到∠ACD=∠CBE，根据AAS判断②；由CE=AD，即可判断③；由CE=AD，BE=CD，即可判断④；然后得到答案.
【详解】
解：如图，于点，于点，
∴，
∵，
∴，故①正确；
∵,
∴，
∴，
∵，，
∴，故②正确；
∴CE=AD，BE=CD，故③错误；
∵，
∴，故④正确；
∴正确的选项有：①②④；
故答案为：①②④.
15．如图，在正方形中，为的中点，、分别为、边上的点，若，，，则的长为__________．
【答案】6
【分析】
延长GE交CB的延长线于M．只要证明△AEG≌△BEM，推出AG=CM=2，再根据线段的垂直平分线的性质，即可解决问题．
【详解】
如图，延长交的延长线于M．
∵四边形是正方形，
∴，
∴．
在和中，
∴，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案为：6．
三、解答题(共5小题，每小题10分，共计50分)
16．（1）求证：等边三角形内的任意一点到两腰的距离之和等于定长.（提示：添加辅助线证明）
（2）如图所示，在三角形ABC中，点D是三角形内一点，连接DA、DB、DC，若，求证：AD平分.
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
【分析】
（1）已知点P是等边三角形ABC内的任意一点，过点P分别作三边的垂线，分别交三边于点D、点E、点F.求证为定长,即可完成证明；
（2）（面积法）过点A作交BD延长线于点E，再过点A作交CD延长线于点F.因为，所以，因此，得到.进而，得到，因此，即AD平分.
【详解】
（1）已知：等边如图三角形ABC，P为三角形ABC内任意一点，PD⊥AB, PF⊥AC, PE⊥BC,
求证：PD+PE+PF为定值.
证明：如图：过点A作，垂足为点G，分别连接AP、BP、CP.
∵，
∴
又∵BC=AB=AC
∴AG=PE+PF+PD,即定长.
∴等边三角形内的任意一点到两腰的距离之和等于定长.
（2）
过点A作交BD延长线于点E，再过点A作交CD延长线于点F.
∵，
∴，
又∵AD=AD
∴，
∴
∴，
∴，
∴，即AD平分.
17．（1）如图①，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试判断，，之间的等量关系．
解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点，易证得到，从而把，，转化在一个三角形中即可判断．
，，之间的等量关系________；
（2）问题探究：如图②，在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）；（2），理由详见解析.
【分析】
（1）先根据角平分线的定义和平行线的性质证得，再根据AAS证得≌，于是，进一步即得结论；
（2）延长交的延长线于点，如图②，先根据AAS证明≌，可得，再根据角平分线的定义和平行线的性质证得，进而得出结论.
【详解】
解：（1）.
理由如下：如图①，∵是的平分线，∴
∵，∴，∴，∴.
∵点是的中点，∴，
又∵，
∴≌（AAS），∴.
∴.
故答案为：.
（2）.
理由如下：如图②，延长交的延长线于点.
∵，∴，
又∵，，
∴≌（AAS），∴，
∵是的平分线，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴.
18．如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE,
（1）求证：∠AEB=∠ADC；
（2）连接DE，若∠ADC=105°，求∠BED的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）∠BED=45°.
【解析】
试题分析：（1）由等边三角形的性质知∠BAC=60°，AB=AC，由旋转的性质知∠DAE=60°，AE=AD，从而得∠EAB=∠DAC，再证△EAB≌△DAC可得答案；
（2）由∠DAE=60°，AE=AD知△EAD为等边三角形，即∠AED=60°，继而由∠AEB=∠ADC=105°可得．
试题解析：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC．
∵线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，
∴∠DAE=60°，AE=AD．
∴∠BAD+∠EAB=∠BAD+∠DAC．
∴∠EAB=∠DAC．
在△EAB和△DAC中，
，
∴△EAB≌△DAC．
∴∠AEB=∠ADC．
（2）如图，
∵∠DAE=60°，AE=AD，
∴△EAD为等边三角形．
∴∠AED=60°，
又∵∠AEB=∠ADC=105°．
∴∠BED=45°．
19．（问题提出）
学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．
（初步思考）
我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
（深入探究）
第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．
（1）如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．
第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．
（2）如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．
第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．
（3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）
（4）∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若，则△ABC≌△DEF．
【答案】（1）HL；（2）证明见解析；（3）作图见解析；（4）∠B≥∠A．
【详解】
（1）解：HL；
（2）证明：如图，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H，
∵∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，
∴180°-∠B=180°-∠E，
即∠CBG=∠FEH，
在△CBG和△FEH中，
∴△CBG≌△FEH（AAS），
∴CG=FH，
在Rt△ACG和Rt△DFH中，
AC=DF，CG=FH
∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL），
∴∠A=∠D，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（AAS）；
（3）解：如图，△DEF和△ABC不全等；
（4）解：若∠B≥∠A，则△ABC≌△DEF．
20．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD．求证：EF=BE+FD．
【答案】证明见解析．
【分析】
延长EB到G，使BG=DF，连接AG．先说明△ABG≌△ADF，然后利用全等三角形的性质和已知条件证得△AEG≌△AEF，最后再运用全等三角形的性质和线段的和差即可解答．
【详解】
延长EB到G，使BG=DF，连接AG．
∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD，
∴△ABG≌△ADF．
∴AG=AF，∠1=∠2．
∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD．
∴∠GAE=∠EAF．
又∵AE=AE，
∴△AEG≌△AEF．
∴EG=EF．
∵EG=BE+BG．
∴EF=BE+FD