2021年中考数学：专题14 反比例函数（知识点串讲）

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知识点一 反比例函数的基础
反比例函数的概念：一般地，形如y=kx（k为常数，k≠）的函数称为反比例函数。
表现形式：y=kx还可以写成y=kx-1 和 xy= k 的形式
【注意】反比例函数y=kx的自变量x≠0，故函数图象与x轴、y轴无交点。
反比例函数解析式的特征:
1.等号左边是函数y，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k（也叫做比例系数k），分母中含有自变量x，且指数为1.
2.比例系数k≠0
3.自变量x的取值为一切非零实数。
4.函数y的取值是一切非零实数。
待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤（考点）：
设反比例函数的解析式为y=kx（k为常数，k≠0）
把已知的一对x，y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程。
解方程求出k值
将k值代入所设解析式中。
知识点二 反比例函数的图像和性质（基础）
图像的画法：描点法
1.列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数）
2.描点（由小到大的顺序）
3.连线（从左到右光滑的曲线）
图像的特征：
1.函数的图像是双曲线．
2.图像的对称性：
图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．
图象关于直线y = x或y= -x对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．
3.k的取值与函数图象弧度之间的关系：
|k|越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．|k|越小，图象的弯曲度越大．
反比例函数的性质：
【注意】双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论
知识点三 k值的意义（难点）
1）设点P（a，b）是双曲线上y=kx任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是|k|（三角形PAO和三角形PBO的面积都是k2）．
2）由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为2|k|．
知识点四 用反比例函数解决实际问题
解题步骤：
1.根据题意找等量关系。
2.列出方程，并注明自变量的取值范围。
3.解方程
4.写方程
【考查题型】
考查题型一 反比例的定义
【解题思路】熟练掌握反比例函数的性质，理解函数图象上的点与解析式的关系是解答的关键．
典例1．（2020·湖南长沙市·中考真题）2019年10月，《长沙晚报》对外发布长沙高铁两站设计方案，该方案以三湘四水，杜鹃花开 ，塑造出杜鹃花开的美丽姿态，该高铁站建设初期需要运送大量的土石方，某运输公司承担了运送总量为土石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度（单位：天）与完成运送任务所需的时间t（单位：天）之间的函数关系式是（ ）
A．B．C．D．
变式1-1．（2020·湖南衡阳市·中考真题）反比例函数经过点，则下列说法错误的是（ ）
A．B．函数图象分布在第一、三象限
C．当时，随的增大而增大D．当时，随的增大而减小
变式1-2．（2020·四川中考真题）已知函数，当函数值为3时，自变量x的值为（ ）
A．﹣2B．﹣C．﹣2或﹣D．﹣2或﹣
变式1-3．（2020·海南中考真题）下列各点中，在反比例函数图象上的是
A．（－1，8）B．（－2，4）C．（1，7）D．（2，4）
考查题型二 考查反比例函数图象相关知识
【解题思路】掌握反比例函数的图像与性质是解题的关键．
典例2．（2020·山东威海市·中考真题）一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
变式2-1．（2020·山西中考真题）已知点，，都在反比例函数的图像上，且，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
变式2-2．（2020·青海中考真题）若，则正比例函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（ ）
A．B．C．D．
考查题型三 反比例函数的性质
典例3．（2020·天津中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
变式3-1．（2020·浙江金华市·中考真题）已知点(－2，a)，(2，b)，(3，c)在函数的图象上，则下列判断正确的是（ ）
A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．a＜c＜bD．c＜b＜a
变式3-2．（2020·黑龙江大庆市·中考真题）已知正比例函数和反比例函数，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合的是（ ）
A．①②B．①④C．②③D．③④
变式3-3．（2020·辽宁营口市·中考真题）反比例函数y＝（x＜0）的图象位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
变式3-5．（2020·湖南湘西土家族苗族自治州·中考真题）已知正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，下列说法正确的是（ ）
A．正比例函数的解析式是
B．两个函数图象的另一交点坐标为
C．正比例函数与反比例函数都随x的增大而增大
D．当或时，
考查题型四 求反比例函数解析式
【解题思路】求反比例函数解析式只需要知道其图像上一点的坐标即可．
典例4．（2020·江苏无锡市·中考真题）反比例函数与一次函数的图形有一个交点，则的值为（ ）
A．1B．2C．D．
变式4-1．（2020·湖北孝感市·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．则这个反比例函数的解析式为（ ）
A．B．C．D．
变式4-2．（2020·上海中考真题）已知反比例函数的图象经过点(2，﹣4)，那么这个反比例函数的解析式是( )
A．y=B．y=﹣C．y=D．y=﹣
考查题型五 反比例函数比例系数k的几何意义
【解题思路】一般的，从反比例函数（k为常数，k≠0）图象上任一点P，向x轴和y轴作垂线你，以点P及点P的两个垂足和坐标原点为顶点的矩形的面积等于常数，以点P及点P的一个垂足和坐标原点为顶点的三角形的面积等于 ．也考查了矩形的性质．
典例5．（2020·黑龙江牡丹江市·朝鲜族学校中考真题）如图，A，B是双曲线上的两个点，过点A作AC⊥x轴，交OB于点D，垂足为C，若△ODC的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（ ）
A．B．2C．4D．8
变式5-1．（2020·贵州黔东南苗族侗族自治州·中考真题）如图，点A是反比例函数y（x＞0）上的一点，过点A作AC⊥y轴，垂足为点C，AC交反比例函数y＝的图象于点B，点P是x轴上的动点，则△PAB的面积为（ ）
A．2B．4C．6D．8
变式5-2．（2020·内蒙古赤峰市·中考真题）如图，点B在反比例函数（）的图象上，点C在反比例函数（）的图象上，且轴，，垂足为点C，交y轴于点A，则的面积为 （ ）
A．3B．4C．5D．6
变式5-3．（2020·四川内江市·中考真题）如图，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴，垂足为点C，D为AC的中点，若的面积为1，则k的值为（ ）
A．B．C．3D．4
变式5-4．（2020·山东滨州市·中考真题）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB//x轴，点C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为（ ）
A．4B．6C．8D．12
考查题型六 反比例函数与一次函数综合
【解题思路】考查二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标等确定出a、b、c的情况是解题的关键．
典例6．（2020·新疆中考真题）二次函数的图像如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ）
A．B．C．D．
变式6-1．（2020·江苏徐州市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，函数与的图像交于点，则代数式的值为（ ）
A．B．C．D．
变式6-2．（2020·山东潍坊市·中考真题）如图，函数与的图象相交于点两点，则不等式的解集为（ ）
B．或
C．D．或
变式6-3．（2020·宁夏中考真题）如图，函数与函数的图象相交于点．若，则x的取值范围是（ ）
A．或B．或
C．或D．或
考查题型七 实际问题与反比例函数
典例7．（2020·云南昆明市·中考真题）为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，她完成3间办公室和2间教室的药物喷洒要19min；完成2间办公室和1间教室的药物喷洒要11min．
（1）校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要多少时间？
（2）消毒药物在一间教室内空气中的浓度y（单位：mg/m3）与时间x（单位：min）的函数关系如图所示：校医进行药物喷洒时y与x的函数关系式为y＝2x，药物喷洒完成后y与x成反比例函数关系，两个函数图象的交点为A（m，n）．当教室空气中的药物浓度不高于1mg/m3时，对人体健康无危害，校医依次对一班至十一班教室（共11间）进行药物喷洒消毒，当她把最后一间教室药物喷洒完成后，一班学生能否进入教室？请通过计算说明．
变式7-1．（2020·广西玉林市·中考真题）南宁至玉林高速铁路已于去年开工建设，玉林辆隧道是全线控制性隧道，首期打通共有土石方总量600千立方米，总需要时间y天，且完成首期工程限定时间不超过600天．设每天打通土石方x千立方米．
（1）求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）由于工程进度的需要，实际平均每天挖掘土石方比原计划多0.2千立方米，工期比原计划提前了100天完成，求实际挖掘了多少天才能完成首期工程？
变式7-2．（2020·浙江台州市·中考真题）小明同学训练某种运算技能，每次训练完成相同数量的题目，各次训练题目难度相当．当训练次数不超过15次时，完成一次训练所需要的时间y（单位：秒）与训练次数x（单位：次）之间满足如图所示的反比例函数关系．完成第3次训练所需时间为400秒．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当x的值为6，8，10时，对应的函数值分别为y1，y2，y3，比较（y1-y2）与（y2-y3）的大小： y1-y2 y2-y3．
变式7-3．（2020·山东临沂市·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系．当时，．
（1）写出I关于R的函数解析式；
（2）完成下表，并在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象；
（3）如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过．那么用电器可变电阻应控制在什么范围内？
k的取值
图像所在象限
函数的增减性
k>0
一、三象限
在每个象限内，y值随x的增大而减小
k>0
二、四象限
在每个象限内，y值随x的增大而增大
…
…
…
…