2021年中考数学：专题13 二次函数（知识点串讲）

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专题13 二次函数【思维导图】【知识要点】知识点一 二次函数的概念概念：一般地，形如（a，b，c是常数，）的函数，叫做二次函数。注意：二次项系数，而b，c可以为零． 二次函数的结构特征：⑴       等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵       是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．知识点2：二次函数的图象和性质（重点）二次函数的基本表现形式：①；②；③；④；⑤.的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．第一种：二次函数的性质（最基础）       第二种：二次函数的性质的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．       第三种：二次函数的性质的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 第四种：二次函数的性质的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．二次函数用配方法可化成：的形式，其中.二次函数图象的平移平移步骤：         将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；         保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：平移规律在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．【概括】左加右减，上加下减抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.求抛物线的顶点、对称轴的方法（难点）         公式法：，∴顶点是，对称轴是直线.         配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线.【抛物线的性质】由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.抛物线中，与函数图像的关系（灵活掌握）         二次项系数二次函数中，作为二次项系数，显然．⑴ 当时，抛物线开口向上，越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；⑶       当时，抛物线开口向下，越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．【总结起来】决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．         一次项系数在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．⑴       在的前提下，当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧（a、b同号）；当时，，即抛物线的对称轴就是轴；当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧（a、b异号）．⑵       在的前提下，结论刚好与上述相反，即当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧（a、b异号）；当时，，即抛物线的对称轴就是轴；当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧（a、b同号）．【总结起来】在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．         常数项⑴ 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；⑵ 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；⑶       当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负．【总结起来】决定了抛物线与轴交点的位置．总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．知识点三 抛物线与轴的交点二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：      ①有两个交点抛物线与轴相交；      ②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；      ③没有交点抛物线与轴相离.知识点四 根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路（重点）         三点式（带入）1，已知抛物线y=ax2+bx+c 经过A（，0），B（，0），C（0，-3）三点，求抛物线的解析式。2，已知抛物线y=a(x-1)２+4 ， 经过点A（2，3），求抛物线的解析式。         顶点式（顶点坐标（-，））1，已知抛物线y=x2-2ax+a2+b 顶点为A（2，1），求抛物线的解析式。2，已知抛物线 y=4(x+a)2-2b  的顶点为（3，1），求抛物线的解析式。         交点式（带入）1，已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。2，已知抛物线线与 x 轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线y=a(x-2a)(x-b)的解析式。         定点式1，    在直角坐标系中，不论a 取何值，抛物线经过x 轴上一定点Q，直线经过点Q,求抛物线的解析式。2.抛物线y= x2 +(2m-2)x-4m与x轴的交点一定经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。3，抛物线y=ax2+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A，求抛物线的解析式。【考查题型】考查题型一 二次函数的图像与性质【解题思路】二次函数的图像和性质，涉及到二次函数的基本知识点, 解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．典例1．（2020·四川南充市·中考真题）如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1），（3，1），（3，3），（1，3），若抛物线y=ax2的图象与正方形有公共顶点，则实数a的取值范围是（   ）A． B． C． D．变式1-1．（2020·辽宁阜新市·中考真题）已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（    ）A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标是C．当时，y随x的增大而增大 D．图象与x轴有唯一交点变式1-2．（2020·内蒙古呼和浩特市·中考真题）关于二次函数，下列说法错误的是（    ）A．若将图象向上平移10个单位，再向左平移2个单位后过点，则B．当时，y有最小值C．对应的函数值比最小值大7D．当时，图象与x轴有两个不同的交点变式1-3．（2020·山东德州市·中考真题）二次函数的部分图象如图所示，则下列选项错误的是（ ）A．若，是图象上的两点，则B．C．方程有两个不相等的实数根D．当时，y随x的增大而减小变式1-4．（2020·四川成都市·中考真题）关于二次函数，下列说法正确的是（    ）A．图象的对称轴在轴的右侧B．图象与轴的交点坐标为C．图象与轴的交点坐标为和D．的最小值为－9变式1-5．（2020·四川阿坝藏族羌族自治州·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于，B两点，下列说法错误的是（    ）A． B．图象的对称轴为直线C．点B的坐标为 D．当时，y随x的增大而增大变式1-5．（2020·黑龙江牡丹江市·朝鲜族学校中考真题）将抛物线y=(x－1)2－5关于y轴对称，再向右平移3个单位长度后顶点的坐标是_____．变式1-6．（2020·江苏南京市·中考真题）下列关于二次函数（为常数）的结论，①该函数的图象与函数的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点；③当时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数的图像上，其中所有正确的结论序号是__________．变式1-7．（2020·黑龙江哈尔滨市·中考真题）抛物线的顶点坐标为______________________________．考查题型二 二次函数的图象与系数之间的关系【解题思路】考查了二次函数的图象与性质、二次函数与其系数间的关系等知识，属于常考题型，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．典例2．（2020·四川凉山彝族自治州·）二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④（m为实数）．其中正确结论的个数是（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个变式2-1．（2020·四川自贡市·中考真题）函数与的图象如图所示，则的大致图象为    （  ）A． B． C．．变式2-2．（2020·黑龙江齐齐哈尔市·中考真题）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x＝1，结合图象给出下列结论：①ac＜0；②4a﹣2b+c＞0；③当x＞2时，y随x的增大而增大；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．其中正确的结论有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个变式2-3．（2020·湖南中考真题）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（　　）A．4 B．3 C．2 D．1变式2-4．（2020·湖北鄂州市·中考真题）如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点．下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论个数为（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个变式2-5．（2020·内蒙古呼伦贝尔市·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（    ）A． B． C．D．变式2-6．（2020·山东威海市·中考真题）如图，抛物线交轴于点，，交轴于点．若点坐标为，对称轴为直线，则下列结论错误的是（    ）A．二次函数的最大值为B．C．D．变式2-7．（2020·四川遂宁市·中考真题）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，下列结论不正确的是（　　）A．b2＞4ac B．abc＞0C．a﹣c＜0 D．am2+bm≥a﹣b（m为任意实数）考查题型三 二次函数的对称性【解题思路】考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的对称性是解答此题的关键．典例3．（2020·辽宁大连市·中考真题）抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴是直线，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（    ）A． B． C． D．变式3-1．（2020·内蒙古中考真题）在平面直角坐标系中，已知和是抛物线上的两点，将抛物线的图象向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为_____．考查题型四 求二次函数的最值【解题思路】考查二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．典例4．（2020·江苏镇江市中考真题）点P(m，n)在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上．则m﹣n的最大值等于（　　）A． B．4 C．﹣ D．﹣变式4-1．（2020·四川中考真题）若实数x，y满足x+y2＝3，设s＝x2+8y2，则s的取值范围是_____．变式4-2．（2020·西藏中考真题）当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，则m＝_____．考查题型五 用待定系数法求二次函数解析式【解题思路】考查了函数的表达式，解题的关键是掌握函数的三种表达方式：列表法、解析式法、图像法，本题就是将列表法转变为解析式法．典例5．（2020·山东威海市·中考真题）下表中与的数据满足我们初中学过的某种函数关系，其函数表达式为__________．……………………变式5-1．（2020·山东泰安市·中考真题）已知二次函数（是常数，）的与的部分对应值如下表：02606下列结论：①；②当时，函数最小值为；③若点，点在二次函数图象上，则；④方程有两个不相等的实数根．其中，正确结论的序号是__________________．（把所有正确结论的序号都填上）考查题型六 二次函数平移问题【解题思路】考查了二次函数图象的平移，掌握“左加右减，上加下减”的法则是解题关键．典例6．（2020·广东中考真题）把函数的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（    ）A． B．C． D．变式6-1．（2020·江苏宿迁市·中考真题）将二次函数y=(x﹣1)2+2的图象向上平移3个单位长度，得到的拋物线相应的函数表达式为(　　)A．y=(x+2)2﹣2 B．y=(x﹣4)2+2C．y=(x﹣1)2﹣1 D．y=(x﹣1)2+5变式6-2．（2020·黑龙江绥化市·中考真题）将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（    ）A． B． C． D．考查题型七 利用二次函数解决实际问题【解题思路】考查二次函数的实际应用，关键是根据题意得到线段的等量关系，然后列出函数关系式尝试求解即可．典例7．（2020·山东日照市·中考真题）如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地ABCD，为美化环境，用总长为100m的篱笆围成四块矩形花圃（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）．（1）若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE＝3BE；（2）在（1）的条件下，设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．变式7-1．（2020·江苏泰州市·中考真题）如图，在中，，，，为边上的动点（与、不重合），，交于点，连接，设，的面积为．（1）用含的代数式表示的长；（2）求与的函数表达式，并求当随增大而减小时的取值范围．变式7-2（2020·山东青岛市·中考真题）某公司生产型活动板房成本是每个425元．图①表示型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长，宽，抛物线的最高点到的距离为．（1）按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用表示，求该抛物线的函数表达式；（2）现将型活动板房改造为型活动板房．如图②，在抛物线与之间的区域内加装一扇长方形窗户，点，在上，点，在抛物线上，窗户的成本为50元．已知，求每个型活动板房的成本是多少？（每个型活动板房的成本＝每个型活动板房的成本+一扇窗户的成本）（3）根据市场调查，以单价650元销售（2）中的型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价（元）定为多少时，每月销售型活动板房所获利润（元）最大？最大利润是多少？变式7-3．（2020·辽宁葫芦岛市·中考真题）小红经营的网店以销售文具为主，其中一款笔记本进价为每本10元，该网店在试销售期间发现，每周销售数量（本）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，三对对应值如下表：销售单价（元）121416每周的销售量（本）500400300（1）求与之间的函数关系式；（2）通过与其他网店对比，小红将这款笔记本的单价定为元（，且为整数），设每周销售该款笔记本所获利润为元，当销售单价定为多少元时每周所获利润最大，最大利润是多少元？变式7-4．（2020·浙江台州市·中考真题）用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）． 科学原理：如图2，始终盛满水的圆体水桶水面离地面的高度为H（单位：m），如果在离水面竖直距离为h（单校：cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s（单位：cm）与h的关系为s2=4h（H—h）．应用思考：现用高度为20cm的圆柱体望料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距高h cm处开一个小孔． （1）写出s2与h的关系式；并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少?（2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式；（3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm，求整高的高度及小孔离水面的竖直距离．