2021年中考数学：专题12 一元二次方程（知识点串讲）

这是一份2021年中考数学：专题12 一元二次方程（知识点串讲），文件包含专题12一元二次方程知识点串讲原卷中考数学复习doc、专题12一元二次方程知识点串讲解析卷中考数学复习doc等2份教案配套教学资源，其中教案共24页， 欢迎下载使用。

专题12 一元二次方程
【思维导图】

【知识要点】
知识点一 一元二次方程定义及一般形式
概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
一般形式： 。其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
【注意】
1）只含有一个未知数；
2）所含未知数的最高次数是2；
3）整式方程。
知识点二：解一元二次方程（重点）
方法一：配方法（最基础的解法）
配方的过程需注意：若方程二次项系数为1时，“方程两边加一次项系数一半的平方”
用配方法解一元二次方程的一般步骤
Ø 移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；
Ø 二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；
Ø 配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为的形式；
【注意】：1）当时，方程无解
2）若方程二次项系数为1时，“方程两边加一次项系数一半的平方”
Ø 求解：判断右边等式符号，开平方并求解。
方法二：直接开平方法（最基础的解法）
概念：形如的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得或者，最后通过解两个一元一次方程得到原方程的解。
【注意】
1)若b0，方程有两个实数根。
（若b0，方程有两个不相等的实数根；若b0，方程有两个相等的实数根）
2)若b<0，方程无解。
方法三：公式法（常用解法）
一元二次方程 根的判别式：
n 方程有两个不相等的实根:（）的图像与轴有两个交点
n 方程有两个相等的实根的图像与轴有一个交点
n 方程无实根的图像与轴没有交点
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
Ø 把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算);
Ø 求出b2-4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解;
Ø 如果b2-4ac≥0, 将a、b、c的值代入求根公式：
Ø 最后求出x1，x2
方法四：因式分解法（仔细观察方程，灵活使用）
用因式分解一元二次方程的一般步骤：
Ø 将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0；
Ø 将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；
Ø 令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
Ø 求解
归纳：右化零，左分解，两因式，各求解
方法五：韦达定理（根与系数关系）
我们将一元二次方程化成一般式ax2+bx+c＝0（a）之后，设它的两个根是和，则和与方程的系数a，b，c之间有如下关系：
+＝； ＝
知识点4： 一元二次方程的应用
列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似：
Ø “审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；
Ø “设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；
Ø “列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。
Ø “解”就是求出说列方程的解；
Ø “答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程。
注意：一元二次方程考点：定义的考察；解方程及一元二次方程的应用。

【考查题型】

考查题型一 根据一元二次方程的定义求参数
【解题思路】理解一元二次方程的概念
典例1．（2019·吉林中考模拟）若关于x的方程 是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A．. B．. C． D．.
【答案】A
【详解】
由题意得：m﹣1≠0，
解得：m≠1，
故选：A．
变式1-1．（2019·四川中考模拟）若是关于x的一元二次方程，则a的值是（ ）
A．0 B．2 C．-2 D．±2
【答案】C
【详解】
由题意得： ，解得：a=-2.故选C.
变式1-2．（2017·重庆中考模拟）若方程是一元二次方程，则m的值为（ ）
A．0 B．±1 C．1 D．–1
【答案】D
【详解】
因为方程是一元二次方程,
所以,,
解得且
所以,
故选D.
变式1-3．（2019·汕头市潮南区阳光实验学校中考模拟）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，则m等于（　　）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
【答案】B
【详解】
根据一元二次方程的相关概念可知，m-10，，解得：m=2.
故选：B.
考查题型二 解一元二次方程
【解题思路】解一元二次方程，能够根据方程特点选取不同的解法是解题关键.
典例2．（2019·安徽中考真题）解方程：
【答案】x=-1或x=3
【提示】
本题利用直接开平方法即可求出答案.
【详解】
解：x-1=±2，
x-1= 2或x-1=-2，
解得：x=-1或x=3.
变式2-2．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）用适当的方法解下列方程．
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【提示】
（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【详解】
解：（1）移项得：x2=9，
开方得：x=±3，
即方程的解是：x1=3，x2=-3；
（2）∵x2-2x-3=0，
∴（x-3）（x+1）=0，
则x-3=0或x+1=0，
解得；
变式2-3．（2020·浙江杭州市模拟）解方程：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1），；（2），；（3）．
【提示】
（1）利用因式分解法解方程即可，
（2）利用直接开平方法解方程即可，
（3）利用求根公式解方程即可．
【详解】
（1），
，
，
或，
，；
（2），
，
或，
，；
（3），
，
，
，
．
变式2-4．（2020·浙江杭州市模拟）解方程：
（1）
（2）．
【答案】（1），；（2）．
【提示】
（1）两边开方，即可得到两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）先把3写成，再方程转化为，最后运用直接开平方法求解即可．
【详解】
解：（1）

∴，，
解得：，；
（2）


解得，．
变式2-5．（2020·民勤县一模）解方程：
（1）x2﹣x=0
（2）x2﹣4x﹣7=0
（3）（x-3）2+2x（x-3）＝0
（4）
【答案】(1)x1=0，x2=1；（2）；(3)x1=3，x2=1；(4)，
【提示】
(1)直接提公因式x后再使用因式分解法即可求解；
(2)直接使用公式法求解即可；
(3)提公因式(x-3)后再使用因式分解即可求解；
(4)直接使用开平方法求解即可．
【详解】
解：(1)直接提公因式x后得到：x(x-1)=0，
解得：x1=0，x2=1，
故答案为：x1=0，x2=1；
(2)直接使用公式法：a=1，b=-4，c=-7，
故 ，
∴，
故答案为：；
(3)直接提公因式(x-3)后得到：(x-3)(x-3+2x)=0，
即：(x-3)(3x-3)=0，
解得x1=3，x2=1；
故答案为：x1=3，x2=1；
(4)方程两边直接开平方得：或，
解得：，，
故答案为：，．
变式2-6．（2020·上海大学附属学校九年级三模）解方程：
【答案】，
【提示】
先设：得到解出y的值，再求解x的值并把结果进行检验即可得到答案；
【详解】
解：设： ，
原方程化为：，
运用十字相乘法得到：，
解得，
当时，解得，
当时，解得，
经检验，和原方程的分母均不为0，
故原方程的解为：或；
变式2-7．（2019·葫芦岛市模拟）解方程：
【答案】x＝－1.
【提示】
设，用完全平方公式将方程化为关于y的一元二次方程，求出方程的解得到y的值，即为的值，进而求出x的值，将x的值代入原方程进行检验，即可得到原分式方程的解．
【详解】
解：设，则，
原方程化成，
解这个方程，得，，
当y＝1时，=1，即．由知，此方程无实根，
当y＝－2时，，即，
解得
经检验，x＝－1是原分式方程的解.
原方程的解为x＝－1.
考查题型三 根据根的判别式判断一元二次方程根的情况
【解题思路】考查一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．
典例3．（2020·新疆中考真题）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（   ）
A． B．x2+2x+4=0 C．x2-x+2=0 D．x2-2x=0
【答案】D
【提示】逐一提示四个选项中方程的根的判别式的符号，由此即可得出结论．
【详解】A.此方程判别式 ，方程有两个相等的实数根，不符合题意;
B.此方程判别式 方程没有实数根，不符合题意;
C.此方程判别式 ，方程没有实数根，不符合题意;
D .此方程判别式 ，方程有两个不相等的实数根，符合题意;
故答案为： D.
变式3-1．（2020·辽宁沈阳市·中考真题）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【答案】B
【提示】求出其根的判别式，然后根据根的判别式的正负情况即可作出判断．
【详解】∵，，，
∴，
∴方程有两个相等的实数根．
故选：B．
变式3-2．（2020·广东广州市·中考真题）直线不经过第二象限，则关于的方程实数解的个数是（ ）.
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
【答案】D
【提示】根据直线不经过第二象限，得到，再分两种情况判断方程的解的情况.
【详解】∵直线不经过第二象限，
∴，
∵方程，
当a=0时，方程为一元一次方程，故有一个解，
当a<0时，方程为一元二次方程，
∵∆=，
∴4-4a>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：D.
变式3-3．（2020·江苏南京市·中考真题）关于x的方程（为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根，一个负根 D．无实数根
【答案】C
【提示】先将方程整理为一般形式，再根据根的判别式得出方程由两个不等的实数根，然后又根与系数的关系判断根的正负即可．
【详解】解：，
整理得：，
∴，
∴方程有两个不等的实数根，
设方程两个根为、，
∵，
∴两个异号，而且负根的绝对值大．
故选：C．
考查题型四 根据根的判别式求参数
【解题思路】一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
典例4．（2020·贵州铜仁市·中考真题）已知m、n、4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程﹣6+k+2=0的两个根，则k的值等于(　　)
A．7 B．7或6 C．6或﹣7 D．6
【答案】B
【提示】当m=4或n=4时，即x=4，代入方程即可得到结论，当m=n时，即△=(﹣6)2﹣4×(k+2)=0，解方程即可得到结论．
【详解】
当m=4或n=4时，即x=4，
∴方程为42﹣6×4+k+2=0，
解得：k=6；
当m=n时，﹣6+k+2=0
∵，，，
∴，
解得：，
综上所述，k的值等于6或7，
故选：B．
变式4-1．（2020·四川雅安市·中考真题）如果关于的一元二次方程有两个实数根，那么的取值范围是（ ）
A． B．且 C．且 D．
【答案】C
【提示】根据关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个实数根，知△=（-3）2-4×k×1≥0且k≠0，解之可得．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个实数根，
∴△=（-3）2-4×k×1≥0且k≠0，
解得k≤且k≠0，
故选：C．
变式4-2．（2020·湖北省直辖县级行政单位·中考真题）关于x的方程有两个实数根，，且，那么m的值为（ ）
A． B． C．或1 D．或4
【答案】A
【提示】通过根与系数之间的关系得到，，由可求出m的值，通过方程有实数根可得到，从而得到m的取值范围，确定m的值．
【详解】解：∵方程有两个实数根，，
∴，
，
∵，
∴，
整理得，，
解得，，，
若使有实数根，则，
解得，，
所以，
故选：A．
变式4-3．（2020·四川攀枝花市·中考真题）若关于的方程没有实数根，则的值可以为（ ）．
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【提示】根据关于x的方程没有实数根，判断出△＜0，求出m的取值范围，再找出符合条件的m的值．
【详解】解：∵关于的方程没有实数根，
∴△=＜0，
解得：，
故选项中只有A选项满足，
故选A

考查题型五 一元二次方程根与系数的关系
【解题思路】元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=-，x1•x2=
典例5．（2020·湖南邵阳市·中考真题）设方程的两根分别是，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【提示】本题可利用韦达定理，求出该一元二次方程的二次项系数以及一次项系数的值，代入公式求解即可．
【详解】
由可知，其二次项系数，一次项系数，
由韦达定理：，
故选：A．
变式5-1．（2020·贵州遵义市·中考真题）已知，是方程的两根，则的值为（ ）
A．5 B．10 C．11 D．13
【答案】D
【提示】先利用完全平方公式，得到，再利用一元二次方程根与系数关系：，即可求解．
【详解】解：
故选：D．
变式5-2．（2020·贵州黔东南苗族侗族自治州·中考真题）已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是（　　）
A．﹣7 B．7 C．3 D．﹣3
【答案】A
【提示】根据根与系数的关系即可求出答案．
【详解】解：设另一个根为x，则
x+2＝﹣5，
解得x＝﹣7．
故选：A．
变式5-3．（2019·湖北鄂州市·中考真题）关于x的一元二次方程的两实数根分别为、，且，则m的值为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【提示】根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2=4，代入代数式计算即可．
【详解】解：∵x1+x2=4，
∴x1+3x2=x1+x2+2x2=4+2x2=5，
∴x2=，
把x2=代入x2-4x+m=0得：（）2-4×+m=0，
解得：m=，
故选A．
变式5-3．（2019·广西玉林市·中考真题）若一元二次方程的两根为，，则的值是（ ）
A．4 B．2 C．1 D．﹣2
【答案】A
【提示】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解.
【详解】根据题意得，，
所以．
故选A．
考查题型六 利用一元二次方程求解实际问题
典例6．（2020·广西河池市·中考真题）某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【提示】根据球赛问题模型列出方程即可求解．
【详解】解：设参加此次比赛的球队数为x队，根据题意得：
x（x﹣1）＝36，
化简，得x2﹣x﹣72＝0，
解得x1＝9，x2＝﹣8（舍去），
答：参加此次比赛的球队数是9队．
故选：D．
变式6-1．（2020·湖北鄂州市·中考真题）目前以等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有用户2万户，计划到2021年底全市用户数累计达到8.72万户．设全市用户数年平均增长率为，则值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】
先用含x的代数式表示出2020年底、2021年底用户的数量，然后根据2019年底到2021年底这三年的用户数量之和=8.72万户即得关于x的方程，解方程即得答案．
【详解】
解：设全市用户数年平均增长率为，根据题意，得：
，
解这个方程，得：，（不合题意，舍去）．
∴x的值为40%．
故选：C．
变式6-2．（2020·湖南衡阳市·中考真题）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【提示】
把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为600列出方程即可．
【详解】
解：如图，设小道的宽为，
则种植部分的长为，宽为
由题意得：．
故选C．

变式6-3．（2020·四川省模拟）某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用5元．为尽快回笼资金，该电商计划开展降价促销活动．通过市场调研发现，该时装售价每降价1元，每天销量增加4件．若该电商每天扣除平台推广费之后的利润要达到4500元，则适合的售价应定于（ ）
A．70元 B．80元 C．70元或90元 D．90元
【答案】A
【提示】
设降价元后利润达到4500元．则每天可售出件，每件盈利元．再根据相等关系：每天的获利每天售出的件数每件的盈利；列方程求解即可．
【详解】
解：设降价元后利润达到4500元，
由题意得：
解得：，，
∵为尽快回笼资金
∴，
∴售价应定为元
故选：A
变式6-4．（2020·山东德州市模拟）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，同时另一个点从点开始沿以的速度移动，当的面积等于时，经过的时间是（ ）

A．或 B． C． D．
【答案】B
【提示】
本题已知了 、 的速度，设秒后，的面积等于，根据路程 =速度时间，可用时间 表示出 和的长，然后根据直角三角形的面积公式，得出方程，求出未知数，然后看看解是否符合题意，将不合题意的舍去即可得出时间的值．
【详解】
解：设秒后，的面积等于，
依题意得：，
∴，
∴，，
当时，，即不合题意，舍去．
所以10秒后，的面积等于．
故选B．