苏科版数学九年级下册苏科九下期末测试卷（1）

这是一份苏科版九年级下册本册综合课时练习，共29页。试卷主要包含了对于二次函数y=﹣，已知2x=3y等内容，欢迎下载使用。

期末测试卷（1）
一．选择题
1．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，0），对称轴l如图所示，则下列结论：①abc＞0；②a﹣b+c=0；③2a+c＜0；④a+b＜0，其中所有正确的结论是（　　）

A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④
　
2．在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（　　）
A．y=2x2 B．y=2x﹣2 C．y=ax2 D．
　
3．对于二次函数y=﹣（x﹣1）2+2的图象与性质，下列说法正确的是（　　）
A．对称轴是直线x=1，最小值是2B．对称轴是直线x=1，最大值是2C．对称轴是直线x=﹣1，最小值是2D．对称轴是直线x=﹣1，最大值是2
　
4．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，EG⊥AF，FH⊥CE，垂足分别为G，H，设AG=x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是（　　）

A．y=3x2 B．y=4x2 C．y=8x2 D．y=9x2
　
5．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：
t
0
1
2
3
4
5
6
7
…
h
0
8
14
18
20
20
18
14
…
下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t=；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m，其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
　
6．已知2x=3y（y≠0），则下面结论成立的是（　　）
A．= B．= C．= D．=
　
7．矩形的长与宽分别为a、b，下列数据能构成黄金矩形的是（　　）
A．a=4，b=+2 B．a=4，b=﹣2 C．a=2，b=+1 D．a=2，b=﹣1
　
8．若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比（　　）
A．增加了10% B．减少了10% C．增加了（1+10%） D．没有改变
　
9．如图，在△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）

A． B． C． D．
　
10．已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（　　）
A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1
　
11．如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4：9，则OB′：OB为（　　）

A．2：3 B．3：2 C．4：5 D．4：9
　
12．志远要在报纸上刊登广告，一块10cm×5cm的长方形版面要付广告费180元，他要把该版面的边长都扩大为原来的3倍，在每平方厘米版面广告费相同的情况下，他该付广告费（　　）
A．540元 B．1080元 C．1620元 D．1800元
　
二．填空题
13．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠APD的值为　 　.

　
14．如图，P（12，a）在反比例函数图象上，PH⊥x轴于H，则tan∠POH的值为________.

　
15．计算：2sin60°=　 .
　
16．用科学计算器计算：+3tan56°≈　 　.结果精确到0.01）
　
17．如图，在2×2的网格中，以顶点O为圆心，以2个单位长度为半径作圆弧，交图中格线于点A，则tan∠ABO的值为　 .

　
18．如图，在一笔直的沿湖道路l上有A、B两个游船码头，观光岛屿C在码头 A北偏东60°的方向，在码头 B北偏西45°的方向，AC=4km.游客小张准备从观光岛屿C乘船沿CA回到码头A或沿CB回到码头B，设开往码头A、B的游船速度分别为v1、v2，若回到 A、B所用时间相等，则=　 （结果保留根号）.

　
三．解答题
19．自2016年国庆后，许多高校均投放了使用手机就可随用的共享单车.某运营商为提高其经营的A品牌共享单车的市场占有率，准备对收费作如下调整：一天中，同一个人第一次使用的车费按0.5元收取，每增加一次，当次车费就比上次车费减少0.1元，第6次开始，当次用车免费．具体收费标准如下：
使用次数
0
1
2
3
4
5（含5次以上）
累计车费
0
0.5
0.9
a
b
1.5
同时，就此收费方案随机调查了某高校100名师生在一天中使用A品牌共享单车的意愿，得到如下数据：
使用次数
0
1
2
3
4
5
人数
5
15
10
30
25
15
(1)写出a，b的值；
(2)已知该校有5000名师生，且A品牌共享单车投放该校一天的费用为5800元．试估计：收费调整后，此运营商在该校投放A品牌共享单车能否获利？说明理由.
　
20．小明在某次作业中得到如下结果：
sin27°+sin283°≈0.122+0.992=0.9945，
sin222°+sin268°≈0.372+0.932=1.0018，
sin229°+sin261°≈0.482+0.872=0.9873，
sin237°+sin253°≈0.602+0.802=1.0000，
sin245°+sin245°≈（）2+（）2=1.
据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin2α+sin2（90°﹣α）=1.
(1)当α=30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）=1是否成立；
(2)小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例.
　
21． (1)计算：÷；
(2)如图，正方形ABCD中，点E，F，G分别在AB，BC，CD上，且∠EFG=90°．求证：△EBF∽△FCG.

　
22．已知抛物线C1：y=ax2﹣4ax﹣5（a＞0）．
(1)当a=1时，求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴；
(2)①试说明无论a为何值，抛物线C1一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；
②将抛物线C1沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线C2，直接写出C2的表达式；
(3)若(2)中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，求a的值.

　
23．定义：如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P在该抛物线上（P点与A、B两点不重合），如果△ABP的三边满足AP2+BP2=AB2，则称点P为抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的勾股点.

(1)直接写出抛物线y=﹣x2+1的勾股点的坐标.
(2)如图2，已知抛物线C：y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P（1，）是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式.
(3)在(2)的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ=S△ABP的Q点（异于点P）的坐标.
　
24．如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A，又在河的另一岸边去两点B、C测得∠α=30°，∠β=45°，量得BC长为100米．求河的宽度（结果保留根号）.











答案
一．选择题
1．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，0），对称轴l如图所示，则下列结论：①abc＞0；②a﹣b+c=0；③2a+c＜0；④a+b＜0，其中所有正确的结论是（　　）

A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】①根据开口向下得出a＜0，根据对称轴在y轴右侧，得出b＞0，根据图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，得出c＞0，从而得出abc＜0，进而判断①错误；
②由抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，0），即可判断②正确；
③由图可知，x=2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，把b=a+c代入即可判断③正确；
④由图可知，x=2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，把c=b﹣a代入即可判断④正确．
【解答】解：①∵二次函数图象的开口向下，
∴a＜0，
∵二次函数图象的对称轴在y轴右侧，
∴﹣＞0，
∴b＞0，
∵二次函数的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
②∵抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c=0，故②正确；
③∵a﹣b+c=0，∴b=a+c．
由图可知，x=2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，
∴4a+2（a+c）+c＜0，
∴6a+3c＜0，∴2a+c＜0，故③正确；
④∵a﹣b+c=0，∴c=b﹣a．
由图可知，x=2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，
∴4a+2b+b﹣a＜0，
∴3a+3b＜0，∴a+b＜0，故④正确．
故选D．

【点评】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的性质：
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．④抛物线与x轴交点个数．△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
　
2．在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（　　）
A．y=2x2 B．y=2x﹣2 C．y=ax2 D．
【考点】H1：二次函数的定义．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据二次函数的定义形如y=ax2+bx+c （a≠0）是二次函数．
【解答】解：A、是二次函数，故A符合题意；
B、是一次函数，故B错误；
C、a=0时，不是二次函数，故C错误；
D、a≠0时是分式方程，故D错误；
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的定义，形如y=ax2+bx+c （a≠0）是二次函数．
　
3．对于二次函数y=﹣（x﹣1）2+2的图象与性质，下列说法正确的是（　　）
A．对称轴是直线x=1，最小值是2B．对称轴是直线x=1，最大值是2C．对称轴是直线x=﹣1，最小值是2D．对称轴是直线x=﹣1，最大值是2
【考点】H3：二次函数的性质；H7：二次函数的最值．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据抛物线的图象与性质即可判断．
【解答】解：由抛物线的解析式：y=﹣（x﹣1）2+2，
可知：对称轴x=1，
开口方向向下，所以有最大值y=2，
故选（B）
【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是正确理解抛物线的图象与性质，本题属于基础题型．
　
4．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，EG⊥AF，FH⊥CE，垂足分别为G，H，设AG=x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是（　　）

A．y=3x2 B．y=4x2 C．y=8x2 D．y=9x2
【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；LE：正方形的性质．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】设正方形的边长为a，易证四边形ADCE是平行四边形，所以四边形EHFG是矩形，由锐角三角函数可知，从而可用x表示出EG，从而可求出y与x之间的关系式；
【解答】解：设正方形的边长为a，
∴BC=2a，BE=a，
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴AE=CF，
∵AE∥CF，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴AF∥CE，
∵EG⊥AF，FH⊥CE，
∴四边形EHFG是矩形，
∵∠AEG+∠BEC=∠BCE+∠BEC=90°，
∴∠AEG=∠BCE，
∴tan∠AEG=tan∠BCE，
∴=，
∴EG=2x，
∴由勾股定理可知：AE=x，
∴AB=BC=2x，
∴CE=5x，
易证：△AEG≌△CFH，
∴AG=CH，
∴EH=EC﹣CH=4x，
∴y=EG•EC=8x2，
故选（C）
【点评】本题考查矩形的综合问题，涉及相似三角形的性质与判定，锐角三角函数，矩形的性质与判定，全等三角形的判定与性质等知识，综合程度较高，属于中等题型．
　
5．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：
t
0
1
2
3
4
5
6
7
…
h
0
8
14
18
20
20
18
14
…
下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t=；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m，其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】HE：二次函数的应用．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】由题意，抛物线的解析式为y=at（t﹣9），把（1，8）代入可得a=﹣1，可得y=﹣t2+9t=﹣（t﹣4.5）2+20.25，由此即可一一判断．
【解答】解：由题意，抛物线的解析式为y=at（t﹣9），把（1，8）代入可得a=﹣1，
∴y=﹣t2+9t=﹣（t﹣4.5）2+20.25，
∴足球距离地面的最大高度为20.25m，故①错误，
∴抛物线的对称轴t=4.5，故②正确，
∵t=9时，y=0，
∴足球被踢出9s时落地，故③正确，
∵t=1.5时，y=11.25，故④错误．
∴正确的有②③，
故选B．
【点评】本题考查二次函数的应用、求出抛物线的解析式是解题的关键，属于中考常考题型．
　
6．已知2x=3y（y≠0），则下面结论成立的是（　　）
A．= B．= C．= D．=
【考点】S1：比例的性质．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据等式的性质，可得答案．
【解答】解：A、两边都除以2y，得=，故A符合题意；
B、两边除以不同的整式，故B不符合题意；
C、两边都除以2y，得=，故C不符合题意；
D、两边除以不同的整式，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了等式的性质，利用等式的性质是解题关键．
　
7．矩形的长与宽分别为a、b，下列数据能构成黄金矩形的是（　　）
A．a=4，b=+2 B．a=4，b=﹣2 C．a=2，b=+1 D．a=2，b=﹣1
【考点】S3：黄金分割；LB：矩形的性质．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据黄金矩形的定义判断即可．
【解答】解：∵宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，
∴=，
∴a=2，b=﹣1，
故选D．
【点评】本题主要考查了黄金矩形，记住定义是解题的关键．
　
8．若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比（　　）
A．增加了10% B．减少了10% C．增加了（1+10%） D．没有改变
【考点】S5：相似图形．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据两个三角形三边对应成比例，这两个三角形相似判断出两个三角形相似，再根据相似三角形对应角相等解答．
【解答】解：∵△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，
∴△ABC与△A′B′C′的三边对应成比例，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴∠B′=∠B．
故选D．
【点评】本题考查了相似图形，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
　
9．如图，在△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）

A． B． C． D．
【考点】S8：相似三角形的判定．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【解答】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．
D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
故选C．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
　
10．已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（　　）
A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1
【考点】S7：相似三角形的性质．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，
∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，
故选A
【点评】此题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键．
　
11．如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4：9，则OB′：OB为（　　）

A．2：3 B．3：2 C．4：5 D．4：9
【考点】SC：位似变换．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】先求出位似比，根据位似比等于相似比，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可．
【解答】解：由位似变换的性质可知，A′B′∥AB，A′C′∥AC，
∴△A′B′C′∽△ABC．
∵△A'B'C'与△ABC的面积的比4：9，
∴△A'B'C'与△ABC的相似比为2：3，
∴=
故选：A．
【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
　
12．志远要在报纸上刊登广告，一块10cm×5cm的长方形版面要付广告费180元，他要把该版面的边长都扩大为原来的3倍，在每平方厘米版面广告费相同的情况下，他该付广告费（　　）
A．540元 B．1080元 C．1620元 D．1800元
【考点】SA：相似三角形的应用．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据题意可知版面的边长都扩大为原来的3倍后的面积，然后根据每平方厘米的广告费即可求出答案．
【解答】解：∵一块10cm×5cm的长方形版面要付广告费180元，
∴每平方厘米的广告费为：180÷50=元，
∴把该版面的边长都扩大为原来的3倍后的广告费为：30×15×=1620元
故选（C）
【点评】本题考查相似形的应用，解题的关键是求出每平方厘米的广告费，本题属于基础题型．
　
二．填空题
13．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠APD的值为　 　.

【考点】T1：锐角三角函数的定义．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】首先连接BE，由题意易得BF=CF，△ACP∽△BDP，然后由相似三角形的对应边成比例，易得DP：CP=1：3，即可得PF：CF=PF：BF=1：2，在Rt△PBF中，即可求得tan∠BPF的值，继而求得答案．
【解答】解：如图，连接BE，
∵四边形BCED是正方形，
∴DF=CF=CD，BF=BE，CD=BE，BE⊥CD，
∴BF=CF，
根据题意得：AC∥BD，
∴△ACP∽△BDP，
∴DP：CP=BD：AC=1：3，
∴DP：DF=1：2，
∴DP=PF=CF=BF，
在Rt△PBF中，tan∠BPF==2，
∵∠APD=∠BPF，
∴tan∠APD=2．
故答案为：2
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．
　
14．如图，P（12，a）在反比例函数图象上，PH⊥x轴于H，则tan∠POH的值为________.

【考点】T1：锐角三角函数的定义；G6：反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】利用锐角三角函数的定义求解，tan∠POH为∠POH的对边比邻边，求出即可．
【解答】解：∵P（12，a）在反比例函数图象上，
∴a==5，
∵PH⊥x轴于H，
∴PH=5，OH=12，
∴tan∠POH=，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
　
15．计算：2sin60°=　 .
【考点】T5：特殊角的三角函数值．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】根据特殊角的三角函数值计算．
【解答】解：2sin60°=2×=．
【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．
【相关链接】特殊角三角函数值：
sin30°=，cos30°=，tan30°=，cot30°=；
sin45°=，cos45°=，tan45°=1，cot45°=1；
sin60°=，cos60°=，tan60°=，cot60°=．
　
16．用科学计算器计算：+3tan56°≈　 　.结果精确到0.01）
【考点】T6：计算器—三角函数；1H：近似数和有效数字；25：计算器—数的开方．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】正确使用计算器计算即可．按运算顺序进行计算．
【解答】解：+3tan56°=5.568+1.732×0.8290
≈5.568+1.436
≈7.00．
故答案为：7.00．
【点评】此题考查了使用计算器计算三角函数的有关知识，解题的关键是：正确使用计算器计算．
　
17．如图，在2×2的网格中，以顶点O为圆心，以2个单位长度为半径作圆弧，交图中格线于点A，则tan∠ABO的值为　 .

【考点】T7：解直角三角形．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】连接OA，过点A作AC⊥OB于点C，由题意知AC=1、OA=OB=2，从而得出OC==、BC=OB﹣OC=2﹣，在Rt△ABC中，根据tan∠ABO=可得答案．
【解答】解：如图，连接OA，过点A作AC⊥OB于点C，

则AC=1，OA=OB=2，
∵在Rt△AOC中，OC===，
∴BC=OB﹣OC=2﹣，
∴在Rt△ABC中，tan∠ABO===2+．
故答案是：2+．
【点评】本题主要考查解直角三角形，根据题意构建一个以∠ABO为内角的直角三角形是解题的关键．
　
18．如图，在一笔直的沿湖道路l上有A、B两个游船码头，观光岛屿C在码头 A北偏东60°的方向，在码头 B北偏西45°的方向，AC=4km.游客小张准备从观光岛屿C乘船沿CA回到码头A或沿CB回到码头B，设开往码头A、B的游船速度分别为v1、v2，若回到 A、B所用时间相等，则=　 （结果保留根号）.

【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题；KU：勾股定理的应用．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中利用三角函数求得CD的长，然后在Rt△BCD中求得BC的长，然后根据=求解．
【解答】解：作CD⊥AB于点B．
∵在Rt△ACD中，∠CAD=90°﹣60°=30°，
∴CD=AC•sin∠CAD=4×=2（km），
∵Rt△BCD中，∠CBD=90°，
∴BC=CD=2（km），
∴===．
故答案是：．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，作出辅助线，转化为直角三角形的计算，求得BC的长是关键．
　
三．解答题
19．自2016年国庆后，许多高校均投放了使用手机就可随用的共享单车.某运营商为提高其经营的A品牌共享单车的市场占有率，准备对收费作如下调整：一天中，同一个人第一次使用的车费按0.5元收取，每增加一次，当次车费就比上次车费减少0.1元，第6次开始，当次用车免费．具体收费标准如下：
使用次数
0
1
2
3
4
5（含5次以上）
累计车费
0
0.5
0.9
a
b
1.5
同时，就此收费方案随机调查了某高校100名师生在一天中使用A品牌共享单车的意愿，得到如下数据：
使用次数
0
1
2
3
4
5
人数
5
15
10
30
25
15
(1)写出a，b的值；
(2)已知该校有5000名师生，且A品牌共享单车投放该校一天的费用为5800元．试估计：收费调整后，此运营商在该校投放A品牌共享单车能否获利？说明理由.
【考点】V5：用样本估计总体．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】(1)根据收费调整情况列出算式计算即可求解；
(2)先根据平均数的计算公式求出抽取的100名师生每人每天使用A品牌共享单车的平均车费，再根据用样本估计总体求出5000名师生一天使用共享单车的费用，再与5800比较大小即可求解．
【解答】解：(1)a=0.9+0.3=1.2，b=1.2+0.2=1.4；
(2)根据用车意愿调查结果，抽取的100名师生每人每天使用A品牌共享单车的平均车费为：
×（0×5+0.5×15+0.9×10+1.2×30+1.4×25+1.5×15）=1.1（元），
所以估计5000名师生一天使用共享单车的费用为：5000×1.1=5500（元），
因为5500＜5800，
故收费调整后，此运营商在该校投放A品牌共享单车不能获利．
【点评】考查了样本平均数，用样本估计总体，（Ⅱ）中求得抽取的100名师生每人每天使用A品牌共享单车的平均车费是解题的关键．
　
20．小明在某次作业中得到如下结果：
sin27°+sin283°≈0.122+0.992=0.9945，
sin222°+sin268°≈0.372+0.932=1.0018，
sin229°+sin261°≈0.482+0.872=0.9873，
sin237°+sin253°≈0.602+0.802=1.0000，
sin245°+sin245°≈（）2+（）2=1.
据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin2α+sin2（90°﹣α）=1.
(1)当α=30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）=1是否成立；
(2)小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例.
【考点】T4：互余两角三角函数的关系；T5：特殊角的三角函数值．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】(1)将α=30°代入，根据三角函数值计算可得；
(2)设∠A=α，则∠B=90°﹣α，根据正弦函数的定义及勾股定理即可验证．
【解答】解1：(1)当α=30°时，
sin2α+sin2（90°﹣α）
=sin230°+sin260°
=（）2+（）2
=+
=1；
(2)小明的猜想成立，证明如下：
如图，在△ABC中，∠C=90°，

设∠A=α，则∠B=90°﹣α，
∴sin2α+sin2（90°﹣α）
=（）2+（）2
=
=
=1．
【点评】本题主要考查特殊锐角的三角函数值及正弦函数的定义，熟练掌握三角函数的定义及勾股定理是解题的关键．
　
21． (1)计算：÷；
(2)如图，正方形ABCD中，点E，F，G分别在AB，BC，CD上，且∠EFG=90°．求证：△EBF∽△FCG.

【考点】S8：相似三角形的判定；6A：分式的乘除法；LE：正方形的性质．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】(1)先把分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可；
(2)先根据正方形的性质得∠B=∠C=90°，再利用等角的余角相等得∠BEF=∠CFG，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判定△EBF∽△FCG．
【解答】(1)解：原式=•
=；
(2)证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=∠C=90°，
∴∠BEF+∠BFE=90°，
∵∠EFG=90°，
∴∠BFE+∠CFG=90°，
∴∠BEF=∠CFG，
∴△EBF∽△FCG．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了分式的乘除法和正方形的性质．
　
22．已知抛物线C1：y=ax2﹣4ax﹣5（a＞0）．
(1)当a=1时，求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴；
(2)①试说明无论a为何值，抛物线C1一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；
②将抛物线C1沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线C2，直接写出C2的表达式；
(3)若(2)中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，求a的值.

【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H6：二次函数图象与几何变换．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】(1)将a=1代入解析式，即可求得抛物线与x轴交点；
(2)①化简抛物线解析式，即可求得两个定点的横坐标，即可解题；
②根据抛物线翻折理论即可解题；
(3)根据(2)中抛物线C2解析式，分类讨论y=2或﹣2，即可解题；
【解答】解：(1)当a=1时，抛物线解析式为y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9，
∴对称轴为x=2；
∴当y=0时，x﹣2=3或﹣3，即x=﹣1或5；
∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）或（5，0）；
(2)①抛物线C1解析式为：y=ax2﹣4ax﹣5，
整理得：y=ax（x﹣4）﹣5；
∵当ax（x﹣4）=0时，y恒定为﹣5；
∴抛物线C1一定经过两个定点（0，﹣5），（4，﹣5）；
②这两个点连线为y=﹣5；
将抛物线C1沿y=﹣5翻折，得到抛物线C2，开口方向变了，但是对称轴没变；
∴抛物线C2解析式为：y=﹣ax2+4ax﹣5，
(3)抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，
则x=2时，y=2或者﹣2；
当y=2时，2=﹣4a+8a﹣5，解得，a=；
当y=﹣2时，﹣2=﹣4a+8a﹣5，解得，a=；
∴a=或；
【点评】本题考查了代入法求抛物线解析式的方法，考查了抛物线翻折后对称轴不变的原理，考查了抛物线顶点的求解．
　
23．定义：如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P在该抛物线上（P点与A、B两点不重合），如果△ABP的三边满足AP2+BP2=AB2，则称点P为抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的勾股点.

(1)直接写出抛物线y=﹣x2+1的勾股点的坐标.
(2)如图2，已知抛物线C：y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P（1，）是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式.
(3)在(2)的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ=S△ABP的Q点（异于点P）的坐标.
【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H8：待定系数法求二次函数解析式．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】(1)根据抛物线勾股点的定义即可得；
(2)作PG⊥x轴，由点P坐标求得AG=1、PG=、PA=2，由tan∠PAB==知∠PAG=60°，从而求得AB=4，即B（4，0），待定系数法求解可得；
(3)由S△ABQ=S△ABP且两三角形同底，可知点Q到x轴的距离为，据此求解可得．
【解答】解：(1)抛物线y=﹣x2+1的勾股点的坐标为（0，1）；

(2)抛物线y=ax2+bx过原点，即点A（0，0），
如图，作PG⊥x轴于点G，

∵点P的坐标为（1，），
∴AG=1、PG=，PA===2，
∵tan∠PAB==，
∴∠PAG=60°，
在Rt△PAB中，AB===4，
∴点B坐标为（4，0），
设y=ax（x﹣4），
将点P（1，）代入得：a=﹣，
∴y=﹣x（x﹣4）=﹣x2+x；
(3)①当点Q在x轴上方时，由S△ABQ=S△ABP知点Q的纵坐标为，
则有﹣x2+x=，
解得：x1=3，x2=1（不符合题意，舍去），
∴点Q的坐标为（3，）；
②当点Q在x轴下方时，由S△ABQ=S△ABP知点Q的纵坐标为﹣，
则有﹣x2+x=﹣，
解得：x1=2+，x2=2﹣，
∴点Q的坐标为（2+，﹣）或（2﹣，﹣）；
综上，满足条件的点Q有3个：（3，）或（2+，﹣）或（2﹣，﹣）．
【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点及待定系数法求函数解析式，根据新定义求得点B的坐标，并熟练掌握待定系数求函数解析式及三角形面积问题是解题的关键．
　
24．如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A，又在河的另一岸边去两点B、C测得∠α=30°，∠β=45°，量得BC长为100米．求河的宽度（结果保留根号）.

【考点】T8：解直角三角形的应用．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】直接过点A作AD⊥BC于点D，利用tan30°==，进而得出答案．
【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，
∵∠β=45°，∠ADC=90°，
∴AD=DC，
设AD=DC=xm，
则tan30°==，
解得：x=50（+1），
答：河的宽度为50（+1）m．

【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出AD=CD是解题关键．