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苏科版数学九年级下册苏科九下期中测试卷（2）
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这是一份苏科版九年级下册本册综合测试题，共30页。试卷主要包含了已知二次函数y=，已知x，如图所示，图中共有相似三角形等内容，欢迎下载使用。
期中测试卷（2）
一．选择题
1．下列关系式中y是x的二次函数的是（ ）
A．y=x2 B．y= C．y= D．y=ax2
2．已知抛物线和直线l在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=﹣1，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线上的点，P3（x3，y3）是直线l上的点，且x3＜﹣1＜x1＜x2，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
3．若y﹣4与x2成正比例，当x=2时，y=6，则y与x的函数关系式是（ ）
A．y=x2+4 B．y=﹣x2+4 C．y=﹣x2+4 D．y=x2+4
4．已知二次函数y=（k﹣2）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．k≥3 B．k＜3 C．k≤3且k≠2 D．k＜2
5．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O恰为水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.在过OA的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y=﹣x2+2x+，则下列结论：
(1)柱子OA的高度为m；
(2)喷出的水流距柱子1m处达到最大高度；
(3)喷出的水流距水平面的最大高度是2.5m；
(4)水池的半径至少要2.5m才能使喷出的水流不至于落在池外.
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．已知x：y=5：2，则下列各式中不正确的是（ ）
A．= B．= C．= D．=
7．如图是著名画家达芬奇的名画《蒙娜丽莎》．画中的脸部被包在矩形ABCD内，点E是AB的黄金分割点，BE＞AE，若AB=2a，则BE长为（ ）
A．（+1）a B．（﹣1）a C．（3﹣）a D．（﹣2）a
8．如图，在△ABC中，D为AB上的一点，过点D作DE∥BC交AC于点E，过点D作DF∥AC交BC 于点F，则下列结论错误的是（ ）
A．= B．= C．= D．=
9．对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是（ ）
A．图形中线段的长度与角的大小都保持不变B．图形中线段的长度与角的大小都会改变C．图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变D．图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变
10．如图所示，图中共有相似三角形（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
11．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，如果S△ACD：S△ABC=1：2，那么S△AOD：S△BOC是（ ）
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：6
12．如图，已知小鱼与大鱼是位似图形，则小鱼的点（a，b）对应大鱼的点（ ）
A．（﹣a，﹣2b） B．（﹣2a，﹣b） C．（﹣2b，﹣2a） D．（﹣2a，﹣2b）
二．填空题
13．如图，在同一时刻，测得小丽和旗杆的影长分别为1m和6m，小华的身高约为1.8m，则旗杆的高约为 m.
14．人体下半身与身高的比例越接近0.618，越给人美感.遗憾的是，即使芭蕾舞演员也达不到如此的完美.某女士身高1.68m，下半身1.02m，她应该选择穿 （精确到0.1cm）的高跟鞋看起来更美.
15．如图，DE∥BC，DE：BC=4：5，则EA：AC= .
16．如图，△ABC内接于⊙O，D是上一点，E是BC的延长线上一点，AE交⊙O于点F，若要使△ADB∽△ACE，还需添加一个条件，这个条件可以是 .
17．二次函数y=﹣x2+2x﹣3，用配方法化为y=a（x﹣h）2+k的形式为 .
18．某种商品的进价为40元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100﹣x）件，当x= 时才能使利润最大．
三．解答题
19．如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为（10，0），抛物线y=ax2+bx+4过点B，C两点，且与x轴的一个交点为D（﹣2，0），点P是线段CB上的动点，设CP=t（0＜t＜10）.
(1)请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式；
(2)过点P作PE⊥BC，交抛物线于点E，连接BE，当t为何值时，∠PBE=∠OCD？
(3)点Q是x轴上的动点，过点P作PM∥BQ，交CQ于点M，作PN∥CQ，交BQ于点N，当四边形PMQN为正方形时，请求出t的值.
20．如图，直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，∠ACB=90°，抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点.
(1)求A、B两点的坐标；
(2)求抛物线的解析式；
(3)点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC于点D，求△DMH周长的最大值.
21．如图，已知点O （0，0），A （﹣5，0），B （2，1），抛物线l：y=﹣（x﹣h）2+1（h为常数）与y轴的交点为C.
(1)抛物线l经过点B，求它的解析式，并写出此时抛物线l的对称轴及顶点坐标；
(2)设点C的纵坐标为yc，求yc的最大值，此时抛物线l上有两点（x1，y1），（x2，y2），其中x1＞x2≥0，比较y1与y2的大小；
(3)当线段OA被l只分为两部分，且这两部分的比是1：4时，求h的值.
22．如图1所示，点C将线段AB分成两部分，如果，那么点C为线段AB的黄金分割点.某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1、S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线.
(1)研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点，如图2所示，则直线CD是△ABC的黄金分割线，你认为对吗？说说你的理由；
(2)请你说明：三角形的中线是否是该三角形的黄金分割线.
23．如图，在直角梯形OABC中，OA∥BC，A、B两点的坐标分别为A（13，0），B（11，12）．动点P、Q分别从O、B两点出发，点P以每秒2个单位的速度沿x轴向终点A运动，点Q以每秒1个单位的速度沿BC方向运动；当点P停止运动时，点Q也同时停止运动．线段PQ和OB相交于点D，过点D作DE∥x轴，交AB于点E，射线QE交x轴于点F．设动点P、Q运动时间为t（单位：秒）．
(1)当t为何值时，四边形PABQ是平行四边形.
(2)△PQF的面积是否发生变化？若变化，请求出△PQF的面积s关于时间t的函数关系式；若不变，请求出△PQF的面积.
(3)随着P、Q两点的运动，△PQF的形状也随之发生了变化，试问何时会出现等腰△PQF？
24．在等边△ABC中，点D为AC上一点，连接BD，直线l与AB，BD，BC分别相交于点E，P，F，且∠BPF=60°.
(1)如图(1)，写出图中所有与△BPF相似的三角形，并选择其中一对给予证明；
(2)若直线l向右平移到图(2)，图(3)的位置时（其它条件不变），(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请写出来（不需证明），若不成立，请说明理由；
(3)探究：如图(1)，当BD满足什么条件时（其它条件不变），EF=BF？请写出探究结果，并说明理由.
答案
一．选择题
1．下列关系式中y是x的二次函数的是（ ）
A．y=x2 B．y= C．y= D．y=ax2
【考点】H1：二次函数的定义．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据二次函数的定义判定即可．
【解答】解：A、y=x2，是二次函数，正确；
B、y=，被开方数含自变量，不是二次函数，错误；
C、y=，分母中含自变量，不是二次函数，错误；
D、a=0时，不是二次函数，错误．
故选A．
【点评】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握二次根式的定义是解题关键．
2．已知抛物线和直线l在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=﹣1，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线上的点，P3（x3，y3）是直线l上的点，且x3＜﹣1＜x1＜x2，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
【考点】H3：二次函数的性质；H2：二次函数的图象．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】设点P0（﹣1，y0）为抛物线的顶点，根据一次函数的单调性结合抛物线开口向下即可得出y3＞y0，再根据二次函数的性质结合二次函数图象即可得出y0＞y1＞y2，进而即可得出y2＜y1＜y3，此题得解．
【解答】解：设点P0（﹣1，y0）为抛物线的顶点，
∵抛物线的开口向下，
∴点P0（﹣1，y0）为抛物线的最高点．
∵直线l上y值随x值的增大而减小，且x3＜﹣1，直线l在抛物线上方，
∴y3＞y0．
∵在x＞﹣1上时，抛物线y值随x值的增大而减小，﹣1＜x1＜x2，
∴y0＞y1＞y2，
∴y2＜y1＜y3．
故选D．
【点评】本题考查了二次函数的性质、一次函数的性质以及二次函数的图象，设点P0（﹣1，y0）为抛物线的顶点，根据一次（二次）函数的性质找出y2＜y1＜y0＜y3是解题的关键．
3．若y﹣4与x2成正比例，当x=2时，y=6，则y与x的函数关系式是（ ）
A．y=x2+4 B．y=﹣x2+4 C．y=﹣x2+4 D．y=x2+4
【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据正比例函数的定义可设y﹣4=kx2，然后把x=2，y=6代入可计算出k的值，则可得到y与x的函数关系式．
【解答】解：根据题意得y﹣4=kx2，
当x=2，y=6，则4k=6﹣4，解得k=，
所以y﹣4=x2，
即y与x的函数关系式为y=x2+4．
故选D．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了正比例函数的定义．
4．已知二次函数y=（k﹣2）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．k≥3 B．k＜3 C．k≤3且k≠2 D．k＜2
【考点】HA：抛物线与x轴的交点．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据二次函数图象与x轴有交点可得出关于x的一元二次方程有解，根据根的判别式结合二次项系数非零即可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
【解答】解：∵二次函数y=（k﹣2）x2+2x+1的图象与x轴有交点，
∴一元二次方程（k﹣2）x2+2x+1=0有解，
∴，
解得：k≤3且k≠2．
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、根的判别式以及解一元一次不等式组，根据根的判别式△≥0结合二次项系数非零找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．
5．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O恰为水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.在过OA的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y=﹣x2+2x+，则下列结论：
(1)柱子OA的高度为m；
(2)喷出的水流距柱子1m处达到最大高度；
(3)喷出的水流距水平面的最大高度是2.5m；
(4)水池的半径至少要2.5m才能使喷出的水流不至于落在池外.
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】HE：二次函数的应用．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】在已知抛物线解析式的情况下，利用其性质，求顶点（最大高度），与x轴，y轴的交点，解答题目的问题．
【解答】解：当x=0时，y=，故柱子OA的高度为m；(1)正确；
∵y=﹣x2+2x+=﹣（x﹣1）2+2.25，
∴顶点是（1，2.25），
故喷出的水流距柱子1m处达到最大高度，喷出的水流距水平面的最大高度是2.25米；故(2)正确，(3)错误；
解方程﹣x2+2x+=0，
得x1=﹣，x2=，
故水池的半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不至于落在水池外，(4)正确．
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线解析式的实际应用，掌握抛物线顶点坐标，与x轴交点，y轴交点的实际意义是解决问题的关键．
6．已知x：y=5：2，则下列各式中不正确的是（ ）
A．= B．= C．= D．=
【考点】S1：比例的性质．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据合比性质，可判断A，根据分比性质，可判断B，根据合比性质、反比性质，可判断C，根据分比性质、反比性质，可判断D．
【解答】解：A、由合比性质，得=，故A正确；
B、由分比性质，得=，故B正确；
C、由反比性质，得y：x=2：5．由合比性质，得=，再由反比性质，得=，故C正确；
D、由反比性质，得y：x=2：5．由分比性质，得=．再由反比性质，得=，故D错误；
故选；D．
【点评】本题考查了比例的性质，利用了反比性质，合比性质、分比性质，记住性质是解题关键．
7．如图是著名画家达芬奇的名画《蒙娜丽莎》．画中的脸部被包在矩形ABCD内，点E是AB的黄金分割点，BE＞AE，若AB=2a，则BE长为（ ）
A．（+1）a B．（﹣1）a C．（3﹣）a D．（﹣2）a
【考点】S3：黄金分割．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】直接根据黄金分割的定义求解．
【解答】解：∵点E是AB的黄金分割点，BE＞AE，
∴BE=AB=•2a=（﹣1）a．
故选B．
【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
8．如图，在△ABC中，D为AB上的一点，过点D作DE∥BC交AC于点E，过点D作DF∥AC交BC 于点F，则下列结论错误的是（ ）
A．= B．= C．= D．=
【考点】S4：平行线分线段成比例．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，再把它们等量代换，即可得出答案．
【解答】解：∵DF∥AC，
∴=，
∵DE∥BC，
∴四边形DECF为平行四边形，
∴DE=CF，
∴=，故A正确；
∵DE∥BC，
∴=，故B正确；
∵DE∥BC，DF∥AC，
∴=，=，故C错误；
∵DE∥BC，DF∥AC，
∴=，=，
∴=，故D正确；
故选C．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，此题比较简单，注意掌握比例线段的对应关系是解此题的关键．
9．对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是（ ）
A．图形中线段的长度与角的大小都保持不变B．图形中线段的长度与角的大小都会改变C．图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变D．图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变
【考点】S5：相似图形．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据相似图形的性质得出相似图形的对应边成比例，对应角相等，即可得出答案．
【解答】解：根据相似多边形的性质：相似多边形的对应边成比例，对应角相等，
∴对一个图形进行收缩时，图形中线段的长度改变，角的大小不变，
故选D．
【点评】本题主要考查对相似图形的性质的理解和掌握，能熟练地根据相似图形的性质进行说理是解此题的关键．
10．如图所示，图中共有相似三角形（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【考点】S8：相似三角形的判定；M5：圆周角定理．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】可以运用相似三角形的判定方法进行验证．
【解答】解：共四对，分别是△PAC∽△PBD、△AOC∽△DOB、
△AOB∽△COD、△PAD∽△PCB．
故选C．
【点评】主要考查相似三角形的判定方法的掌握情况．
11．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，如果S△ACD：S△ABC=1：2，那么S△AOD：S△BOC是（ ）
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：6
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；LH：梯形．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】首先根据S△ACD：S△ABC=1：2，可得AD：BC=1：2；然后根据相似三角形的面积的比的等于它们的相似比的平方，求出S△AOD：S△BOC是多少即可．
【解答】解：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，而且S△ACD：S△ABC=1：2，
∴AD：BC=1：2；
∵AD∥BC，
∴△AOD～△BOC，
∵AD：BC=1：2，
∴S△AOD：S△BOC=1：4．
故选：B．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质的应用，以及梯形的特征和应用，要熟练掌握．
12．如图，已知小鱼与大鱼是位似图形，则小鱼的点（a，b）对应大鱼的点（ ）
A．（﹣a，﹣2b） B．（﹣2a，﹣b） C．（﹣2b，﹣2a） D．（﹣2a，﹣2b）
【考点】SC：位似变换；D5：坐标与图形性质．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】直接利用位似图形的性质得出位似比，进而得出答案．
【解答】解：由图形可得，小鱼与大鱼的位似比为：1：2，
则小鱼的点（a，b）对应大鱼的点为：（﹣2a，﹣2b）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确得出位似比是解题关键．
二．填空题
13．如图，在同一时刻，测得小丽和旗杆的影长分别为1m和6m，小华的身高约为1.8m，则旗杆的高约为 m.
【考点】SA：相似三角形的应用．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】由小丽与旗杆的长度之比等于影子之比求出所求即可．
【解答】解：根据题意得：=，
解得：x=10.4，
则旗杆的高约为10.4m，
故答案为：10.4
【点评】此题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键．
14．人体下半身与身高的比例越接近0.618，越给人美感.遗憾的是，即使芭蕾舞演员也达不到如此的完美.某女士身高1.68m，下半身1.02m，她应该选择穿 （精确到0.1cm）的高跟鞋看起来更美.
【考点】S3：黄金分割；1H：近似数和有效数字．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】设她应选择高跟鞋的高度是xcm，根据黄金分割的定义，列出方程直接求解即可．
【解答】解：设她应选择高跟鞋的高度是xcm，则
=0.618，
解得：x≈4.8cm．
经检验知x≈4.8是原方程的解，
答：她应该选择穿4.8cm的高跟鞋看起来更美．
故本题答案为：4.8．
【点评】此题主要考查了黄金分割，据题黄金分割的定义列出方程是本题的关键．注意身高不要忘记加上高跟鞋的高度．
15．如图，DE∥BC，DE：BC=4：5，则EA：AC= .
【考点】S4：平行线分线段成比例．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】如图，首先证明△ADE∽△ABC，列出比例式即可解决问题．
【解答】解：如图，∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
故答案为4：5．
【点评】该题主要考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题；牢固掌握平行线分线段成比例定理、准确找出图形中的对应线段是解题的关键．
16．如图，△ABC内接于⊙O，D是上一点，E是BC的延长线上一点，AE交⊙O于点F，若要使△ADB∽△ACE，还需添加一个条件，这个条件可以是 .
【考点】S8：相似三角形的判定；M6：圆内接四边形的性质．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠ADB=∠ACE，然后可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似添加条件．
【解答】解：∵四边形ADBC为⊙O的内接四边形，
∴∠ADB=∠ACE，
当∠DAB=∠CAE时，△ADB∽△ACE．
故答案为∠DAB=∠CAE．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了圆内接四边形的性质．
17．二次函数y=﹣x2+2x﹣3，用配方法化为y=a（x﹣h）2+k的形式为 .
【考点】H9：二次函数的三种形式．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】直接利用配方法表示出顶点式即可．
【解答】解：∵y=﹣x2+2x﹣3
=﹣（x2﹣2x）﹣3
=﹣（x﹣1）2﹣2．
故答案为：y=﹣（x﹣1）2﹣2．
【点评】此题主要考查了二次函数的三种形式，正确配方法是解题关键．
18．某种商品的进价为40元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100﹣x）件，当x= 时才能使利润最大．
【考点】HE：二次函数的应用．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】根据题意可以得到利润与售价之间的函数关系式，然后化为顶点式即可解答本题．
【解答】解：设获得的利润为w元，由题意可得，
w=（x﹣40）（100﹣x）=﹣（x﹣70）2+900，
∴当x=70时，w取得最大值，
故答案为：70．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
三．解答题
19．如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为（10，0），抛物线y=ax2+bx+4过点B，C两点，且与x轴的一个交点为D（﹣2，0），点P是线段CB上的动点，设CP=t（0＜t＜10）.
(1)请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式；
(2)过点P作PE⊥BC，交抛物线于点E，连接BE，当t为何值时，∠PBE=∠OCD？
(3)点Q是x轴上的动点，过点P作PM∥BQ，交CQ于点M，作PN∥CQ，交BQ于点N，当四边形PMQN为正方形时，请求出t的值.
【考点】HF：二次函数综合题．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】(1)由抛物线的解析式可求得C点坐标，由矩形的性质可求得B点坐标，由B、D的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
(2)可设P（t，4），则可表示出E点坐标，从而可表示出PB、PE的长，由条件可证得△PBE∽△OCD，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值；
(3)当四边形PMQN为正方形时，则可证得△COQ∽△QAB，利用相似三角形的性质可求得CQ的长，在Rt△BCQ中可求得BQ、CQ，则可用t分别表示出PM和PN，可得到关于t的方程，可求得t的值．
【解答】解：
(1)在y=ax2+bx+4中，令x=0可得y=4，
∴C（0，4），
∵四边形OABC为矩形，且A（10，0），
∴B（10，4），
把B、D坐标代入抛物线解析式可得，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+4；
(2)由题意可设P（t，4），则E（t，﹣t2+t+4），
∴PB=10﹣t，PE=﹣t2+t+4﹣4=﹣t2+t，
∵∠BPE=∠COD=90°，∠PBE=∠OCD，
∴△PBE∽△OCD，
∴=，即BP•OD=CO•PE，
∴2（10﹣t）=4（﹣t2+t），解得t=3或t=10（不合题意，舍去），
∴当t=3时，∠PBE=∠OCD；
(3)当四边形PMQN为正方形时，则∠PMC=∠PNB=∠CQB=90°，PM=PN，
∴∠CQO+∠AQB=90°，
∵∠CQO+∠OCQ=90°，
∴∠OCQ=∠AQB，
∴Rt△COQ∽Rt△QAB，
∴=，即OQ•AQ=CO•AB，
设OQ=m，则AQ=10﹣m，
∴m（10﹣m）=4×4，解得m=2或m=8，
①当m=2时，CQ==2，BQ==4，
∴sin∠BCQ==，sin∠CBQ==，
∴PM=PC•sin∠PCQ=t，PN=PB•sin∠CBQ=（10﹣t），
∴t=（10﹣t），解得t=，
②当m=8时，同理可求得t=，
∴当四边形PMQN为正方形时，t的值为或．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及矩形的性质、待定系数法、相似三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形、方程思想等知识．在(1)中注意利用矩形的性质求得B点坐标是解题的关键，在(2)中证得△PBE∽△OCD是解题的关键，在(3)中利用Rt△COQ∽Rt△QAB求得CQ的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．
20．如图，直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，∠ACB=90°，抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点.
(1)求A、B两点的坐标；
(2)求抛物线的解析式；
(3)点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC于点D，求△DMH周长的最大值.
【考点】HF：二次函数综合题．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】(1)由直线解析式可求得B、C坐标，在Rt△BOC中由三角函数定义可求得∠OCB=60°，则在Rt△AOC中可得∠ACO=30°，利用三角函数的定义可求得OA，则可求得A点坐标；
(2)由A、B两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
(3)由平行线的性质可知∠MDH=∠BCO=60°，在Rt△DMH中利用三角函数的定义可得到DH、MH与DM的关系，可设出M点的坐标，则可表示出DM的长，从而可表示出△DMH的周长，利用二次函数的性质可求得其最大值．
【解答】解：
(1)∵直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，
∴B（3，0），C（0，），
∴OB=3，OC=，
∴tan∠BCO==，
∴∠BCO=60°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACO=30°，
∴=tan30°=，即=，解得AO=1，
∴A（﹣1，0）；
(2)∵抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点，
∴，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+；
(3)∵MD∥y轴，MH⊥BC，
∴∠MDH=∠BCO=60°，则∠DMH=30°，
∴DH=DM，MH=DM，
∴△DMH的周长=DM+DH+MH=DM+DM+DM=DM，
∴当DM有最大值时，其周长有最大值，
∵点M是直线BC上方抛物线上的一点，
∴可设M（t，﹣t2+t+），则D（t，﹣t+），
∴DM=﹣t2+t+），则D（t，﹣t+），
∴DM=﹣t2+t+﹣（﹣t+）=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+，
∴当t=时，DM有最大值，最大值为，
此时DM=×=，
即△DMH周长的最大值为．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角函数的定义、二次函数的性质、方程思想等知识．在(1)中注意函数图象与坐标的交点的求法，在(2)中注意待定系数法的应用，在(3)中找到DH、MH与DM的关系是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
21．如图，已知点O （0，0），A （﹣5，0），B （2，1），抛物线l：y=﹣（x﹣h）2+1（h为常数）与y轴的交点为C.
(1)抛物线l经过点B，求它的解析式，并写出此时抛物线l的对称轴及顶点坐标；
(2)设点C的纵坐标为yc，求yc的最大值，此时抛物线l上有两点（x1，y1），（x2，y2），其中x1＞x2≥0，比较y1与y2的大小；
(3)当线段OA被l只分为两部分，且这两部分的比是1：4时，求h的值.
【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；H7：二次函数的最值．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】(1)把x=2，y=1代入二次函数的解析式计算，得到解析式，根据二次函数的性质得到抛物线l的对称轴及顶点坐标；
(2)根据坐标的特征求出yc，根据平方的非负性求出yc的最大值，根据二次函数的性质比较y1与y2的大小；
(3)根据把线段OA分1：4两部分的点是（﹣1，0）或（﹣4，0），代入计算即可．
【解答】解：(1)把x=2，y=1代入y=﹣（x﹣h）2+1，得：h=2，
∴解析式为：y=﹣（x﹣2）2+1，
∴对称轴为：x=2，顶点坐标为：（2，1）；
(2)点C的横坐标为0，则yc=﹣h2+1，
∴当h=0时，yc有最大值为1，
此时，抛物线为：y=﹣x2+1，对称轴为y轴，
当x≥0时，y随着x的增大而减小，
∴x1＞x2≥0时，y1＜y2；
(3)把线段OA分1：4两部分的点是（﹣1，0）或（﹣4，0），
把x=﹣1，y=0代入y=﹣（x﹣h）2+1，得：h=0或h=﹣2．
但h=﹣2时，线段OA被分为三部分，不合题意，舍去，
同样，把x=﹣4，y=0代入y=﹣（x﹣h）2+1，
得：h=﹣5或h=﹣3（舍去），
∴h的值为0或﹣5．
【点评】本题考查的是二次函数的最值的确定、待定系数法的应用，灵活运用待定系数法求出二次函数的解析式、熟记二次函数的性质是解题的关键．
22．如图1所示，点C将线段AB分成两部分，如果，那么点C为线段AB的黄金分割点.某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1、S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线.
(1)研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点，如图2所示，则直线CD是△ABC的黄金分割线，你认为对吗？说说你的理由；
(2)请你说明：三角形的中线是否是该三角形的黄金分割线.
【考点】S3：黄金分割；K3：三角形的面积．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】(1)结合线段的黄金分割点的概念和三角形的面积公式进行分析计算；
(2)根据三角形的中线的概念可知分成的两个三角形的面积相等，显然不符合黄金分割线的概念．
【解答】解：∵，，
又∵D是AB的黄金分割点，
∴，
，
∴CD是△ABC的黄金分割线；
(2)不是．
∵CD是△ABC的中线，
∴AD=DB，
∴=，
而=1，
∴≠，
∴中线不是黄金分割线．
【点评】主要考查的是线段的黄金分割点的概念和三角形的面积公式．
23．如图，在直角梯形OABC中，OA∥BC，A、B两点的坐标分别为A（13，0），B（11，12）．动点P、Q分别从O、B两点出发，点P以每秒2个单位的速度沿x轴向终点A运动，点Q以每秒1个单位的速度沿BC方向运动；当点P停止运动时，点Q也同时停止运动．线段PQ和OB相交于点D，过点D作DE∥x轴，交AB于点E，射线QE交x轴于点F．设动点P、Q运动时间为t（单位：秒）．
(1)当t为何值时，四边形PABQ是平行四边形.
(2)△PQF的面积是否发生变化？若变化，请求出△PQF的面积s关于时间t的函数关系式；若不变，请求出△PQF的面积.
(3)随着P、Q两点的运动，△PQF的形状也随之发生了变化，试问何时会出现等腰△PQF？
【考点】S4：平行线分线段成比例；KH：等腰三角形的性质；KQ：勾股定理；L5：平行四边形的性质；LI：直角梯形．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】(1)设OP=2t，QB=t，PA=13﹣2t，根据平行四边形的性质（对边平行且相等）知，只需QB=PA，从而求得t；
(2)根据平行线分线段成比例求得=；然后由平行线OB∥DE∥PA分线段成比例求得=；利用等量代换求得AF=2QB=2t，PF=OA=13；最后由三角形的面积公式求得△PQF的面积；
(3)由(2)知，PF=OA=13．分三种情况解答：①QP=FQ，作QG⊥x轴于G，则11﹣t﹣2t=2t+13﹣（11﹣t）；②PQ=FP；③FQ=FP．
【解答】解：(1)设OP=2t，QB=t，PA=13﹣2t，要使四边形PABQ为平行四边形，则13﹣2t=t
∴．
(2)不变．
∵，
∴=，
∵QB∥DE∥PA，
∴=，
∴AF=2QB=2t，
∴PF=OA=13，
∴S△PQF=；
(3)由(2)知，PF=OA=13，
①QP=FQ，作QG⊥x轴于G，则11﹣t﹣2t=2t+13﹣（11﹣t），
∴；
②PQ=FP，
∴，
∴；
③FQ=FP，，
∴t=1；
综上，当或时，△PQF是等腰三角形．
【点评】本题综合考查了平行线分线段成比例、平行四边形的判定、等腰三角形的判定及勾股定理与直角梯形性质的应用．解答此题时，多处用到了分类讨论的数学思想，防止漏解．
24．在等边△ABC中，点D为AC上一点，连接BD，直线l与AB，BD，BC分别相交于点E，P，F，且∠BPF=60°.
(1)如图(1)，写出图中所有与△BPF相似的三角形，并选择其中一对给予证明；
(2)若直线l向右平移到图(2)，图(3)的位置时（其它条件不变），(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请写出来（不需证明），若不成立，请说明理由；
(3)探究：如图(1)，当BD满足什么条件时（其它条件不变），EF=BF？请写出探究结果，并说明理由.
【考点】SO：相似形综合题．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】(1)先判断出∠BPF=∠EBF=60°，再结合公共角即可得出结论；
(2)同(2)的方法即可得出结论；
(3)先判断出∠BEF=30°，再利用锐角三角函数即可得出结论．
【解答】解：(1)△BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD，
理由：∵等边△ABC中，∴∠EPF=60°，
∴∠BPF=∠EBF=60°，∠BFP=∠BFE，
∴△BPF∽△EBF，
同理：△BPF∽△BCD
(2)成立，△BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD，
理由：∵等边△ABC中，∴∠EPF=60°，
∴∠BPF=∠EBF=60°，∠BFP=∠BFE，
∴△BPF∽△EBF，
同理：△BPF∽△BCD
(3)当BD平分∠ABC时，EF=BF，
理由：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBF=30°，
∵∠BPF=60°，∠BFP=90°，
∴∠BEF=60°﹣30°=30°，
在Rt△BEF中，∠EBF=60°，
∴tan60°=，
即：EF=BF．
【点评】此题是相似形综合题，主要考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定，锐角三角函数的意义，解本题的关键是求出∠EBF=60°，是一道比较简单的题目．
期中测试卷（2）
一．选择题
1．下列关系式中y是x的二次函数的是（ ）
A．y=x2 B．y= C．y= D．y=ax2
2．已知抛物线和直线l在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=﹣1，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线上的点，P3（x3，y3）是直线l上的点，且x3＜﹣1＜x1＜x2，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
3．若y﹣4与x2成正比例，当x=2时，y=6，则y与x的函数关系式是（ ）
A．y=x2+4 B．y=﹣x2+4 C．y=﹣x2+4 D．y=x2+4
4．已知二次函数y=（k﹣2）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．k≥3 B．k＜3 C．k≤3且k≠2 D．k＜2
5．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O恰为水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.在过OA的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y=﹣x2+2x+，则下列结论：
(1)柱子OA的高度为m；
(2)喷出的水流距柱子1m处达到最大高度；
(3)喷出的水流距水平面的最大高度是2.5m；
(4)水池的半径至少要2.5m才能使喷出的水流不至于落在池外.
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．已知x：y=5：2，则下列各式中不正确的是（ ）
A．= B．= C．= D．=
7．如图是著名画家达芬奇的名画《蒙娜丽莎》．画中的脸部被包在矩形ABCD内，点E是AB的黄金分割点，BE＞AE，若AB=2a，则BE长为（ ）
A．（+1）a B．（﹣1）a C．（3﹣）a D．（﹣2）a
8．如图，在△ABC中，D为AB上的一点，过点D作DE∥BC交AC于点E，过点D作DF∥AC交BC 于点F，则下列结论错误的是（ ）
A．= B．= C．= D．=
9．对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是（ ）
A．图形中线段的长度与角的大小都保持不变B．图形中线段的长度与角的大小都会改变C．图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变D．图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变
10．如图所示，图中共有相似三角形（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
11．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，如果S△ACD：S△ABC=1：2，那么S△AOD：S△BOC是（ ）
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：6
12．如图，已知小鱼与大鱼是位似图形，则小鱼的点（a，b）对应大鱼的点（ ）
A．（﹣a，﹣2b） B．（﹣2a，﹣b） C．（﹣2b，﹣2a） D．（﹣2a，﹣2b）
二．填空题
13．如图，在同一时刻，测得小丽和旗杆的影长分别为1m和6m，小华的身高约为1.8m，则旗杆的高约为 m.
14．人体下半身与身高的比例越接近0.618，越给人美感.遗憾的是，即使芭蕾舞演员也达不到如此的完美.某女士身高1.68m，下半身1.02m，她应该选择穿 （精确到0.1cm）的高跟鞋看起来更美.
15．如图，DE∥BC，DE：BC=4：5，则EA：AC= .
16．如图，△ABC内接于⊙O，D是上一点，E是BC的延长线上一点，AE交⊙O于点F，若要使△ADB∽△ACE，还需添加一个条件，这个条件可以是 .
17．二次函数y=﹣x2+2x﹣3，用配方法化为y=a（x﹣h）2+k的形式为 .
18．某种商品的进价为40元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100﹣x）件，当x= 时才能使利润最大．
三．解答题
19．如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为（10，0），抛物线y=ax2+bx+4过点B，C两点，且与x轴的一个交点为D（﹣2，0），点P是线段CB上的动点，设CP=t（0＜t＜10）.
(1)请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式；
(2)过点P作PE⊥BC，交抛物线于点E，连接BE，当t为何值时，∠PBE=∠OCD？
(3)点Q是x轴上的动点，过点P作PM∥BQ，交CQ于点M，作PN∥CQ，交BQ于点N，当四边形PMQN为正方形时，请求出t的值.
20．如图，直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，∠ACB=90°，抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点.
(1)求A、B两点的坐标；
(2)求抛物线的解析式；
(3)点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC于点D，求△DMH周长的最大值.
21．如图，已知点O （0，0），A （﹣5，0），B （2，1），抛物线l：y=﹣（x﹣h）2+1（h为常数）与y轴的交点为C.
(1)抛物线l经过点B，求它的解析式，并写出此时抛物线l的对称轴及顶点坐标；
(2)设点C的纵坐标为yc，求yc的最大值，此时抛物线l上有两点（x1，y1），（x2，y2），其中x1＞x2≥0，比较y1与y2的大小；
(3)当线段OA被l只分为两部分，且这两部分的比是1：4时，求h的值.
22．如图1所示，点C将线段AB分成两部分，如果，那么点C为线段AB的黄金分割点.某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1、S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线.
(1)研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点，如图2所示，则直线CD是△ABC的黄金分割线，你认为对吗？说说你的理由；
(2)请你说明：三角形的中线是否是该三角形的黄金分割线.
23．如图，在直角梯形OABC中，OA∥BC，A、B两点的坐标分别为A（13，0），B（11，12）．动点P、Q分别从O、B两点出发，点P以每秒2个单位的速度沿x轴向终点A运动，点Q以每秒1个单位的速度沿BC方向运动；当点P停止运动时，点Q也同时停止运动．线段PQ和OB相交于点D，过点D作DE∥x轴，交AB于点E，射线QE交x轴于点F．设动点P、Q运动时间为t（单位：秒）．
(1)当t为何值时，四边形PABQ是平行四边形.
(2)△PQF的面积是否发生变化？若变化，请求出△PQF的面积s关于时间t的函数关系式；若不变，请求出△PQF的面积.
(3)随着P、Q两点的运动，△PQF的形状也随之发生了变化，试问何时会出现等腰△PQF？
24．在等边△ABC中，点D为AC上一点，连接BD，直线l与AB，BD，BC分别相交于点E，P，F，且∠BPF=60°.
(1)如图(1)，写出图中所有与△BPF相似的三角形，并选择其中一对给予证明；
(2)若直线l向右平移到图(2)，图(3)的位置时（其它条件不变），(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请写出来（不需证明），若不成立，请说明理由；
(3)探究：如图(1)，当BD满足什么条件时（其它条件不变），EF=BF？请写出探究结果，并说明理由.
答案
一．选择题
1．下列关系式中y是x的二次函数的是（ ）
A．y=x2 B．y= C．y= D．y=ax2
【考点】H1：二次函数的定义．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据二次函数的定义判定即可．
【解答】解：A、y=x2，是二次函数，正确；
B、y=，被开方数含自变量，不是二次函数，错误；
C、y=，分母中含自变量，不是二次函数，错误；
D、a=0时，不是二次函数，错误．
故选A．
【点评】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握二次根式的定义是解题关键．
2．已知抛物线和直线l在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=﹣1，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线上的点，P3（x3，y3）是直线l上的点，且x3＜﹣1＜x1＜x2，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
【考点】H3：二次函数的性质；H2：二次函数的图象．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】设点P0（﹣1，y0）为抛物线的顶点，根据一次函数的单调性结合抛物线开口向下即可得出y3＞y0，再根据二次函数的性质结合二次函数图象即可得出y0＞y1＞y2，进而即可得出y2＜y1＜y3，此题得解．
【解答】解：设点P0（﹣1，y0）为抛物线的顶点，
∵抛物线的开口向下，
∴点P0（﹣1，y0）为抛物线的最高点．
∵直线l上y值随x值的增大而减小，且x3＜﹣1，直线l在抛物线上方，
∴y3＞y0．
∵在x＞﹣1上时，抛物线y值随x值的增大而减小，﹣1＜x1＜x2，
∴y0＞y1＞y2，
∴y2＜y1＜y3．
故选D．
【点评】本题考查了二次函数的性质、一次函数的性质以及二次函数的图象，设点P0（﹣1，y0）为抛物线的顶点，根据一次（二次）函数的性质找出y2＜y1＜y0＜y3是解题的关键．
3．若y﹣4与x2成正比例，当x=2时，y=6，则y与x的函数关系式是（ ）
A．y=x2+4 B．y=﹣x2+4 C．y=﹣x2+4 D．y=x2+4
【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据正比例函数的定义可设y﹣4=kx2，然后把x=2，y=6代入可计算出k的值，则可得到y与x的函数关系式．
【解答】解：根据题意得y﹣4=kx2，
当x=2，y=6，则4k=6﹣4，解得k=，
所以y﹣4=x2，
即y与x的函数关系式为y=x2+4．
故选D．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了正比例函数的定义．
4．已知二次函数y=（k﹣2）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．k≥3 B．k＜3 C．k≤3且k≠2 D．k＜2
【考点】HA：抛物线与x轴的交点．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据二次函数图象与x轴有交点可得出关于x的一元二次方程有解，根据根的判别式结合二次项系数非零即可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
【解答】解：∵二次函数y=（k﹣2）x2+2x+1的图象与x轴有交点，
∴一元二次方程（k﹣2）x2+2x+1=0有解，
∴，
解得：k≤3且k≠2．
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、根的判别式以及解一元一次不等式组，根据根的判别式△≥0结合二次项系数非零找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．
5．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O恰为水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.在过OA的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y=﹣x2+2x+，则下列结论：
(1)柱子OA的高度为m；
(2)喷出的水流距柱子1m处达到最大高度；
(3)喷出的水流距水平面的最大高度是2.5m；
(4)水池的半径至少要2.5m才能使喷出的水流不至于落在池外.
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】HE：二次函数的应用．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】在已知抛物线解析式的情况下，利用其性质，求顶点（最大高度），与x轴，y轴的交点，解答题目的问题．
【解答】解：当x=0时，y=，故柱子OA的高度为m；(1)正确；
∵y=﹣x2+2x+=﹣（x﹣1）2+2.25，
∴顶点是（1，2.25），
故喷出的水流距柱子1m处达到最大高度，喷出的水流距水平面的最大高度是2.25米；故(2)正确，(3)错误；
解方程﹣x2+2x+=0，
得x1=﹣，x2=，
故水池的半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不至于落在水池外，(4)正确．
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线解析式的实际应用，掌握抛物线顶点坐标，与x轴交点，y轴交点的实际意义是解决问题的关键．
6．已知x：y=5：2，则下列各式中不正确的是（ ）
A．= B．= C．= D．=
【考点】S1：比例的性质．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据合比性质，可判断A，根据分比性质，可判断B，根据合比性质、反比性质，可判断C，根据分比性质、反比性质，可判断D．
【解答】解：A、由合比性质，得=，故A正确；
B、由分比性质，得=，故B正确；
C、由反比性质，得y：x=2：5．由合比性质，得=，再由反比性质，得=，故C正确；
D、由反比性质，得y：x=2：5．由分比性质，得=．再由反比性质，得=，故D错误；
故选；D．
【点评】本题考查了比例的性质，利用了反比性质，合比性质、分比性质，记住性质是解题关键．
7．如图是著名画家达芬奇的名画《蒙娜丽莎》．画中的脸部被包在矩形ABCD内，点E是AB的黄金分割点，BE＞AE，若AB=2a，则BE长为（ ）
A．（+1）a B．（﹣1）a C．（3﹣）a D．（﹣2）a
【考点】S3：黄金分割．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】直接根据黄金分割的定义求解．
【解答】解：∵点E是AB的黄金分割点，BE＞AE，
∴BE=AB=•2a=（﹣1）a．
故选B．
【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
8．如图，在△ABC中，D为AB上的一点，过点D作DE∥BC交AC于点E，过点D作DF∥AC交BC 于点F，则下列结论错误的是（ ）
A．= B．= C．= D．=
【考点】S4：平行线分线段成比例．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，再把它们等量代换，即可得出答案．
【解答】解：∵DF∥AC，
∴=，
∵DE∥BC，
∴四边形DECF为平行四边形，
∴DE=CF，
∴=，故A正确；
∵DE∥BC，
∴=，故B正确；
∵DE∥BC，DF∥AC，
∴=，=，故C错误；
∵DE∥BC，DF∥AC，
∴=，=，
∴=，故D正确；
故选C．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，此题比较简单，注意掌握比例线段的对应关系是解此题的关键．
9．对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是（ ）
A．图形中线段的长度与角的大小都保持不变B．图形中线段的长度与角的大小都会改变C．图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变D．图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变
【考点】S5：相似图形．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据相似图形的性质得出相似图形的对应边成比例，对应角相等，即可得出答案．
【解答】解：根据相似多边形的性质：相似多边形的对应边成比例，对应角相等，
∴对一个图形进行收缩时，图形中线段的长度改变，角的大小不变，
故选D．
【点评】本题主要考查对相似图形的性质的理解和掌握，能熟练地根据相似图形的性质进行说理是解此题的关键．
10．如图所示，图中共有相似三角形（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【考点】S8：相似三角形的判定；M5：圆周角定理．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】可以运用相似三角形的判定方法进行验证．
【解答】解：共四对，分别是△PAC∽△PBD、△AOC∽△DOB、
△AOB∽△COD、△PAD∽△PCB．
故选C．
【点评】主要考查相似三角形的判定方法的掌握情况．
11．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，如果S△ACD：S△ABC=1：2，那么S△AOD：S△BOC是（ ）
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：6
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；LH：梯形．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】首先根据S△ACD：S△ABC=1：2，可得AD：BC=1：2；然后根据相似三角形的面积的比的等于它们的相似比的平方，求出S△AOD：S△BOC是多少即可．
【解答】解：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，而且S△ACD：S△ABC=1：2，
∴AD：BC=1：2；
∵AD∥BC，
∴△AOD～△BOC，
∵AD：BC=1：2，
∴S△AOD：S△BOC=1：4．
故选：B．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质的应用，以及梯形的特征和应用，要熟练掌握．
12．如图，已知小鱼与大鱼是位似图形，则小鱼的点（a，b）对应大鱼的点（ ）
A．（﹣a，﹣2b） B．（﹣2a，﹣b） C．（﹣2b，﹣2a） D．（﹣2a，﹣2b）
【考点】SC：位似变换；D5：坐标与图形性质．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】直接利用位似图形的性质得出位似比，进而得出答案．
【解答】解：由图形可得，小鱼与大鱼的位似比为：1：2，
则小鱼的点（a，b）对应大鱼的点为：（﹣2a，﹣2b）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确得出位似比是解题关键．
二．填空题
13．如图，在同一时刻，测得小丽和旗杆的影长分别为1m和6m，小华的身高约为1.8m，则旗杆的高约为 m.
【考点】SA：相似三角形的应用．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】由小丽与旗杆的长度之比等于影子之比求出所求即可．
【解答】解：根据题意得：=，
解得：x=10.4，
则旗杆的高约为10.4m，
故答案为：10.4
【点评】此题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键．
14．人体下半身与身高的比例越接近0.618，越给人美感.遗憾的是，即使芭蕾舞演员也达不到如此的完美.某女士身高1.68m，下半身1.02m，她应该选择穿 （精确到0.1cm）的高跟鞋看起来更美.
【考点】S3：黄金分割；1H：近似数和有效数字．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】设她应选择高跟鞋的高度是xcm，根据黄金分割的定义，列出方程直接求解即可．
【解答】解：设她应选择高跟鞋的高度是xcm，则
=0.618，
解得：x≈4.8cm．
经检验知x≈4.8是原方程的解，
答：她应该选择穿4.8cm的高跟鞋看起来更美．
故本题答案为：4.8．
【点评】此题主要考查了黄金分割，据题黄金分割的定义列出方程是本题的关键．注意身高不要忘记加上高跟鞋的高度．
15．如图，DE∥BC，DE：BC=4：5，则EA：AC= .
【考点】S4：平行线分线段成比例．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】如图，首先证明△ADE∽△ABC，列出比例式即可解决问题．
【解答】解：如图，∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
故答案为4：5．
【点评】该题主要考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题；牢固掌握平行线分线段成比例定理、准确找出图形中的对应线段是解题的关键．
16．如图，△ABC内接于⊙O，D是上一点，E是BC的延长线上一点，AE交⊙O于点F，若要使△ADB∽△ACE，还需添加一个条件，这个条件可以是 .
【考点】S8：相似三角形的判定；M6：圆内接四边形的性质．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠ADB=∠ACE，然后可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似添加条件．
【解答】解：∵四边形ADBC为⊙O的内接四边形，
∴∠ADB=∠ACE，
当∠DAB=∠CAE时，△ADB∽△ACE．
故答案为∠DAB=∠CAE．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了圆内接四边形的性质．
17．二次函数y=﹣x2+2x﹣3，用配方法化为y=a（x﹣h）2+k的形式为 .
【考点】H9：二次函数的三种形式．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】直接利用配方法表示出顶点式即可．
【解答】解：∵y=﹣x2+2x﹣3
=﹣（x2﹣2x）﹣3
=﹣（x﹣1）2﹣2．
故答案为：y=﹣（x﹣1）2﹣2．
【点评】此题主要考查了二次函数的三种形式，正确配方法是解题关键．
18．某种商品的进价为40元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100﹣x）件，当x= 时才能使利润最大．
【考点】HE：二次函数的应用．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】根据题意可以得到利润与售价之间的函数关系式，然后化为顶点式即可解答本题．
【解答】解：设获得的利润为w元，由题意可得，
w=（x﹣40）（100﹣x）=﹣（x﹣70）2+900，
∴当x=70时，w取得最大值，
故答案为：70．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
三．解答题
19．如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为（10，0），抛物线y=ax2+bx+4过点B，C两点，且与x轴的一个交点为D（﹣2，0），点P是线段CB上的动点，设CP=t（0＜t＜10）.
(1)请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式；
(2)过点P作PE⊥BC，交抛物线于点E，连接BE，当t为何值时，∠PBE=∠OCD？
(3)点Q是x轴上的动点，过点P作PM∥BQ，交CQ于点M，作PN∥CQ，交BQ于点N，当四边形PMQN为正方形时，请求出t的值.
【考点】HF：二次函数综合题．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】(1)由抛物线的解析式可求得C点坐标，由矩形的性质可求得B点坐标，由B、D的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
(2)可设P（t，4），则可表示出E点坐标，从而可表示出PB、PE的长，由条件可证得△PBE∽△OCD，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值；
(3)当四边形PMQN为正方形时，则可证得△COQ∽△QAB，利用相似三角形的性质可求得CQ的长，在Rt△BCQ中可求得BQ、CQ，则可用t分别表示出PM和PN，可得到关于t的方程，可求得t的值．
【解答】解：
(1)在y=ax2+bx+4中，令x=0可得y=4，
∴C（0，4），
∵四边形OABC为矩形，且A（10，0），
∴B（10，4），
把B、D坐标代入抛物线解析式可得，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+4；
(2)由题意可设P（t，4），则E（t，﹣t2+t+4），
∴PB=10﹣t，PE=﹣t2+t+4﹣4=﹣t2+t，
∵∠BPE=∠COD=90°，∠PBE=∠OCD，
∴△PBE∽△OCD，
∴=，即BP•OD=CO•PE，
∴2（10﹣t）=4（﹣t2+t），解得t=3或t=10（不合题意，舍去），
∴当t=3时，∠PBE=∠OCD；
(3)当四边形PMQN为正方形时，则∠PMC=∠PNB=∠CQB=90°，PM=PN，
∴∠CQO+∠AQB=90°，
∵∠CQO+∠OCQ=90°，
∴∠OCQ=∠AQB，
∴Rt△COQ∽Rt△QAB，
∴=，即OQ•AQ=CO•AB，
设OQ=m，则AQ=10﹣m，
∴m（10﹣m）=4×4，解得m=2或m=8，
①当m=2时，CQ==2，BQ==4，
∴sin∠BCQ==，sin∠CBQ==，
∴PM=PC•sin∠PCQ=t，PN=PB•sin∠CBQ=（10﹣t），
∴t=（10﹣t），解得t=，
②当m=8时，同理可求得t=，
∴当四边形PMQN为正方形时，t的值为或．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及矩形的性质、待定系数法、相似三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形、方程思想等知识．在(1)中注意利用矩形的性质求得B点坐标是解题的关键，在(2)中证得△PBE∽△OCD是解题的关键，在(3)中利用Rt△COQ∽Rt△QAB求得CQ的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．
20．如图，直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，∠ACB=90°，抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点.
(1)求A、B两点的坐标；
(2)求抛物线的解析式；
(3)点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC于点D，求△DMH周长的最大值.
【考点】HF：二次函数综合题．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】(1)由直线解析式可求得B、C坐标，在Rt△BOC中由三角函数定义可求得∠OCB=60°，则在Rt△AOC中可得∠ACO=30°，利用三角函数的定义可求得OA，则可求得A点坐标；
(2)由A、B两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
(3)由平行线的性质可知∠MDH=∠BCO=60°，在Rt△DMH中利用三角函数的定义可得到DH、MH与DM的关系，可设出M点的坐标，则可表示出DM的长，从而可表示出△DMH的周长，利用二次函数的性质可求得其最大值．
【解答】解：
(1)∵直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，
∴B（3，0），C（0，），
∴OB=3，OC=，
∴tan∠BCO==，
∴∠BCO=60°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACO=30°，
∴=tan30°=，即=，解得AO=1，
∴A（﹣1，0）；
(2)∵抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点，
∴，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+；
(3)∵MD∥y轴，MH⊥BC，
∴∠MDH=∠BCO=60°，则∠DMH=30°，
∴DH=DM，MH=DM，
∴△DMH的周长=DM+DH+MH=DM+DM+DM=DM，
∴当DM有最大值时，其周长有最大值，
∵点M是直线BC上方抛物线上的一点，
∴可设M（t，﹣t2+t+），则D（t，﹣t+），
∴DM=﹣t2+t+），则D（t，﹣t+），
∴DM=﹣t2+t+﹣（﹣t+）=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+，
∴当t=时，DM有最大值，最大值为，
此时DM=×=，
即△DMH周长的最大值为．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角函数的定义、二次函数的性质、方程思想等知识．在(1)中注意函数图象与坐标的交点的求法，在(2)中注意待定系数法的应用，在(3)中找到DH、MH与DM的关系是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
21．如图，已知点O （0，0），A （﹣5，0），B （2，1），抛物线l：y=﹣（x﹣h）2+1（h为常数）与y轴的交点为C.
(1)抛物线l经过点B，求它的解析式，并写出此时抛物线l的对称轴及顶点坐标；
(2)设点C的纵坐标为yc，求yc的最大值，此时抛物线l上有两点（x1，y1），（x2，y2），其中x1＞x2≥0，比较y1与y2的大小；
(3)当线段OA被l只分为两部分，且这两部分的比是1：4时，求h的值.
【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；H7：二次函数的最值．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】(1)把x=2，y=1代入二次函数的解析式计算，得到解析式，根据二次函数的性质得到抛物线l的对称轴及顶点坐标；
(2)根据坐标的特征求出yc，根据平方的非负性求出yc的最大值，根据二次函数的性质比较y1与y2的大小；
(3)根据把线段OA分1：4两部分的点是（﹣1，0）或（﹣4，0），代入计算即可．
【解答】解：(1)把x=2，y=1代入y=﹣（x﹣h）2+1，得：h=2，
∴解析式为：y=﹣（x﹣2）2+1，
∴对称轴为：x=2，顶点坐标为：（2，1）；
(2)点C的横坐标为0，则yc=﹣h2+1，
∴当h=0时，yc有最大值为1，
此时，抛物线为：y=﹣x2+1，对称轴为y轴，
当x≥0时，y随着x的增大而减小，
∴x1＞x2≥0时，y1＜y2；
(3)把线段OA分1：4两部分的点是（﹣1，0）或（﹣4，0），
把x=﹣1，y=0代入y=﹣（x﹣h）2+1，得：h=0或h=﹣2．
但h=﹣2时，线段OA被分为三部分，不合题意，舍去，
同样，把x=﹣4，y=0代入y=﹣（x﹣h）2+1，
得：h=﹣5或h=﹣3（舍去），
∴h的值为0或﹣5．
【点评】本题考查的是二次函数的最值的确定、待定系数法的应用，灵活运用待定系数法求出二次函数的解析式、熟记二次函数的性质是解题的关键．
22．如图1所示，点C将线段AB分成两部分，如果，那么点C为线段AB的黄金分割点.某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1、S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线.
(1)研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点，如图2所示，则直线CD是△ABC的黄金分割线，你认为对吗？说说你的理由；
(2)请你说明：三角形的中线是否是该三角形的黄金分割线.
【考点】S3：黄金分割；K3：三角形的面积．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】(1)结合线段的黄金分割点的概念和三角形的面积公式进行分析计算；
(2)根据三角形的中线的概念可知分成的两个三角形的面积相等，显然不符合黄金分割线的概念．
【解答】解：∵，，
又∵D是AB的黄金分割点，
∴，
，
∴CD是△ABC的黄金分割线；
(2)不是．
∵CD是△ABC的中线，
∴AD=DB，
∴=，
而=1，
∴≠，
∴中线不是黄金分割线．
【点评】主要考查的是线段的黄金分割点的概念和三角形的面积公式．
23．如图，在直角梯形OABC中，OA∥BC，A、B两点的坐标分别为A（13，0），B（11，12）．动点P、Q分别从O、B两点出发，点P以每秒2个单位的速度沿x轴向终点A运动，点Q以每秒1个单位的速度沿BC方向运动；当点P停止运动时，点Q也同时停止运动．线段PQ和OB相交于点D，过点D作DE∥x轴，交AB于点E，射线QE交x轴于点F．设动点P、Q运动时间为t（单位：秒）．
(1)当t为何值时，四边形PABQ是平行四边形.
(2)△PQF的面积是否发生变化？若变化，请求出△PQF的面积s关于时间t的函数关系式；若不变，请求出△PQF的面积.
(3)随着P、Q两点的运动，△PQF的形状也随之发生了变化，试问何时会出现等腰△PQF？
【考点】S4：平行线分线段成比例；KH：等腰三角形的性质；KQ：勾股定理；L5：平行四边形的性质；LI：直角梯形．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】(1)设OP=2t，QB=t，PA=13﹣2t，根据平行四边形的性质（对边平行且相等）知，只需QB=PA，从而求得t；
(2)根据平行线分线段成比例求得=；然后由平行线OB∥DE∥PA分线段成比例求得=；利用等量代换求得AF=2QB=2t，PF=OA=13；最后由三角形的面积公式求得△PQF的面积；
(3)由(2)知，PF=OA=13．分三种情况解答：①QP=FQ，作QG⊥x轴于G，则11﹣t﹣2t=2t+13﹣（11﹣t）；②PQ=FP；③FQ=FP．
【解答】解：(1)设OP=2t，QB=t，PA=13﹣2t，要使四边形PABQ为平行四边形，则13﹣2t=t
∴．
(2)不变．
∵，
∴=，
∵QB∥DE∥PA，
∴=，
∴AF=2QB=2t，
∴PF=OA=13，
∴S△PQF=；
(3)由(2)知，PF=OA=13，
①QP=FQ，作QG⊥x轴于G，则11﹣t﹣2t=2t+13﹣（11﹣t），
∴；
②PQ=FP，
∴，
∴；
③FQ=FP，，
∴t=1；
综上，当或时，△PQF是等腰三角形．
【点评】本题综合考查了平行线分线段成比例、平行四边形的判定、等腰三角形的判定及勾股定理与直角梯形性质的应用．解答此题时，多处用到了分类讨论的数学思想，防止漏解．
24．在等边△ABC中，点D为AC上一点，连接BD，直线l与AB，BD，BC分别相交于点E，P，F，且∠BPF=60°.
(1)如图(1)，写出图中所有与△BPF相似的三角形，并选择其中一对给予证明；
(2)若直线l向右平移到图(2)，图(3)的位置时（其它条件不变），(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请写出来（不需证明），若不成立，请说明理由；
(3)探究：如图(1)，当BD满足什么条件时（其它条件不变），EF=BF？请写出探究结果，并说明理由.
【考点】SO：相似形综合题．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】(1)先判断出∠BPF=∠EBF=60°，再结合公共角即可得出结论；
(2)同(2)的方法即可得出结论；
(3)先判断出∠BEF=30°，再利用锐角三角函数即可得出结论．
【解答】解：(1)△BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD，
理由：∵等边△ABC中，∴∠EPF=60°，
∴∠BPF=∠EBF=60°，∠BFP=∠BFE，
∴△BPF∽△EBF，
同理：△BPF∽△BCD
(2)成立，△BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD，
理由：∵等边△ABC中，∴∠EPF=60°，
∴∠BPF=∠EBF=60°，∠BFP=∠BFE，
∴△BPF∽△EBF，
同理：△BPF∽△BCD
(3)当BD平分∠ABC时，EF=BF，
理由：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBF=30°，
∵∠BPF=60°，∠BFP=90°，
∴∠BEF=60°﹣30°=30°，
在Rt△BEF中，∠EBF=60°，
∴tan60°=，
即：EF=BF．
【点评】此题是相似形综合题，主要考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定，锐角三角函数的意义，解本题的关键是求出∠EBF=60°，是一道比较简单的题目．
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