青岛版九年级下册5.4二次函数的图像与性质教案
展开教学目标
【知识与能力】
会用描点法画二次函数y=a(x-h)2+k的图象,并通过图象认识函数的性质。
【过程与方法】
掌握抛物线y=ax2与y=a(x-h)2+k之间的平移规律。
【情感态度价值观】
体会数形结合的思想方法。
教学重难点
【教学重点】
二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象及其性质。
【教学难点】
二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2(a≠0)的图象之间的平移关系。
课前准备
无
教学过程
环节1
阅读教材,完成下面练习.
【3 min反馈】
1.抛物线y=-3(x+2)2-4的顶点坐标是(-2,-4),当x<-2时,函数值y随x的增大而增大.
2.若抛物线的对称轴为x=-1,与x轴的一个交点坐标为(1,0),则这条抛物线与x轴的另一个交点坐标是(-3,0).
3.抛物线y=a(x-h)2+k的特点:当a>0时,开口向上;当a<0时,开口向下;对称轴是直线x=h;顶点坐标是(h,k).
4.一般地,抛物线y=a(x-h)2+k与抛物线y=ax2的形状相同(因为a值相同),而位置不同.将抛物线y=ax2上下平移,可得到抛物线y=ax2+k(k>0时,向上平移k个单位;k<0时,向下平移-k个单位),再将抛物线y=ax2+k左右平移后,可得到抛物线y=a(x-h)2+k(h>0时,向右平移;h<0时,向左平移).
环节2 合作探究,解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】关于二次函数y=-(x+1)2+2的图象,下列判断正确的是( )
A.图象开口向上
B.图象的对称轴是直线x=1
C.图象有最低点
D.图象的顶点坐标为(-1,2)
【互动探索】(引发学生思考)∵-1<0,∴函数图象的开口向下,图象有最高点,故A、C错误.∵二次函数y=-(x+1)2+2的图象的顶点是(-1,2),∴对称轴是直线x=-1,故B错误,D正确.
【答案】D
【互动总结】(学生总结,老师点评)二次函数y=a(x-h)2+k图象的开口方向、最高(低)点由a决定;对称轴由h决定;顶点坐标由h、k共同决定.
【例2】已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为(-1,2),且图象过点(1,-3).
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)写出它的开口方向、对称轴.
【互动探索】(引发学生思考)已知二次函数图象的顶点坐标,设顶点式y=a(x-h)2+k.
【解答】(1)∵二次函数的图象的顶点坐标为(-1,2),
∴设函数解析式为y=a(x+1)2+2.
把点(1,-3)代入解析式,得a=-eq \f(5,4).
故抛物线的解析式为y=-eq \f(5,4)(x+1)2+2.
(2)由(1)可得抛物线的开口向下,对称轴为x=-1.
【互动总结】(学生总结,老师点评)已知二次函数图象的顶点,可以将二次函数的解析式设为y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,再根据题目中的条件,利用待定系数法求出二次函数的解析式.
活动2 巩固练习(学生独学)
1.对于抛物线y=-(x+2)2+3,下列结论中正确结论的个数为( A )
①抛物线的开口向下;②对称轴是直线x=-2;③图象不经过第一象限;④当x>-2时,y随x的增大而减小.
A.4B.3
C.2D.1
2.已知二次函数y=a(x-1)2-c的图象如图所示,则一次函数y=ax+c的大致图象可能是( A )
3.已知二次函数的图象顶点坐标为(-4,3),且经过坐标原点,则这个二次函数的表达式是y=-eq \f(3,16)(x+4)2+3.
4.已知二次函数y=a(x-h)2+k的图象先向左平移2个单位,再向上平移4个单位,得到抛物线y=-eq \f(1,2)(x+1)2+3.
(1)试确定a、h、k的值;
(2)指出二次函数y=a(x-h)2+k图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.
解:(1)二次函数y=a(x-h)2+k的图象先向左平移2个单位,再向上平移4个单位,得到抛物线解析式为y=a(x-h+2)2+k+4,则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a=-\f(1,2),,-h+2=1,,k+4=3,))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a=-\f(1,2),,h=1,,k=-1.))
(2)由(1)得y=a(x-h)2+k=-eq \f(1,2)(x-1)2-1.故它的开口方向向下;对称轴为直线x=1;顶点坐标为(1,-1).
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】已知抛物线y=(x+h)2+k的顶点坐标为(1,-4).
(1)求抛物线与x轴的两个交点A、B的坐标;
(2)将抛物线沿y轴翻折,得到一个新的抛物线,求新抛物线的解析式;
(3)写出抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式.
【互动探索】(引发学生思考)求出函数解析式→画出函数图象→观察抛物线沿y轴翻折,沿x轴翻折后的形状、位置特点→求出解析式.
【解答】(1)抛物线y=(x+h)2+k的顶点坐标为(1,-4).则h=-1,k=-4.
即函数的解析式是y=(x-1)2-4.
令y=0,则(x-1)2-4=0,解得x1=-1,x2=3.
则A、B的坐标是(-1,0)或(3,0).
(2)∵抛物线沿y轴翻折,∴顶点坐标是(-1,-4),则函数的解析式是y=(x+1)2-4.
(3)抛物线关于x轴对称的顶点坐标是(1,4),则函数的解析式是y=-(x-1)2+4.
【互动总结】(学生总结,老师点评)二次函数的图象沿y轴翻折,则开口方向不变,即二次项系数不变,翻折前后的顶点关于y轴对称;沿x轴翻折,则开口方向改变,即二次项系数变成相反数,翻折前后的顶点关于x轴对称.
环节3 课堂小结,当堂达标
(学生总结,老师点评)
eq \a\vs4\al(二次函数y=,ax-h2+k,的图象与性质)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(开口方向\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(当a>0时,向上,当a<0时,向下)),对称轴——x=h,顶点坐标——h,k,增减性\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(当a>0时,先减后增,当a<0时,先增后减)),最值\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(当a>0时,有最小值k,当a<0时,有最大值k))))
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