2021年高考数学解答题专项练习《立体几何》文数(含答案)

2021年高考数学解答题专项练习《立体几何》文数

1.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D,E分别是AB，BB1的中点.

（1）证明： BC1//平面A1CD;

（2）设AA1= AC=CB=2，AB=2，求三棱锥C一A1DE的体积.

2.如图所示，在棱长为2的正方体ACBD-A1C1B1D1中，M是线段AB上的动点．

（1）证明：AB//平面A1B1C；

（2）若M是AB的中点，证明：平面MCC1⊥平面ABB1A1；

（3）求三棱锥M-A1B1C的体积．

3.如图，已知三棱锥A-BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形.

（1）求证：DM//平面APC；

（2）求证：BC⊥平面APC；

（3）若BC=4，AB=10，求三棱锥D-BCM的体积.

4.如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．

（1）证明：AC⊥BD；

（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．

5.在四棱锥P-ABCD中，平面PAC平面ABCD，且有AB//DC，AB=2AC=2CD=AD．

（1）证明：BC⊥PA；

（2）若，Q在线段PB上，满足PQ=2QB，求三棱锥P-ACQ的体积．

6.如图，四棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABCD，AD//BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．

（1）证明:MN//平面PAB；

（2）求四面体N-BCM的体积.

7.如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC=90°．

（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；

（2）设DO=，圆锥的侧面积为，求三棱锥P−ABC的体积.

8.如图,四边形ABCD为矩形,且AD=2,AB=1,PA⊥平面ABCD,PA=1,E为BC的中点.

（1）求证:PE⊥DE；

（2）求三棱锥C-PDE的体积；

（3）探究在PA上是否存在点G,使得EG//平面PCD，并说明理由.

9.如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.

(1)求证：PA⊥BD；

(2)求证：平面BDE⊥平面PAC；

(3)当PA∥平面BDE时，求三棱锥E－BCD的体积．

10.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，M是PC上一点.

（1）若BM⊥PC，求证：PC⊥平面MBD；

（2）若M为PC的中点，且AB=2，求三棱锥M-BCD的体积.

11.四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AD=2AB=2BC,

∠BAD=∠ABC=90°.

（1）证明：直线BC//平面PAD;

（2）若△PCD面积为，求四棱锥P-ABCD的体积.

12.如图，已知三棱柱ABC–A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点．过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．

（1）证明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；

（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB1C1F，且∠MPN=，求四棱锥B–EB1C1F的体积．

13.如图，直三棱柱A1B1C1-ABC中，AC⊥BC,AC=BC=1,CC1=2,点M是A1B1的中点.

（1）求证：B1C//平面AC1M；

（2）求三棱锥A1-AMC1的体积.

14.如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，BE⊥平面ABCD，

（1）证明：平面AEC⊥平面BED；

（2）若∠ABC=120°，AE⊥EC 三棱锥E-ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积.

15.如图，在平行四边形ABCM中，AB=AC=3，∠ACM=90°，以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA．

（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；

（2）Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且，求三棱锥Q-ABP的体积．

答案解析

16.解：（1）证明：连结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点又D是AB中点，

连结DF，则BC1∥DF．

因为DF⊂平面A1CD，BC1不包含于平面A1CD，

所以BC1∥平面A1CD．

（2）解：因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD．

由已知AC=CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB．

又AA1∩AB=A，于是CD⊥平面ABB1A1．

由AA1=AC=CB=2，得∠ACB=90°，，，，A1E=3，

故A1D2+DE2=A1E2，即DE⊥A1D

所以三菱锥C﹣A1DE的体积为：==1．

17.解:（1）证明：因为在正方体中，

，平面，平面，

平面

（2）证明：在正方体中，

,是中点，

.

平面，平面，则.

平面，平面，且，

平面.

平面，

∴平面平面

（3）因为平面，所以点，点到平面的距离相等.

故 ．

18.解:(1)证明：因为为的中点，为的中点，

所以是的中位线，.

又，，

所以.

(2)证明：因为为正三角形，为的中点，所以.

又，所以.

又因为，，所以.

因为，所以.

又因为，，

所以.

(3)因为，，

所以，即是三棱锥的高.

因为，为的中点，为正三角形，

所以.

由，可得，

在直角三角形中，由，可得.

于是.

所以.

19.解：（1）取AC的中点O，连结DO，BO.

因为AD=CD，所以AC⊥DO.

又由于是正三角形，所以AC⊥BO.

从而AC⊥平面DOB，故AC⊥BD.

（2）连结EO.

由（1）及题设知∠ADC=90°，所以DO=AO.

在中，.

又AB=BD，所以，故∠DOB=90°.

由题设知为直角三角形，所以.

又是正三角形，且AB=BD，所以.

故E为BD的中点，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，

四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，

即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为1:1.

20.解:（1）证明：不妨设，则

由是等边三角形得，

∵，∴

由余弦定理得，

即，所以，

所以，即

又平面平面ABCD

平面平面

平面ABCD，∴平面PAC

∵平面PAC，∴．

（2）依题意得，

．

21.解：（1）由已知得，取的中点，连接，

由为中点知，.

又，故平行且等于，四边形为平行四边形，

于是.

因为平面，平面，所以平面.

（2）因为平面，为的中点，

所以到平面的距离为.

取的中点，连结.由

得，.

由得到的距离为，故.

所以四面体的体积.

22.解:（1）连接，为圆锥顶点，为底面圆心，

平面，

在上，，

是圆内接正三角形，，≌，

，即，

平面平面，平面平面；

（2）设圆锥的母线为，底面半径为，圆锥的侧面积为，

，解得，，

在等腰直角三角形中，，

在中，，

三棱锥的体积为.

23.解:(1)连结,∵为的中点,,

∴为等腰直角三角形,

则,同理可得,∴,∴,

又,且, ∴,  

又∵,∴,又,∴.

(2)由(1)知为腰长为1的等腰直角三角形,

∴,而是三棱锥的高,

∴.

(3)在上存在中点,使得.理由如下:

取的中点,连结.

∵是的中点, ∴,且,   

又因为E为BC的中点,且四边形ABCD为矩形,所以EC//AD,且EC=AD,

所以EC//GH,且EC=GH,所以四边形EGHC是平行四边形,所以EG//CH,

又EG平面PCD,CH平面PCD,所以EG//平面PCD.

24.解:（I）因为，，所以平面，

又因为平面，所以.

（II）因为，为中点，所以，

由（I）知，，所以平面.

所以平面平面.

（III）因为平面，平面平面，所以.

因为为的中点，所以，.

由（I）知，平面，所以平面.

所以三棱锥的体积.

25.解：（1）证明：连接，由平面，平面得，

又，，

∴平面，得，

又，，

∴平面.

（2）解：由为的中点得

 .

26.解：（1） 在平面内，因为,所以

又平面平面故平面

（2）取的中点，连接

由及

得四边形为正方形，则.

因为侧面为等边三角形且垂直于底面，平面平面，

所以底面

因为底面，所以,

设，则，

取的中点，连接，则,所以，

因为的面积为，所以，解得（舍去），

于是

所以四棱锥的体积

27.解:（1）分别为，的中点，

又

在等边中，为中点，则

又侧面为矩形，

,

由，平面

平面

又，且平面，平面，

平面

又平面，且平面平面

又平面平面

平面

平面平面

（2）过作垂线，交点为，

画出图形，如图

平面

平面，平面平面

又

为的中心.

故：，则，

平面平面，平面平面，

平面平面

又在等边中即

由（1）知，四边形为梯形

四边形的面积为：

，

为到的距离，.

28.解:（1）连接交与，则为的中点，

又为的中点，，

又因为平面，平面，

平面；

（2）因为，直三棱柱中，

,,，

且点是的中点

所以.

29.解:（1）因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD，

因为BE平面ABCD，所以AC BE，故AC平面BED.

又AC平面AEC，所以平面AEC 平面BED

（2）设AB=，在菱形ABCD中，由 ABC=120°，可得AG=GC=,GB=GD=.

因为AEEC，所以在 AEC中，可得EG=.

连接EG，由BE平面ABCD，知 EBG为直角三角形，可得BE=.

由已知得，三棱锥E-ACD的体积.故 =2

从而可得AE=EC=ED=.

所以EAC的面积为3， △EAD的面积与△ECD的面积均为 .

故三棱锥E-ACD的侧面积为.

30.解：（1）由已知可得，=90°，．

又BA⊥AD，且，所以AB⊥平面ACD．

又AB平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC．

（2）由已知可得，DC=CM=AB=3，DA=．

又，所以．

作QE⊥AC，垂足为E，则  ．

由已知及（1）可得DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE=1．

因此，三棱锥的体积为．