2021年高考数学解答题专项练习《立体几何》五(含答案)

2021年高考数学解答题专项练习

《立体几何》五

1.如图，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点.

(1)求证：AC⊥SD；

(2)若SD⊥平面PAC，求二面角P－AC－D的大小；

(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC？若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由.

2.已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形，各侧面是全等的等腰梯形，且各侧面的面积之和等于两底面面积之和，求棱台的体积．

3.如图所示，平面四边形ADEF所在的平面与梯形ABCD所在的平面垂直，AD⊥CD，AD⊥ED，AF∥DE，AB∥CD，CD=2AB=2AD=2ED=xAF．

(1)若四点F，B，C，E共面，AB=a，求x的值；

(2)求证：平面CBE⊥平面EDB．

4.如图,已知ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP//GH.

5.如图，三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均相等，AA1⊥底面ABC，E，F分别为棱AA1,BC的中点．

（1）过FA1作平面α，使得直线BE//平面α，若平面α与直线BB1交于点H，指出点H所在的位置，并说明理由；

（2）求二面角B-FH-A1的余弦值．

6.如图,一简单几何体ABCDE的一个面ABC内接于圆O,G,H分别是AE,BC的中点,AB是圆O的直径,四边形DCBE为平行四边形,且DC⊥平面ABC.

(1)证明:GH∥平面ACD;

(2)若AC=BC=BE=2,求二面角O-CE-B的余弦值.

7.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q．求证：

（1）D，B，F，E四点共面；

（2）若A1C交平面DBFE于R点，则P,Q,R三点共线．

8.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是等边三角形，四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=120°，AB=2AD．

（1）求证：平面PAD⊥平面PBD；

（2）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．

9.如图，已知正四棱锥V﹣ABCD中，AC与BD交于点M，VM是棱锥的高，若AC=6cm，VC=5cm．

（1）求正四棱锥V﹣ABCD的体积；

（2）求直线VD与底面ABCD所成角的正弦值．

（1）求证：BC⊥平面PAC；

（2）若M为线段PA的中点，且过C，D，M三点的平面与PB交于点N，求PN：PB的值．

11.如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为菱形，且∠A1AB=∠A1AD.

（1）证明：四边形BB1D1D为矩形；

（2）若AB=A1A,∠BAD=60°，A1A与平面ABCD所成的角为30°，求二面角A1-BB1-D的余弦值.

12.如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE．
（1）证明：BD⊥平面PAC；
（2）若PA=1，AD=2，求二面角B﹣PC﹣A的正切值．

13.四棱台被过点A1，C1，D的平面截去一部分后得到如图所示的几何体，其下底面四边形ABCD是边长为2的菱形，BAD=60°，BB1⊥平面ABCD,BB1=2.

（1）求证：平面AB1C⊥平面BB1D；

（2）若AA1与底面ABCD所成角的正切值为2，求二面角A1-BD-C1的余弦值.

14.如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AC=AB1．

（1）证明：AB⊥B1C；

（2）若∠CAB1=90°，∠CBB1=60°，AB=BC=2，求三棱锥B1﹣ACB的体积．

15.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于点H，将沿EF折到的位置.

（I）证明：；

(II)若,求五棱锥体积.

答案解析

16.答案：(1)证明：连接BD，设AC交BD于O，连接SO.由题意知SO⊥AC.在正方形ABCD中，AC⊥BD，所以AC⊥平面SBD，得AC⊥SD.

(2)解：设正方形边长为a，则SD=a，又OD=a，所以∠SDO=60°.连接OP，由(1)知AC⊥平面SBD，所以AC⊥OP，且AC⊥OD，所以∠POD是二面角P－AC－D的平面角.由SD⊥平面PAC，知SD⊥OP，

所以∠POD=30°，即二面角P－AC－D的大小为30°.

(3)解：在棱SC上存在一点E，使BE∥平面PAC.

由(2)可得PD=a，故可在SP上取一点N，使PN=PD.过N作PC的平行线与SC的交点即为E.连接BN，在△BDN中，知BN∥PO.又由于NE∥PC，故平面BEN∥平面PAC，可得BE∥平面PAC.由于SN∶NP=2∶1，故SE∶EC=2∶1.

17.解：

如图所示，在三棱台ABC－A′B′C′中，O′，O分别为上、下底面的中心，D，D′

分别是BC，B′C′的中点，则DD′是等腰梯形BCC′B′的高，

又C′B′=20 cm，CB=30 cm，

所以S侧=3××(20＋30)×DD′=75DD′．

S上＋S下=×(202＋302)=325(cm2)．

由S侧=S上＋S下，得75DD′=325，所以DD′=(cm)，

又因为O′D′=×20=(cm)，OD=×30=5(cm)，

所以棱台的高h=O′O===4(cm)，

由棱台的体积公式，可得棱台的体积为

V=(S上＋S下＋)=×=1900(cm3)．

故棱台的体积为1900 cm3．

18.解：

(1)∵AF∥DE，AB∥DC，AF∩AB=A，DE∩DC=D，

∴平面ABF∥平面DCE．

∵四点F，B，C，E共面，∴FB∥CE，

∴△ABF与△DCE相似．

∵AB=a，∴ED=a，CD=2a，AF=，

由相似比得=，即=，所以x=4．

(2)证明：不妨设AB=1，则AD=AB=1，CD=2，

在Rt△BAD中，BD=，取CD中点为M，则MD与AB平行且相等，

连接BM，可得△BMD为等腰直角三角形，因此BC=，

因为BD2＋BC2=CD2，所以BC⊥BD，

又因为平面四边形ADEF所在的平面与梯形ABCD所在的平面垂直，

平面ADEF∩平面ABCD=AD，ED⊥AD，

所以ED⊥平面ABCD，所以BC⊥DE，

又因为BD∩DE=D，

所以BC⊥平面EDB，

因为BC⊂平面CBE，

所以平面CBE⊥平面EDB．

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20.解：

21.解：

22.答案：证明：如图．

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