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2021中考数学压轴题题型：专题14圆与相似三角函数综合问题（含原卷及解析卷）
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这是一份2021中考数学压轴题题型：专题14圆与相似三角函数综合问题（含原卷及解析卷），文件包含圆与相似三角函数综合问题原卷版docx、圆与相似三角函数综合问题解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共104页， 欢迎下载使用。
2021新版中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘
专题14圆与相似三角函数综合问题
【例1】（2020•绵阳）如图，△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外，∠ADC＝90°，BD交⊙O于点E，交AC于点F，∠EAC＝∠DCE，∠CEB＝∠DCA，CD＝6，AD＝8．
（1）求证：AB∥CD；
（2）求证：CD是⊙O的切线；
（3）求tan∠ACB的值．
【例2】（2020•淄博）如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC边于点E，交⊙O于点D，过点A作AF⊥BC于点F，设⊙O的半径为R，AF＝h．
（1）过点D作直线MN∥BC，求证：MN是⊙O的切线；
（2）求证：AB•AC＝2R•h；
（3）设∠BAC＝2α，求AB+ACAD的值（用含α的代数式表示）．
【例3】（2020•恩施州）如图1，AB是⊙O的直径，直线AM与⊙O相切于点A，直线BN与⊙O相切于点B，点C（异于点A）在AM上，点D在⊙O上，且CD＝CA，延长CD与BN相交于点E，连接AD并延长交BN于点F．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）求证：BE＝EF；
（3）如图2，连接EO并延长与⊙O分别相交于点G、H，连接BH．若AB＝6，AC＝4，求tan∠BHE．
【例4】（2020•孝感）已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠ABC的平分线与⊙O交于点D，与AC交于点E，连接CD并延长与⊙O过点A的切线交于点F，记∠BAC＝α．
（1）如图1，若α＝60°，
①直接写出DFDC的值为 ；
②当⊙O的半径为2时，直接写出图中阴影部分的面积为 ；
（2）如图2，若α＜60°，且DFDC=23，DE＝4，求BE的长．
【例5】（2020•鄂州）如图所示：⊙O与△ABC的边BC相切于点C，与AC、AB分别交于点D、E，DE∥OB．DC是⊙O的直径．连接OE，过C作CG∥OE交⊙O于G，连接DG、EC，DG与EC交于点F．
（1）求证：直线AB与⊙O相切；
（2）求证：AE•ED＝AC•EF；
（3）若EF＝3，tan∠ACE=12时，过A作AN∥CE交⊙O于M、N两点（M在线段AN上），求AN的长．
【例6】（2020•长沙）如图，半径为4的⊙O中，弦AB的长度为43，点C是劣弧AB上的一个动点，点D是弦AC的中点，点E是弦BC的中点，连接DE、OD、OE．
（1）求∠AOB的度数；
（2）当点C沿着劣弧AB从点A开始，逆时针运动到点B时，求△ODE的外心P所经过的路径的长度；
（3）分别记△ODE，△CDE的面积为S1，S2，当S12﹣S22＝21时，求弦AC的长度．
【题组一】
1．（2020•西乡塘区模拟）如图，点O是△ABC中AB边上一点，以点O为圆心，OA的长为半径作⊙O，⊙O恰好经过点C，且与边BC，AB分别交于E，F两点．连接AE，过点E作⊙O的切线，交线段BF于点M，交AC的延长线于点N，且EM＝BM，EB＝AO．
（1）求∠EAM的度数；
（2）求证：AC2＝2BM•OB；
（3）若OA=3，求△CNE的面积．
2．（2020•吴江区二模）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，点E在圆外，OE⊥AC于D，BE交⊙O于点F，连接BD，BC，CF，∠BFC＝∠AED．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）求证：△BOD∽△EOB；
（3）设△BOD的面积为S1，△BCF的面积为S2，若tan∠ODB=53，求S1S2的值．
3．（2020•黄石模拟）如图，AB是⊙O直径，以AB为边作等腰△ABC，且AB＝BC，⊙O与边AC相交于点D，过点D作DE⊥BC于点E，并交AB的延长线于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线．
（2）若DF＝22，∠F＝45°，求由线段BF、FD及BD所围成的图形（阴影部分）面积．
（3）若tanA=13，BD＝1，求FD的长．
4．（2020•三水区一模）如图，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作EC⊥OB，交⊙O于点C，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF⊥PC于点F，连接CB．
（I）求证：AC平分∠FAB；
（2）求证：BC2＝CE•CP；
（3）当AB＝43且CFCP=34时，求弦BC与其所对的劣弧BC所组成的弓形面积．
5．（2020•路北区二模）已知：在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的点，过点F作EF的垂线交DC于点H，以EF为直径作半圆O．
（1）填空：点A （填“在”或“不在”）半圆O上；
当AE=AF时，tan∠AEF的值是 ；
（2）如图1，在△EFH中，当FE＝FH时，求证：AD＝AE+DH；
（3）如图2，当△EFH的顶点F是边AD的中点时，请直接写出EH、AE、DH三条线段的数量关系．
【题组二】
6．（2020•博罗县一模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，直径AB垂直于弦CG，垂足为点H，过点C作ED⊥CG，交⊙O于点E，且∠CBD＝∠A，连接BE，交CG于点F．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）求证：BC2＝BF•BE；
（3）若CG＝8，AB＝10，求sinE的值．
7．（2020•深圳模拟）如图，点A（8，0），点B分别在x轴，y轴上，直线y＝kx+b与x轴，y轴分别相交于点D，B两点，C在△AOB的外接圆上，且C （4，8）．
（1）①直接写出b＝ ．
②求证：当k=43时，BD是⊙O'的切线．
（2）如图1，若点P是优弧BAC上的一点（不与B，C重合），求sin∠BPC的值．
（3）如图2，在（1）的条件下，当P点在⊙O'上运动时，过O作OQ⊥CP于Q，求线段DQ的最小值．
8．（2020•成华区校级模拟）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD＝2∠BAC，连接CD，过点C作CE⊥DB，垂足为E，直径AB与CE的延长线相交于点F．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）连接BC，求证：BC2＝2BE•BO；
（3）当BD=185，sin∠F=35，求CD的长．
9．（2020•姑苏区校级二模）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是弧AC的中点，E为OD延长线上一点，且∠CAE＝2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F．
（1）求证：AE⊥AB；
（2）求证：DF2＝FH•FC；
（3）若DH＝9，tanC=34，求半径OA的长．
10．（2020•惠城区校级二模）如图（1），在⊙O中，AC是直径，AB，BD，CD是切线，点E为切点．
（1）求证：AB•CD=14AC2；
（2）如图（2），连接AD，BC，交于点F，连接EF并延长，交AC于点G，求证：EF＝FG；
（3）如图（3），延长DB，CA，交于点P，连接CE，过点P作PQ⊥DO，交DO的延长线于点Q．若CD＝6，PE＝4，求OQ的长．
【题组三】
11．（2020•雨花区校级二模）如图，直线l：y=−33x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，C为线段OA的一个动点，以A为圆心，AC长为半径作⊙A，⊙A交AB于点D，连接OD并延长交⊙A于点E，连接CD．
（1）当AC＝2时，证明：△OBD是等边三角形；
（2）当△OCD∽△ODA时，求⊙A的半径r；
（3）当点C在线段OA上运动时，求OD•DE的最大值．
12．（2020•石家庄模拟）如图1，在正方形ABCD中，AB＝10，点O，E在边CD上，且CE＝2，DO＝3，以点O为圆心，OE为半径在其左侧作半圆O，分别交AD于点G，交CD的延长线于点F．
（1）AG＝ ；
（2）如图2，将半圆O绕点E逆时针旋转α（0°＜α＜180°），点O的对应点为O'，点F的对应点为F'，设M为半圆O'上一点．
①当点F'落在AD边上时，求点M与线段BC之间的最短距离；
②当半圆O'交BC于P，R两点时，若PR的长为53π，求此时半圆O'与正方形ABCD重叠部分的面积；
③当半圆O'与正方形ABCD的边相切时，设切点为N，直接写出tan∠END的值．
13．（2020•天台县一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，以AB，BC为邻边作▱ABCE，点E在⊙O内，延长CE交AD于F，连接AC、BE交于点G，连接OG．
（1）直接写出OG与AC的位置关系及OG与DE的数量关系；
（2）猜想线段DE，AC和BD之间的数量关系，并说明理由；
（3）求证：△CDF～△AEF；
（4）若BC＝4，CD＝3，求9AF2+16DF2的值．
14．（2020•越秀区校级二模）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．
（1）利用尺规作图，过点A作AD⊥CP于点D（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：△PCF是等腰三角形；
（3）若tan∠ABC=43，BE＝72，求线段PC的长．
15．（2020•苍溪县模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC是⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，F为CE的中点，连接BD，DF，BD与AC交于点P．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若AC＝25DE，求tan∠ABD的值；
（3）若∠DPC＝45°，PD2+PB2＝8，求AC的长．
【题组四】
16．（2020•思明区校级二模）定义：如果三角形的两个内角α与β满足α+2β＝90°，那么称这样的三角形为“类直角三角形”．
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线．证明△ABD是“类直角三角形”；
（2）如图2，△ABD内接于⊙O，直径AB＝10，弦AD＝6，点E是弧AD上一动点（包括端点A，D），延长BE至点C，连结AC，且∠CAD＝∠AOD，当△ABC是“类直角三角形”时，求AC的长．
17．（2020•玄武区二模）如图，四边形ABCD是矩形，连接AC，E是AC上一点，⊙O经过点C、D、E，分别与AD、BC相交于点F、G，连接ED、EF、EG，延长GE交AD于点H．
（1）求证△HEF∽△DEC；
（2）若AB＝6，BC＝9，
①当△HEF是等腰三角形时，求CE的长；
②当⊙O与AB相切时，则CE的长为 ．
18．（2020•昆山市二模）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点A的切线交BC的延长线于点D，E是⊙O上一点，点C，E分别位于直径AB异侧，连接AE，BE，CE，且∠ADB＝∠DBE．
（1）求证：CE＝CB；
（2）求证：∠BAE＝2∠ABC；
（3）过点C作CF⊥AB，垂足为点F，若S△BCFS△ABE=98，求AFBF的值．
19．（2020•宁波模拟）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，AC＝23，以点A为圆心，3为半径作圆，点D为⊙A上的动点，连结DC，以C为直角顶点作Rt△CDE（点C，D，E按逆时针排列），并使∠CDE＝30°，连接AD、BE．
（1）求证：△BEC∽△ADC．
（2）当点D在AB上时，如图②，画出△BEC，连接AE，求AE的长．
（3）在点D运动过程中，AE是否有最大值或最小值？若有，请直接写出AE的最大值或最小值，并写出取得最大值或最小值时∠DAC的度数；若没有，请说明理由
20．（2020•孝南区二模）如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于G，OA⊥CD于点E，过B的直线与CD的延长线相交于点F，AC∥BF．
（1）若∠FGB＝∠FBC，求证：BF是⊙O的切线；
（2）若tan∠F=34，CD＝48，求⊙O的半径．
【题组五】
21．（2020•南京一模）如图①，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，点E是BC边上一动点，连接AE、DE，作△ECD的外接⊙O，交AD于点F，交AE于点G，连接FG．
（1）求证△AFG∽△AED；
（2）当BE的长为 时，△AFG为等腰三角形；
（3）如图②，若BE＝1，求证：AB与⊙O相切．
22．（2020•南京二模）在正方形ABCD中，点E是BC边上一动点，连接AE，沿AE将△ABE翻折得△AGE，连接DG，作△AGD的外接⊙O，⊙O交AE于点F，连接FG、FD．
（1）求证∠AGD＝∠EFG；
（2）求证△ADF∽△EGF；
（3）若AB＝3，BE＝1，求⊙O的半径．
23．（2020•梁子湖区一模）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC，BC，OE⊥AC于点E，ED∥AB交BC于点F，且∠ECD＝∠CFD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：CD2＝FD•ED；
（3）若sinA=35，BC＝6，求CD的长．
24．（2020•乐清市一模）如图1，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝60°，D，E分别是∠ABC和∠BAC所对弧的中点，弦DE分别交AC，BC于点F，G，连接DC，CE．
（1）求证：△CFG是等边三角形．
（2）若AB＝12，
①如图2，当AC为⊙O的直径时，求DF的长．
②当AC将△CDG的面积分成了1：2的两部分时，求AC的长．
（3）连接BD交AC于点H，若CFFH=43，则BCAC的值为 ．（请直接写出答案）
25．（2020•盘锦）如图，BC是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，AD交BC于点E，连接AB，CD，过点E作EF⊥AB，垂足为F，∠AEF＝∠D．
（1）求证：AD⊥BC；
（2）点G在BC的延长线上，连接AG，∠DAG＝2∠D．
①求证：AG与⊙O相切；
②当AFBF=25，CE＝4时，直接写出CG的长．
【题组六】
26．（2020•桂林）如图，将一副斜边相等的直角三角板按斜边重合摆放在同一平面内，其中∠CAB＝30°，∠DAB＝45°，点O为斜边AB的中点，连接CD交AB于点E．
（1）求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上；
（2）求证：CD平分∠ACB；
（3）过点D作DF∥BC交AB于点F，求证：BO2+OF2＝EF•BF．
27．（2020•大庆）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接AD，过点D作DM⊥AC，垂足为M，AB、MD的延长线交于点N．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）求证：DN2＝BN•（BN+AC）；
（3）若BC＝6，cosC=35，求DN的长．
28．（2020•鄂尔多斯）我们知道，顶点坐标为（h，k）的抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）．今后我们还会学到，圆心坐标为（a，b），半径为r的圆的方程（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，如：圆心为P（﹣2，1），半径为3的圆的方程为（x+2）2+（y﹣1）2＝9．
（1）以M（﹣3，﹣1）为圆心，3为半径的圆的方程为 ．
（2）如图，以B（﹣3，0）为圆心的圆与y轴相切于原点，C是⊙B上一点，连接OC，作BD⊥OC，垂足为D，延长BD交y轴于点E，已知sin∠AOC=35．
①连接EC，证明：EC是⊙B的切线；
②在BE上是否存在一点Q，使QB＝QC＝QE＝QO？若存在，求点Q的坐标，并写出以Q为圆心，以QB为半径的⊙Q的方程；若不存在，请说明理由．
29．（2020•广西）如图，在△ACE中，以AC为直径的⊙O交CE于点D，连接AD，且∠DAE＝∠ACE，连接OD并延长交AE的延长线于点P，PB与⊙O相切于点B．
（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）连接AB交OP于点F，求证：△FAD∽△DAE；
（3）若tan∠OAF=12，求AEAP的值．
30．（2020•黄石）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A、D的⊙O分别交AB、AC于点E、F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BE＝8，sinB=513，求⊙O的半径；
（3）求证：AD2＝AB•AF．
2021新版中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘
专题14圆与相似三角函数综合问题
【例1】（2020•绵阳）如图，△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外，∠ADC＝90°，BD交⊙O于点E，交AC于点F，∠EAC＝∠DCE，∠CEB＝∠DCA，CD＝6，AD＝8．
（1）求证：AB∥CD；
（2）求证：CD是⊙O的切线；
（3）求tan∠ACB的值．
【例2】（2020•淄博）如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC边于点E，交⊙O于点D，过点A作AF⊥BC于点F，设⊙O的半径为R，AF＝h．
（1）过点D作直线MN∥BC，求证：MN是⊙O的切线；
（2）求证：AB•AC＝2R•h；
（3）设∠BAC＝2α，求AB+ACAD的值（用含α的代数式表示）．
【例3】（2020•恩施州）如图1，AB是⊙O的直径，直线AM与⊙O相切于点A，直线BN与⊙O相切于点B，点C（异于点A）在AM上，点D在⊙O上，且CD＝CA，延长CD与BN相交于点E，连接AD并延长交BN于点F．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）求证：BE＝EF；
（3）如图2，连接EO并延长与⊙O分别相交于点G、H，连接BH．若AB＝6，AC＝4，求tan∠BHE．
【例4】（2020•孝感）已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠ABC的平分线与⊙O交于点D，与AC交于点E，连接CD并延长与⊙O过点A的切线交于点F，记∠BAC＝α．
（1）如图1，若α＝60°，
①直接写出DFDC的值为 ；
②当⊙O的半径为2时，直接写出图中阴影部分的面积为 ；
（2）如图2，若α＜60°，且DFDC=23，DE＝4，求BE的长．
【例5】（2020•鄂州）如图所示：⊙O与△ABC的边BC相切于点C，与AC、AB分别交于点D、E，DE∥OB．DC是⊙O的直径．连接OE，过C作CG∥OE交⊙O于G，连接DG、EC，DG与EC交于点F．
（1）求证：直线AB与⊙O相切；
（2）求证：AE•ED＝AC•EF；
（3）若EF＝3，tan∠ACE=12时，过A作AN∥CE交⊙O于M、N两点（M在线段AN上），求AN的长．
【例6】（2020•长沙）如图，半径为4的⊙O中，弦AB的长度为43，点C是劣弧AB上的一个动点，点D是弦AC的中点，点E是弦BC的中点，连接DE、OD、OE．
（1）求∠AOB的度数；
（2）当点C沿着劣弧AB从点A开始，逆时针运动到点B时，求△ODE的外心P所经过的路径的长度；
（3）分别记△ODE，△CDE的面积为S1，S2，当S12﹣S22＝21时，求弦AC的长度．
【题组一】
1．（2020•西乡塘区模拟）如图，点O是△ABC中AB边上一点，以点O为圆心，OA的长为半径作⊙O，⊙O恰好经过点C，且与边BC，AB分别交于E，F两点．连接AE，过点E作⊙O的切线，交线段BF于点M，交AC的延长线于点N，且EM＝BM，EB＝AO．
（1）求∠EAM的度数；
（2）求证：AC2＝2BM•OB；
（3）若OA=3，求△CNE的面积．
2．（2020•吴江区二模）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，点E在圆外，OE⊥AC于D，BE交⊙O于点F，连接BD，BC，CF，∠BFC＝∠AED．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）求证：△BOD∽△EOB；
（3）设△BOD的面积为S1，△BCF的面积为S2，若tan∠ODB=53，求S1S2的值．
3．（2020•黄石模拟）如图，AB是⊙O直径，以AB为边作等腰△ABC，且AB＝BC，⊙O与边AC相交于点D，过点D作DE⊥BC于点E，并交AB的延长线于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线．
（2）若DF＝22，∠F＝45°，求由线段BF、FD及BD所围成的图形（阴影部分）面积．
（3）若tanA=13，BD＝1，求FD的长．
4．（2020•三水区一模）如图，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作EC⊥OB，交⊙O于点C，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF⊥PC于点F，连接CB．
（I）求证：AC平分∠FAB；
（2）求证：BC2＝CE•CP；
（3）当AB＝43且CFCP=34时，求弦BC与其所对的劣弧BC所组成的弓形面积．
5．（2020•路北区二模）已知：在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的点，过点F作EF的垂线交DC于点H，以EF为直径作半圆O．
（1）填空：点A （填“在”或“不在”）半圆O上；
当AE=AF时，tan∠AEF的值是 ；
（2）如图1，在△EFH中，当FE＝FH时，求证：AD＝AE+DH；
（3）如图2，当△EFH的顶点F是边AD的中点时，请直接写出EH、AE、DH三条线段的数量关系．
【题组二】
6．（2020•博罗县一模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，直径AB垂直于弦CG，垂足为点H，过点C作ED⊥CG，交⊙O于点E，且∠CBD＝∠A，连接BE，交CG于点F．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）求证：BC2＝BF•BE；
（3）若CG＝8，AB＝10，求sinE的值．
7．（2020•深圳模拟）如图，点A（8，0），点B分别在x轴，y轴上，直线y＝kx+b与x轴，y轴分别相交于点D，B两点，C在△AOB的外接圆上，且C （4，8）．
（1）①直接写出b＝ ．
②求证：当k=43时，BD是⊙O'的切线．
（2）如图1，若点P是优弧BAC上的一点（不与B，C重合），求sin∠BPC的值．
（3）如图2，在（1）的条件下，当P点在⊙O'上运动时，过O作OQ⊥CP于Q，求线段DQ的最小值．
8．（2020•成华区校级模拟）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD＝2∠BAC，连接CD，过点C作CE⊥DB，垂足为E，直径AB与CE的延长线相交于点F．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）连接BC，求证：BC2＝2BE•BO；
（3）当BD=185，sin∠F=35，求CD的长．
9．（2020•姑苏区校级二模）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是弧AC的中点，E为OD延长线上一点，且∠CAE＝2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F．
（1）求证：AE⊥AB；
（2）求证：DF2＝FH•FC；
（3）若DH＝9，tanC=34，求半径OA的长．
10．（2020•惠城区校级二模）如图（1），在⊙O中，AC是直径，AB，BD，CD是切线，点E为切点．
（1）求证：AB•CD=14AC2；
（2）如图（2），连接AD，BC，交于点F，连接EF并延长，交AC于点G，求证：EF＝FG；
（3）如图（3），延长DB，CA，交于点P，连接CE，过点P作PQ⊥DO，交DO的延长线于点Q．若CD＝6，PE＝4，求OQ的长．
【题组三】
11．（2020•雨花区校级二模）如图，直线l：y=−33x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，C为线段OA的一个动点，以A为圆心，AC长为半径作⊙A，⊙A交AB于点D，连接OD并延长交⊙A于点E，连接CD．
（1）当AC＝2时，证明：△OBD是等边三角形；
（2）当△OCD∽△ODA时，求⊙A的半径r；
（3）当点C在线段OA上运动时，求OD•DE的最大值．
12．（2020•石家庄模拟）如图1，在正方形ABCD中，AB＝10，点O，E在边CD上，且CE＝2，DO＝3，以点O为圆心，OE为半径在其左侧作半圆O，分别交AD于点G，交CD的延长线于点F．
（1）AG＝ ；
（2）如图2，将半圆O绕点E逆时针旋转α（0°＜α＜180°），点O的对应点为O'，点F的对应点为F'，设M为半圆O'上一点．
①当点F'落在AD边上时，求点M与线段BC之间的最短距离；
②当半圆O'交BC于P，R两点时，若PR的长为53π，求此时半圆O'与正方形ABCD重叠部分的面积；
③当半圆O'与正方形ABCD的边相切时，设切点为N，直接写出tan∠END的值．
13．（2020•天台县一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，以AB，BC为邻边作▱ABCE，点E在⊙O内，延长CE交AD于F，连接AC、BE交于点G，连接OG．
（1）直接写出OG与AC的位置关系及OG与DE的数量关系；
（2）猜想线段DE，AC和BD之间的数量关系，并说明理由；
（3）求证：△CDF～△AEF；
（4）若BC＝4，CD＝3，求9AF2+16DF2的值．
14．（2020•越秀区校级二模）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．
（1）利用尺规作图，过点A作AD⊥CP于点D（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：△PCF是等腰三角形；
（3）若tan∠ABC=43，BE＝72，求线段PC的长．
15．（2020•苍溪县模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC是⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，F为CE的中点，连接BD，DF，BD与AC交于点P．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若AC＝25DE，求tan∠ABD的值；
（3）若∠DPC＝45°，PD2+PB2＝8，求AC的长．
【题组四】
16．（2020•思明区校级二模）定义：如果三角形的两个内角α与β满足α+2β＝90°，那么称这样的三角形为“类直角三角形”．
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线．证明△ABD是“类直角三角形”；
（2）如图2，△ABD内接于⊙O，直径AB＝10，弦AD＝6，点E是弧AD上一动点（包括端点A，D），延长BE至点C，连结AC，且∠CAD＝∠AOD，当△ABC是“类直角三角形”时，求AC的长．
17．（2020•玄武区二模）如图，四边形ABCD是矩形，连接AC，E是AC上一点，⊙O经过点C、D、E，分别与AD、BC相交于点F、G，连接ED、EF、EG，延长GE交AD于点H．
（1）求证△HEF∽△DEC；
（2）若AB＝6，BC＝9，
①当△HEF是等腰三角形时，求CE的长；
②当⊙O与AB相切时，则CE的长为 ．
18．（2020•昆山市二模）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点A的切线交BC的延长线于点D，E是⊙O上一点，点C，E分别位于直径AB异侧，连接AE，BE，CE，且∠ADB＝∠DBE．
（1）求证：CE＝CB；
（2）求证：∠BAE＝2∠ABC；
（3）过点C作CF⊥AB，垂足为点F，若S△BCFS△ABE=98，求AFBF的值．
19．（2020•宁波模拟）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，AC＝23，以点A为圆心，3为半径作圆，点D为⊙A上的动点，连结DC，以C为直角顶点作Rt△CDE（点C，D，E按逆时针排列），并使∠CDE＝30°，连接AD、BE．
（1）求证：△BEC∽△ADC．
（2）当点D在AB上时，如图②，画出△BEC，连接AE，求AE的长．
（3）在点D运动过程中，AE是否有最大值或最小值？若有，请直接写出AE的最大值或最小值，并写出取得最大值或最小值时∠DAC的度数；若没有，请说明理由
20．（2020•孝南区二模）如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于G，OA⊥CD于点E，过B的直线与CD的延长线相交于点F，AC∥BF．
（1）若∠FGB＝∠FBC，求证：BF是⊙O的切线；
（2）若tan∠F=34，CD＝48，求⊙O的半径．
【题组五】
21．（2020•南京一模）如图①，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，点E是BC边上一动点，连接AE、DE，作△ECD的外接⊙O，交AD于点F，交AE于点G，连接FG．
（1）求证△AFG∽△AED；
（2）当BE的长为 时，△AFG为等腰三角形；
（3）如图②，若BE＝1，求证：AB与⊙O相切．
22．（2020•南京二模）在正方形ABCD中，点E是BC边上一动点，连接AE，沿AE将△ABE翻折得△AGE，连接DG，作△AGD的外接⊙O，⊙O交AE于点F，连接FG、FD．
（1）求证∠AGD＝∠EFG；
（2）求证△ADF∽△EGF；
（3）若AB＝3，BE＝1，求⊙O的半径．
23．（2020•梁子湖区一模）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC，BC，OE⊥AC于点E，ED∥AB交BC于点F，且∠ECD＝∠CFD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：CD2＝FD•ED；
（3）若sinA=35，BC＝6，求CD的长．
24．（2020•乐清市一模）如图1，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝60°，D，E分别是∠ABC和∠BAC所对弧的中点，弦DE分别交AC，BC于点F，G，连接DC，CE．
（1）求证：△CFG是等边三角形．
（2）若AB＝12，
①如图2，当AC为⊙O的直径时，求DF的长．
②当AC将△CDG的面积分成了1：2的两部分时，求AC的长．
（3）连接BD交AC于点H，若CFFH=43，则BCAC的值为 ．（请直接写出答案）
25．（2020•盘锦）如图，BC是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，AD交BC于点E，连接AB，CD，过点E作EF⊥AB，垂足为F，∠AEF＝∠D．
（1）求证：AD⊥BC；
（2）点G在BC的延长线上，连接AG，∠DAG＝2∠D．
①求证：AG与⊙O相切；
②当AFBF=25，CE＝4时，直接写出CG的长．
【题组六】
26．（2020•桂林）如图，将一副斜边相等的直角三角板按斜边重合摆放在同一平面内，其中∠CAB＝30°，∠DAB＝45°，点O为斜边AB的中点，连接CD交AB于点E．
（1）求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上；
（2）求证：CD平分∠ACB；
（3）过点D作DF∥BC交AB于点F，求证：BO2+OF2＝EF•BF．
27．（2020•大庆）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接AD，过点D作DM⊥AC，垂足为M，AB、MD的延长线交于点N．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）求证：DN2＝BN•（BN+AC）；
（3）若BC＝6，cosC=35，求DN的长．
28．（2020•鄂尔多斯）我们知道，顶点坐标为（h，k）的抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）．今后我们还会学到，圆心坐标为（a，b），半径为r的圆的方程（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，如：圆心为P（﹣2，1），半径为3的圆的方程为（x+2）2+（y﹣1）2＝9．
（1）以M（﹣3，﹣1）为圆心，3为半径的圆的方程为 ．
（2）如图，以B（﹣3，0）为圆心的圆与y轴相切于原点，C是⊙B上一点，连接OC，作BD⊥OC，垂足为D，延长BD交y轴于点E，已知sin∠AOC=35．
①连接EC，证明：EC是⊙B的切线；
②在BE上是否存在一点Q，使QB＝QC＝QE＝QO？若存在，求点Q的坐标，并写出以Q为圆心，以QB为半径的⊙Q的方程；若不存在，请说明理由．
29．（2020•广西）如图，在△ACE中，以AC为直径的⊙O交CE于点D，连接AD，且∠DAE＝∠ACE，连接OD并延长交AE的延长线于点P，PB与⊙O相切于点B．
（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）连接AB交OP于点F，求证：△FAD∽△DAE；
（3）若tan∠OAF=12，求AEAP的值．
30．（2020•黄石）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A、D的⊙O分别交AB、AC于点E、F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BE＝8，sinB=513，求⊙O的半径；
（3）求证：AD2＝AB•AF．
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