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2019年湖北省随州市中考数学试卷
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这是一份2019年湖北省随州市中考数学试卷，共36页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2019年湖北省随州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的）
1．（3分）﹣3的绝对值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．9
2．（3分）地球的半径约为6370000m，用科学记数法表示正确的是（ ）
A．637×104m B．63.7×105m C．6.37×106m D．6.37×107m
3．（3分）如图，直线ll∥12，直角三角板的直角顶点C在直线l1上，一锐角顶点B在直线l2上，若∠1＝35°，则∠2的度数是（ ）
A．65° B．55° C．45° D．35°
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．4m﹣m＝4 B．（a2）3 ＝a5
C．（x+y ）2＝x2+y2 D．﹣（t﹣1）＝1﹣t
5．（3分）某校男子篮球队10名队员进行定点投篮练习，每人投篮10次，他们投中的次数统计如表：
投中次数
3
5
6
7
8
人数
1
3
2
2
2
则这些队员投中次数的众数、中位数和平均数分别为（ ）
A．5，6，6 B．2，6，6 C．5，5，6 D．5，6，5
6．（3分）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积为（ ）
A．2π B．3π C．4π D．5π
7．（3分）第一次“龟兔赛跑”，兔子因为在途中睡觉而输掉比赛，很不服气，决定与乌龟再比一次，并且骄傲地说，这次我一定不睡觉，让乌龟先跑一段距离我再去追都可以赢．结果兔子又一次输掉了比赛，则下列函数图象可以体现这次比赛过程的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，BD，AE交于点O，若随机向平行四边形ABCD内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：＝＝7+4，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于﹣，设x＝﹣，易知＞，故x＞0，由x2＝（﹣）2＝3++3﹣﹣2＝2，解得x＝，即﹣＝．根据以上方法，化简+﹣后的结果为（ ）
A．5+3 B．5+ C．5﹣ D．5﹣3
10．（3分）如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC，对称轴为直线x＝1，则下列结论：①abc＜0；②a+b+c＝0；③ac+b+1＝0；④2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分，只需要将结果直接填写在答题卡对应题号处的横线上）
11．（3分）计算：（π﹣2019）0﹣2cos60°＝ ．
12．（3分）如图，点A，B，C在⊙O上，点C在优弧上，若∠OBA＝50°，则∠C的度数为 ．
13．（3分）2017年，随州学子尤东梅参加《最强大脑》节目，成功完成了高难度的项目挑战，展现了惊人的记忆力．在2019年的《最强大脑》节目中，也有很多具有挑战性的比赛项目，其中《幻圆》这个项目充分体现了数学的魅力．如图是一个最简单的二阶幻圆的模型，要求：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，则图中两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为 和 ．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的直角顶点C的坐标为 （1，0），点A在x轴正半轴上，且AC＝2．将△ABC先绕点C逆时针旋转90°，再向左平移3个单位，则变换后点A的对应点的坐标为 ．
15．（3分）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，D为AB的中点，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点D，且与BC交于点E，连接OD，OE，DE，若△ODE的面积为3，则k的值为 ．
16．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为a，E为CD边上一点（不与端点重合），将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF．
给出下列判断：
①∠EAG＝45°；
②若DE＝a，则AG∥CF；
③若E为CD的中点，则△GFC的面积为a2；
④若CF＝FG，则DE＝（﹣1）a；
⑤BG•DE+AF•GE＝a2．
其中正确的是 ．（写出所有正确判断的序号）
三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过程）
17．（5分）解关于x的分式方程：＝．
18．（7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1+x2＝3，求k的值及方程的根．
19．（10分）“校园安全”越来越受到人们的关注，我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．根据图中信息回答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有 人，条形统计图中m的值为 ；
（2）扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数为 ；
（3）若该中学共有学生1800人，根据上述调查结果，可以估计出该学校学生中对校园安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为 人；
（4）若从对校园安全知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
20．（8分）在一次海上救援中，两艘专业救助船A，B同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船B在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西30°方向上，在救助船B的西南方向上，且事故渔船P与救助船A相距120海里．
（1）求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离；
（2）若救助船A，B分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．
21．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，点F在AC的延长线上，且∠BAC＝2∠CBF．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为3，sin∠CBF＝，求BC和BF的长．
22．（11分）某食品厂生产一种半成品食材，成本为2元/千克，每天的产量p（百千克）与销售价格x（元/千克）满足函数关系式p＝x+8，从市场反馈的信息发现，该半成品食材每天的市场需求量q（百千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如表：
销售价格x（元/千克）
2
4
……
10
市场需求量q（百千克）
12
10
……
4
已知按物价部门规定销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克．
（1）直接写出q与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）当每天的产量小于或等于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出，而当每天的产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废弃．
①当每天的半成品食材能全部售出时，求x的取值范围；
②求厂家每天获得的利润y（百元）与销售价格x的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当x为 元/千克时，利润y有最大值；若要使每天的利润不低于24（百元），并尽可能地减少半成品食材的浪费，则x应定为 元/千克．
23．（10分）若一个两位数十位、个位上的数字分别为m，n，我们可将这个两位数记为，易知＝10m+n；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如＝100a+10b+c．
【基础训练】
（1）解方程填空：
①若+＝45，则x＝ ；
②若﹣＝26，则y＝ ；
③若+＝，则t＝ ；
【能力提升】
（2）交换任意一个两位数的个位数字与十位数字，可得到一个新数，则+一定能被 整除，﹣一定能被 整除，•﹣mn一定能被 整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空）
【探索发现】
（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用532﹣235＝297），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．
①该“卡普雷卡尔黑洞数”为 ；
②设任选的三位数为（不妨设a＞b＞c），试说明其均可产生该黑洞数．
24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（﹣2，0），C（6，0）．
（1）直接写出抛物线的解析式及其对称轴；
（2）如图2，连接AB，AC，设点P（m，n）是抛物线上位于第一象限内的一动点，且在对称轴右侧，过点P作PD⊥AC于点E，交x轴于点D，过点P作PG∥AB交AC于点F，交x轴于点G．设线段DG的长为d，求d与m的函数关系式，并注明m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若△PDG的面积为，
①求点P的坐标；
②设M为直线AP上一动点，连接OM交直线AC于点S，则点M在运动过程中，在抛物线上是否存在点R，使得△ARS为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M及其对应的点R的坐标；若不存在，请说明理由．
2019年湖北省随州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的）
1．（3分）﹣3的绝对值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．9
【考点】15：绝对值．菁优网版权所有
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答．
【解答】解：﹣3的绝对值为3，
即|﹣3|＝3．
故选：A．
【点评】本题考查了绝对值，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
2．（3分）地球的半径约为6370000m，用科学记数法表示正确的是（ ）
A．637×104m B．63.7×105m C．6.37×106m D．6.37×107m
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：6370000m，用科学记数法表示正确的是6.37×106m，
故选：C．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）如图，直线ll∥12，直角三角板的直角顶点C在直线l1上，一锐角顶点B在直线l2上，若∠1＝35°，则∠2的度数是（ ）
A．65° B．55° C．45° D．35°
【考点】JA：平行线的性质．菁优网版权所有
【分析】根据余角的定义得到∠3，根据两直线平行，内错角相等可得∠3＝∠2．
【解答】解：如图，∵∠1+∠3＝90°，∠1＝35°，
∴∠3＝55°．
又∵直线ll∥12，
∴∠2＝∠3＝55°．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，余角的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．4m﹣m＝4 B．（a2）3 ＝a5
C．（x+y ）2＝x2+y2 D．﹣（t﹣1）＝1﹣t
【考点】44：整式的加减；47：幂的乘方与积的乘方；4C：完全平方公式．菁优网版权所有
【分析】直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、完全平方公式分别化简得出答案．
【解答】解：A、4m﹣m＝3m，故此选项错误；
B、（a2）3 ＝a6，故此选项错误；
C、（x+y ）2＝x2+2xy+y2，故此选项错误；
D、﹣（t﹣1）＝1﹣t，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了合并同类项以及幂的乘方运算、完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5．（3分）某校男子篮球队10名队员进行定点投篮练习，每人投篮10次，他们投中的次数统计如表：
投中次数
3
5
6
7
8
人数
1
3
2
2
2
则这些队员投中次数的众数、中位数和平均数分别为（ ）
A．5，6，6 B．2，6，6 C．5，5，6 D．5，6，5
【考点】W2：加权平均数；W4：中位数；W5：众数．菁优网版权所有
【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
【解答】解：在这一组数据中5是出现次数最多的，故众数是5；
处于中间位置的两个数的平均数是（6+6）÷2＝6，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是6．
平均数是：（3+15+12+14+16）÷10＝6，
所以答案为：5、6、6，
故选：A．
【点评】主要考查了平均数，众数，中位数的概念．要掌握这些基本概念才能熟练解题．
6．（3分）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积为（ ）
A．2π B．3π C．4π D．5π
【考点】I4：几何体的表面积；U3：由三视图判断几何体．菁优网版权所有
【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形，判断出几何体的形状，再根据三视图的数据，求出几何体的表面积即可．
【解答】解：根据三视图可得这个几何体是圆锥，
底面积＝π×12＝π，
侧面积为＝π•3＝3π，
则这个几何体的表面积＝π+3π＝4π；
故选：C．
【点评】此题考查了由三视图判断几何体，用到的知识点是三视图，几何体的表面积的求法，准确判断几何体的形状是解题的关键．
7．（3分）第一次“龟兔赛跑”，兔子因为在途中睡觉而输掉比赛，很不服气，决定与乌龟再比一次，并且骄傲地说，这次我一定不睡觉，让乌龟先跑一段距离我再去追都可以赢．结果兔子又一次输掉了比赛，则下列函数图象可以体现这次比赛过程的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】E6：函数的图象．菁优网版权所有
【分析】根据乌龟比兔子早出发，而早到终点逐一判断即可得．
【解答】解：由于乌龟比兔子早出发，而早到终点；
故B选项正确；
故选：B．
【点评】本题主要考查函数图象，解题的关键是弄清函数图象中横、纵轴所表示的意义及实际问题中自变量与因变量之间的关系．
8．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，BD，AE交于点O，若随机向平行四边形ABCD内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】L5：平行四边形的性质；S9：相似三角形的判定与性质；X5：几何概率．菁优网版权所有
【分析】随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
【解答】解：∵E为BC的中点，
∴，
∴＝，
∴S△BOE＝S△AOB，S△AOB＝S△ABD，
∴S△BOE＝S△ABD＝S▱ABCD，
∴米粒落在图中阴影部分的概率为，
故选：B．
【点评】本题考查了概率，熟练掌握概率公式与平行四边形的性质以及相似三角形的性质是解题的关键．
9．（3分）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：＝＝7+4，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于﹣，设x＝﹣，易知＞，故x＞0，由x2＝（﹣）2＝3++3﹣﹣2＝2，解得x＝，即﹣＝．根据以上方法，化简+﹣后的结果为（ ）
A．5+3 B．5+ C．5﹣ D．5﹣3
【考点】26：无理数；4F：平方差公式；73：二次根式的性质与化简；76：分母有理化．菁优网版权所有
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：设x＝﹣，且＞，
∴x＜0，
∴x2＝6﹣3﹣2+6+3，
∴x2＝12﹣2×3＝6，
∴x＝，
∵＝5﹣2，
∴原式＝5﹣2﹣
＝5﹣3，
故选：D．
【点评】本题考查二次根式的运算法则，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．
10．（3分）如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC，对称轴为直线x＝1，则下列结论：①abc＜0；②a+b+c＝0；③ac+b+1＝0；④2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系；H5：二次函数图象上点的坐标特征；HA：抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有
【分析】①由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线的对称轴位置可得b＞0，由抛物线与y轴的交点位置可得c＞0，则可对①进行判断；
②根据对称轴是直线x＝1，可得b＝﹣2a，代入a+b+c，可对②进行判断；
③利用OA＝OC可得到A（﹣c，0），再把A（﹣c，0）代入y＝ax2+bx+c即可对③作出判断；
④根据抛物线的对称性得到B点的坐标，即可对④作出判断．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵b＝﹣2a，
∴a+b＝a﹣a＝0，
∵c＞0，
∴a+b+c＞0，所以②错误；
∵C（0，c），OA＝OC，
∴A（﹣c，0），
把A（﹣c，0）代入y＝ax2+bx+c得ac2﹣bc+c＝0，
∴ac﹣b+1＝0，所以③错误；
∵A（﹣c，0），对称轴为直线x＝1，
∴B（2+c，0），
∴2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，所以④正确；
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，熟练掌握二次函数的性质是关键．
二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分，只需要将结果直接填写在答题卡对应题号处的横线上）
11．（3分）计算：（π﹣2019）0﹣2cos60°＝ 0 ．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；T5：特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
【分析】原式利用零指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．
【解答】解：原式＝1﹣2×＝1﹣1＝0，
故答案为：0
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．（3分）如图，点A，B，C在⊙O上，点C在优弧上，若∠OBA＝50°，则∠C的度数为 40° ．
【考点】M5：圆周角定理．菁优网版权所有
【分析】先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理得到∠C的度数．
【解答】解：∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝50°，
∴∠AOB＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴∠C＝∠AOB＝40°．
故答案为40°．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
13．（3分）2017年，随州学子尤东梅参加《最强大脑》节目，成功完成了高难度的项目挑战，展现了惊人的记忆力．在2019年的《最强大脑》节目中，也有很多具有挑战性的比赛项目，其中《幻圆》这个项目充分体现了数学的魅力．如图是一个最简单的二阶幻圆的模型，要求：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，则图中两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为 2 和 9 ．
【考点】19：有理数的加法．菁优网版权所有
【分析】根据题意要求①②可得关于所要求的两数的两个等式，解出两数即可．
【解答】解：设图中两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为a，b
∵外圆两直径上的四个数字之和相等
∴4+6+7+8＝a+3+b+11①
∵内、外两个圆周上的四个数字之和相等
∴3+6+b+7＝a+4+11+8②
联立①②解得：a＝2，b＝9
∴图中两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为2，9
故答案为：2；9．
【点评】此题比较简单，主要考查了有理数的加法，主要依据题中的要求①②列式即可以求解．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的直角顶点C的坐标为 （1，0），点A在x轴正半轴上，且AC＝2．将△ABC先绕点C逆时针旋转90°，再向左平移3个单位，则变换后点A的对应点的坐标为 （﹣2，2） ．
【考点】Q3：坐标与图形变化﹣平移；R7：坐标与图形变化﹣旋转．菁优网版权所有
【分析】根据旋转变换的性质得到旋转变换后点A的对应点坐标，根据平移的性质解答即可．
【解答】解：∵点C的坐标为（1，0），AC＝2，
∴点A的坐标为（3，0），
如图所示，将Rt△ABC先绕点C逆时针旋转90°，
则点A′的坐标为（1，2），
再向左平移3个单位长度，则变换后点A′的对应点坐标为（﹣2，2），
故答案为：（﹣2，2）．
【点评】本题考查的是坐标与图形变化旋转和平移，掌握旋转变换、平移变换的性质是解题的关键．
15．（3分）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，D为AB的中点，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点D，且与BC交于点E，连接OD，OE，DE，若△ODE的面积为3，则k的值为 4 ．
【考点】G4：反比例函数的性质；G5：反比例函数系数k的几何意义；G6：反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【分析】根据所给的三角形面积等于长方形面积减去三个直角三角形的面积，然后即可求出B的横纵坐标的积即是反比例函数的比例系数．
【解答】解：∵四边形OCBA是矩形，
∴AB＝OC，OA＝BC，
设B点的坐标为（a，b），则E的坐标为E（a，），
∵D为AB的中点，
∴D（a，b）
∵D、E在反比例函数的图象上，
∴ab＝k，
∵S△ODE＝S矩形OCBA﹣S△AOD﹣S△OCE﹣S△BDE＝ab﹣k﹣k﹣•a•（b﹣）＝3，
∴ab﹣k﹣k﹣ab+k＝3，
解得：k＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是利用过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式；所给的面积应整理为和反比例函数上的点的坐标有关的形式，本题属于中等题型．
16．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为a，E为CD边上一点（不与端点重合），将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF．
给出下列判断：
①∠EAG＝45°；
②若DE＝a，则AG∥CF；
③若E为CD的中点，则△GFC的面积为a2；
④若CF＝FG，则DE＝（﹣1）a；
⑤BG•DE+AF•GE＝a2．
其中正确的是 ①②④⑤ ．（写出所有正确判断的序号）
【考点】LE：正方形的性质；PB：翻折变换（折叠问题）；S9：相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【分析】①由折叠得AD＝AF＝AB，再由HL定理证明Rt△ABG≌Rt△AFG便可判定正误；
②设BG＝GF＝x，由勾股定理可得（x+a）2＝x2+（a）2，求得BG＝a，进而得GC＝GF，得∠GFC＝∠GCF，再证明∠AGB＝∠GCF，便可判断正误；
③设BG＝GF＝y，则CG＝a﹣y，由勾股定理得y的方程求得BG，GF，EF，再由同高的两个三角形的面积比等于底边之比，求得△CGF的面积，便可判断正误；
④证明∠FEC＝∠FCE，得EF＝CF＝GF，进而得EG＝2DE，CG＝CE＝a﹣DE，由等腰直角三角形的斜边与直角边的关系式便可得结论，进而判断正误；
⑤设BG＝GF＝b，DE＝EF＝c，则CG＝a﹣b，CE＝a﹣c，由勾股定理得bc＝a2﹣ab﹣ac，再得△CEG的面积为BG•DE，再由五边形ABGED的面积加上△CEG的面积等于正方形的面积得结论，进而判断正误．
【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝AD＝a，
∵将△ADE沿AE对折至△AFE，
∴∠AFE＝∠ADE＝∠ABG＝90°，AF＝AD＝AB，EF＝DE，∠DAE＝∠FAE，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
∴∠BAG＝∠FAG，
∴∠GAE＝∠GAF+∠EAF＝90°＝45°，故①正确；
②∴BG＝GF，∠BGA＝∠FGA，
设BG＝GF＝x，∵DE＝a，
∴EF＝a，
∴CG＝a﹣x，
在Rt△EGC中，EG＝x+a，CE＝a，由勾股定理可得（x+a）2＝x2+（a）2，
解得x＝a，此时BG＝CG＝a，
∴GC＝GF＝a，
∴∠GFC＝∠GCF，
且∠BGF＝∠GFC+∠GCF＝2∠GCF，
∴2∠AGB＝2∠GCF，
∴∠AGB＝∠GCF，
∴AG∥CF，
∴②正确；
③若E为CD的中点，则DE＝CE＝EF＝，
设BG＝GF＝y，则CG＝a﹣y，
CG2+CE2＝EG2，
即，
解得，y＝a，
∴BG＝GF＝，CG＝a﹣，
∴，
∴，
故③错误；
④当CF＝FG，则∠FGC＝∠FCG，
∵∠FGC+∠FEC＝∠FCG+∠FCE＝90°，
∴∠FEC＝∠FCE，
∴EF＝CF＝GF，
∴BG＝GF＝EF＝DE，
∴EG＝2DE，CG＝CE＝a﹣DE，
∴，即，
∴DE＝（﹣1）a，
故④正确；
⑤设BG＝GF＝b，DE＝EF＝c，则CG＝a﹣b，CE＝a﹣c，
由勾股定理得，（b+y）2＝（a﹣b）2+（a﹣c）2，整理得bc＝a2﹣ab﹣ac，
∴＝，
即S△CEG＝BG•DE，
∵S△ABG＝S△AFG，S△AEF＝S△ADE，
∴，
∵S五边形ABGED+S△CEG＝S正方形ABCD，
∴BG•DE+AF•EG＝a2，
故⑤正确．
故答案为：①②④⑤．
【点评】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用折叠得到线段相等及角相等、正方形的性质的运用是解题的关键．涉及内容多而复杂，难度较大．
三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过程）
17．（5分）解关于x的分式方程：＝．
【考点】B3：解分式方程．菁优网版权所有
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：27﹣9x＝18+6x，
移项合并得：15x＝9，
解得：x＝，
经检验x＝是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
18．（7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1+x2＝3，求k的值及方程的根．
【考点】AA：根的判别式；AB：根与系数的关系．菁优网版权所有
【分析】（1）由于关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根，可知△＞0，据此进行计算即可；
（2）利用根与系数的关系得出x1+x2＝2k+1，进而得出关于k的方程求出即可．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根，
∴△＞0，
∴（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0，
整理得，4k﹣3＞0，
解得：k＞，
故实数k的取值范围为k＞；
（2）∵方程的两个根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝2k+1＝3，
解得：k＝1，
∴原方程为x2﹣3x+2＝0，
∴x1＝1，x2＝2．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．以及根与系数的关系．
19．（10分）“校园安全”越来越受到人们的关注，我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．根据图中信息回答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有 60 人，条形统计图中m的值为 10 ；
（2）扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数为 96° ；
（3）若该中学共有学生1800人，根据上述调查结果，可以估计出该学校学生中对校园安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为 1020 人；
（4）若从对校园安全知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
【考点】V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图；X6：列表法与树状图法．菁优网版权所有
【分析】（1）用“基本了解”的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；
（2）用360°乘以扇形统计图中“了解很少”部分所占的比例即可；
（3）用总人数1800乘以达到“非常了解”和“基本了解”程度的人数所占的比例即可；
（4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好抽到1个男生和1个女生的结果数，然后利用概率公式求解．
【解答】解：（1）接受问卷调查的学生共有30÷50%＝60（人），m＝60﹣4﹣30﹣16＝10；
故答案为：60，10；
（2）扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数＝360°×＝96°；
故答案为：96°；
（3）该学校学生中对校园安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为：1800×＝1020（人）；
故答案为：1020；
（4）由题意列树状图：
由树状图可知，所有等可能的结果有12 种，恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8种，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为＝．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．（8分）在一次海上救援中，两艘专业救助船A，B同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船B在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西30°方向上，在救助船B的西南方向上，且事故渔船P与救助船A相距120海里．
（1）求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离；
（2）若救助船A，B分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．
【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．菁优网版权所有
【分析】（1）作PC⊥AB于C，则∠PCA＝∠PB＝90°，由题意得：PA＝120海里，∠A＝30°，∠BPC＝45°，由直角三角形的性质得出PC＝PA＝60海里，△BCP是等腰直角三角形，得出PB＝PC＝60海里即可；
（2）求出救助船A、B所用的时间，即可得出结论．
【解答】解：（1）作PC⊥AB于C，如图所示：
则∠PCA＝∠PB＝90°，
由题意得：PA＝120海里，∠A＝30°，∠BPC＝45°，
∴PC＝PA＝60海里，△BCP是等腰直角三角形，
∴BC＝PC＝60海里，PB＝PC＝60海里；
答：收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离为60海里；
（2）∵PA＝120海里，PB＝60海里，救助船A，B分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，
∴救助船A所用的时间为＝3（小时），救助船B所用的时间为＝2（小时），
∵3＞2，
∴救助船B先到达．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用、方向角、直角三角形的性质；正确作出辅助线是解题的关键．
21．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，点F在AC的延长线上，且∠BAC＝2∠CBF．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为3，sin∠CBF＝，求BC和BF的长．
【考点】KH：等腰三角形的性质；M5：圆周角定理；ME：切线的判定与性质；T7：解直角三角形．菁优网版权所有
【分析】（1）连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABF＝90°．
（2）解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠1+∠2＝90°．
∵AB＝AC，
∴2∠1＝∠CAB．
∵∠BAC＝2∠CBF，
∴∠1＝∠CBF
∴∠CBF+∠2＝90°
即∠ABF＝90°
∵AB是⊙O的直径，
∴直线BF是⊙O的切线；
（2）解：过点C作CH⊥BF于H．
∵sin∠CBF＝，∠1＝∠CBF，
∴sin∠1＝，
∵在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，AB＝3，
∴BE＝AB•sin∠1＝3×＝，
∵AB＝AC，∠AEB＝90°，
∴BC＝2BE＝2，
∵sin∠CBF＝＝，
∴CH＝2，
∵CH∥AB，
∴＝，即＝，
∴CF＝6，
∴AF＝AC+CF＝9，
∴BF＝＝6．
【点评】本题考查了圆的综合题：切线的判定与性质、勾股定理、直角所对的圆周角是直角、解直角三角形等知识点．
22．（11分）某食品厂生产一种半成品食材，成本为2元/千克，每天的产量p（百千克）与销售价格x（元/千克）满足函数关系式p＝x+8，从市场反馈的信息发现，该半成品食材每天的市场需求量q（百千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如表：
销售价格x（元/千克）
2
4
……
10
市场需求量q（百千克）
12
10
……
4
已知按物价部门规定销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克．
（1）直接写出q与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）当每天的产量小于或等于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出，而当每天的产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废弃．
①当每天的半成品食材能全部售出时，求x的取值范围；
②求厂家每天获得的利润y（百元）与销售价格x的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当x为 元/千克时，利润y有最大值；若要使每天的利润不低于24（百元），并尽可能地减少半成品食材的浪费，则x应定为 5 元/千克．
【考点】HE：二次函数的应用．菁优网版权所有
【分析】（1）根据表格数据，可设q与x的函数关系式为：q＝kx+b，利用待定系数法即可求
（2）①根据题意，当每天的半成品食材能全部售出时，有p≤q，②根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出厂家每天获得的利润y（百元）与销售价格x的函数关系式
（3）根据（2）中的条件分情况讨论即可
【解答】解：
（1）由表格的数据，设q与x的函数关系式为：q＝kx+b
根据表格的数据得，解得
故q与x的函数关系式为：q＝﹣x+14，其中2≤x≤10
（2）①当每天的半成品食材能全部售出时，有p≤q
即x+8≤﹣x+14，解得x≤4
又2≤x≤10，所以此时2≤x≤4
②由①可知，当2≤x≤4时，
y＝（x﹣2）p＝（x﹣2）（x+8）＝x2+7x﹣16
当4＜x≤10时，y＝（x﹣2）q﹣2（p﹣q）
＝（x﹣2）（﹣x+14）﹣2[x+8﹣（﹣x+14）]
＝﹣x2+13x﹣16
即有y＝
（3）当2≤x≤4时，
y＝x2+7x﹣16的对称轴为x＝＝＝﹣7
∴当2≤x≤4时，除x的增大而增大
∴x＝4时有最大值，y＝＝20
当4＜x≤10时
y＝﹣x2+13x﹣16＝﹣（x﹣）2+，
∵﹣1＜0，＞4
∴x＝时取最大值
即此时y有最大利润
要使每天的利润不低于24百元，则当2≤x≤4时，显然不符合
故y＝﹣（x﹣）2+≥24，解得x≤5
故当x＝5时，能保证不低于24百元
故答案为：，5
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
23．（10分）若一个两位数十位、个位上的数字分别为m，n，我们可将这个两位数记为，易知＝10m+n；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如＝100a+10b+c．
【基础训练】
（1）解方程填空：
①若+＝45，则x＝ 2 ；
②若﹣＝26，则y＝ 4 ；
③若+＝，则t＝ 7 ；
【能力提升】
（2）交换任意一个两位数的个位数字与十位数字，可得到一个新数，则+一定能被 11 整除，﹣一定能被 9 整除，•﹣mn一定能被 10 整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空）
【探索发现】
（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用532﹣235＝297），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．
①该“卡普雷卡尔黑洞数”为 495 ；
②设任选的三位数为（不妨设a＞b＞c），试说明其均可产生该黑洞数．
【考点】59：因式分解的应用．菁优网版权所有
【分析】（1）①②③均按定义列出方程求解即可；
（2）按定义式子展开化简即可；
（3）①选取题干中数据，按照定义式子展开，化简到出现循环即可；
②按定义式子化简，注意条件a＞b＞c的应用，化简到出现循环数495即可．
【解答】解：（1）①∵＝10m+n
∴若+＝45，则10×2+x+10x+3＝45
∴x＝2
故答案为：2．
②若﹣＝26，则10×7+y﹣（10y+8）＝26
解得y＝4
故答案为：4．
③由＝100a+10b+c．及四位数的类似公式得
若+＝，则100t+10×9+3+100×5+10t+8＝1000×1+100×3+10t+1
∴100t＝700
∴t＝7
故答案为：7．
（2）∵+＝10m+n+10n+m＝11m+11n＝11（m+n）
∴则+一定能被 11整除
∵﹣＝10m+n﹣（10n+m）＝9m﹣9n＝9（m﹣n）
∴﹣一定能被9整除．
∵•﹣mn＝（10m+n）（10n+m）﹣mn＝100mn+10m2+10n2+mn﹣mn＝10（10mn+m2+n2）
∴•﹣mn一定能被10整除．
故答案为：11；9；10．
（3）①若选的数为325，则用532﹣235＝297，以下按照上述规则继续计算
972﹣279＝693
963﹣369＝594
954﹣459＝495
954﹣459＝495…
故答案为：495．
②当任选的三位数为时，第一次运算后得：100a+10b+c﹣（100c+10b+a）＝99（a﹣c），
结果为99的倍数，由于a＞b＞c，故a≥b+1≥c+2
∴a﹣c≥2，又9≥a＞c≥0，
∴a﹣c≤9
∴a﹣c＝2，3，4，5，6，7，8，9
∴第一次运算后可能得到：198，297，396，495，594，693，792，891，
再让这些数字经过运算，分别可以得到：
981﹣189＝792，972﹣279＝693，963﹣369＝594，954﹣459﹣495，954﹣459＝495…故都可以得到该黑洞数495．
【点评】本题是较为复杂的新定义试题，题目设置的问题较多，但解答方法大同小异，总体中等难度略大．
24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（﹣2，0），C（6，0）．
（1）直接写出抛物线的解析式及其对称轴；
（2）如图2，连接AB，AC，设点P（m，n）是抛物线上位于第一象限内的一动点，且在对称轴右侧，过点P作PD⊥AC于点E，交x轴于点D，过点P作PG∥AB交AC于点F，交x轴于点G．设线段DG的长为d，求d与m的函数关系式，并注明m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若△PDG的面积为，
①求点P的坐标；
②设M为直线AP上一动点，连接OM交直线AC于点S，则点M在运动过程中，在抛物线上是否存在点R，使得△ARS为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M及其对应的点R的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）已知抛物线与x轴交点B、C，故可设交点式，再把点A代入即求得抛物线解析式．用配方法或公式求得对称轴．
（2）过点P作PH⊥x轴于点H，由PD⊥AD于点E易证∠PDH＝45°，故DH＝PH＝n．由PG∥AB易证△PGH∽△ABO，利用对应边成比例可得GH＝n，把含m的式子代入d＝DH﹣GH即得到d与m的函数关系式，再由点P的位置确定2＜m＜6．
（3）①用n表示DG、PH，代入S△PDG＝DG•PH＝，求得n的值（舍去负值），再利用n＝﹣m2+2m+6解关于m的方程即求得点P坐标．
②因为△ARS为等腰直角三角形且AS与y轴夹角为45°，故AR与y轴夹角为45°或90°．由于不确定△ARS哪个为直角顶点，故需分3种情况讨论，画出图形，利用45°或90°来确定点R、S的位置，进而求点R、S坐标，再由S的坐标求直线OM解析式，把直线OM与直线AP解析式联立方程组，解得点M坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于点B（﹣2，0），C（6，0）
∴设交点式y＝a（x+2）（x﹣6）
∵抛物线过点A（0，6）
∴﹣12a＝6
∴a＝﹣
∴抛物线解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣6）＝﹣x2+2x+6＝﹣（x﹣2）2+8
∴抛物线对称轴为直线x＝2．
（2）过点P作PH⊥x轴于点H，如图1
∴∠PHD＝90°
∵点P（m，n）是抛物线上位于第一象限内的一动点且在对称轴右侧
∴2＜m＜6，PH＝n＝﹣m2+2m+6，n＞0
∵OA＝OC＝6，∠AOC＝90°
∴∠ACO＝45°
∵PD⊥AC于点E
∴∠CED＝90°
∴∠CDE＝90°﹣∠ACO＝45°
∴DH＝PH＝n
∵PG∥AB
∴∠PGH＝∠ABO
∴△PGH∽△ABO
∴
∴GH＝n
∴d＝DH﹣GH＝n﹣n＝n＝（﹣m2+2m+6）＝﹣m2+m+4（2＜m＜6）
（3）①∵S△PDG＝DG•PH＝
∴n•n＝
解得：n1＝，n2＝﹣（舍去）
∴﹣m2+2m+6＝
解得：m1＝﹣1（舍去），m2＝5
∴点P坐标为（5，）
②在抛物线上存在点R，使得△ARS为等腰直角三角形．
设直线AP解析式为y＝kx+6
把点P代入得：5k+6＝
∴k＝﹣
∴直线AP：y＝﹣x+6
i）若∠RAS＝90°，如图2
∵直线AC解析式为y＝﹣x+6
∴直线AR解析式为y＝x+6
解得：（即点A）
∴R（2，8）
∵∠ASR＝∠OAC＝45°
∴RS∥y轴
∴xS＝xR＝2
∴S（2，4）
∴直线OM：y＝2x
∵ 解得：
∴M（，）
ii）若∠ASR＝90°，如图3
∴∠SAR＝∠ACO＝45°
∴AR∥x轴
∴R（4，6）
∵S在AR的垂直平分线上
∴S（2，4）
∴M（，）
iii）若∠ARS＝90°，如图4，
∴∠SAR＝∠ACO＝45°，RS∥y轴
∴AR∥x轴
∴R（4，6）
∴S（4，2）
∴直线OM：y＝x
∵ 解得：
∴M（6，3）
综上所述，M1（，），R1（2，8）；M2（，），R2（4，6）；M3（6，3），R3（4，6）．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的解法，一次函数的图象与性质，二元一次方程组的解法．第（3）题②要充分利用等腰直角三角形的性质和直线AC与y轴夹角为45°来解题，画出图形进行分类讨论，先确定点R、S的位置并计算坐标，再求直线OM解析式与AP联立求M．
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日期：2019/8/3 9:50:28；用户：学无止境；邮箱：419793282@qq.com；学号：7910509
2019年湖北省随州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的）
1．（3分）﹣3的绝对值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．9
2．（3分）地球的半径约为6370000m，用科学记数法表示正确的是（ ）
A．637×104m B．63.7×105m C．6.37×106m D．6.37×107m
3．（3分）如图，直线ll∥12，直角三角板的直角顶点C在直线l1上，一锐角顶点B在直线l2上，若∠1＝35°，则∠2的度数是（ ）
A．65° B．55° C．45° D．35°
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．4m﹣m＝4 B．（a2）3 ＝a5
C．（x+y ）2＝x2+y2 D．﹣（t﹣1）＝1﹣t
5．（3分）某校男子篮球队10名队员进行定点投篮练习，每人投篮10次，他们投中的次数统计如表：
投中次数
3
5
6
7
8
人数
1
3
2
2
2
则这些队员投中次数的众数、中位数和平均数分别为（ ）
A．5，6，6 B．2，6，6 C．5，5，6 D．5，6，5
6．（3分）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积为（ ）
A．2π B．3π C．4π D．5π
7．（3分）第一次“龟兔赛跑”，兔子因为在途中睡觉而输掉比赛，很不服气，决定与乌龟再比一次，并且骄傲地说，这次我一定不睡觉，让乌龟先跑一段距离我再去追都可以赢．结果兔子又一次输掉了比赛，则下列函数图象可以体现这次比赛过程的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，BD，AE交于点O，若随机向平行四边形ABCD内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：＝＝7+4，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于﹣，设x＝﹣，易知＞，故x＞0，由x2＝（﹣）2＝3++3﹣﹣2＝2，解得x＝，即﹣＝．根据以上方法，化简+﹣后的结果为（ ）
A．5+3 B．5+ C．5﹣ D．5﹣3
10．（3分）如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC，对称轴为直线x＝1，则下列结论：①abc＜0；②a+b+c＝0；③ac+b+1＝0；④2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分，只需要将结果直接填写在答题卡对应题号处的横线上）
11．（3分）计算：（π﹣2019）0﹣2cos60°＝ ．
12．（3分）如图，点A，B，C在⊙O上，点C在优弧上，若∠OBA＝50°，则∠C的度数为 ．
13．（3分）2017年，随州学子尤东梅参加《最强大脑》节目，成功完成了高难度的项目挑战，展现了惊人的记忆力．在2019年的《最强大脑》节目中，也有很多具有挑战性的比赛项目，其中《幻圆》这个项目充分体现了数学的魅力．如图是一个最简单的二阶幻圆的模型，要求：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，则图中两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为 和 ．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的直角顶点C的坐标为 （1，0），点A在x轴正半轴上，且AC＝2．将△ABC先绕点C逆时针旋转90°，再向左平移3个单位，则变换后点A的对应点的坐标为 ．
15．（3分）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，D为AB的中点，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点D，且与BC交于点E，连接OD，OE，DE，若△ODE的面积为3，则k的值为 ．
16．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为a，E为CD边上一点（不与端点重合），将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF．
给出下列判断：
①∠EAG＝45°；
②若DE＝a，则AG∥CF；
③若E为CD的中点，则△GFC的面积为a2；
④若CF＝FG，则DE＝（﹣1）a；
⑤BG•DE+AF•GE＝a2．
其中正确的是 ．（写出所有正确判断的序号）
三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过程）
17．（5分）解关于x的分式方程：＝．
18．（7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1+x2＝3，求k的值及方程的根．
19．（10分）“校园安全”越来越受到人们的关注，我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．根据图中信息回答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有 人，条形统计图中m的值为 ；
（2）扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数为 ；
（3）若该中学共有学生1800人，根据上述调查结果，可以估计出该学校学生中对校园安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为 人；
（4）若从对校园安全知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
20．（8分）在一次海上救援中，两艘专业救助船A，B同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船B在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西30°方向上，在救助船B的西南方向上，且事故渔船P与救助船A相距120海里．
（1）求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离；
（2）若救助船A，B分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．
21．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，点F在AC的延长线上，且∠BAC＝2∠CBF．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为3，sin∠CBF＝，求BC和BF的长．
22．（11分）某食品厂生产一种半成品食材，成本为2元/千克，每天的产量p（百千克）与销售价格x（元/千克）满足函数关系式p＝x+8，从市场反馈的信息发现，该半成品食材每天的市场需求量q（百千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如表：
销售价格x（元/千克）
2
4
……
10
市场需求量q（百千克）
12
10
……
4
已知按物价部门规定销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克．
（1）直接写出q与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）当每天的产量小于或等于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出，而当每天的产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废弃．
①当每天的半成品食材能全部售出时，求x的取值范围；
②求厂家每天获得的利润y（百元）与销售价格x的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当x为 元/千克时，利润y有最大值；若要使每天的利润不低于24（百元），并尽可能地减少半成品食材的浪费，则x应定为 元/千克．
23．（10分）若一个两位数十位、个位上的数字分别为m，n，我们可将这个两位数记为，易知＝10m+n；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如＝100a+10b+c．
【基础训练】
（1）解方程填空：
①若+＝45，则x＝ ；
②若﹣＝26，则y＝ ；
③若+＝，则t＝ ；
【能力提升】
（2）交换任意一个两位数的个位数字与十位数字，可得到一个新数，则+一定能被 整除，﹣一定能被 整除，•﹣mn一定能被 整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空）
【探索发现】
（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用532﹣235＝297），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．
①该“卡普雷卡尔黑洞数”为 ；
②设任选的三位数为（不妨设a＞b＞c），试说明其均可产生该黑洞数．
24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（﹣2，0），C（6，0）．
（1）直接写出抛物线的解析式及其对称轴；
（2）如图2，连接AB，AC，设点P（m，n）是抛物线上位于第一象限内的一动点，且在对称轴右侧，过点P作PD⊥AC于点E，交x轴于点D，过点P作PG∥AB交AC于点F，交x轴于点G．设线段DG的长为d，求d与m的函数关系式，并注明m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若△PDG的面积为，
①求点P的坐标；
②设M为直线AP上一动点，连接OM交直线AC于点S，则点M在运动过程中，在抛物线上是否存在点R，使得△ARS为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M及其对应的点R的坐标；若不存在，请说明理由．
2019年湖北省随州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的）
1．（3分）﹣3的绝对值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．9
【考点】15：绝对值．菁优网版权所有
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答．
【解答】解：﹣3的绝对值为3，
即|﹣3|＝3．
故选：A．
【点评】本题考查了绝对值，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
2．（3分）地球的半径约为6370000m，用科学记数法表示正确的是（ ）
A．637×104m B．63.7×105m C．6.37×106m D．6.37×107m
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：6370000m，用科学记数法表示正确的是6.37×106m，
故选：C．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）如图，直线ll∥12，直角三角板的直角顶点C在直线l1上，一锐角顶点B在直线l2上，若∠1＝35°，则∠2的度数是（ ）
A．65° B．55° C．45° D．35°
【考点】JA：平行线的性质．菁优网版权所有
【分析】根据余角的定义得到∠3，根据两直线平行，内错角相等可得∠3＝∠2．
【解答】解：如图，∵∠1+∠3＝90°，∠1＝35°，
∴∠3＝55°．
又∵直线ll∥12，
∴∠2＝∠3＝55°．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，余角的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．4m﹣m＝4 B．（a2）3 ＝a5
C．（x+y ）2＝x2+y2 D．﹣（t﹣1）＝1﹣t
【考点】44：整式的加减；47：幂的乘方与积的乘方；4C：完全平方公式．菁优网版权所有
【分析】直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、完全平方公式分别化简得出答案．
【解答】解：A、4m﹣m＝3m，故此选项错误；
B、（a2）3 ＝a6，故此选项错误；
C、（x+y ）2＝x2+2xy+y2，故此选项错误；
D、﹣（t﹣1）＝1﹣t，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了合并同类项以及幂的乘方运算、完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5．（3分）某校男子篮球队10名队员进行定点投篮练习，每人投篮10次，他们投中的次数统计如表：
投中次数
3
5
6
7
8
人数
1
3
2
2
2
则这些队员投中次数的众数、中位数和平均数分别为（ ）
A．5，6，6 B．2，6，6 C．5，5，6 D．5，6，5
【考点】W2：加权平均数；W4：中位数；W5：众数．菁优网版权所有
【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
【解答】解：在这一组数据中5是出现次数最多的，故众数是5；
处于中间位置的两个数的平均数是（6+6）÷2＝6，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是6．
平均数是：（3+15+12+14+16）÷10＝6，
所以答案为：5、6、6，
故选：A．
【点评】主要考查了平均数，众数，中位数的概念．要掌握这些基本概念才能熟练解题．
6．（3分）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积为（ ）
A．2π B．3π C．4π D．5π
【考点】I4：几何体的表面积；U3：由三视图判断几何体．菁优网版权所有
【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形，判断出几何体的形状，再根据三视图的数据，求出几何体的表面积即可．
【解答】解：根据三视图可得这个几何体是圆锥，
底面积＝π×12＝π，
侧面积为＝π•3＝3π，
则这个几何体的表面积＝π+3π＝4π；
故选：C．
【点评】此题考查了由三视图判断几何体，用到的知识点是三视图，几何体的表面积的求法，准确判断几何体的形状是解题的关键．
7．（3分）第一次“龟兔赛跑”，兔子因为在途中睡觉而输掉比赛，很不服气，决定与乌龟再比一次，并且骄傲地说，这次我一定不睡觉，让乌龟先跑一段距离我再去追都可以赢．结果兔子又一次输掉了比赛，则下列函数图象可以体现这次比赛过程的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】E6：函数的图象．菁优网版权所有
【分析】根据乌龟比兔子早出发，而早到终点逐一判断即可得．
【解答】解：由于乌龟比兔子早出发，而早到终点；
故B选项正确；
故选：B．
【点评】本题主要考查函数图象，解题的关键是弄清函数图象中横、纵轴所表示的意义及实际问题中自变量与因变量之间的关系．
8．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，BD，AE交于点O，若随机向平行四边形ABCD内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】L5：平行四边形的性质；S9：相似三角形的判定与性质；X5：几何概率．菁优网版权所有
【分析】随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
【解答】解：∵E为BC的中点，
∴，
∴＝，
∴S△BOE＝S△AOB，S△AOB＝S△ABD，
∴S△BOE＝S△ABD＝S▱ABCD，
∴米粒落在图中阴影部分的概率为，
故选：B．
【点评】本题考查了概率，熟练掌握概率公式与平行四边形的性质以及相似三角形的性质是解题的关键．
9．（3分）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：＝＝7+4，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于﹣，设x＝﹣，易知＞，故x＞0，由x2＝（﹣）2＝3++3﹣﹣2＝2，解得x＝，即﹣＝．根据以上方法，化简+﹣后的结果为（ ）
A．5+3 B．5+ C．5﹣ D．5﹣3
【考点】26：无理数；4F：平方差公式；73：二次根式的性质与化简；76：分母有理化．菁优网版权所有
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：设x＝﹣，且＞，
∴x＜0，
∴x2＝6﹣3﹣2+6+3，
∴x2＝12﹣2×3＝6，
∴x＝，
∵＝5﹣2，
∴原式＝5﹣2﹣
＝5﹣3，
故选：D．
【点评】本题考查二次根式的运算法则，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．
10．（3分）如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC，对称轴为直线x＝1，则下列结论：①abc＜0；②a+b+c＝0；③ac+b+1＝0；④2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系；H5：二次函数图象上点的坐标特征；HA：抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有
【分析】①由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线的对称轴位置可得b＞0，由抛物线与y轴的交点位置可得c＞0，则可对①进行判断；
②根据对称轴是直线x＝1，可得b＝﹣2a，代入a+b+c，可对②进行判断；
③利用OA＝OC可得到A（﹣c，0），再把A（﹣c，0）代入y＝ax2+bx+c即可对③作出判断；
④根据抛物线的对称性得到B点的坐标，即可对④作出判断．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵b＝﹣2a，
∴a+b＝a﹣a＝0，
∵c＞0，
∴a+b+c＞0，所以②错误；
∵C（0，c），OA＝OC，
∴A（﹣c，0），
把A（﹣c，0）代入y＝ax2+bx+c得ac2﹣bc+c＝0，
∴ac﹣b+1＝0，所以③错误；
∵A（﹣c，0），对称轴为直线x＝1，
∴B（2+c，0），
∴2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，所以④正确；
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，熟练掌握二次函数的性质是关键．
二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分，只需要将结果直接填写在答题卡对应题号处的横线上）
11．（3分）计算：（π﹣2019）0﹣2cos60°＝ 0 ．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；T5：特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
【分析】原式利用零指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．
【解答】解：原式＝1﹣2×＝1﹣1＝0，
故答案为：0
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．（3分）如图，点A，B，C在⊙O上，点C在优弧上，若∠OBA＝50°，则∠C的度数为 40° ．
【考点】M5：圆周角定理．菁优网版权所有
【分析】先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理得到∠C的度数．
【解答】解：∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝50°，
∴∠AOB＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴∠C＝∠AOB＝40°．
故答案为40°．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
13．（3分）2017年，随州学子尤东梅参加《最强大脑》节目，成功完成了高难度的项目挑战，展现了惊人的记忆力．在2019年的《最强大脑》节目中，也有很多具有挑战性的比赛项目，其中《幻圆》这个项目充分体现了数学的魅力．如图是一个最简单的二阶幻圆的模型，要求：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，则图中两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为 2 和 9 ．
【考点】19：有理数的加法．菁优网版权所有
【分析】根据题意要求①②可得关于所要求的两数的两个等式，解出两数即可．
【解答】解：设图中两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为a，b
∵外圆两直径上的四个数字之和相等
∴4+6+7+8＝a+3+b+11①
∵内、外两个圆周上的四个数字之和相等
∴3+6+b+7＝a+4+11+8②
联立①②解得：a＝2，b＝9
∴图中两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为2，9
故答案为：2；9．
【点评】此题比较简单，主要考查了有理数的加法，主要依据题中的要求①②列式即可以求解．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的直角顶点C的坐标为 （1，0），点A在x轴正半轴上，且AC＝2．将△ABC先绕点C逆时针旋转90°，再向左平移3个单位，则变换后点A的对应点的坐标为 （﹣2，2） ．
【考点】Q3：坐标与图形变化﹣平移；R7：坐标与图形变化﹣旋转．菁优网版权所有
【分析】根据旋转变换的性质得到旋转变换后点A的对应点坐标，根据平移的性质解答即可．
【解答】解：∵点C的坐标为（1，0），AC＝2，
∴点A的坐标为（3，0），
如图所示，将Rt△ABC先绕点C逆时针旋转90°，
则点A′的坐标为（1，2），
再向左平移3个单位长度，则变换后点A′的对应点坐标为（﹣2，2），
故答案为：（﹣2，2）．
【点评】本题考查的是坐标与图形变化旋转和平移，掌握旋转变换、平移变换的性质是解题的关键．
15．（3分）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，D为AB的中点，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点D，且与BC交于点E，连接OD，OE，DE，若△ODE的面积为3，则k的值为 4 ．
【考点】G4：反比例函数的性质；G5：反比例函数系数k的几何意义；G6：反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【分析】根据所给的三角形面积等于长方形面积减去三个直角三角形的面积，然后即可求出B的横纵坐标的积即是反比例函数的比例系数．
【解答】解：∵四边形OCBA是矩形，
∴AB＝OC，OA＝BC，
设B点的坐标为（a，b），则E的坐标为E（a，），
∵D为AB的中点，
∴D（a，b）
∵D、E在反比例函数的图象上，
∴ab＝k，
∵S△ODE＝S矩形OCBA﹣S△AOD﹣S△OCE﹣S△BDE＝ab﹣k﹣k﹣•a•（b﹣）＝3，
∴ab﹣k﹣k﹣ab+k＝3，
解得：k＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是利用过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式；所给的面积应整理为和反比例函数上的点的坐标有关的形式，本题属于中等题型．
16．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为a，E为CD边上一点（不与端点重合），将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF．
给出下列判断：
①∠EAG＝45°；
②若DE＝a，则AG∥CF；
③若E为CD的中点，则△GFC的面积为a2；
④若CF＝FG，则DE＝（﹣1）a；
⑤BG•DE+AF•GE＝a2．
其中正确的是 ①②④⑤ ．（写出所有正确判断的序号）
【考点】LE：正方形的性质；PB：翻折变换（折叠问题）；S9：相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【分析】①由折叠得AD＝AF＝AB，再由HL定理证明Rt△ABG≌Rt△AFG便可判定正误；
②设BG＝GF＝x，由勾股定理可得（x+a）2＝x2+（a）2，求得BG＝a，进而得GC＝GF，得∠GFC＝∠GCF，再证明∠AGB＝∠GCF，便可判断正误；
③设BG＝GF＝y，则CG＝a﹣y，由勾股定理得y的方程求得BG，GF，EF，再由同高的两个三角形的面积比等于底边之比，求得△CGF的面积，便可判断正误；
④证明∠FEC＝∠FCE，得EF＝CF＝GF，进而得EG＝2DE，CG＝CE＝a﹣DE，由等腰直角三角形的斜边与直角边的关系式便可得结论，进而判断正误；
⑤设BG＝GF＝b，DE＝EF＝c，则CG＝a﹣b，CE＝a﹣c，由勾股定理得bc＝a2﹣ab﹣ac，再得△CEG的面积为BG•DE，再由五边形ABGED的面积加上△CEG的面积等于正方形的面积得结论，进而判断正误．
【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝AD＝a，
∵将△ADE沿AE对折至△AFE，
∴∠AFE＝∠ADE＝∠ABG＝90°，AF＝AD＝AB，EF＝DE，∠DAE＝∠FAE，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
∴∠BAG＝∠FAG，
∴∠GAE＝∠GAF+∠EAF＝90°＝45°，故①正确；
②∴BG＝GF，∠BGA＝∠FGA，
设BG＝GF＝x，∵DE＝a，
∴EF＝a，
∴CG＝a﹣x，
在Rt△EGC中，EG＝x+a，CE＝a，由勾股定理可得（x+a）2＝x2+（a）2，
解得x＝a，此时BG＝CG＝a，
∴GC＝GF＝a，
∴∠GFC＝∠GCF，
且∠BGF＝∠GFC+∠GCF＝2∠GCF，
∴2∠AGB＝2∠GCF，
∴∠AGB＝∠GCF，
∴AG∥CF，
∴②正确；
③若E为CD的中点，则DE＝CE＝EF＝，
设BG＝GF＝y，则CG＝a﹣y，
CG2+CE2＝EG2，
即，
解得，y＝a，
∴BG＝GF＝，CG＝a﹣，
∴，
∴，
故③错误；
④当CF＝FG，则∠FGC＝∠FCG，
∵∠FGC+∠FEC＝∠FCG+∠FCE＝90°，
∴∠FEC＝∠FCE，
∴EF＝CF＝GF，
∴BG＝GF＝EF＝DE，
∴EG＝2DE，CG＝CE＝a﹣DE，
∴，即，
∴DE＝（﹣1）a，
故④正确；
⑤设BG＝GF＝b，DE＝EF＝c，则CG＝a﹣b，CE＝a﹣c，
由勾股定理得，（b+y）2＝（a﹣b）2+（a﹣c）2，整理得bc＝a2﹣ab﹣ac，
∴＝，
即S△CEG＝BG•DE，
∵S△ABG＝S△AFG，S△AEF＝S△ADE，
∴，
∵S五边形ABGED+S△CEG＝S正方形ABCD，
∴BG•DE+AF•EG＝a2，
故⑤正确．
故答案为：①②④⑤．
【点评】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用折叠得到线段相等及角相等、正方形的性质的运用是解题的关键．涉及内容多而复杂，难度较大．
三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过程）
17．（5分）解关于x的分式方程：＝．
【考点】B3：解分式方程．菁优网版权所有
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：27﹣9x＝18+6x，
移项合并得：15x＝9，
解得：x＝，
经检验x＝是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
18．（7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1+x2＝3，求k的值及方程的根．
【考点】AA：根的判别式；AB：根与系数的关系．菁优网版权所有
【分析】（1）由于关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根，可知△＞0，据此进行计算即可；
（2）利用根与系数的关系得出x1+x2＝2k+1，进而得出关于k的方程求出即可．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根，
∴△＞0，
∴（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0，
整理得，4k﹣3＞0，
解得：k＞，
故实数k的取值范围为k＞；
（2）∵方程的两个根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝2k+1＝3，
解得：k＝1，
∴原方程为x2﹣3x+2＝0，
∴x1＝1，x2＝2．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．以及根与系数的关系．
19．（10分）“校园安全”越来越受到人们的关注，我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．根据图中信息回答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有 60 人，条形统计图中m的值为 10 ；
（2）扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数为 96° ；
（3）若该中学共有学生1800人，根据上述调查结果，可以估计出该学校学生中对校园安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为 1020 人；
（4）若从对校园安全知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
【考点】V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图；X6：列表法与树状图法．菁优网版权所有
【分析】（1）用“基本了解”的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；
（2）用360°乘以扇形统计图中“了解很少”部分所占的比例即可；
（3）用总人数1800乘以达到“非常了解”和“基本了解”程度的人数所占的比例即可；
（4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好抽到1个男生和1个女生的结果数，然后利用概率公式求解．
【解答】解：（1）接受问卷调查的学生共有30÷50%＝60（人），m＝60﹣4﹣30﹣16＝10；
故答案为：60，10；
（2）扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数＝360°×＝96°；
故答案为：96°；
（3）该学校学生中对校园安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为：1800×＝1020（人）；
故答案为：1020；
（4）由题意列树状图：
由树状图可知，所有等可能的结果有12 种，恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8种，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为＝．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．（8分）在一次海上救援中，两艘专业救助船A，B同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船B在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西30°方向上，在救助船B的西南方向上，且事故渔船P与救助船A相距120海里．
（1）求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离；
（2）若救助船A，B分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．
【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．菁优网版权所有
【分析】（1）作PC⊥AB于C，则∠PCA＝∠PB＝90°，由题意得：PA＝120海里，∠A＝30°，∠BPC＝45°，由直角三角形的性质得出PC＝PA＝60海里，△BCP是等腰直角三角形，得出PB＝PC＝60海里即可；
（2）求出救助船A、B所用的时间，即可得出结论．
【解答】解：（1）作PC⊥AB于C，如图所示：
则∠PCA＝∠PB＝90°，
由题意得：PA＝120海里，∠A＝30°，∠BPC＝45°，
∴PC＝PA＝60海里，△BCP是等腰直角三角形，
∴BC＝PC＝60海里，PB＝PC＝60海里；
答：收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离为60海里；
（2）∵PA＝120海里，PB＝60海里，救助船A，B分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，
∴救助船A所用的时间为＝3（小时），救助船B所用的时间为＝2（小时），
∵3＞2，
∴救助船B先到达．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用、方向角、直角三角形的性质；正确作出辅助线是解题的关键．
21．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，点F在AC的延长线上，且∠BAC＝2∠CBF．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为3，sin∠CBF＝，求BC和BF的长．
【考点】KH：等腰三角形的性质；M5：圆周角定理；ME：切线的判定与性质；T7：解直角三角形．菁优网版权所有
【分析】（1）连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABF＝90°．
（2）解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠1+∠2＝90°．
∵AB＝AC，
∴2∠1＝∠CAB．
∵∠BAC＝2∠CBF，
∴∠1＝∠CBF
∴∠CBF+∠2＝90°
即∠ABF＝90°
∵AB是⊙O的直径，
∴直线BF是⊙O的切线；
（2）解：过点C作CH⊥BF于H．
∵sin∠CBF＝，∠1＝∠CBF，
∴sin∠1＝，
∵在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，AB＝3，
∴BE＝AB•sin∠1＝3×＝，
∵AB＝AC，∠AEB＝90°，
∴BC＝2BE＝2，
∵sin∠CBF＝＝，
∴CH＝2，
∵CH∥AB，
∴＝，即＝，
∴CF＝6，
∴AF＝AC+CF＝9，
∴BF＝＝6．
【点评】本题考查了圆的综合题：切线的判定与性质、勾股定理、直角所对的圆周角是直角、解直角三角形等知识点．
22．（11分）某食品厂生产一种半成品食材，成本为2元/千克，每天的产量p（百千克）与销售价格x（元/千克）满足函数关系式p＝x+8，从市场反馈的信息发现，该半成品食材每天的市场需求量q（百千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如表：
销售价格x（元/千克）
2
4
……
10
市场需求量q（百千克）
12
10
……
4
已知按物价部门规定销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克．
（1）直接写出q与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）当每天的产量小于或等于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出，而当每天的产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废弃．
①当每天的半成品食材能全部售出时，求x的取值范围；
②求厂家每天获得的利润y（百元）与销售价格x的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当x为 元/千克时，利润y有最大值；若要使每天的利润不低于24（百元），并尽可能地减少半成品食材的浪费，则x应定为 5 元/千克．
【考点】HE：二次函数的应用．菁优网版权所有
【分析】（1）根据表格数据，可设q与x的函数关系式为：q＝kx+b，利用待定系数法即可求
（2）①根据题意，当每天的半成品食材能全部售出时，有p≤q，②根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出厂家每天获得的利润y（百元）与销售价格x的函数关系式
（3）根据（2）中的条件分情况讨论即可
【解答】解：
（1）由表格的数据，设q与x的函数关系式为：q＝kx+b
根据表格的数据得，解得
故q与x的函数关系式为：q＝﹣x+14，其中2≤x≤10
（2）①当每天的半成品食材能全部售出时，有p≤q
即x+8≤﹣x+14，解得x≤4
又2≤x≤10，所以此时2≤x≤4
②由①可知，当2≤x≤4时，
y＝（x﹣2）p＝（x﹣2）（x+8）＝x2+7x﹣16
当4＜x≤10时，y＝（x﹣2）q﹣2（p﹣q）
＝（x﹣2）（﹣x+14）﹣2[x+8﹣（﹣x+14）]
＝﹣x2+13x﹣16
即有y＝
（3）当2≤x≤4时，
y＝x2+7x﹣16的对称轴为x＝＝＝﹣7
∴当2≤x≤4时，除x的增大而增大
∴x＝4时有最大值，y＝＝20
当4＜x≤10时
y＝﹣x2+13x﹣16＝﹣（x﹣）2+，
∵﹣1＜0，＞4
∴x＝时取最大值
即此时y有最大利润
要使每天的利润不低于24百元，则当2≤x≤4时，显然不符合
故y＝﹣（x﹣）2+≥24，解得x≤5
故当x＝5时，能保证不低于24百元
故答案为：，5
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
23．（10分）若一个两位数十位、个位上的数字分别为m，n，我们可将这个两位数记为，易知＝10m+n；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如＝100a+10b+c．
【基础训练】
（1）解方程填空：
①若+＝45，则x＝ 2 ；
②若﹣＝26，则y＝ 4 ；
③若+＝，则t＝ 7 ；
【能力提升】
（2）交换任意一个两位数的个位数字与十位数字，可得到一个新数，则+一定能被 11 整除，﹣一定能被 9 整除，•﹣mn一定能被 10 整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空）
【探索发现】
（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用532﹣235＝297），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．
①该“卡普雷卡尔黑洞数”为 495 ；
②设任选的三位数为（不妨设a＞b＞c），试说明其均可产生该黑洞数．
【考点】59：因式分解的应用．菁优网版权所有
【分析】（1）①②③均按定义列出方程求解即可；
（2）按定义式子展开化简即可；
（3）①选取题干中数据，按照定义式子展开，化简到出现循环即可；
②按定义式子化简，注意条件a＞b＞c的应用，化简到出现循环数495即可．
【解答】解：（1）①∵＝10m+n
∴若+＝45，则10×2+x+10x+3＝45
∴x＝2
故答案为：2．
②若﹣＝26，则10×7+y﹣（10y+8）＝26
解得y＝4
故答案为：4．
③由＝100a+10b+c．及四位数的类似公式得
若+＝，则100t+10×9+3+100×5+10t+8＝1000×1+100×3+10t+1
∴100t＝700
∴t＝7
故答案为：7．
（2）∵+＝10m+n+10n+m＝11m+11n＝11（m+n）
∴则+一定能被 11整除
∵﹣＝10m+n﹣（10n+m）＝9m﹣9n＝9（m﹣n）
∴﹣一定能被9整除．
∵•﹣mn＝（10m+n）（10n+m）﹣mn＝100mn+10m2+10n2+mn﹣mn＝10（10mn+m2+n2）
∴•﹣mn一定能被10整除．
故答案为：11；9；10．
（3）①若选的数为325，则用532﹣235＝297，以下按照上述规则继续计算
972﹣279＝693
963﹣369＝594
954﹣459＝495
954﹣459＝495…
故答案为：495．
②当任选的三位数为时，第一次运算后得：100a+10b+c﹣（100c+10b+a）＝99（a﹣c），
结果为99的倍数，由于a＞b＞c，故a≥b+1≥c+2
∴a﹣c≥2，又9≥a＞c≥0，
∴a﹣c≤9
∴a﹣c＝2，3，4，5，6，7，8，9
∴第一次运算后可能得到：198，297，396，495，594，693，792，891，
再让这些数字经过运算，分别可以得到：
981﹣189＝792，972﹣279＝693，963﹣369＝594，954﹣459﹣495，954﹣459＝495…故都可以得到该黑洞数495．
【点评】本题是较为复杂的新定义试题，题目设置的问题较多，但解答方法大同小异，总体中等难度略大．
24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（﹣2，0），C（6，0）．
（1）直接写出抛物线的解析式及其对称轴；
（2）如图2，连接AB，AC，设点P（m，n）是抛物线上位于第一象限内的一动点，且在对称轴右侧，过点P作PD⊥AC于点E，交x轴于点D，过点P作PG∥AB交AC于点F，交x轴于点G．设线段DG的长为d，求d与m的函数关系式，并注明m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若△PDG的面积为，
①求点P的坐标；
②设M为直线AP上一动点，连接OM交直线AC于点S，则点M在运动过程中，在抛物线上是否存在点R，使得△ARS为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M及其对应的点R的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）已知抛物线与x轴交点B、C，故可设交点式，再把点A代入即求得抛物线解析式．用配方法或公式求得对称轴．
（2）过点P作PH⊥x轴于点H，由PD⊥AD于点E易证∠PDH＝45°，故DH＝PH＝n．由PG∥AB易证△PGH∽△ABO，利用对应边成比例可得GH＝n，把含m的式子代入d＝DH﹣GH即得到d与m的函数关系式，再由点P的位置确定2＜m＜6．
（3）①用n表示DG、PH，代入S△PDG＝DG•PH＝，求得n的值（舍去负值），再利用n＝﹣m2+2m+6解关于m的方程即求得点P坐标．
②因为△ARS为等腰直角三角形且AS与y轴夹角为45°，故AR与y轴夹角为45°或90°．由于不确定△ARS哪个为直角顶点，故需分3种情况讨论，画出图形，利用45°或90°来确定点R、S的位置，进而求点R、S坐标，再由S的坐标求直线OM解析式，把直线OM与直线AP解析式联立方程组，解得点M坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于点B（﹣2，0），C（6，0）
∴设交点式y＝a（x+2）（x﹣6）
∵抛物线过点A（0，6）
∴﹣12a＝6
∴a＝﹣
∴抛物线解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣6）＝﹣x2+2x+6＝﹣（x﹣2）2+8
∴抛物线对称轴为直线x＝2．
（2）过点P作PH⊥x轴于点H，如图1
∴∠PHD＝90°
∵点P（m，n）是抛物线上位于第一象限内的一动点且在对称轴右侧
∴2＜m＜6，PH＝n＝﹣m2+2m+6，n＞0
∵OA＝OC＝6，∠AOC＝90°
∴∠ACO＝45°
∵PD⊥AC于点E
∴∠CED＝90°
∴∠CDE＝90°﹣∠ACO＝45°
∴DH＝PH＝n
∵PG∥AB
∴∠PGH＝∠ABO
∴△PGH∽△ABO
∴
∴GH＝n
∴d＝DH﹣GH＝n﹣n＝n＝（﹣m2+2m+6）＝﹣m2+m+4（2＜m＜6）
（3）①∵S△PDG＝DG•PH＝
∴n•n＝
解得：n1＝，n2＝﹣（舍去）
∴﹣m2+2m+6＝
解得：m1＝﹣1（舍去），m2＝5
∴点P坐标为（5，）
②在抛物线上存在点R，使得△ARS为等腰直角三角形．
设直线AP解析式为y＝kx+6
把点P代入得：5k+6＝
∴k＝﹣
∴直线AP：y＝﹣x+6
i）若∠RAS＝90°，如图2
∵直线AC解析式为y＝﹣x+6
∴直线AR解析式为y＝x+6
解得：（即点A）
∴R（2，8）
∵∠ASR＝∠OAC＝45°
∴RS∥y轴
∴xS＝xR＝2
∴S（2，4）
∴直线OM：y＝2x
∵ 解得：
∴M（，）
ii）若∠ASR＝90°，如图3
∴∠SAR＝∠ACO＝45°
∴AR∥x轴
∴R（4，6）
∵S在AR的垂直平分线上
∴S（2，4）
∴M（，）
iii）若∠ARS＝90°，如图4，
∴∠SAR＝∠ACO＝45°，RS∥y轴
∴AR∥x轴
∴R（4，6）
∴S（4，2）
∴直线OM：y＝x
∵ 解得：
∴M（6，3）
综上所述，M1（，），R1（2，8）；M2（，），R2（4，6）；M3（6，3），R3（4，6）．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的解法，一次函数的图象与性质，二元一次方程组的解法．第（3）题②要充分利用等腰直角三角形的性质和直线AC与y轴夹角为45°来解题，画出图形进行分类讨论，先确定点R、S的位置并计算坐标，再求直线OM解析式与AP联立求M．
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