2019年湖北省随州市中考数学试卷及答案

2019年湖北省随州市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1．﹣3的绝对值为（　　）

A．3 B．﹣3 C．±3 D．9

2．地球的半径约为6370000m，用科学记数法表示正确的是（　　）

A．637×104m B．63.7×105m C．6.37×106m D．6.37×107m

3．如图，直线ll∥12，直角三角板的直角顶点C在直线l1上，一锐角顶点B在直线l2上，若∠1＝35°，则∠2的度数是（　　）

A．65° B．55° C．45° D．35°

4．下列运算正确的是（　　）

A．4m﹣m＝4　　　B．（a2）3 ＝a5 　　　C．（x+y ）2＝x2+y2　　　D．﹣（t﹣1）＝1﹣t

5．某校男子篮球队10名队员进行定点投篮练习，每人投篮10次，他们投中的次数统计如表：

则这些队员投中次数的众数、中位数和平均数分别为（　　）

A．5，6，6 B．2，6，6 C．5，5，6 D．5，6，5

6．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积为（　　）

A．2π B．3π C．4π D．5π

7．第一次“龟兔赛跑”，兔子因为在途中睡觉而输掉比赛，很不服气，决定与乌龟再比一次，并且骄傲地说，这次我一定不睡觉，让乌龟先跑一段距离我再去追都可以赢．结果兔子又一次输掉了比赛，则下列函数图象可以体现这次比赛过程的是（　　）

A．　　B． 　C．　D．

8．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，BD，AE交于点O，若随机向平行四边形ABCD内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（　　）

A． B． C． D．

9．“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：＝＝7+4，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于﹣，设x＝﹣，易知＞，故x＞0，由x2＝（﹣）2＝3++3﹣﹣2＝2，解得x＝，即﹣＝．根据以上方法，化简+﹣后的结果为（　　）

A．5+3 B．5+ C．5﹣ D．5﹣3

10．如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC，对称轴为直线x＝1，则下列结论：①abc＜0；②a+b+c＝0；③ac+b+1＝0；④2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根．其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）

11．计算：（π﹣2019）0﹣2cos60°＝　   　．

12．如图，点A，B，C在⊙O上，点C在优弧上，若∠OBA＝50°，则∠C的度数为　   　．

13．2017年，随州学子尤东梅参加《最强大脑》节目，成功完成了高难度的项目挑战，展现了惊人的记忆力．在2019年的《最强大脑》节目中，也有很多具有挑战性的比赛项目，其中《幻圆》这个项目充分体现了数学的魅力．如图是一个最简单的二阶幻圆的模型，要求：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，则图中两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为　   　和　   　．

14．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的直角顶点C的坐标为 （1，0），点A在x轴正半轴上，且AC＝2．将△ABC先绕点C逆时针旋转90°，再向左平移3个单位，则变换后点A的对应点的坐标为　   　．

15．如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，D为AB的中点，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点D，且与BC交于点E，连接OD，OE，DE，若△ODE的面积为3，则k的值为　   　．

16．如图，已知正方形ABCD的边长为a，E为CD边上一点（不与端点重合），将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF．

给出下列判断：①∠EAG＝45°；②若DE＝a，则AG∥CF；③若E为CD的中点，则△GFC的面积为a2；④若CF＝FG，则DE＝（﹣1）a；⑤BG•DE+AF•GE＝a2．

其中正确的是　   　．（写出所有正确判断的序号）

三、解答题（本大题共8小题，共72分）

17．（5分）解关于x的分式方程：＝．

18．（7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．

（1）求k的取值范围；（2）若x1+x2＝3，求k的值及方程的根．

19．（10分）“校园安全”越来越受到人们的关注，我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．根据图中信息回答下列问题：

（1）接受问卷调查的学生共有　   　人，条形统计图中m的值为　   　；

（2）扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数为　   　；

（3）若该中学共有学生1800人，根据上述调查结果，可以估计出该学校学生中对校园安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为　   　人；

（4）若从对校园安全知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．

20．（8分）在一次海上救援中，两艘专业救助船A，B同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船B在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西30°方向上，在救助船B的西南方向上，且事故渔船P与救助船A相距120海里．（1）求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离；（2）若救助船A，B分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．

21．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，点F在AC的延长线上，且∠BAC＝2∠CBF．

（1）求证：BF是⊙O的切线；（2）若⊙O的直径为3，sin∠CBF＝，求BC和BF的长．

22．（11分）某食品厂生产一种半成品食材，成本为2元/千克，每天的产量p（百千克）与销售价格x（元/千克）满足函数关系式p＝x+8，从市场反馈的信息发现，该半成品食材每天的市场需求量q（百千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如表：

已知按物价部门规定销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克．

（1）直接写出q与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；

（2）当每天的产量小于或等于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出，而当每天的产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废弃．

①当每天的半成品食材能全部售出时，求x的取值范围；

②求厂家每天获得的利润y（百元）与销售价格x的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，当x为　   　元/千克时，利润y有最大值；若要使每天的利润不低于24（百元），并尽可能地减少半成品食材的浪费，则x应定为　   　元/千克．

23．（10分）若一个两位数十位、个位上的数字分别为m，n，我们可将这个两位数记为，易知＝10m+n；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如＝100a+10b+c．

【基础训练】

（1）解方程填空：

①若+＝45，则x＝　   　；

②若﹣＝26，则y＝　   　；

③若+＝，则t＝　   　；

【能力提升】

（2）交换任意一个两位数的个位数字与十位数字，可得到一个新数，则+一定能被　   　整除，﹣一定能被　   　整除，•﹣mn一定能被　   　整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空）

【探索发现】

（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用532﹣235＝297），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．

①该“卡普雷卡尔黑洞数”为　   　；

②设任选的三位数为（不妨设a＞b＞c），试说明其均可产生该黑洞数．

24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（﹣2，0），C（6，0）．

（1）直接写出抛物线的解析式及其对称轴；

（2）如图2，连接AB，AC，设点P（m，n）是抛物线上位于第一象限内的一动点，且在对称轴右侧，过点P作PD⊥AC于点E，交x轴于点D，过点P作PG∥AB交AC于点F，交x轴于点G．设线段DG的长为d，求d与m的函数关系式，并注明m的取值范围；

（3）在（2）的条件下，若△PDG的面积为，

①求点P的坐标；

②设M为直线AP上一动点，连接OM交直线AC于点S，则点M在运动过程中，在抛物线上是否存在点R，使得△ARS为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M及其对应的点R的坐标；若不存在，请说明理由．

2019年湖北省随州市中考数学试卷答案

1． A．2． C．3． B．4． D．5． A．6． C．7． B．8． B．9． D．10． B．

11． 012． 40°．13． 2；9．14．（﹣2，2）．15． ．16．①②④⑤．

17．解：去分母得：27﹣9x＝18+6x，

移项合并得：15x＝9，

解得：x＝，

经检验x＝是分式方程的解．

18．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根，

∴△＞0，

∴（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0，

整理得，4k﹣3＞0，

解得：k＞，

故实数k的取值范围为k＞；

（2）∵方程的两个根分别为x1，x2，

∴x1+x2＝2k+1＝3，

解得：k＝1，

∴原方程为x2﹣3x+2＝0，

∴x1＝1，x2＝2．

19．解：（1）接受问卷调查的学生共有30÷50%＝60（人），m＝60﹣4﹣30﹣16＝10；

故答案为：60，10；

（2）扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数＝360°×＝96°；

故答案为：96°；

（3）该学校学生中对校园安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为：1800×＝1020（人）；

故答案为：1020；

（4）由题意列树状图：

由树状图可知，所有等可能的结果有12 种，恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8种，

∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为＝．

20．解：（1）作PC⊥AB于C，如图所示：

则∠PCA＝∠PB＝90°，

由题意得：PA＝120海里，∠A＝30°，∠BPC＝45°，

∴PC＝PA＝60海里，△BCP是等腰直角三角形，

∴BC＝PC＝60海里，PB＝PC＝60海里；

答：收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离为60海里；

（2）∵PA＝120海里，PB＝60海里，救助船A，B分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，

∴救助船A所用的时间为＝3（小时），救助船B所用的时间为＝2（小时），

∵3＞2，

∴救助船B先到达．

21．（1）证明：连接AE，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠AEB＝90°，

∴∠1+∠2＝90°．

∵AB＝AC，

∴2∠1＝∠CAB．

∵∠BAC＝2∠CBF，

∴∠1＝∠CBF

∴∠CBF+∠2＝90°

即∠ABF＝90°

∵AB是⊙O的直径，

∴直线BF是⊙O的切线；

（2）解：过点C作CH⊥BF于H．

∵sin∠CBF＝，∠1＝∠CBF，

∴sin∠1＝，

∵在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，AB＝3，

∴BE＝AB•sin∠1＝3×＝，

∵AB＝AC，∠AEB＝90°，

∴BC＝2BE＝2，

∵sin∠CBF＝＝，

∴CH＝2，

∵CH∥AB，

∴＝，即＝，

∴CF＝6，

∴AF＝AC+CF＝9，

∴BF＝＝6．

22．解：（1）由表格的数据，设q与x的函数关系式为：q＝kx+b

根据表格的数据得，解得

故q与x的函数关系式为：q＝﹣x+14，其中2≤x≤10

（2）①当每天的半成品食材能全部售出时，有p≤q

即x+8≤﹣x+14，解得x≤4

又2≤x≤10，所以此时2≤x≤4

②由①可知，当2≤x≤4时，

y＝（x﹣2）p＝（x﹣2）（x+8）＝x2+7x﹣16

当4＜x≤10时，y＝（x﹣2）q﹣2（p﹣q）

＝（x﹣2）（﹣x+14）﹣2[x+8﹣（﹣x+14）]

＝﹣x2+13x﹣16

即有y＝

（3）当2≤x≤4时，

y＝x2+7x﹣16的对称轴为x＝＝＝﹣7

∴当2≤x≤4时，除x的增大而增大

∴x＝4时有最大值，y＝＝20

当4＜x≤10时

y＝﹣x2+13x﹣16＝﹣（x﹣）2+，

∵﹣1＜0，＞4

∴x＝时取最大值

即此时y有最大利润

要使每天的利润不低于24百元，则当2≤x≤4时，显然不符合

故y＝﹣（x﹣）2+≥24，解得x≤5

故当x＝5时，能保证不低于24百元

故答案为：，5

23．解：（1）①∵＝10m+n

∴若+＝45，则10×2+x+10x+3＝45

∴x＝2

故答案为：2．

②若﹣＝26，则10×7+y﹣（10y+8）＝26

解得y＝4

故答案为：4．

③由＝100a+10b+c．及四位数的类似公式得

若+＝，则100t+10×9+3+100×5+10t+8＝1000×1+100×3+10t+1

∴100t＝700

∴t＝7

故答案为：7．

（2）∵+＝10m+n+10n+m＝11m+11n＝11（m+n）

∴则+一定能被 11整除

∵﹣＝10m+n﹣（10n+m）＝9m﹣9n＝9（m﹣n）

∴﹣一定能被9整除．

∵•﹣mn＝（10m+n）（10n+m）﹣mn＝100mn+10m2+10n2+mn﹣mn＝10（10mn+m2+n2）

∴•﹣mn一定能被10整除．

故答案为：11；9；10．

（3）①若选的数为325，则用532﹣235＝297，以下按照上述规则继续计算

                             972﹣279＝693

                             963﹣369＝594

                             954﹣459＝495

                             954﹣459＝495…

故答案为：495．

②当任选的三位数为时，第一次运算后得：100a+10b+c﹣（100c+10b+a）＝99（a﹣c），

结果为99的倍数，由于a＞b＞c，故a≥b+1≥c+2

∴a﹣c≥2，又9≥a＞c≥0，

∴a﹣c≤9

∴a﹣c＝2，3，4，5，6，7，8，9

∴第一次运算后可能得到：198，297，396，495，594，693，792，891，

再让这些数字经过运算，分别可以得到：

981﹣189＝792，972﹣279＝693，963﹣369＝594，954﹣459﹣495，954﹣459＝495…故都可以得到该黑洞数495．

24．解：（1）∵抛物线与x轴交于点B（﹣2，0），C（6，0）

∴设交点式y＝a（x+2）（x﹣6）

∵抛物线过点A（0，6）

∴﹣12a＝6

∴a＝﹣

∴抛物线解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣6）＝﹣x2+2x+6＝﹣（x﹣2）2+8

∴抛物线对称轴为直线x＝2．

（2）过点P作PH⊥x轴于点H，如图1

∴∠PHD＝90°

∵点P（m，n）是抛物线上位于第一象限内的一动点且在对称轴右侧

∴2＜m＜6，PH＝n＝﹣m2+2m+6，n＞0

∵OA＝OC＝6，∠AOC＝90°

∴∠ACO＝45°

∵PD⊥AC于点E

∴∠CED＝90°

∴∠CDE＝90°﹣∠ACO＝45°

∴DH＝PH＝n

∵PG∥AB

∴∠PGH＝∠ABO

∴△PGH∽△ABO

∴

∴GH＝n

∴d＝DH﹣GH＝n﹣n＝n＝（﹣m2+2m+6）＝﹣m2+m+4（2＜m＜6）

（3）①∵S△PDG＝DG•PH＝

∴n•n＝

解得：n1＝，n2＝﹣（舍去）

∴﹣m2+2m+6＝

解得：m1＝﹣1（舍去），m2＝5

∴点P坐标为（5，）

②在抛物线上存在点R，使得△ARS为等腰直角三角形．

设直线AP解析式为y＝kx+6

把点P代入得：5k+6＝

∴k＝﹣

∴直线AP：y＝﹣x+6

i）若∠RAS＝90°，如图2

∵直线AC解析式为y＝﹣x+6

∴直线AR解析式为y＝x+6

   解得：（即点A）

∴R（2，8）

∵∠ASR＝∠OAC＝45°

∴RS∥y轴

∴xS＝xR＝2

∴S（2，4）

∴直线OM：y＝2x

∵   解得：

∴M（，）

ii）若∠ASR＝90°，如图3

∴∠SAR＝∠ACO＝45°

∴AR∥x轴

∴R（4，6）

∵S在AR的垂直平分线上

∴S（2，4）

∴M（，）

iii）若∠ARS＝90°，如图4，

∴∠SAR＝∠ACO＝45°，RS∥y轴

∴AR∥x轴

∴R（4，6）

∴S（4，2）

∴直线OM：y＝x

∵   解得：

∴M（6，3）

综上所述，M1（，），R1（2，8）；M2（，），R2（4，6）；M3（6，3），R3（4，6）．

日期：2019/7/3 8:24:18；用户：柯瑞；邮箱：ainixiaoke00@163.com；学号：500557