考点13 三角形及其全等-备战2021年中考数学考点一遍过（含答案解析）试卷

这是一份考点13 三角形及其全等-备战2021年中考数学考点一遍过（含答案解析）试卷，共63页。试卷主要包含了三角形的基础知识，全等三角形等内容，欢迎下载使用。

考点13 三角形及其全等

该板块内容重在掌握基本知识的基础上灵活运用,也是考查重点,年年都会考查,分值为10~15 分，预计2021年各地中考还将出现,并且在选择、填空题中考查三角形中位线、内外角性质、三角形三边关系等知识点,这部分知识需要学生扎实地掌握基础,并且会灵活运用.在解答题中会出现三角形全等的判定和性质,这部分知识主要考查基础.

一、三角形的基础知识
1．三角形的概念:由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形．
2．三角形的三边关系
1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边．
推论：三角形的两边之差小于第三边．
2）三角形三边关系定理及推论的作用：
①判断三条已知线段能否组成三角形；②当已知两边时，可确定第三边的范围；③证明线段不等关系．
3．三角形的内角和定理及推论
三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°．
推论：①直角三角形的两个锐角互余；②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
4．三角形中的重要线段
1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线．
2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线．
3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）．
4）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
二、全等三角形
1．三角形全等的判定定理：
1）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；
2）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；
3）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；
4）角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）；
5）对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
2．全等三角形的性质：
1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；
2）全等三角形的周长相等，面积相等；
3）全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等．


考向一 三角形的三边关系
在判断三条线段能否组成一个三角形时，可以根据两条较短线段的长度之和是否大于第三条线段的长度来判断．

1．（2020·江苏宿迁市·中考真题）在△ABC中，AB=1，BC=，下列选项中，可以作为AC长度的是（　　）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】根据三角形三边关系，两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，可以得到AC的长度可以取得的数值的取值范围，从而可以解答本题．
【详解】∵在△ABC中，AB=1，BC=，∴﹣1＜AC＜+1，
∵﹣1＜2＜+1，4＞+1，5＞+1，6＞+1，∴AC的长度可以是2，
故选项A正确，选项B、C、D不正确；故选：A．
【点睛】本题考查了三角形三边关系以及无理数的估算，解答本题的关键是明确题意，利用三角形三边关系解答．
2．（2020·浙江绍兴市·中考真题）长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】利用三角形的三边关系列举出所围成三角形的不同情况，通过比较得到结论.
【详解】①长度分别为5、3、4，能构成三角形，且最长边为5；②长度分别为2、6、4，不能构成三角形；
③长度分别为2、7、3，不能构成三角形；④长度分别为6、3、3，不能构成三角形；
综上所述，得到三角形的最长边长为5．故选：B.
【点睛】此题考查构成三角形的条件，三角形的三边关系，解题中运用不同情形进行讨论的方法，注意避免遗漏构成的情况.

1．（2020·山东济宁市·中考真题）已知三角形的两边长分别为3和6,则这个三角形的第三边长可以是__________(写出一个即可)，
【答案】4（答案不唯一，在3＜x＜9之内皆可）
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于三边”，求得第三边的取值范围，即可得出结果．
【详解】解：根据三角形的三边关系，得：第三边应大于6-3=3，而小于6+3=9，
故第三边的长度3＜x＜9．故答案为：4（答案不唯一，在3＜x＜9之内皆可）．
【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式，确定取值范围即可．
2．（2020·江苏徐州市·中考真题）三角形的两边长分别为和，则第三边长可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形的三边关系判断即可.
【详解】6-3=3＜第三边长＜6+3=9,只有6cm满足题意,故选C.
【点睛】本题考查三角形的三边范围计算,关键牢记三边关系.

考向二 三角形的内角和外角
在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角．

1．（2020·黑龙江哈尔滨市·中考真题）如图，在中，，垂足为D，与关于直线AD对称，点的B对称点是，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由三角形内角和定理，得到，由轴对称的性质，得到，根据外角的性质即可得到答案．
【详解】解：在中，，∴，
∵与关于直线AD对称，∴，
∴；故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形的外角性质，以及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握所学的性质定理，正确的进行角度的计算．
2．（2020·江苏泰州市·中考真题）如图，将分别含有、角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为，则图中角的度数为_______．

【答案】
【分析】如图，首先标注字母，利用三角形的内角和求解，再利用对顶角的相等，三角形的外角的性质可得答案．
【详解】解：如图，标注字母，由题意得：

故答案为：

【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，掌握以上知识是解题的关键．

1．（2020·辽宁大连市·中考真题）如图，中，．将绕点B逆时针旋转得到，使点C的对应点恰好落在边上，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由余角的性质，求出∠CAB=50°，由旋转的性质，得到，，然后求出，即可得到答案．
【详解】解：在中，，∴∠CAB=50°，
由旋转的性质，则，，∴，
∴；故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，以及余角的性质，解题的关键是掌握所学的性质，正确求出．
2．（2020·四川广安市·中考真题）如图，在五边形ABCDE中，若去掉一个30°的角后得到一个六边形BCDEMN，则∠l+∠2的度数为（　　　）

A．210° B．110° C．150° D．100°
【答案】A
【分析】根据三角形的内角和定理可得∠AMN＋∠ANM=150°，根据平角的定义可得∠1＋∠AMN=180°，∠2＋∠ANM=180°，从而求出结论．
【详解】解：∵∠A=30°，∴∠AMN＋∠ANM=180°－∠A=150°
∵∠1＋∠AMN=180°，∠2＋∠ANM=180°∴∠1＋∠2=180°＋180°－（∠AMN＋∠ANM）=210°
故选A．
【点睛】此题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形的内角和定理是解题关键．
考向三 三角形中的重要线段
三角形的高、中线、角平分线是三条线段，由三角形的高可得90°的角，由三角形的中线可得线段之间的关系，由三角形的角平分线可得角之间的关系．另外，要注意区分三角形的中线和中位线．中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段；中位线：连接三角形两条边中点的线段.

1．（2020·四川攀枝花市·中考真题）三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心．如图是的重心．求证：．

【答案】见解析
【分析】过点D作DH∥AB交CE于H，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得BE=2DH，从而得到AE=2DH，再根据△AEG和△DHG相似，利用相似三角形对应边成比例列出比例式计算即可得证．
【详解】解：过点D作DH∥AB，交CE于点H，∵AD是△ABC的中线，∴点D是BC的中点，
∴DH是△BCE的中位线，∴BE=2DH，DH∥AB，∵CE是△BCE的中线，∴AE=BE，∴AE=2DH，
∵DH∥AB，∴△AEG∽△DHG，∴，∴AG=2GD，即AD=3GD.

【点睛】本题考查了三角形的重心定理的证明，作辅助线构造成三角形的中位线和相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．
2．（2019·河北中考真题）如图，△ABC和△ADE中，AB=AD=6，BC=DE，∠B=∠D=30°，边AD与边BC交于点P（不与点B，C重合），点B，E在AD异侧，I为△APC的内心．
（1）求证：∠BAD=∠CAE；（2）设AP=x，请用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；
（3）当AB⊥AC时，∠AIC的取值范围为m°＜∠AIC＜n°，分别直接写出m，n的值．

【答案】（1）详见解析；（2）PD的最大值为3；（3）m=105，n=150．
【分析】（1）根据ASA证明△ABC≌△ADE，得∠BAC=∠DAE，即可得出结论．
（2）PD=AD﹣AP=6﹣x．可得AP的最小值即AP⊥BC时AP的长度，此时PD可得最大值．
（3）I为△APC的内心，即I为△APC角平分线的交点，应用“三角形内角和等于180°“及角平分线定义即可表示出∠AIC，从而得到m，n的值．
【详解】（1）如图1．在△ABC和△ADE中，∵，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE．
（2）∵AD=6，AP=x，∴PD=6﹣x．当AD⊥BC时，APAB=3最小，即PD=6﹣3=3为PD的最大值．
（3）如图2，设∠BAP=α，则∠APC=α+30°．
∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°，∠PCA=60°，∠PAC=90°﹣α．
∵I为△APC的内心，∴AI平分∠PAC，CI平分∠PCA，∴∠IAC∠PAC，∠ICA∠PCA，∴∠AIC=180°﹣（∠IAC+∠ICA）=180°（∠PAC+∠PCA）=180°（90°﹣α+60°）α+105°
∵0＜α＜90°，∴105°α+105°＜150°，即105°＜∠AIC＜150°，∴m=105，n=150．

【点睛】本题是一道几何综合题，考查了垂线段最短，含30°的角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内心概念及角平分线定义等，解题的关键是将PD最大值转化为PA的最小值．
3．（2020·山东德州市·中考模拟）不一定在三角形内部的线段是（ ）
A．三角形的角平分线 B．三角形的中线 C．三角形的高 D．三角形的中位线
【答案】C
【解析】因为在三角形中，它的中线、角平分线和中位线一定在三角形的内部，而钝角三角形的高在三角形的外部．故选C．

1．（2020·山东烟台市·中考真题）如图，点G为的重心，连接CG，AG并延长分别交AB，BC于点E，F，连接EF，若AB＝4.4，AC＝3.4，BC＝3.6，则EF的长度为（ ）

A．1.7 B．1.8 C．2.2 D．2.4
【答案】A
【分析】由已知条件得EF是三角形的中位线，进而根据三角形中位线定理求得EF的长度．
【详解】解：∵点G为△ABC的重心，∴AE＝BE，BF＝CF，∴EF＝＝1.7，故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形的重心，三角形的中位线定理，关键正确利用重心定义得EF为三角形的中位线．
2．（2020·台湾中考模拟）如图，I点为△ABC的内心，D点在BC上，且ID⊥BC，若∠B=44°，∠C=56°，则∠AID的度数为何？（　　）

A．174 B．176 C．178 D．180
【答案】A
【解析】连接CI，利用三角形内角和定理可求出∠BAC的度数，由I点为△ABC的内心，可得出∠CAI、∠ACI、∠DCI的度数，利用三角形内角和定理可得出∠AIC、∠CID的度数，再由∠AID=∠AIC+∠CID即可求出∠AID的度数．
详解：连接CI，如图所示．

在△ABC中，∠B=44°，∠ACB=56°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠ACB=80°．
∵I点为△ABC的内心，∴∠CAI=∠BAC=40°，∠ACI=∠DCI=∠ACB=28°，
∴∠AIC=180°﹣∠CAI﹣∠ACI=112°，又ID⊥BC，∴∠CID=90°﹣∠DCI=62°，
∴∠AID=∠AIC+∠CID=112°+62°=174°．故选A．
点睛：本题考查了三角形的内心、三角形内角和定理以及角平分线的性质，根据三角形内心的性质结合三角形内角和定理求出∠AIC、∠CID的度数是解题的关键．
考向四 全等三角形
1．从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少有一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）准确地确定要补充的边（角），有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路：
（1）已知两边
（2）已知一边、一角
（3）已知两角
2．若题中没有全等的三角形，则可根据题中条件合理地添加辅助线，如运用作高法、倍长中线法、截长补短法、分解图形法等来解决运动、拼接、旋转等探究性题目．
SSS
1．（2020·辽宁鞍山市·中考真题）如图，在四边形中，，点E，F分别在，上，，，求证：．

【答案】见解析
【分析】连接AC，证明△ACE≌△ACF，得到∠CAE=∠CAF，再利用角平分线的性质定理得到CB=CD．
【详解】解：连接AC，∵AE=AF，CE=CF，AC=AC，∴△ACE≌△ACF（SSS），∴∠CAE=∠CAF，
∵∠B=∠D=90°，∴CB=CD．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，解题的关键是连接AC，证明三角形全等．

1．（2020·云南中考真题）如图，已知，．求证：．

【答案】见详解．
【分析】根据SSS定理推出△ADB≌△BCA即可证明．
【详解】证明：在△ADB和△BCA中， ∴△ADB≌△BCA（SSS），∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，能正确进行推理证明全等是解此题的关键．

SAS
2．（2020·广西河池市·中考真题）（1）如图（1），已知CE与AB交于点E，AC＝BC，∠1＝∠2．求证：△ACE≌△BCE．（2）如图（2），已知CD的延长线与AB交于点E，AD＝BC，∠3＝∠4．探究AE与BE的数量关系，并说明理由．

【答案】（1）证明见解析；（2）AE=BE；理由见解析
【分析】（1）根据SAS可得出答案；（2）在CE上截取CF＝DE，证明△ADE≌△BCF（SAS），可得出AE＝BF，∠AED＝∠CFB，则可得出BE＝BF．结论得证．
【详解】（1）证明：在△ACE和△BCE中，∵，∴△ACE≌△BCE（SAS）；
（2）AE＝BE．理由如下：在CE上截取CF＝DE，

在△ADE和△BCF中，∵，∴△ADE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF，∠AED＝∠CFB，
∵∠AED+∠BEF＝180°，∠CFB+∠EFB＝180°，∴∠BEF＝∠EFB，∴BE＝BF，∴AE＝BE．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．

2．（2020·江苏徐州市·中考真题）如图，，，．，与交于点．（1）求证：；（2）求的度数．

【答案】（1）见解析（2）90°
【分析】（1）根据题意证明△ACE≌△BCD即可求解；
（2）根据三角形的内角和及全等三角形的性质即可得到的度数．
【详解】（1）∵，，∴∠ACB=∠ECD=90°
∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE即∠ACE=∠BCD
又．∴△ACE≌△BCD∴
（2）∵△ACE≌△BCD∴∠A=∠B设AE与BC交于O点,
∴∠AOC=∠BOF∴∠A+∠AOC+∠ACO=∠B+∠BOF+∠BFO=180°
∴∠BFO=∠ACO=90°故=180°-∠BFO=90°．

【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理．

ASA
3．（2020·贵州毕节市·中考真题）如图，在一个宽度为长的小巷内，一个梯子的长为，梯子的底端位于上的点，将该梯子的顶端放于巷子一侧墙上的点处，点到的距离为，梯子的倾斜角为；将该梯子的顶端放于另一侧墙上的点处，点到的距离为，且此时梯子的倾斜角为，则的长等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点C作CE⊥AD于点E，证明≌即可解决问题．
【详解】过点C作CE⊥AD于点E，则CE//AB，

，且PD=PC，为等边三角形，
， ，
，，
， ，∴ ，∴ ，
∴ ，，
在和中， ，∴≌，，故选：D．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，作辅助线CE是解答此题的关键．

3．（2020·四川南充市·中考真题）如图，点C在线段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，BC=DE，求证：AB=CD．

【答案】详见解析
【分析】根据ABBD，DEBD，ACCE，可以得到， ，，从而有，可以验证和全等，从而得到AB=CD．
【详解】证明：∵，， ∴
∴， ∴
在和中∴≌故．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，利用角边角判定三角形全等，其中找到两两互余的角之间的关系是解题的关键．
AAS
4．（2020·湖南衡阳市·中考真题）如图，在中，，过的中点作，，垂足分别为点、．（1）求证：；（2）若，求的度数．

【答案】（1）证明见解析；（2）=80°
【分析】（1）利用已知条件和等腰三角形的性质证明，根据全等三角形的性质即可证明；
（2）根据三角形内角和定理得∠B=50°，所以∠C=50°，在△ABC中利用三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：（1）证明：∵点D为BC的中点，∴BD=CD，
∵，，∴∠DEB=∠DFC=90°
在△BDE和△CDF中，∴，∴．
（2）∵∴∠B=180°-（∠BDE+∠BED）=50°，∴∠C=50°，
在△ABC中，=180°-（∠B+∠C）=80°，故=80°．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质和三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质并灵活应用是解题的关键．

4．（2020·浙江温州市·中考真题）如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE．（1）求证：△ABC≌△DCE；（2）连结AE，当BC＝5，AC＝12时，求AE的长．

【答案】（1）见解析；（2）13
【分析】根据题意可知，本题考查平行的性质，全等三角形的判定和勾股定理，根据判定定理，运用两直线平行内错角相等再通过AAS以及勾股定理进行求解．
【详解】解：（1）∵∴
在△ABC和△DCE中∴△ABC≌△DCE
（2）由（1）可得BC=CE=5 在直角三角形ACE中

【点睛】本题考查平行的性质，全等三角形的判定和勾股定理，熟练掌握判定定理运用以及平行的性质是解决此类问题的关键．
综合
5．（2020·湖北省直辖县级行政单位·中考真题）如图，已知和都是等腰三角形，，交于点F，连接，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】①证明△BAD≌△CAE,再利用全等三角形的性质即可判断；②由△BAD≌△CAE可得∠ABF=∠ACF，再由∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF证得∠BFC=90°即可判定；③分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE,根据全等三角形面积相等和BD=CE，证得AM=AN,即AF平分∠BFE,即可判定；④由AF平分∠BFE结合即可判定．
【详解】解：∵∠BAC=∠EAD ∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD,即∠BAD=∠CAE
在△BAD和△CAE中 AB=AC, ∠BAD=∠CAE,AD=AE ∴△BAD≌△CAE ∴BD=CE 故①正确；
∵△BAD≌△CAE∴∠ABF=∠ACF∵∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF∴∠ACF+∠BGA=90°,
∴∠BFC=90°故②正确；

分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE垂足分别为M、N
∵△BAD≌△CAE∴S△BAD=S△CAE,∴
∵BD=CE∴AM=AN∴平分∠BFE，无法证明AF平分∠CAD．故③错误；
∵平分∠BFE，∴故④正确．故答案为C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质以及角的和差等知识，其中正确应用角平分线定理是解答本题的关键．
6．（2020·北京中考真题）在ABC中，AB=AC，点D在BC上（不与点B，C重合）．只需添加一个条件即可证明ABD≌ACD，这个条件可以是________（写出一个即可）

【答案】∠BAD=∠CAD（或BD=CD）
【分析】证明ABD≌ACD，已经具备 根据选择的判定三角形全等的判定方法可得答案．
【详解】解： 要使
则可以添加：∠BAD=∠CAD，此时利用边角边判定：
或可以添加： 此时利用边边边判定：
故答案为：∠BAD=∠CAD或（）
【点睛】本题考查的是三角形全等的判定，属开放性题，掌握三角形全等的判定是解题的关键．

5．（2020·湖北鄂州市·中考真题）如图，在和中，，，，．连接、交于点，连接．下列结论：

①；②；③平分；④平分
其中正确的结论个数有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD，得到∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC，得出∠AMB＝∠AOB＝36°，①正确；
根据全等三角形的性质得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确；
作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如图所示：则∠OGC＝∠OHD＝90°，由AAS证明△OCG≌△ODH（AAS），得出OG＝OH，由角平分线的判定方法得出MO平分，④正确；
由∠AOB＝∠COD，得出当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM＝∠AOM，由△AOC≌△BOD得出∠COM＝∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO＝∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB＝OC，而OA＝OB，所以OA＝OC，而，故③错误；即可得出结论．
【详解】∵∠AOB＝∠COD＝36°，∴∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC，即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确；∴∠OAC＝∠OBD，

由三角形的外角性质得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC，∴∠AMB＝∠AOB＝36°，②正确；
作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如图所示： 则∠OGC＝∠OHD＝90°，
在△OCG和△ODH中，，∴△OCG≌△ODH（AAS），
∴OG＝OH，∴平分，④正确；
∵∠AOB＝∠COD，∴当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，
假设∠DOM＝∠AOM∵△AOC≌△BOD，∴∠COM＝∠BOM，∵MO平分∠BMC，∴∠CMO＝∠BMO，
在△COM和△BOM中，，∴△COM≌△BOM（ASA），∴OB＝OC，
∵OA＝OB∴OA＝OC与矛盾，∴③错误；正确的有①②④；故选B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．
6．（2020·四川阿坝藏族羌族自治州·中考真题）如图，等腰△中，点D，E分别在腰AB，AC上，添加下列条件，不能判定≌的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据全等三角形的判定方法逐项判断即得答案．
【详解】解： A、若添加，由于AB=AC，∠A是公共角，则可根据SAS判定≌，故本选项不符合题意；B、若添加，不能判定≌，故本选项符合题意；
C、若添加，由于AB=AC，∠A是公共角，则可根据AAS判定≌，故本选项不符合题意；D、若添加，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABE=∠ACD，由于∠A是公共角，则可根据ASA判定≌，故本选项不符合题意．故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和等腰三角形的性质，属于基本题型，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．



1．（2020·湖南益阳市·中考真题）如图，的对角线，交于点，若，，则的长可能是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据平行四边形的对角线互相平分得到OA、OB的长度，再根据三角形三边关系得到AB的取值范围，即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=AC=3，BO=BD=4，
在△AOB中，4-3 【点睛】本题考查平行四边形的性质和三角形的三边关系，熟练掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键．
2．（2020·甘肃兰州市·中考真题）如图，，，，则的度数是 （ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用平行线的性质结合等腰三角形的性质求出∠CAD，再根据三角形内角和定理求出∠2．
【详解】解：∵AB∥CD，∴∠1＝∠ACD＝65°，
∵AD＝CD，∴∠DCA＝∠CAD＝65°，∴∠2＝180°−65°−65°＝50°．故选：A．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质、三角形内角和定理和等腰三角形的性质，正确得出∠CAD的度数是解题关键．
3．（2020·辽宁葫芦岛市·中考真题）一个零件的形状如图所示，，则的度数是（ ）

A．70° B．80° C．90° D．100°
【答案】B
【分析】延长DE与BC交于点F，则四边形ABFD是平行四边形，则∠A=∠F，利用三角形内角和定理，即可求出答案．
【详解】解：延长DE与BC交于点F，如图：

∵，∴四边形ABFD是平行四边形，∴∠A=∠F，
在△BDF中，，∴，∴∠A=80°；故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是正确作出辅助线，求出∠F的度数．
4．（2020·内蒙古）如图，是的外角，．若，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质及三角形的内角和定理即可求解．
【详解】∵，∴∠B=∴∠A=180°-∠B-故选B．
【点睛】此题主要考查三角形的内角和，解题的关键是熟知三角形的内角和等于180°．
5．（2019·河北中考真题）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容

则回答正确的是（　　）
A．◎代表 B．@代表同位角 C．▲代表 D．※代表
【答案】C
【分析】根据图形可知※代表CD，即可判断D；根据三角形外角的性质可得◎代表∠EFC，即可判断A；利用等量代换得出▲代表∠EFC，即可判断C；根据图形已经内错角定义可知@代表内错角．
【详解】延长BE交CD于点F，则∠BEC=∠EFC+∠C（三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和）．
又∠BEC=∠B+∠C，得∠B=∠EFC．故AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．故选C．
【点睛】本题考查了平行线的判定，三角形外角的性质，比较简单．
6．（2020·贵州贵阳市·中考模拟）如图，在△ABC中有四条线段DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是（　　）

A．线段DE B．线段BE C．线段EF D．线段FG
【答案】B
【分析】根据三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线逐一判断即可得．
【解析】根据三角形中线的定义知线段BE是△ABC的中线，
其余线段DE、EF、FG都不符合题意，故选B．
【点睛】本题主要考查三角形的中线，解题的关键是掌握三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
7．（2020·黑龙江绥化市·中考真题）如图，四边形是菱形，E、F分别是、两边上的点，不能保证和一定全等的条件是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据菱形的性质结合全等三角形的判定方法，对各选项分别判断即可得解．
【详解】∵四边形是菱形，∴AB=BC=CD=DA，，，
如果，∴，即，
∵，∴(ASA)，故A正确；
如果EC=FC，∴BC-EC=CD-FC，即BE=DF，
∵，∴(SAS)，故B正确；
如果AE=AF，∵AB=DA，，是SSA，则不能判定和全等，故C错误；
如果，则，∴(SAS)，故D正确；故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
8．（2020·湖南怀化市·中考真题）在中，，平分，交于点，，垂足为点，若，则的长为（ ）

A．3 B． C．2 D．6
【答案】A
【分析】证明△ABD≌△AED即可得出DE的长．
【详解】∵DE⊥AC，∴∠AED=∠B=90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠EAD，
又∵AD=AD，∴△ABD≌△AED，∴DE=BE=3，故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判断和性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．
9．（2020·江苏扬州市·中考模拟）小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别是4，9，12，如何求这个三角形的面积？”小明提示说：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意可知该三角形为钝角三角形，其最长边上的高应在三角形内部，按照三角形高的定义和作法进行判断即可．
【详解】解：三角形最长边上的高是过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上.故选C.
【点睛】此题考查的是三角形高线的画法，无论什么形状的三角形，其最长边上的高都在三角形的内部，本题中最长边的高线垂直于最长边.
10．（2020·四川绵阳市·中考模拟）如图，在△ABC中，AC=3，BC=4，若AC，BC边上的中线BE,AD垂直相交于点O，则AB=______.

【答案】
【分析】利用三角形中线定义得到BD=2，AE=，且可判定点O为△ABC的重心，所以AO=2OD，OB=2OE，利用勾股定理得到BO2+OD2=4，OE2+AO2=，等量代换得到BO2+ AO2=4，BO2+AO2=，把两式相加得到BO2+AO2=5，然后再利用勾股定理可计算出AB的长．
【解析】解：∵AD、BE为AC，BC边上的中线，
∴BD=BC=2，AE=AC=，点O为△ABC的重心，∴AO=2OD，OB=2OE，
∵BE⊥AD，∴BO2+OD2=BD2=4，OE2+AO2=AE2=，∴BO2+AO2=4，BO2+AO2=，
∴BO2+AO2= ，∴BO2+AO2=5，∴AB==．故答案是：．
【点睛】考查了重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 也考查了勾股定理．
11．（2020·辽宁丹东市·中考模拟）如图，中，是上的中线，是中边上的中线，若的面积是则的面积是________________．

【答案】
【分析】根据中线平分三角形面积直接计算即可．
【详解】解：∵是上的中线，是中边上的中线
∴S△ABE= S△ABD，S△ABD= S△ABC∴S△ABE= S△ABC=6
【点睛】本题主要考查三角形中线的性质，掌握中线平分三角形面积是解题的关键．
12．（2020·广西贺州市·中考模拟）如图，A、B、C分别是线段A1B、B1C、C1A的中点，若△ABC的面积是1，那么△A1B1C1的面积为____.

【答案】7
【分析】连接AB1，BC1，CA1，根据等底等高的三角形的面积相等求出△ABB1，△A1AB1的面积，从而求出△A1BB1的面积，同理可求△B1CC1的面积，△A1AC1的面积，然后相加即可得解．
【详解】如下图，连接A1C，B1A，C1B，，因B是线段B1C的中点，所以B1B=BC.
△A1B1A和△AB1B等底同高，根据等底同高的两个三角形面积相等可得S△B1AB=S△ABC=1；同理可得S△A1B1A=S△AB1B=1；所以=S△A1B1A+S△AB1B=1+1=2；同理可得S△C1CB1=2， S△C1AA1=2.
S△A1B1C1= S△A1BB1+ S△C1CB1+ S△C1AA1+S△ABC=2+2+2+1=7.

【点睛】本题考查了三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，作辅助线把三角形进行分割是解题的关键．
13．（2020·黑龙江齐齐哈尔市·中考真题）如图，已知在△ABD和△ABC中，∠DAB＝∠CAB，点A、B、E在同一条直线上，若使△ABD≌△ABC，则还需添加的一个条件是______．（只填一个即可）

【答案】AD＝AC(∠D＝∠C或∠ABD＝∠ABC等）
【分析】利用全等三角形的判定方法添加条件即可求解．
【详解】解：∵∠DAB＝∠CAB，AB＝AB，
∴当添加AD＝AC时，可根据“SAS”判断△ABD≌△ABC；
当添加∠D＝∠C时，可根据“AAS”判断△ABD≌△ABC；
当添加∠ABD＝∠ABC时，可根据“ASA”判断△ABD≌△ABC．
故答案为AD＝AC(∠D＝∠C或∠ABD＝∠ABC等)．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
14．（2020·黑龙江鹤岗市·中考真题）如图，和中，，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件___________，使和全等．

【答案】（或或等）
【分析】由题意得和中，，故要添加条件需得到一组边相等即可．
【详解】解：∵和均为直角三角形，∴,
又∵，故要使得和全等，
只需添加条件（或或等）即可．
故答案为：（或或等）
【点睛】本题考查了全等的判定，根据题意得到两个三角形有两组角分别相等，故只要添加一组对应边相等即可．
15．（2019·黑龙江中考真题）如图，在△ABC中，D、E分别是BC，AC的中点，AD与BE相交于点G，若DG=1，则AD=________．

【答案】3.
【分析】先判断点G为△ABC的重心，然后利用三角形重心的性质求出AG，从而得到AD的长．
【解析】解：∵D、E分别是BC，AC的中点，∴点G为△ABC的重心，∴AG=2DG=2，
∴AD=AG+DG=2+1=3．故答案为3．
【点睛】本题考查了三角形重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．
16．（2020·山东滨州市·中考真题）现有下列长度的五根木棒：3，5，8，10，13，从中任取三根，可以组成三角形的概率为________．
【答案】
【分析】求出任取三根木棒的所有情况，再求出能组成三角形的所有情况，利用概率公式直接计算即可.
【详解】五根木棒，任意取三根共有10种情况：3、5、8 3、5、10 3、5、13 3、8、10
3、8、13 3、10、13 5、10、13 5、8、10 5、8、13 8、10、13
其中能组成三角形的有：①3、8、10，由于8-3<10<8+3,所以能构成三角形；
②5、10、13，由于10-5<13<10+5，所以能构成三角形；
③5、8、10，由于8-5<10<8+5，所以能构成三角形；
④8、10、13，由于10-8<13<10+8，所以能构成三角形；所以有4种方案符合要求，
故能构成三角形的概率是P==，故答案为：.
【点睛】此题考查三角形的三边关系，列举法求事件的概率，列举法求概率的关键是在列举所有情况时考虑要全面，不能重复也不能遗漏.
17．（2020·山东菏泽市·中考真题）如图，在中，，点在的延长线上，于点，若，求证：．

【答案】证明见解析
【分析】利用AAS证明，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】证明：∵，∴∠ADE=90°，
∵，∴∠ACB=∠ADE，
在和中 ，∴，
∴AE=AB，AC=AD，∴AE-AC=AB-AD，即EC=BD．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识．
18．（2020·湖北黄石市·中考真题）如图，．（1）求的度数；（2）若，求证：．

【答案】（1）∠DAE=30°；（2）见详解．
【分析】（1）根据AB∥DE，得出∠E=∠CAB=40°，再根据∠DAB=70°，即可求出∠DAE；
（2）证明△DAE≌△CBA，即可证明AD=BC．
【详解】（1）∵AB∥DE，∴∠E=∠CAB=40°，
∵∠DAB=70°，∴∠DAE=∠DAB-∠CAB=30°；
（2）由（1）可得∠DAE=∠B=30°，
又∵AE=AB，∠E=∠CAB=40°，
∴△DAE≌△CBA（ASA），∴AD=BC．
【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，求出∠DAE的度数是解题关键．
19．（2020·四川内江市·中考真题）如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．（1）求证：AB=CD；（2）若AB＝CF，∠B＝40°，求∠D的度数．

【答案】（1）AB＝CD（2）70°
【分析】（1）根据平行线的性质求出∠B=∠C，根据AAS推出△ABE≌△CDF，根据全等三角形的性质得出即可；（2）根据全等得出AB=CD，BE=CF，∠B=∠C，求出CF=CD，推出∠D=∠CFE，即可求出答案．
【详解】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，
在△ABE和△CDF中，∠B＝∠C，AE=DF ，∠A＝∠D．
∴△AEB≌△DFC． ∴AB＝CD.
（2）∵AB＝CD，AB＝CF，∴CD＝CF，
∵∠B＝∠C=40°，∴∠D＝(180°－40°)÷2＝70°．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形内角和定理的应用，能根据全等三角形的判定求出△ABE≌△CDF是解此题的关键．
20．（2020·四川宜宾市·中考真题）如图，在三角形ABC中，点D是BC上的中点，连接AD并延长到点E，使，连接CE．（1）求证：（2）若的面积为5，求的面积．

【答案】（1）详见解析；（2）10．
【分析】（1）根据中点定义、对顶角相等以及已知条件运用SAS即可证明；（2）先根据三角形中点的性质和全等三角形的性质得到、，再结合以及解答即可．
【详解】证明：（1）∵D是BC的中点，∴BD=CD
在△ABD和△CED中，所以；
(2)∵在△ABC中，D 是BC的中点∴

∵．
答：三角形ACE的面积为10．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质等知识，其中掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
21．（2020·江苏常州市·中考真题）已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，．

（1）求证：；（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）60°
【分析】（1）根据已知条件证明△ACE≌△BDF，即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到∠D=∠ACE=80°，再利用三角形内角和定理求出结果.
【详解】解：（1）∵AE∥BF，∴∠A=∠DBF，
∵AB=CD，∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD，
又∵AE=BF，∴△ACE≌△BDF（SAS），∴∠E=∠F；
（2）∵△ACE≌△BDF，∴∠D=∠ACE=80°，
∵∠A=40°，∴∠E=180°-∠A-∠ACE=60°.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质和三角形内角和，解题的关键是找出三角形全等的条件.
22．（2020·浙江台州市·中考真题）如图，已知AB=AC，AD=AE，BD和CE相交于点O．
（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）判断△BOC的形状，并说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）等腰三角形，理由见解析．
【分析】（1）由“SAS”可证△ABD≌△ACE；（2）由全等三角形的性质可得∠ABD=∠ACE，由等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB，可求∠OBC=∠OCB，可得BO=CO，即可得结论．
【详解】证明：（1）∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）△BOC是等腰三角形，理由如下：∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD=∠ACE，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABC﹣∠ABD=∠ACB﹣∠ACE，
∴∠OBC=∠OCB，∴BO=CO，∴△BOC是等腰三角形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟记相关定理是解题关键．
23．（2020·湖南常德市·中考模拟）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C=45°，sinB=，AD=1．（1）求BC的长；（2）求tan∠DAE的值．

【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先由三角形的高的定义得出∠ADB=∠ADC=90°，再解Rt△ADC，得出DC=1；解Rt△ADB，得出AB=3，根据勾股定理求出BD=，然后根据BC=BD+DC即可求解．（2）先由三角形的中线的定义求出CE的值，则DE=CE﹣CD，然后在Rt△ADE中根据正切函数的定义即可求解．
【详解】解：（1）在△ABC中，∵AD是BC边上的高，∴∠ADB=∠ADC=90°．
在△ADC中，∵∠ADC=90°，∠C=45°，AD=1，∴DC=AD=1．
在△ADB中，∵∠ADB=90°，sinB=，AD=1，∴．
∴．∴．
（2）∵AE是BC边上的中线，∴CE=BC=．∴DE=CE﹣CD=．
∴．
【点睛】本题考查了三角形的高、中线的定义，勾股定理，解直角三角形，难度中等，分别解Rt△ADC与Rt△ADB，得出DC=1，AB=3是解题的关键．


















1．（2020·宁夏中考真题）现有4条线段，长度依次是2、4、6、7，从中任选三条，能组成三角形的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】从四条线段中任意选取三条，找出所有的可能，以及能构成三角形的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】解：从长度分别为2、4、6、7的四条线段中任选三条有如下4种情况：2、4、6；2、4、7；
2、6、7；4、6、7； 其中能构成三角形的有2、6、7；4、6、7这两种情况，
所以能构成三角形的概率是，故选：B．
【点睛】本题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．构成三角形的基本要求为两小边之和大于最大边．
2．（2020·北京中考真题）如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（ ）

A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠1＞∠4+∠5 D．∠2＜∠5
【答案】A
【分析】根据对顶角性质、三角形外角性质分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：由两直线相交，对顶角相等可知A正确；
由三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和可知
B选项为∠2＞∠3，C选项为∠1=∠4+∠5，D选项为∠2＞∠5．故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质，对顶角性质，解题的关键是熟练掌握三角形的外角性质进行判断．
3．（2020·湖南湘潭市·中考真题）如图，是的外角，若，，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形的外角的性质进行计算即可．
【详解】解：∵是的外角，∴=∠B+∠A
∴∠A=-∠B，∴∠A=60°选：D
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．
4．（2020·山东烟台市·中考真题）量角器测角度时摆放的位置如图所示，在中，射线OC交边AB于点D，则∠ADC的度数为（ ）

A．60° B．70° C．80° D．85°
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质，三角形的外角的性质即可得到结论．
【详解】解：∵OA＝OB，∠AOB＝140°，∴∠A＝∠B＝(180°﹣140°)＝20°，
∵∠AOC＝60°，∴∠ADC＝∠A+∠AOC＝20°+60°＝80°，故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．
5．（2020·天津中考真题）如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，使点B的对应点E恰好落在边上，点A的对应点为D，延长交于点F，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．

【答案】D
【分析】本题可通过旋转的性质得出△ABC与△DEC全等，故可判断A选项；可利用相似的性质结合反证法判断B，C选项；最后根据角的互换，直角互余判断D选项．
【详解】由已知得：△ABC△DEC，则AC=DC，∠A=∠D，∠B=∠CED，故A选项错误；
∵∠A=∠A，∠B=∠CED=∠AEF，故△AEF△ABC，则，
假设BC=EF，则有AE=AB，由图显然可知AEAB，故假设BC=EF不成立，故B选项错误；
假设∠AEF=∠D，则∠CED=∠AEF=∠D，故△CED为等腰直角三角形，即△ABC为等腰直角三角形，
因为题干信息△ABC未说明其三角形性质，故假设∠AEF=∠D不一定成立，故C选项错误；
∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°．又∵∠A=∠D，∴∠B+∠D=90°．故AB⊥DF，D选项正确．故选：D．
【点睛】本题考查旋转的性质以及全等三角形的性质，证明过程常用角的互换、直角互余作为解题工具，另外证明题当中反证法也极为常见，需要熟练利用．
6．（2020·天津中考真题）如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，使点B的对应点E恰好落在边上，点A的对应点为D，延长交于点F，则下列结论一定正确的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题可通过旋转的性质得出△ABC与△DEC全等，故可判断A选项；可利用相似的性质结合反证法判断B，C选项；最后根据角的互换，直角互余判断D选项．
【详解】由已知得：△ABC△DEC，则AC=DC，∠A=∠D，∠B=∠CED，故A选项错误；
∵∠A=∠A，∠B=∠CED=∠AEF，故△AEF△ABC，则，
假设BC=EF，则有AE=AB，由图显然可知AEAB，故假设BC=EF不成立，故B选项错误；
假设∠AEF=∠D，则∠CED=∠AEF=∠D，故△CED为等腰直角三角形，即△ABC为等腰直角三角形，
因为题干信息△ABC未说明其三角形性质，故假设∠AEF=∠D不一定成立，故C选项错误；
∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°．又∵∠A=∠D，∴∠B+∠D=90°．故AB⊥DF，D选项正确．故选：D．
【点睛】本题考查旋转的性质以及全等三角形的性质，证明过程常用角的互换、直角互余作为解题工具，另外证明题当中反证法也极为常见，需要熟练利用．
7．（2020·湖南永州市·中考真题）如图，已知．能直接判断的方法是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角形全等的判定定理解答.
【详解】在△ABC和△DCB中，,∴(SAS),故选：A.
【点睛】此题考查全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，根据已知条件找到全等所需的对应相等的边或角是解题的关键.
8．（2020·山东淄博市·中考真题）如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（ ）

A．a2+b2＝5c2 B．a2+b2＝4c2 C．a2+b2＝3c2 D．a2+b2＝2c2
【答案】A
【详解】设EF＝x，DF＝y，根据三角形重心的性质得AF＝2y，BF＝2EF＝2x，利用勾股定理得到4x2+4y2＝c2，4x2+y2＝b2，x2+4y2＝a2，然后利用加减消元法消去x、y得到a、b、c的关系．
【解答】解：设EF＝x，DF＝y，∵AD，BE分别是BC，AC边上的中线，
∴点F为△ABC的重心，AF＝AC＝b，BD＝a，∴AF＝2DF＝2y，BF＝2EF＝2x，
∵AD⊥BE，∴∠AFB＝∠AFE＝∠BFD＝90°，在Rt△AFB中，4x2+4y2＝c2，①
在Rt△AEF中，4x2+y2＝b2，② 在Rt△BFD中，x2+4y2＝a2，③
②+③得5x2+5y2＝（a2+b2），∴4x2+4y2＝（a2+b2），④
①﹣④得c2﹣（a2+b2）＝0，即a2+b2＝5c2．故选：A．
【点评】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 也考查了勾股定理．
9．（2020·福建中考真题）如图，面积为1的等边三角形中，分别是，，的中点，则的面积是（ ）

A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可以判断四个小三角形是全等三角形,即可判断一个的面积是．
【详解】∵分别是，，的中点,且△ABC是等边三角形,
∴△ADF≌△DBE≌△FEC≌△DFE,∴△DEF的面积是．故选D．
【点睛】本题考查等边三角形的性质及全等,关键在于熟练掌握等边三角形的特殊性质．
10．（2020·湖南永州市·中考真题）已知直线，用一块含30°角的直角三角板按图中所示的方式放置，若，则_________．

【答案】35°
【分析】如图，标注字母，延长交于，利用平行线的性质证明，三角形的外角的性质证明，从而可得答案．
【详解】解：如图，标注字母，延长交于，
由题意得：
故答案为：

【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，平行线的性质，掌握以上知识是解题的关键．
11．（2020·江苏南京市·中考真题）如图，线段AB、BC的垂直平分线、相交于点，若39°，则=__________．

【答案】78
【分析】如图，利用线段垂直平分线的性质结合三角形外角性质得到∠AOC=∠2+∠3=2(∠A+∠C)，再利用垂直的定义结合三角形外角性质得到∠AOG =51-∠A，∠COF =51-∠C，利用平角的定义得到∠AOG+∠2+∠3+∠COF+∠1=180，计算即可求解．
【详解】如图，连接BO并延长，

∵、分别是线段AB、BC的垂直平分线，∴OA=OB，OB=OC，∠ODG=∠OEF=90，
∴∠A=∠ABO，∠C=∠CBO，∴∠2=2∠A，∠3=2∠C，∠OGD=∠OFE=90-39=51，
∴∠AOC=∠2+∠3=2(∠A+∠C)，
∵∠OGD=∠A+∠AOG，∠OFE=∠C+∠COF，∴∠AOG =51-∠A，∠COF =51-∠C，
而∠AOG+∠2+∠3+∠COF+∠1=180，∴51-∠A+2∠A+2∠C+51-∠C+39=180，
∴∠A+∠C=39，∴∠AOC=2(∠A+∠C)=78，故答案为：78．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，垂直的定义，平角的定义，注意掌握辅助线的作法，注意掌握整体思想与数形结合思想的应用．
12．（2020·辽宁本溪市·中考真题）如图，在中，，分别是和的中点，连接，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点，若，则的长为_________．

【答案】2
【分析】依据三角形中位线定理，即可得到MN=BC=2，MNBC，依据△MNE≌△DCE（AAS），即可得到CD=MN=2．
【详解】解：∵M，N分别是AB和AC的中点，∴MN是△ABC的中位线，
∴MN=BC=2，MN∥BC，∴∠NME=∠D，∠MNE=∠DCE，
∵点E是CN的中点，∴NE=CE，∴△MNE≌△DCE（AAS），
∴CD=MN=2．故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理以及全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
13．（2020·辽宁本溪市·中考真题）如图，在中，，分别是和的中点，连接，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点，若，则的长为_________．

【答案】2
【分析】依据三角形中位线定理，即可得到MN=BC=2，MNBC，依据△MNE≌△DCE（AAS），即可得到CD=MN=2．
【详解】解：∵M，N分别是AB和AC的中点，∴MN是△ABC的中位线，
∴MN=BC=2，MN∥BC，∴∠NME=∠D，∠MNE=∠DCE，
∵点E是CN的中点，∴NE=CE，∴△MNE≌△DCE（AAS），
∴CD=MN=2．故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理以及全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
14．（2020·湖南怀化市·中考真题）如图，在和中，，，，则________º．

【答案】130
【分析】证明△ABC≌△ADC即可．
【详解】∵，，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC，∴∠D=∠B=130°，故答案为：130．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握判定定理是解题关键．
15．（2020·辽宁本溪市·中考真题）如图，四边形是矩形，延长到点，使，连接，点是的中点，连接，，得到；点是的中点，连接，，得到；点是的中点，连接，，得到；…；按照此规律继续进行下去，若矩形的面积等于2，则的面积为_________．（用含正整数的式子表示）

【答案】
【分析】先计算出、、的面积，然后再根据其面积的表达式找出其一般规律进而求解．
【详解】解：∵，∴面积是矩形ABCD面积的一半，∴梯形BCDE的面积为，
∵点是的中点，∴∴，
，
∴，
∵点是的中点，由中线平分所在三角形的面积可知，∴，且，
∴∴，
同理可以计算出：，且，∴，
∴，
故、、的面积分别为：，
观察规律，其分母分别为2,4,8，符合，分子规律为，
∴的面积为．故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的中线的性质，三角形面积公式，矩形的性质等，本题的关键是能求出前面三个三角形的面积表达式，进而找出规律求解．
16．（2020·辽宁丹东市·中考真题）如图，在矩形中，，，连接，以为边，作矩形使，连接交于点；以为边，作矩形，使，连接交于点；以为边，作矩形，使，连接交于点；…按照这个规律进行下去，则的面积为_________．

【答案】．
【分析】先寻找规律求得的面积，再结合勾股定理以及三角形中线平分三角形的面积求得三角形面积是它所在矩形面积的，依此即可求得的面积．
【详解】解：∵四边形为矩形，∴∠A=∠B=90°，，，，
∴，∴,，，
∵，∴，∴
∴，∴，∴，
同理可证， ，
依次类推，，
故 ，
在矩形中，设，则，根据勾股定理，
即，解得，
∵，即，同理可证，
∴
同理可证故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，三角形中线有关的面积计算，探索与表达规律，解直角三角形．解决此题的关键有两个：①寻找规律，求得；②得出三角形面积是它所在矩形面积的．需注意标序号的时候不要混淆了．
17．（2020·江苏南京市·中考真题）如图，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上， AB = AC ，ÐB = ÐC ，求证：BD = CE ．

【答案】见解析
【分析】要证BD=CE，只要证AD=AE即可，故需要先证明DABE ≌ DACD．
【详解】证明：在DABE 与DACD 中，,\DABE ≌ DACD( ASA) ．\ AD = AE ，
∴AB-AD=AC-AE,故BD = CE ．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，属于比较基础的考查，牢固掌握相关的知识点即可．
18．（2020·云南昆明市·中考真题）如图，AC是∠BAE的平分线，点D是线段AC上的一点，∠C＝∠E，AB＝AD．求证：BC＝DE．

【答案】见解析
【分析】根据角平分线的性质证明△BAC≌△DAE，即可得到结果；
【详解】证明：∵AC是∠BAE的平分线，∴∠BAC＝∠DAE，
∵∠C＝∠E，AB＝AD．∴△BAC≌△DAE（AAS），∴BC＝DE．
【点睛】本题主要考查了三角形的全等判定，准确利用角平分线的性质是解题的关键．
19．（2020·江苏无锡市·中考真题）如图，已知，，．求证：（1）；（2）．

【答案】（1）证明见详解；（2）证明见解析．
【分析】（1）先由平行线的性质得∠B=∠C，从而利用SAS判定△ABF≌△DCE；（2）根据全等三角形的性质得∠AFB=∠DEC，由等角的补角相等可得∠AFE=∠DEF，再由平行线的判定可得结论．
【详解】证明：（1）∵AB∥CD，∴∠B=∠C，
∵BE=CF，∴BE-EF=CF-EF，即BF=CE，
在△ABF和△DCE中， ∴△ABF≌△DCE（SAS）；
（2）∵△ABF≌△DCE，∴∠AFB=∠DEC，
∴∠AFE=∠DEF，∴AF∥DE．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，属于全等基础知识的考查，难度不大，注意证明过程的规范性．
20．（2020·湖南湘西土家族苗族自治州·中考真题）如图，在正方形的外侧，作等边角形，连接、．（1）求证：；（2）求的度数．

【答案】(1)见解析；(2)15°．
【分析】(1)利用正方形的性质得到AB=CD，∠BAD=∠CDA，利用等边三角形的性质得到AE=DE，∠EAD=∠EDA=60°即可证明；(2)由AB=AD=AE，得到△ABE为等腰三角形，进而得到∠ABE=∠AEB，且∠BAE=90°+60°=150°，再利用三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD，且∠BAD=∠CDA=90°，
∵△ADE是等边三角形，∴AE=DE，且∠EAD=∠EDA=60°，
∴∠BAE=∠BAD+∠EAD=150°，∠CDE=∠CDA+∠EDA=150°，∴∠BAE=∠CDE，
在△BAE和△CDE中:，∴．
(2)∵AB=AD，且AD=AE，∴△ABE为等腰三角形，∴∠ABE=∠AEB，
又∠BAE=150°，∴由三角形内角和定理可知：∠AEB=(180°-150°)÷2=15°．故答案为：15°．
【点睛】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，第二问中能得出△ABE是等腰三角形且∠BAE=150°是解题关键．
21．（2020·内蒙古呼伦贝尔市·中考真题）已知：如图，在正方形中，对角线相交于点，点分别是边上的点，且．求证：．

【答案】见解析
【分析】由正方形的性质得出OD=OC，∠ODF=∠OCE=45°，再证明∠COE=∠DOF，从而得到△COE≌△DOF，即可证明CE=DF．
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴OD=OC，∠ODF=∠OCE=45°，∠COD=90°，
∵∠EOF=90°，即∠COE+∠COF=90°，∴∠COE=∠DOF，∴△COE≌△DOF（ASA），∴CE=DF．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据正方形的性质得出条件证明全等．
22．（2020·湖南湘潭市·中考真题）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．

（1）特例感知：如图（一），已知边长为2的等边的重心为点，求与的面积．
（2）性质探究：如图（二），已知的重心为点，请判断、是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值：如果不是，请说明理由．
（3）性质应用：如图（三），在正方形中，点是的中点，连接交对角线于点．
①若正方形的边长为4，求的长度；
②若，求正方形的面积．
【答案】（1），；（2）都是定值，，；（3）①；②12．
【分析】（1）连接DE，利用相似三角形证明，运用勾股定理求出AD的长，运用三角形面积公式求解即可；（2）根据（1）的证明可求解；（3）①证明△CME∽△ABM得，再运用勾股定理求出BE的长即可解决问题；②分别求出S△BMC和S△ABM 即可.
【详解】（1）连接DE，如图，

∵点O是的重心，，是，C边上的中线，
为，边上的中点，为的中位线，，，
，，，，，
；
（2）由（1）可知，是定值；是定值；
（3）①∵四边形ABCD是正方形，，，
为CD的中点，
，即；
②，且 ∴，，，
， ，
又∴正方形ABCD的面积为：6+6=12．
【点睛】本题考查的是三角形重心的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质，解答此题的关键是灵活运用三角形重心的性质．
23．（2020·湖南湘西土家族苗族自治州·中考真题）问题背景：如图1，在四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．探究图中线段，，之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长到G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论就是_______________；
探究延伸1：如图2，在四边形中，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由．
探究延伸2：如图3，在四边形中，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由．
实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离．

【答案】EF=AE+CF．探究延伸1：结论EF=AE+CF成立．探究延伸2：结论EF=AE+CF仍然成立．实际应用：210海里．
【分析】延长到G，使，连接，先证明，可得BG=BE，∠CBG=∠ABE，再证明，可得GF=EF，即可解题；
探究延伸1：延长到G，使，连接，先证明，可得BG=BE，∠CBG=∠ABE，再证明，可得GF=EF，即可解题；
探究延伸2：延长到G，使，连接，先证明，可得BG=BE，∠CBG=∠ABE，再证明，可得GF=EF，即可解题；
实际应用：连接EF，延长AE，BF相交于点C，然后与探究延伸2同理可得EF=AE+CF，将AE和CF的长代入即可．
【详解】解：EF=AE+CF 理由：延长到G，使，连接，

在△BCG和△BAE中，，∴（SAS），∴BG=BE，∠CBG=∠ABE，
∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，∴∠ABE+∠CBF=60°，∴∠CBG+∠CBF=60°，即∠GBF=60°，
在△BGF和△BEF中，，∴△BGF≌△BEF（SAS），∴GF=EF，
∵GF=CG+CF=AE+CF，∴EF=AE+CF．
探究延伸1：结论EF=AE+CF成立．理由：延长到G，使，连接，

在△BCG和△BAE中，，∴（SAS），∴BG=BE，∠CBG=∠ABE，
∵∠ABC=2∠MBN，∴∠ABE+∠CBF=∠ABC，∴∠CBG+∠CBF=∠ABC，即∠GBF=∠ABC，
在△BGF和△BEF中，，∴△BGF≌△BEF（SAS），∴GF=EF，
∵GF=CG+CF=AE+CF，∴EF=AE+CF．
探究延伸2：结论EF=AE+CF仍然成立．理由：延长到G，使，连接，

∵，∠BCG+∠BCD=180°，∴∠BCG=∠BAD
在△BCG和△BAE中，，∴（SAS），∴BG=BE，∠CBG=∠ABE，
∵∠ABC=2∠MBN，∴∠ABE+∠CBF=∠ABC，∴∠CBG+∠CBF=∠ABC，即∠GBF=∠ABC，
在△BGF和△BEF中，，∴△BGF≌△BEF（SAS），∴GF=EF，
∵GF=CG+CF=AE+CF，∴EF=AE+CF．
实际应用：连接EF，延长AE，BF相交于点C，

∵∠AOB=30°+90°+(90°-70°)=140°，∠EOF=70°，∴∠EOF=∠AOB
∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=(90°-30°)+(70°+50°)=180°，∴符合探索延伸中的条件
∴结论EF= AE+CF仍然成立即EF=75×1.2+100×1.2=210（海里）答：此时两舰艇之间的距离为210海里．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．作辅助线构造全等三角形是解题的关键．