2019年广东省深圳市龙华新区中考数学一模试卷（含答案解析）

这是一份2019年广东省深圳市龙华新区中考数学一模试卷（含答案解析），共21页。试卷主要包含了3倒数等于，下列计算正确的是等内容，欢迎下载使用。

2019年广东省深圳市龙华新区中考数学一模试卷
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．3倒数等于（　　）
A．3 B． C．﹣3 D．﹣
2．如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图是（　　）

A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（　　）
A．4x3•2x2＝8x6 B．a4+a3＝a7
C．（﹣x2）5＝﹣x10 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
4．下图中是中心对称图形而不是轴对称图形的共有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．我县人口约为530060人，用科学记数法可表示为（　　）
A．53006×10人 B．5.3006×105人
C．53×104人 D．0.53×106人
6．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝75°，∠CDE＝145°，则∠BCD的值为（　　）

A．20° B．30° C．40° D．70°
7．某商店出售两件衣服，每件卖了200元，其中一件赚了25%，而另一件赔了20%．那么商店在这次交易中（　　）
A．亏了10元钱 B．赚了10钱 C．赚了20元钱 D．亏了20元钱
8．在趣味运动会“定点投篮”项目中，我校七年级八个班的投篮成绩（单位：个）分别为：24，20，19，20，22，23，20，22．则这组数据中的众数和中位数分别是（　　）
A．22个、20个 B．22个、21个 C．20个、21个 D．20个、22个
9．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：
①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．
其中所有正确结论的序号是（　　）

A．③④ B．②③ C．①④ D．①②③
10．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为4，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（　　）

A．2， B．，π C．2， D．2，
11．如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF＝6，AB＝5，则AE的长为（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10
12．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的（　　）

A． B． C． D．
二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）
13．分解因式：a3﹣a＝　 　．
14．经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左或向右转，若这三种的可能性相同，则两辆汽车经过十字路口全部继续直行的概率为　 　．
15．按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第14个图案中黑色小正方形地砖的块数是　 　．

16．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，且∠ABC＝60°，∠ACB＝80°，则∠BOC的度数为　 　．

三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）计算：cos45°﹣2sin30°+（﹣2）0．
18．（6分）解不等式组并写出它的整数解．
19．（7分）某校为了解学生对“第二十届中国哈尔滨冰雪大世界”主题景观的了解情况，在全体学生中随机抽取了部分学生进行调查，并把调查结果绘制成如图的不完整的两幅统计图：
（1）本次调查共抽取了多少名学生；
（2）通过计算补全条形图；
（3）若该学校共有750名学生，请你估计该学校选择“比较了解”项目的学生有多少名？

20．（8分）如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知AB⊥BC于点B，底座BC的长为1米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝60°，点H在支架AF上，篮板底部支架EH∥BC，EF⊥EH于点E，已知AH长米，HF长米，HE长1米．
（1）求篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数．
（2）求篮板底部点E到地面的距离．（结果保留根号）

21．（8分）某书店老板去图书批发市场购买某种图书，第一次用1200元购书若干本，并按该书定价7元出售，很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了20%，他用1500元所购该书的数量比第一次多10本，当按定价售出200本时，出现滞销，便以定价的4折售完剩余的书．
（1）第一次购书的进价是多少元？
（2）试问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其他因素）？若赔钱，赔多少；若赚钱，赚多少？
22．（8分）如图，AN是⊙M的直径，NB∥x轴，AB交⊙M于点C．
（1）若点A（0，6），N（0，2），∠ABN＝30°，求点B的坐标；
（2）若D为线段NB的中点，求证：直线CD是⊙M的切线．

23．（9分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．
（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．


2019年广东省深圳市龙华新区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．【分析】根据乘积是1的两数互为倒数可得答案．
【解答】解：3倒数等于，
故选：B．
【点评】此题主要考查了倒数，关键是掌握倒数定义．
2．【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【解答】解：从左面看易得第一层有2个正方形，第二层最左边有一个正方形．
故选：B．
【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
3．【分析】A、原式利用单项式乘单项式法则计算得到结果，即可做出判断；
B、原式不能合并，错误；
C、原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；
D、原式利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断．
【解答】解：A、原式＝8x5，错误；
B、原式不能合并，错误；
C、原式＝﹣x10，正确；
D、原式＝a2﹣2ab+b2，错误，
故选：C．
【点评】此题考查了单项式乘单项式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，以及完全平方公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
4．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：第一个图形，既是中心对称图形，又是轴对称图形，故错误；
第二个图形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；
第三个图形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；
第四、五个是中心对称图形而不是轴对称图形，故正确．
故选：B．
【点评】掌握好中心对称与轴对称的概念：
轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
5．【分析】根据科学记数法的定义及表示方法进行解答即可．
【解答】解：∵530060是6位数，
∴10的指数应是5，
故选：B．
【点评】本题考查的是科学记数法的定义及表示方法，熟知以上知识是解答此题的关键．
6．【分析】延长ED交BC于F，根据平行线的性质求出∠MFC＝∠B＝75°，求出∠FDC＝35°，根据三角形外角性质得出∠C＝∠MFC﹣∠MDC，代入求出即可．
【解答】解：延长ED交BC于F，如图所示：
∵AB∥DE，∠ABC＝75°，
∴∠MFC＝∠B＝75°，
∵∠CDE＝145°，
∴∠FDC＝180°﹣145°＝35°，
∴∠C＝∠MFC﹣∠MDC＝75°﹣35°＝40°，
故选：C．

【点评】本题考查了三角形外角性质，平行线的性质的应用，解此题的关键是求出∠MFC的度数，注意：两直线平行，同位角相等．
7．【分析】根据题意可以列出相应的方程，求出两件商品的进价，然后用总的售价减去总的进价即可解答本题．
【解答】解：设一件的进件为x元，另一件的进价为y元，
则x（1+25%）＝200，y（1﹣20%）＝200，
解得，x＝160，y＝250，
∴（200+200）﹣（160+250）＝﹣10，
∴这家商店这次交易亏了10元，
故选：A．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出形应的方程．
8．【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
【解答】解：在这一组数据中20出现了3次，次数最多，故众数是20；
把数据按从小到大的顺序排列：19，20，20，20，22，22，23，24，
处于这组数据中间位置的数20和22，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是21．
故选：C．
【点评】本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
9．【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①当x＝1时，结合图象y＝a+b+c＜0，故此选项正确；
②当x＝﹣1时，图象与x轴交点负半轴明显小于﹣1，∴y＝a﹣b+c＞0，故本选项错误；
③由抛物线的开口向上知a＞0，
∵对称轴为0＜x＝﹣＜1，
∴2a＞﹣b，
即2a+b＞0，
故本选项错误；
④对称轴为x＝﹣＞0，
∴a、b异号，即b＜0，
图象与坐标相交于y轴负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，
故本选项正确；
∴正确结论的序号为①④．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数关系，同学们应掌握二次函数y＝ax2+bx+c系数符号的确定：
（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0；
（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x＝﹣判断符号；
（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0；
（4）当x＝1时，可以确定y＝a+b+C的值；当x＝﹣1时，可以确定y＝a﹣b+c的值．
10．【分析】连接OC、OB，证出△BOC是等边三角形，根据锐角三角函数的定义求出OM，再由弧长公式求出弧BC的长即可．
【解答】解：如图所示，连接OC、OB，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC＝60°，
∵OA＝OB，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠OBM＝60°，
∴OM＝OBsin∠OBM＝4×＝2，
的长＝＝；
故选：D．
【点评】本题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握正六边形的性质，由三角函数求出OM是解决问题的关键．
11．【分析】由基本作图得到AB＝AF，加上AO平分∠BAD，则根据等腰三角形的性质得到AO⊥BF，BO＝FO＝BF＝3，再根据平行四边形的性质得AF∥BE，得出∠1＝∠3，于是得到∠2＝∠3，根据等腰三角形的判定得AB＝EB，然后再根据等腰三角形的性质得到AO＝OE，最后利用勾股定理计算出AO，从而得到AE的长．
【解答】解：连结EF，AE与BF交于点O，如图
∵AB＝AF，AO平分∠BAD，
∴AO⊥BF，BO＝FO＝BF＝3，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AF∥BE，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴AB＝EB，
而BO⊥AE，
∴AO＝OE，
在Rt△AOB中，AO＝＝＝4，
∴AE＝2AO＝8．
故选：C．

【点评】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、平行线的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，由勾股定理求出AO是解决问题的关键．
12．【分析】分两种情况探讨：（1）当正方形A1B1C1O边与正方形ABCD的对角线重合时；（2）当转到一般位置时，由题求证△AEO≌△BOF，故两个正方形重叠部分的面积等于三角形ABO的面积，得出结论．
【解答】解：（1）当正方形绕点OA1B1C1O绕点O转动到其边OA1，OC1分别于正方形ABCD的两条对角线重合这一特殊位置时，
显然S两个正方形重叠部分＝S正方形ABCD，
（2）当正方形绕点OA1B1C1O绕点O转动到如图位置时．
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠OAB＝∠OBF＝45°，OA＝OB
BO⊥AC，即∠AOE+∠EOB＝90°，
又∵四边形A′B′C′O为正方形，
∴∠A′OC′＝90°，即∠BOF+∠EOB＝90°，
∴∠AOE＝∠BOF，
在△AOE和△BOF中，
∴△AOE≌△BOF（ASA），
∵S两个正方形重叠部分＝S△BOE+S△BOF，
又S△AOE＝S△BOF，
∴S两个正方形重叠部分＝S△ABO＝S正方形ABCD．
综上所知，无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的．
故选：C．
【点评】此题考查正方形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形的面积等知识点，正确的识别图形是解题的关键．
二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）
13．【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：a3﹣a，
＝a（a2﹣1），
＝a（a+1）（a﹣1）．
故答案为：a（a+1）（a﹣1）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意要分解彻底．
14．【分析】画出树状图，然后根据概率公式解答即可．
【解答】解：根据题意，画出树状图如下：

一共有9种情况，两辆汽车经过十字路口全部继续直行的有1种情况，
所以，P（两辆汽车经过十字路口全部继续直行）＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
15．【分析】观察图形可知，黑色与白色的地砖的个数的和是连续奇数的平方，而黑色地砖比白色地砖多1个，求出第n个图案中的黑色与白色地砖的和，然后求出黑色地砖的块数，再把n＝14代入进行计算即可．
【解答】解：第1个图案只有1块黑色地砖，
第2个图案有黑色与白色地砖共32＝9，其中黑色的有5块，
第3个图案有黑色与白色地砖共52＝25，其中黑色的有13块，
…
第n个图案有黑色与白色地砖共（2n﹣1）2，其中黑色的有 [（2n﹣1）2+1]，
当n＝14时，黑色地砖的块数有 [（2×14﹣1）2+1]＝×730＝365．
故答案为：365．
【点评】本题是对图形变化规律的考查，观察图形找出黑色与白色地砖的总块数与图案序号之间的关系是解题的关键．
16．【分析】根据三角形的内心的概念得到∠OBC＝∠ABC＝30°，∠OCB＝∠ACB＝40°，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴∠OBC＝∠ABC＝30°，∠OCB＝∠ACB＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝110°，
故答案为：110°．
【点评】本题考查的是三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理，掌握三角形的内心是三角形三个内角角平分线的交点是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．【分析】原式利用特殊角的三角函数值，以及零指数幂法则计算即可求出值．
【解答】解：原式＝﹣2×+1＝﹣1+1＝．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，再其公共解集内找出符合条件的x的整数解即可．
【解答】解：，
由①得x＞2，
由②得x≤6，
故不等式组的整数解为：2＜x≤6，
它的整数解有3，4，5，6．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到的原则是解答此题的关键．
19．【分析】（1）用非常了解的人数除以所占的百分比即可求出本次调查共抽取的总人数；
（2）用总人数减去其它了解程度的人数求出不大了解的人数，从而补全统计图；
（3）用该学校的总人数乘以比较了解的人数所占的百分比，即可得出答案．
【解答】解：（1）本次调查共抽取的学生数是：16÷32%＝50（名）；

（2）不大了解的人数有50﹣16﹣18﹣10＝6（名），
补图如下：


（3）根据题意得：
750×＝270（名），
答：该学校选择“比较了解”项目的学生有270名．
【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
20．【分析】（1）由cos∠FHE＝＝可得答案；
（2）延长FE交CB的延长线于M，过点A作AG⊥FM于G，过点H作HN⊥AG于N，据此知GM＝AB，HN＝EG，Rt△ABC中，求得AB＝BCtan60°＝；Rt△ANH中，求得HN＝AHsin45°＝；根据EM＝EG+GM可得答案．
【解答】解：（1）在Rt△EFH中，cos∠FHE＝＝，
∴∠FHE＝45°，
答：篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数为45°；

（2）延长FE交CB的延长线于M，过点A作AG⊥FM于G，过点H作HN⊥AG于N，

则四边形ABMG和四边形HNGE是矩形，
∴GM＝AB，HN＝EG，
在Rt△ABC中，∵tan∠ACB＝，
∴AB＝BCtan60°＝1×＝，
∴GM＝AB＝，
在Rt△ANH中，∠FAN＝∠FHE＝45°，
∴HN＝AHsin45°＝×＝，
∴EM＝EG+GM＝+，
答：篮板底部点E到地面的距离是（+）米．
【点评】本题考查解直角三角形、锐角三角函数、解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．
21．【分析】（1）设第一次购书的单价为x元，根据第一次用1200元购书若干本，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了20%，他用1500元所购该书的数量比第一次多10本，列出方程，求出x的值即可得出答案；
（2）根据（1）先求出第一次和第二次购书数目，再根据卖书数目×（实际售价﹣当次进价）求出二次赚的钱数，再分别相加即可得出答案．
【解答】解：（1）设第一次购书的单价为x元，根据题意得：
+10＝．
解得：x＝5．
经检验，x＝5是原方程的解，
答：第一次购书的进价是5元；

（2）第一次购书为1200÷5＝240（本），
第二次购书为240+10＝250（本），
第一次赚钱为240×（7﹣5）＝480（元），
第二次赚钱为200×（7﹣5×1.2）+50×（7×0.4﹣5×1.2）＝40（元），
所以两次共赚钱480+40＝520（元），
答：该老板两次售书总体上是赚钱了，共赚了520元．
【点评】此题考查了分式方程的应用，掌握这次活动的流程，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
22．【分析】（1）在Rt△ABN中，求出AN、AB即可解决问题；
（2）连接MC，NC．只要证明∠MCD＝90°即可；
【解答】解：（1）∵A的坐标为（0，6），N（0，2），
∴AN＝4，
∵∠ABN＝30°，∠ANB＝90°，
∴AB＝2AN＝8，
∴由勾股定理可知：NB＝，
∴B（，2）．
（2）连接MC，NC
∵AN是⊙M的直径，
∴∠ACN＝90°，
∴∠NCB＝90°，
在Rt△NCB中，D为NB的中点，
∴CD＝NB＝ND，
∴∠CND＝∠NCD，
∵MC＝MN，
∴∠MCN＝∠MNC，
∵∠MNC+∠CND＝90°，
∴∠MCN+∠NCD＝90°，
即MC⊥CD．
∴直线CD是⊙M的切线．

【点评】本题考查圆的切线的判定、坐标与图形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
23．【分析】（1）根据点A，C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），进而可得出PF的值，由点C的坐标可得出点Q的坐标，进而可得出AQ的值，利用三角形的面积公式可得出S△APC＝﹣x2﹣x+3，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题；
（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点N的坐标，利用配方法可找出抛物线的对称轴，由点C，N的坐标可得出点C，N关于抛物线的对称轴对称，令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，则此时△ANM周长取最小值，再利用一次函数图象上点的坐标特征求出点M的坐标，以及利用两点间的距离公式结合三角形的周长公式求出△ANM周长的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：
，解得：，
∴抛物线的函数关系式为y＝﹣x2﹣2x+3；
设直线AC的函数关系式为y＝mx+n（m≠0），
将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝mx+n，得：
，解得：，
∴直线AC的函数关系式为y＝﹣x+1．
（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，如图1所示．
设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），
∴PE＝﹣x2﹣2x+3，EF＝﹣x+1，
EF＝PE﹣EF＝﹣x2﹣2x+3﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2．
∵点C的坐标为（﹣2，3），
∴点Q的坐标为（﹣2，0），
∴AQ＝1﹣（﹣2）＝3，
∴S△APC＝AQ•PF＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x+）2+．
∵﹣＜0，
∴当x＝﹣时，△APC的面积取最大值，最大值为，此时点P的坐标为（﹣，）．
（3）当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，
∴点N的坐标为（0，3）．
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．
∵点C的坐标为（﹣2，3），
∴点C，N关于抛物线的对称轴对称．
令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，如图2所示．
∵点C，N关于抛物线的对称轴对称，
∴MN＝CM，
∴AM+MN＝AM+MC＝AC，
∴此时△ANM周长取最小值．
当x＝﹣1时，y＝﹣x+1＝2，
∴此时点M的坐标为（﹣1，2）．
∵点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（﹣2，3），点N的坐标为（0，3），
∴AC＝＝3，AN＝＝，
∴C△ANM＝AM+MN+AN＝AC+AN＝3+．
∴在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为3+．


【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积以及周长，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线及直线AC的函数关系式；（2）利用三角形的面积公式找出S△APC＝﹣x2﹣x+3；（3）利用二次函数图象的对称性结合两点之间线段最短找出点M的位置．