（新高考）2021届高考二轮复习专题一 集合、常用逻辑用语 、不等式 教师版

1．集合

集合考查主要是与不等式结合的交并补运算，以及Venn图的理解运用．要求掌握集合的概念、集合的表示方法、元素与集合的关系、集合之间的关系、集合之间的交并补的运算，能用Venn图表示集合之间的基本关系．

2．常用逻辑用语

本部分内容的考点为充分条件与必要条件，全称量词和存在量词，充分必要条件主要以其他的知识作为载体进行考查，全称量词和存在量词主要考查命题的否定．

3．不等式

不等式的考查主要为不等式性质的考查，不等式解法的考查，以及基本不等式的使用，题型以选择填空题为主．另外不等式作为工具在大题解题过程中进行应用．

一、集合

1．集合间的关系与运算

（1）；

（2），．

2．含有个元素的集合有个子集，有个真子集．

3．当集合是不等式的解集时，通常借助数轴进行求解，若集合为抽象集合时，用Venn图求解．

二、逻辑用语

1．充分、必要条件

（1），则是的充分条件；

（2），则是的必要条件；

（3），则和互为充要条件．

2．全称命题、特称命题及其否定

（1）全称命题：，其否定为特称命题：；

（2）特称命题：，其否定为全称命题：．

三、不等式

1．一元二次不等式的解法

解一元二次不等式的步骤：一般先将二次项系数化为正数，再判断的符号，然后解对应的一元二次方程，最后写出不等式的解．

2．一元不等式的恒成立问题

对于恒成立的条件为：二次项系数，；

对于恒成立的条件为：．

3．分式不等式

对于分式不等式：先移项通分标准化，则；．

4．基本不等式

（1），当且仅当时，等号成立．

（2）基本不等式的变形．

①，当且仅当时，等号成立；

②，当且仅当时，等号成立．

一、选择题．

1．若集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为或，所以，故选D．

【点评】本题主要考查了几何的运算，掌握并集的定义是解题的关键，属于基础题型．

2．已知均为的子集，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】解法一：，，据此可得，故选B．

解法二：如图所示，设矩形ABCD表示全集R，

矩形区域ABHE表示集合M，则矩形区域CDEH表示集合，

矩形区域CDFG表示集合N，满足，

结合图形可得：，故选B．

【点评】本题考查了几何的抽象概念，需要借助Venn图来进行求解，属于基础题．

3．已知全集，，，指出图中阴影部分

表示的集合是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为，，

所以，，

因为，所以，

由图易知，图中阴影部分表示的集合是，

故图中阴影部分表示的集合是，故选C．

【点评】本题考查的知识点是Venn图表达几何的关系及运算，其中正确理解阴影部分元素满足的性质是解答本题的关键．

4．已知集合，，则中的元素个数为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【解析】因为集合，

，

所以，故选B．

【点评】本题考查集合的运算，属于基础题．

5．已知集合，，若，则（    ）

A． B． C．0 D．1

【答案】B

【解析】因为，所以，．

又或，且，得．

因为，所以，即，故选B．

【点评】本题考查了集合中元素的互异性以及集合的运算，属于基础题．

6．某学校高三教师周一、周二、周三开车上班的人数分别是8，10，14，若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（    ）

A．8 B．7 C．6 D．5

【答案】C

【解析】设周三，周二，周一开车上班的职工组成的集合分别为，，，

集合，，中元素个数分别为A．，B．，C．，

则A．，B．，C．，，

因为A．B．C，

且，，，

所以，

即，故选C．

【点评】本题考查集合多面手问题的应用，考查学生转化问题的能力和应用不等关系解题的思想，

属于中档题．

7．已知集合，，，则集合的真子集的个数

是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意可知共有个元素集合，

所以集合的真子集的个数，故选D．

【点评】考查了集合的表示与集合关系，先确定集合中元素的个数是解本题的关键．

8．设，则“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件  B．必要而不充分条件

C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】，，，

可得“”是“”的充分条件；

由，

①当时，可得，即；

②当时，可得，即；

可得“”不是“”的必要条件；

所以“”是“”充分不必要条件，故选A．

【点评】本题考查了充分条件与必要条件的判断，涉及了不等式性质的理解和应用，解题的关键是正确理解充分条件和必要条件的判断方法．

9．已知命题：，，则它的否定形式为（    ）

A．，  B．，

C．，  D．，

【答案】D

【解析】因为命题的否定，需要修改量词并且否定结论，

所以命题：，，

则它的否定形式为：，，故选D．

【点评】本题主要考查含有量词的命题否定，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，

本题属于基础题．

10．已知且，．则p是q成立的（    ）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】若且，则，所以p是q成立的充分条件，

当时，满足，但是不满足且，

所以p不是q成立的必要条件，

综上所述：p是q成立的充分不必要条件，故选A．

【点评】本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：

（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；

（2）若是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；

（3）若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；

（4）若是的既不充分又不必要条件，对应集合与对应集合互不包含．

11．设，，则下列不等式中，恒成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】对于A选项，，所以，，所以，，A选项错误；

对于B选项，，则，由不等式的基本性质可得，B选项正确；

对于C选项，若，由不等式的基本性质可得，C选项错误；

对于D选项，若，由A选项可知，，由不等式的基本性质可得，D选项错误，

故选B．

【点评】本题主要考查了不等式的基本性质，属于基础题．

12．已知函数，则使得成立的的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】令，则，

，所以，

所以，

令，则，

因为，所以，所以，

所以在单调递增，所以由，得，

所以，解得，故选C．

【点评】此题考查不等式恒成立问题，考查函数单调性的应用，解题的关键是换元后对不等式变形得，再构造函数，利用函数的单调性解不等式．

13．若，则函数的最小值为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】D

【解析】∵，∴，

∴，

当且仅当，即时取等号，

∴函数的最小值为6，故选D．

【点评】本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．

14．若正实数，满足，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】变形得，

因为，是正实数，

则，

当且仅当时，取最小值，故选C．

【点评】在基本不等式中，遇到已知条件为时，需要先变形为，

然后利用乘“”法展开计算，再根据“一正二定三相等”的步骤计算最值．

二、填空题．

15．已知，，，若不等式对已知的及任意实数恒成立，则实数最大值为_______．

【答案】5

【解析】，

当且仅当，即时，取等号，

因为不等式对恒成立，

所以对任意实数恒成立，

即对任意实数恒成立，

令，．

故答案为5．

【点评】本题考查了利用基本不等式求解最值及不等式恒成立与最值求解的相互转化，体现了转化思想的应用．

一、选择题．

1．若集合，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设，

当时，，满足题意；

当时，是二次函数，依题可知，，

因为，

所以恒大于等于0，即，

所以，解得．

【点评】本题考察的是集合和带有未知数的函数的综合题，需要对未知数进行分类讨论．

2．设，，若，求实数组成的集合的子集个数

有（    ）

A．2 B．3 C．4 D．8

【答案】D

【解析】，

因为，所以，

因此，对应实数的值为，，，其组成的集合的子集个数有，

故选D．

【点评】本题考查集合包含关系以及集合子集，考查基本分析求解能力，属中档题．

3．命题“若，则或”的否定是（    ）

A．若，则或 B．若，则且

C．若，则或 D．若，则且

【答案】D

【解析】命题：“若，则或”为真命题，

则其否定为：“若，则且”，故选D．

【点评】本题考查命题的否定形式，注意命题的否定与否命题的区别，若原命题为“若，则”则其否命题为“若，则”，否定为“若，则”，注意一般命题与全称命题、特称命题否定的区别．

二、填空题．

4．在正项等比数列中，，前三项的和为7，若存在，使得，则的最小值为__________．

【答案】

【解析】依题意，

依题意存在，使得，

即，即，

所以，

所以．

当且仅当，时等号成立．

所以的最小值为，故答案为．

【点评】求解有关表达式的最值问题，可以考虑采用的代换的方法，结合基本不等式求得最值，要注意等号成立的条件．

一、选择题．

1．已知集合为实数，且，为实数，且，则的元素个数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【解析】联立，解得或．

即与相交于两点，，

故中有两个元素，故选C．

【点评】本题考查了集合的表示方法及集合的运算，属于基础题．

2．已知集合，，且，，，记，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意设，，，（），

则，

而，∴，故选D．

【点评】本题考点为集合间的关系，属于中档题．

3．已知全集，集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为或，所以．

因为，所以，故选C．

【点评】本题结合函数的定义域，不等式考查集合运算，属于基础题．

4．对于任意两个正整数，，定义某种运算“”如下：当，都为正偶数或正奇数时，；当，中一个为正偶数，另一个为正奇数时，，则在此定义下，集合中的元素个数是（    ）

A．10个 B．15个 C．16个 D．18个

【答案】B

【解析】根据定义知分两类进行考虑，一奇一偶，则，，

所以可能的取值为共4个，

同奇偶，则，由，所以可能的取值为，共11个，

所以符合要求的共15个，故选B．

【点评】本题主要考查了分类讨论思想，集合及集合与元素的关系，属于中档题．

5．（多选）给定数集合M，若对于任意，有，且，则称集合M为闭集合，

则下列说法中不正确的（    ）

A．集合为闭集合

B．集合为闭集合

C．正整数集是闭集合

D．若集合为闭集合，则为闭集合

【答案】ACD

【解析】根据对于任意，，有，且，

对于A．当集合，，0，2，时，而，所以集合不为闭集合；

对于B．当，时，设，，，，

则，，所以集合为闭集合；

对于C．设，是任意的两个正整数，当时，不是正整数，所以正整数集不为闭集合；

对于D．设，，，是闭集合，且，，

而，此时不为闭集合，

所以，说法中不正确的是ACD，故选ACD．

【点评】本题考查了新定义的集合与元素的判定问题，解题时应深刻理解新定义的概念，适当的应用反例说明命题是否成立，属于中档题．

6．命题“，，使得”的否定形式是（    ）

A．，，使得 B．，，使得

C．，，使得 D．，，使得

【答案】B

【解析】命题“，，使得”，

则命题的否定为：，，使得，故选B．

【点评】本题主要考查了含有量词命题的否定，比较基础．

7．已知函数，则不等式成立的一个充分不必要条件为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】可得的定义域为，

和都是增函数，是定义在的增函数，

，是奇函数，

则不等式化为，

，解得，

则不等式成立的充分不必要条件应是的真子集，只有B选项满足，故选B．

【点评】本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，解题的关键是判断出是增函数且是奇函数，

从而将不等式化为求解．

8．已知，关于的不等式的解集中有且只有个整数，则的值可以是（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】D

【解析】令二次函数，

则二次函数开口向上，且对称轴为，

根据二次函数对称性可知：

若不等式的解集中有且只有个整数，则需要满足，

即，解得，故选D．

【点评】本题考查根据不等式的解集求参数，主要考查二次函数的对称性的灵活应用，考查推理能力与计算能力，是简单题．

9．函数（且）的图象恒过定点，若点在直线上，其中均大于0，则的最小值为（    ）

A．2 B．4 C．8 D．16

【答案】B

【解析】因为函数（且）的图象恒过定点，

又因为点在直线上，所以，即，

所以，

当且仅当，即取等号，

所以的最小值为4，故选B．

【点评】本题考查了对数函数的性质和均值不等式等知识点，运用了整体代换的思想，是高考考查的重点．

10．（多选）已知，为正实数，则下列结论正确的是（    ）

A．若，则 B．若，为正实数，则

C．若，则 D．若，则

【答案】ACD

【解析】对于A，因为，为正实数，且，所以，所以，故A正确；

对于B，因为，，均为正实数，且，所以，所以，

故B错误；

对于C，因为，为正实数，，所，

所以，C正确；

对于D，，当且仅当时等号成立，

故D正确，

故选ACD．

【点评】比较大小的方法：

（1）作差法，其步骤：作差⇒变形⇒判断差与0的大小⇒得出结论．

（2）作商法，其步骤：作商⇒变形⇒判断商与1的大小⇒得出结论．

（3）构造函数法：构造函数，利用函数单调性比较大小．

（4）赋值法和排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论．

二、填空题．

11．已知集合，，且，则实数的取值范围

是_________．

【答案】

【解析】由题意可得：，

据此结合题意可得：，即，

即实数的取值范围是．

【点评】本题主要考查集合的表示方法，由集合间的关系求解参数的取值范围等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．

12．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是__________．

【答案】

【解析】由图知实数的取值范围是，其中为直线与相切时的值，

即．

【点评】本题以分段函数为载体，考查了不等式恒成立问题，属于中档题．