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专题一 集合与常用逻辑用语-2021届高三《新题速递•数学》9月刊（江苏专用 适用于高考复习）
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这是一份专题一 集合与常用逻辑用语-2021届高三《新题速递•数学》9月刊（江苏专用 适用于高考复习），文件包含专题一集合与常用逻辑用语原卷版docx、专题一集合与常用逻辑用语解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共99页， 欢迎下载使用。
专题一 集合与常用逻辑用语
专题01 集合的概念与运算
一、多选题
1．（2020·上海高一开学考试）（多选题）下列关系中，正确的有（）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】
【分析】
运用子集、真子集、属于的概念对四个选项逐一判断即可.
【详解】
选项A:由空集是任何非空集合的真子集可知，本选项是正确的；
选项B: 是有理数，故是正确的；
选项C:所有的整数都是有理数，故有，所以本选项是不正确的；
选项D; 由空集是任何集合的子集可知，本选项是不正确的，故本题选AB.
【点睛】
本题考查了子集关系、真子集关系的判断，考查了常见数集的识别，考查了属于关系的识别.
2．（2020·枣庄市第三中学高一月考）设，，若，则实数a的值可以为（ ）
A． B．0 C．3 D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
先将集合表示出来，由可以推出，则根据集合中的元素讨论即可求出的值.
【详解】
的两个根为3和5，
，
，，
或或或，
当时，满足即可，
当时，满足，，
当时，满足，，
当时，显然不符合条件，
a的值可以是.
故选：ABD.
【点睛】
本题主要考查集合间的基本关系，由推出是解题的关键.
二、单选题
3．（2020·枣庄市第三中学高一月考）已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
分别求出集合，利用可得两个集合端点之间的关系，从而可求实数的取值范围.
【详解】
集合，
集合，
若，则，解得，故选C.
【点睛】
本题考查集合的并以及一元二次不等式的解法，属于中档题.
4．（2020·全国高三其他（文））已知集合，，则的元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
在同一直角坐标系中分别作出与的图形即可求解.
【详解】
在同一直角坐标系中分别作出与的图形如图所示；
观察可知，它们有2个交点，故有2个元素，故选B.
故选：B.
【点睛】
本题考查了集合的基本运算，考查了数形结合，属于基础题.
5．（2020·全国高三其他（文））已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出集合A,B，再求交集即可
【详解】
解：，，
.
故选：C，
【点睛】
此题考查集合的交集运算，考查对数不等式的解法，属于基础题
6．（2020·黑山县黑山中学高三其他（文））已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求出集合，即求.
【详解】
且，的取值为，
.
由，可得，
又是减函数，，
.
.
故选：B.
【点睛】
本题考查集合的运算，属于基础题.
7．（2020·四川内江�高三三模（理））设集合，，则A∩B＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意结合指数函数的性质可得，再由集合交集的运算即可得解.
【详解】
由题意，，
所以.
故选：B.
【点睛】
本题考查了指数函数性质的应用，考查了集合交集的运算，属于基础题.
8．（2020·全国高三其他（理））设全集，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据对数函数单调性求得集合，然后根据补集运算求得结果.
【详解】
由题意，所以．故选D．
【点睛】
本题主要考查通过对数不等式的解法结合集合的补集运算，考查了学生的直观想象及数学运算等数学核心素养．
9．（2020·山西应县一中高二期中（文））已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先分别求出集合，，在根据集合的交集的运算，即可得到，得到答案．
【详解】
由题意，集合， ，
所以．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了集合的交集的运算，以及集合的表示与运算，其中解答中正确求解集合，再根据集合的交集的运算求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
10．（2020·山东省枣庄市第十六中学高一月考）已知全集，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.
【详解】
，则
故选：A
【点睛】
易于理解集补集的概念、交集概念有误.
11．（2020·山东省枣庄市第十六中学高一月考）设，是两个非空集合，定义且，已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求出和，再根据的定义写出运算结果.
【详解】
解：，
，
，
又且，
或.
故选：B.
【点睛】
本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题.
12．（2020·辽阳市第四高级中学高三月考）如图，已知是实数集，集合，，则阴影部分表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
，阴影部分可表示为
，故选B．
13．（2020·全国高三二模（文））已知集合，则集合可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据知道集合中的元素不能有2或6，必含有4和7，则可选出答案.
【详解】
因为集合，
所以集合中的元素不能有2或6，必含有4和7.
故选：C.
【点睛】
本题考查集合的交并补.属于基础题.熟练掌握集合的交并补运算是解本题的关键.
14．（2020·全国高三其他（理））已知，，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先利用对数函数定义域的求法和一元二次不等式的解法化简集合，再根据求解.
【详解】
由题意可得，，
∴或，
∵，
∴.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查集合的基本关系，基本运算以及对数函数定义域的求法，一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
15．（2020·全国高三二模（文））已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
解不等式确定集合，然后由集合运算定义计算．
【详解】
，
，
∴，
∴，
故选：A．
本题考查集合的综合运算，掌握集合运算定义是解题基础，还考查了解分式不等式和一元二次不等式，属于基础题．
16．（2020·全国高三其他（理））已知集合，，则（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先利用一元二次不等式的解法和一元一次不等式的解法化简集合，再利用交集的运算求解.
【详解】
因为或，，
所以或，
故选：C
【点睛】
本题主要考查集合的基本运算以及一元二次不等式的解法和一元一次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
第II卷（非选择题）
三、填空题
17．（2020·全国高一课时练习）下列集合中，不同于另外三个集合的序号是________.
①；②；③；④.
【答案】③
【解析】
【分析】
利用集合的定义即可得到答案.
【详解】
由集合的含义知：，
而集合表示由方程组成的集合，故填③.
故答案：③
【点睛】
本题主要考查集合的定义，属于简单题.
18．（2020·山东省滕州市第二中学高一月考）含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成{a2，a+b，0}，则a2013+b2014＝_____.
【答案】﹣1
【解析】
【分析】
根据集合相等，则元素完全相同，分析参数，列出等式，即可求得结果.
【详解】
因为{a2，a+b，0}，
显然，故，则；
此时两集合分别是，
则，解得或.
当时，不满足互异性，故舍去；
当时，满足题意.
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用集合相等求参数值，属简单题，注意本题的细节讨论.
19．（2020·全国高一课时练习）满足Ü的集合M有______个.
【答案】7
【解析】
【分析】
利用枚举法直接求解即可.
【详解】
由Ü,可以确定集合M必含有元素1,2,且至少舍有元素3,4,5中的一个,因此依据集合M的元素个数分类如下：
含有三个元素：,,；含有四个元素：,,；含有五个元素：,故满足题意的集合M共有7个.
故答案为：7
【点睛】
本题主要考查了集合间的基本关系与枚举法的运用,属于中等题型.
20．（2020·枣庄市第三中学高一月考）设为全集，对集合、，定义运算“*”，．对于集合，，，，则 ___________．
【答案】.
【解析】
【分析】
根据定义求出集合，再次利用定义得出.
【详解】
由于，，，，则，
由题中定义可得，则，
因此，，故答案为.
【点睛】
本题考查集合的计算，涉及新定义，解题的关键在于利用题中的新定义进行计算，考查运算能力，属于中等题.
21．（2020·江苏广陵�扬州中学高三其他）已知全集，集合，，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
本题首先可以根据题意求出以及中所包含的元素，然后根据交集的相关性质即可得出结果.
【详解】
因为全集，，，
所以，，
所以，
故答案为：.
【点睛】
本题考查集合的相关运算，主要考查补集以及交集的相关性质，交集是指两集合中都包含的元素所组成的集合，考查推理能力，是简单题.
四、解答题
22．（2020·全国高一课时练习）已知集合A有三个元素：a－3，2a－1，a2＋1，集合B也有三个元素：0，1，x.
（1）若－3∈A，求a的值；
（2）若x2∈B，求实数x的值；
（3）是否存在实数a，x，使A＝B．
【答案】（1）a＝0或－1；（2）x＝－1；（3）不存在.
【解析】
【分析】
（1）若，则或，再结合集合中元素的互异性，能求出的值．
（2）当取0，1，时，都有，集合中的元素都有互异性，由此能求出实数的值．
（3），若，则，，5，，若，则，，，，由此求出不存在实数，，使．
【详解】
解：（1）集合中有三个元素：，，，，
或，
解得或，
当时，，，，成立；
当时，，，，成立．
的值为0或．
（2）集合中也有三个元素：0，1，．，
当取0，1，时，都有，
集合中的元素都有互异性，，，
．
实数的值为．
（3），
若，则，，5，，
若，则，，，，
不存在实数，，使．
【点睛】
本题主要考查元素与集合的关系、集合相等的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
23．（2020·全国高一课时练习）（1）写出集合{a，b，c，d}的所有子集；
（2）若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有多少个子集？多少个真子集？
【答案】（1）见解析；（2）有个子集，个真子集.
【解析】
【分析】
（1）由题意结合子集的概念，按照子集元素个数从少到多逐步写出即可得解；
（2）由题意结合集合元素个数与子集个数的关系即可得解.
【详解】
（1）集合的所有子集有：、、、、、、、、、、、、、、、；
（2）若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有个子集，个真子集.
【点睛】
本题考查了集合子集的求解及集合元素个数与子集个数关系的应用，属于基础题.
24．（2020·全国高一课时练习）指出下列集合之间的关系：
（1），；
（2），；
（3），；
（4）是等边三角形，是三角形；
（5），.
【答案】（1）Ü；（2）无包含关系；（3）；（4）Ü；（5）Ü.
【解析】
【分析】
根据集合的关系依次判断即可.
【详解】
（1）因为，所以Ü；
（2）由于集合为数集，集合为点集，故无包含关系；
（3）根据题意均表示偶数，故；
（4）由于等边三角形是三角形中的特殊三角形，故Ü；
（5）由于，故Ü.
【点睛】
本题考查集合的关系，是基础题.
25．（2020·全国高一课时练习）已知集合，，且，求实数的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】
当时，，解得，当时，，无解，由此可以得出实数的取值范围.
【详解】
集合，，且，
当时，，解得；
当时，，无解.
综上，实数的取值范围为.
【点睛】
本题考查集合包含关系的判断及应用，应分类讨论集合是否为空集，属于基础题.
26．（2020·上海高一开学考试）已知全集，集合，.
（1）求；
（2）若集合，满足，，求实数的取值范围.
【答案】（1）或；（2）
【解析】
【分析】
（1）由题，再根据集合的补集与交集的定义求解即可；
（2）由得，由得，再根据包含关系求解即可．
【详解】
解：（1）由题，或，，或；
（2）由得，则，解得，
由得，则，解得，
∴实数的取值范围为．
【点睛】
本题主要考查集合的基本运算以及集合的包含关系，属于基础题．
27．（2020·浙江高一课时练习）设集合，．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围；
（3）若全集，，求实数的取值范围．
【答案】（1）或（2）（3）
【解析】
【分析】
（1）先求得集合A，由，得，将代入集合B的方程中解得的值，再代回集合B中验证是否满足条件，得实数的值；
（2）由得，分，集合中只有一个元素，集合中有两个元素，三种情况分别求得实数的取值范围，得解；
（3）由，可知，列出关于的不等式组，解之得实数的取值范围.
【详解】
（1）由得，因为，所以，
所以，
整理得，解得或．
当时，，满足；
当时，，满足；
故的值为或．
（2）由题意，知．
由，得．
当集合时，关于的方程没有实数根，
所以，即，解得．
当集合时，若集合中只有一个元素，则，
整理得，解得，
此时，符合题意；
若集合中有两个元素，则，
所以，无解．
综上，可知实数的取值范围为．
（3）由，可知，
所以，所以．
综上，实数的取值范围为．
故得解.
【点睛】
本题考查集合的交、并、补运算，由交、并、补运算的结果得出两集合间的关系，是解决本类问题的关键，属于中档题.
28．（2020·山东省枣庄市第十六中学高一月考）已知集合，．
1当时，求；
2若，求实数k的取值范围．
【答案】(1);(2).
【解析】
【分析】
（1）当时，写出两集合，然后利用数轴求；（2）根据条件可知，这样利用数轴转化为不等式组求解.
【详解】
（1）当时，，则．
（2） ，则．
（1）当时，，解得；
（2）当时，由 得，即，解得．
综上， ．
【点睛】
本题重点考查集合的交并补的运算，以及利用集合的关系求参数取值范围问题，意在考查基础知识，属于基础题型.
专题02 充分条件与必要条件
一、单选题
1．（2020·山东潍坊�高三其他）设i为虚数单位，，“复数是纯虚数“是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
先化简z，求出a，再判断即可.
【详解】
复数是纯虚数，
则，，
是的必要不充分条件，
故选：B.
【点睛】
本小题主要考查根据复数的类型求参数，考查充分、必要条件的判断，属于基础题.
2．（2020·枣庄市第三中学高一月考）“”是“”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
设A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＜,或x＞0}，判断集合A，B的包含关系，根据“谁小谁充分，谁大谁必要”的原则，即可得到答案．
【详解】
设A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＜,或x＞0}，
∵AB，
故“x＞0”是“”成立的充分不必要条件．
故选A．
【点睛】
本题考查的知识点是必要条件，充分条件与充要条件判断，其中熟练掌握集合法判断充要条件的原则“谁小谁充分，谁大谁必要”，是解答本题的关键．
3．（2020·枣庄市第三中学高一月考）若，则“”是 “”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.
【详解】
当时，，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.
【点睛】
易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.
4．（2020·全国高三其他（理））已知为实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据充分条件，必要条件的定义以及不等式的性质即可求出．
【详解】
因为等价于，所以
当时，显然成立，
当时，不一定有，还有可能成立.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，以及不等式的性质应用，属于基础题．
5．（2020·山东省滕州市第二中学高一月考）一元二次方程ax2+2x+1=0（a≠0）有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ ）
A．a <0 B．a >0 C．a <-1 D．a >1
【答案】C
【解析】
分析：求解其充要条件，再从选项中找充要条件的真子集．求解充要条件时根据题设条件特点可以借助一元二次根与系数的关系的知识求解．
解答：解：一元二次方程ax2+2x+1=0，（a≠0）有一个正根和一个负根的充要条件是x1×x2=＜0，
即a＜0，
而a＜0的一个充分不必要条件是a＜-1
故应选 C
点评：本考点是一元二次方程分布以及充分不必要条件的定义．本题解决的特点是先找出其充要条件，再寻求充分不必要条件．
6．（2020·辽宁省本溪满族自治县高级中学高三其他（理））设函数f（x）＝cos2x+bsinx，则“b＝0”是“f（x）的最小正周期为π”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用正弦型函数的性质的应用和四个条件的应用求出结果．
【详解】
当时，函数，所以函数的最小正周期为，
，
当时，函数的最小正周期为π和2π的最小公倍数，即为2π，
当函数的最小正周期为π时，可得，
故函数，则“”是“f（x）的最小正周期为π”的充要条件．
故选：C
【点睛】
本题考查的是三角函数的性质和充要条件的判定，属于基础题.
7．（2020·辽阳市第四高级中学高三月考）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
“”可得：，即,必有，充分性成立；
若“”未必有,必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要，故选A.
8．（2020·全国高三其他（文））“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】
利用作差法再结合充分条件，必要条件的定义求解.
【详解】
，
而的符号不能判定．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查充分条件，必要条件以及不等式知识，属于基础题．
9．（2020·四川高二期末（文））已知条件；条件：直线与圆相切，则是的（ ）
A．充分必要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
结合直线和圆相切的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】
若直线与圆相切，
则圆心到直线的距离，即，
，即，
∴推不出，而而以推出，
是的必要不充分条件．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线与圆相切的等价条件是解决本题的关键，属于基础题.
10．（2020·浙江金华�高二期末）已知，为实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
首先根据得到，根据得到或，再根据选项即可得到答案.
【详解】
由得到，
由，即，得到或.
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
【点睛】
本题主要考查充分不必要条件的判断，属于简单题.
11．（2020·黑龙江南岗�哈师大附中高二月考）下列结论错误的是（ ）
A．命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”
B．“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分条件
C．命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为真命题
D．命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0或n≠0”
【答案】C
【解析】
【分析】
写出原命题的逆否命题，可判断，根据充要条件的定义，可判断；根据方程有实根，即可判断C．写出原命题的否命题，可判断．
【详解】
解：命题“若，则”的逆否命题为“若，则”，故A正确；
“” “或”，故“”是“”的充分不必要条件，故B正确；
对于，命题“若，则方程有实根”的逆命题为命题“若方程有实根，则，方程有实根时，，故C错误．
命题“若，则且”的否命题是“若．则或”，故正确；
故选：C．
【点睛】
本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了四种命题，命题的否定，充要条件等知识点，属于中档题．
12．（2020·浙江杭州�高三三模）“”是“函数的最小值等于2”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件 D．充要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
利用绝对值三角不等式得到充分性，取时也满足得到不必要，得到答案，
【详解】
当时，，
当时等号成立，充分性成立；
当时，，
当时等号成立，必要性不成立；
故选：A.
【点睛】
本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力，属于基础题.
13．（2019·重庆大足�高二期末（理））设，则“”是“直线与直线相交”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充他条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
求出两直线相交的充要条件是，再判断即可.
【详解】
解：直线与直线相交的充分条件是，即，
由于是的充分不必要条件，
故选：A.
【点睛】
利用判断充分必要性，考查了直线相交的判断，基础题.
14．（2020·全国高一课时练习）设甲是乙的必要条件；丙是乙的充分但不必要条件，那么（ ）
A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C．丙是甲的充要条件
D．丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，要找到丙是甲的什么条件，就观察丙能不能推出甲，甲能不能推出丙即可，利用中间与乙的关系来分析
【详解】
甲是乙的必要条件，所以乙是甲的充分条件，即乙甲； 丙是乙的充分但不必要条件，则丙乙，乙丙，显然丙甲，甲丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件，故选A
【点睛】
本题考查充分条件和必要条件的知识，需掌握充分及必要条件与命题之间的联系。
15．（2020·黑山县黑山中学高三其他（文））已知为正数，则“”是“ ”的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要
【答案】C
【解析】
【分析】
根据充分必要条件的定义判断．
【详解】
时，，∴，是充分的；
时，首先有，
又时，，时，，∴，
∴时，一定有，也是必要的，
∴应是充要条件．
故选：C．
【点睛】
本题考查充分必要条件的判断，掌握充分必要条件的定义是解题基础．
16．（2020·全国高三其他（理））已知，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】
借助函数在，上的单调性可判断．
【详解】
设函数，显然函数在，上分别单调递减和单调递增．
在时也可能有，反之也可能，
∴由得不到成立；由也得不到成立．
故选：D．
【点睛】
本题考查充分必要条件的概念，通过不等式，结合充分必要条件，考查了学生的逻辑推理能力．
17．（2020·全国高一课时练习）设全集为，集合、是的两个非空子集，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
利用，判断互相之间的关系.
【详解】
因为，
则与等价，
所以正确选项为C.
【点睛】
本题主要考查集合交集、并集、补集的定义与运算，属于中档题.
18．（2020·湖北高一期末）设锐角的三个内角分别为角A、B、C，那么“”是“”成立的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
由诱导公式推导出“” “”，从而“”是“”成立的充分必要条件．
【详解】
解：设锐角的三个内角分别为角，，，
“” “” “ ” “”，
“ ” “ ” “ ” “”，
“”是“”成立的充分必要条件．
故选：．
【点睛】
本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查诱导公式、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.
19．（2020·天山�新疆实验高二期末）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
“a＞1”⇒“”，“”⇒“a＞1或a＜0”，由此能求出结果．
【详解】
a∈R，则“a＞1”⇒“”，
“”⇒“a＞1或a＜0”，
∴“a＞1”是“”的充分非必要条件．
故选A．
【点睛】
充分、必要条件的三种判断方法．
1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．
2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．
20．（2020·安徽相山�淮北一中高三月考（理））已知非零向量，满足，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解:
【答案】C
【解析】
【分析】
根据向量的数量积运算，由向量的关系，可得选项.
【详解】
，
，∴等价于，
故选：C.
【点睛】
本题考查向量的数量积运算和命题的充分、必要条件，属于基础题.
21．（2020·湖北郧阳�高二月考）已知等比数列的公比为，前项和为，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】
本题先将两个条件化简，再判断是的什么条件即可
【详解】
解： ，化简：即，
是否成立是由与是否同号决定，
所以：，充分性不满足；
，必要性不满足.
故选：D
【点睛】
本题考查等比数列相关运算以及判断是的什么条件，是中档题.
22．（2020·浙江高一课时练习）在下列三个结论中，正确的有（ ）
①x2>4是x3<－8的必要不充分条件；
②在ABC中，AB2＋AC2＝BC2是ABC为直角三角形的充要条件；
③若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件.
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
【答案】C
【解析】
【分析】
①，证明x2>4是x3<－8的必要不充分条件.所以该命题正确；
②，在ABC中，AB2＋AC2＝BC2是ABC为直角三角形的充分不必要条件，所以该命题错误；
③,证明“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件，所以该命题正确.
【详解】
①，x2>4即或，x3<－8即，因为或成立时，不一定成立，所以x2>4是x3<－8的不充分条件；因为成立时，或一定成立，所以x2>4是x3<－8的必要条件.即x2>4是x3<－8的必要不充分条件.所以该命题正确.
②， AB2＋BC2＝AC2成立时，ABC为直角三角形一定成立；当ABC为直角三角形成立时，AB2＋BC2＝AC2不一定成立，所以在ABC中，AB2＋AC2＝BC2是ABC为直角三角形的充分不必要条件，所以该命题错误.
③,即判断“”是“a2＋b2=0”的什么条件，由于a2＋b2=0即，所以“”是“a2＋b2=0”的充要条件，所以“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件，所以该命题正确.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查充分必要条件的判定，考查逆否命题和原命题的等价性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
二、多选题
23．（2020·全国高一开学考试）对任意实数，，，给出下列命题，其中真命题是（ ）
A．“”是“”的充要条件 B．“”是“”的充分条件
C．“”是“”的必要条件 D．“是无理数”是“是无理数”的充要条件
【答案】CD
【解析】
【分析】
根据，时，不一定成立判断A错误；由不等式性质知时，不成立判断B错误；由“”时一定有“”成立判断C正确；根据无理数的概念知“是无理数”是“是无理数”的充要条件正确.
【详解】
对于A，因为“”时成立，，时，不一定成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故A错，对于B，，，时，；，，时，，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错，对于C，因为“”时一定有“”成立，所以“”是“”的必要条件，C正确；对于D“是无理数”是“是无理数”的充要条件，D正确.
故选：CD
【点睛】
本题主要考查了充分条件，必要条件，充分必要条件，属于中档题.
第II卷（非选择题）
三、填空题
24．（2020·江苏高三其他）已知曲线：，直线：，则“”是“直线与曲线相切”的_______条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分又不必要”之一）.
【答案】充分不必要
【解析】
【分析】
由已知可得，曲线与直线均过点，若直线与曲线相切，设切点的横坐标为，写出过切点的切线方程，利用待定系数法明确的取值，再结合充分必要性作出判断
【详解】
，直线：过点，曲线也过点，
若直线与曲线相切，设切点的横坐标为，
则切线为，
则，解得或，
所以“”是“直线与曲线相切”的充分不必要条件，
故答案为：充分不必要
【点睛】
本题考查了充要条件的判断，涉及直线与三次函数相切问题，考查了计算能力与转化能力，属于中档题.
25．（2020·辽阳市第四高级中学高三月考）已知，函数的值恒为负，则是的______条件.
【答案】充分不必要
【解析】
【分析】
由成立，分析可知根据二次函数的图象和性质可知成立，反之可举例知成立推不出成立.
【详解】
当时，且，
所以函数的值恒为负；
反过来，函数的值恒为负不一定有，如当时，函数的值恒为负.
所以是的充分不必要条件
故答案为：充分不必要
【点睛】
本题主要考查了充分条件，必要条件，二次函数的图像与性质，属于中档题.
26．（2020·全国高一课时练习）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的最大值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
由得出的范围，再根据必要不充分性，得出两个范围的包含关系，从而得出结果．
【详解】
由得，
“”是“”的必要不充分条件，
，
．
故答案为．
【点睛】
本题考查充分性和必要性，利用在小范围可以推出在大范围，在大范围不能推出在小范围来解决问题，是基础题．
27．（2020·全国高一课时练习）设计如图所示的三个电路图，条件“开关闭合”；条件“灯泡亮”，则是的充分不必要条件的电路图是________.
【答案】（1）
【解析】
【分析】
根据充分条件和必要条件的定义结合物理知识判断即可.
【详解】
对于（1），当开关闭合时，灯泡亮；当灯泡亮时，开关、至少一个闭合.
是的充分不必要条件；
对于（2），当开关闭合时，灯泡亮；当灯泡亮时，开关闭合，是的充要条件；
对于（3），当开关闭合且不闭合时，灯泡不亮；当灯泡亮时，开关必闭合，是的必要不充分条件.
故答案为：（1）.
【点睛】
本题考查充分不必要条件的判断，考查充分条件和必要条件定义的应用，考查推理能力，属于中等题.
28．（2020·江苏广陵�扬州中学高三其他）“”是“”的_____条件．
【答案】充要
【解析】
【分析】
利用指数函数的单调性结合充分条件、必要条件的定义判断即可得出结论.
【详解】
充分性：由于指数函数为上的增函数，由，可得，充分性成立；
必要性：由于指数函数为上的增函数，由，可得，必要性成立.
综上所述，“”是“”的充要条件.
故答案为：充要.
【点睛】
本题考查充要条件的判断，考查了指数函数单调性的应用，属于基础题.
29．（2020·全国高一课时练习）设全集，有下面四个命题：①；②；③；④, 其中是“”的充要条件的命题序号是__________．
【答案】①②③
【解析】
【分析】
根据集合间的运算与性质判断是否是“”的充要条件.
【详解】
由集合的运算性质，；；,所以①②③正确，④，所以正确答案为①②③.
【点睛】
是的充要条件可以得到：；
是的充分件可以得到：；
是的必要条件可以得到：.
30．（2020·全国高一课时练习）以下有四种说法：
①“a>b”是“a2>b2”的充要条件；
②“A∩B＝B”是“B＝∅”的必要不充分条件；
③“x＝3”的必要不充分条件是“x2－2x－3＝0”；
④“m是实数”的充分不必要条件是“m是有理数”．
其中正确说法的序号是________．
【答案】②③④
【解析】
如2>－4，但22<(－4)2，故①错；②正确；x＝3可推出x2－2x－3＝0成立，反之则不一定成立，所以③正确；“m是有理数”可以推出“m是实数”，反之不一定成立，所以④也正确．
四、解答题
31．（2020·全国高一课时练习）求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
【答案】见解析．
【解析】
试题分析：充分性：若，则，且，方程方程有一正根和一负根；必要性：若一元二次方程有一正根和一负根，则，，即可得结论.
试题解析： (1)必要性：因为方程有一正根和一负根，所以为方程的两根)，所以ac<0.
(2)充分性：由ac<0可推得Δ＝b2－4ac>0及x1x2＝<0(x1，x2为方程的两根)．所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
32．（2020·全国高一课时练习）已知都是非零实数，且，求证：的充要条件是.
【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据充要条件的定义进行证明即可．
【详解】
（1）必要性：由，得，即，
又由，得，所以.
（2）充分性：由及，
得，即.
综上所述，的充要条件是.
【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的证明，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．
33．（2020·浙江高一课时练习）命题；命题
（1）若时，在上恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若p是q的充分必要条件，求出实数a，b的值
【答案】（1）；（2），．
【解析】
【分析】
（1）若在上恒成立，则；
（2）由题意可知的解集是
【详解】
（1）若在上恒成立，
则，
所以有，
所以实数的范围为；
（2）或，
根据条件的解集是，
即方程的二根为2和3，
根据韦达定理有，
所以，．
【点睛】
（1）二次函数图象与x轴交点的横坐标、二次不等式解集的端点值、一元二次方程的解是同一个量的不同表现形式．
（2）二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．有关二次函数的问题，利用数形结合的方法求解，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．
34．（2020·浙江高一课时练习）已知，.
（1）是否存在实数，使是的充要条件？若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由；
（2）是否存在实数，使是的必要条件？若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）不存在实数，使是的充要条件
（2）当实数时，是的必要条件
【解析】
【分析】
（1）解不等式得到集合；再由是的充要条件，可得，进而可得出结果；
（2）要使是的必要条件，则 ，然后讨论和两种情况，即可得出结果.
【详解】
（1）.
要使是的充要条件，则，即 此方程组无解，
则不存在实数，使是的充要条件；
（2）要使是的必要条件，则 ，
当时，，解得；
当时，，解得
要使 ，则有，解得，所以，
综上可得，当实数时，是的必要条件．
【点睛】
本题主要考查集合之间的关系，以及充分条件和必要条件，根据题中条件，确定集合之间的关系，即可求解，属于基础题型.
专题03 简单的逻辑联结词，全称量词与存在量词
一、单选题
1．（2020·山东省滕州市第二中学高一月考）命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据全称命题的否定为特称命题即可判断；
【详解】
解：命题，为全称命题，全称命题的否定为特称命题，
故其否定为
故选：A
【点睛】
本题考查全称命题的否定，属于基础题.
2．（2020·山西应县一中高二期中（文））命题“对任意，都有”的否定是（ ）
A．对任意，都有 B．对任意，都有
C．存在，使得 D．存在，使得
【答案】D
【解析】
【分析】
根据全称命题的直接得到其否定命题.
【详解】
解：命题“对任意，都有”的否定是存在，使得.
故选：D.
【点睛】
本题考查全称命题的否定，是基础题.
3．（2020·山东省枣庄市第十六中学高一月考）命题“，”的否定是
A．不存在，
B．存在，
C．对任意的，
D．，
【答案】D
【解析】
【分析】
利用全称命题的否定是特称命题写出结果判断即可．
【详解】
解：因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题“对任意的，”的否定是：存在，．
故选：D．
【点睛】
本题考查命题的否定，全称命题和特称命题，属于基础题．
4．（2020·山东省枣庄市第十六中学高一月考）已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
原命题等价于恒成立，故即可，解出不等式即可.
【详解】
因为命题“，使”是假命题，所以恒成立，所以，解得，故实数的取值范围是．
故选B．
【点睛】
对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数．而二次函数的恒成立问题，也可以采取以上方法，当二次不等式在R上大于或者小于0恒成立时，可以直接采用判别式法.
5．（2020·辽阳市第四高级中学高三月考）命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据“全称命题”的否定一定是“特称命题”判断.
【详解】
“全称命题”的否定一定是“特称命题”，
命题“”的否定是，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查命题的否定，还考查理解辨析的能力，属于基础题.
6．（2020·全国高三其他（理））已知命题，总有，则为（ ）
A．，使得 B．，使得
C．，总有 D．，总有
【答案】B
【解析】
【分析】
根据全称命题与存在性命题的互为否定关系，准确改写，即可求解.
【详解】
根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“，总有”的否定为：“，使得”.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了含有一个量词的否定，其中解答中熟记全称命题与存在性命题的关系，准确改写是解答的关键，属于容易题.
7．（2020·全国高三二模（理））命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】
【分析】
根据命题的否定的定义求解．
【详解】
命题“，”的否定是，.
故选：D.
【点睛】
本题考查命题的否定，命题的否定是否定命题的结论，同时把全称量词与存在量词互换．
8．（2019·重庆大足�高二期末（理））命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】
【分析】
特称命题的否定是全称命题
【详解】
因为特称命题的否定是全称命题
所以命题“，”的否定是
“，”
故选：D
【点睛】
本题考查的是特称命题的否定，较简单.
9．（2020·全国高一课时练习）设，，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
不能推出，反过来，若则成立，故为必要不充分条件.
10．（2020·四川省宜宾市第四中学校高二月考（理））以下三个命题：
①“”是“”的充分不必要条件；
②若为假命题，则，均为假命题；
③对于命题：，使得；则是：，均有.
其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
【答案】B
【解析】
【分析】
①求出不等式的解集然后再判断两集合的关系，从而得出结论.
②用联结的两个命题，只要有一个为假则这个复合命题即为假.
③根据特称命题的否定为全称命题判断.
【详解】
①不等式，解得或，
Ü
所以，，“”是“”的充分不必要条件.①正确；
②若为假命题，则，至少有一个为假，故②错误；
③命题：使得的否定为，均有.③正确，
故选B.
【点睛】
本题考查充分必要条件的判断，简单逻辑联结词及含有一个量词的命题的否定，属于基础题．
11．（2020·全国高一课时练习）命题“已知，都有”是真命题，则实数的取值范围是 （ )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
都有是真命题，可转化成，求出，从而得到.
【详解】
由已知，得，要使，都有成立，只需，所以正确选项为C.
【点睛】
全称命题中与不等式的交汇问题，经常转化成研究不等式的恒成立问题.
12．（2020·全国高一课时练习）设是奇数集，是偶数集，则命题“，”的否定是 （ )
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【解析】
【分析】
全称命题的否定为特称命题，排除C,D，的否定为.
【详解】
“，”即“所有，都有”，它的否定应该是“存在，使”，所以正确选项为A.
【点睛】
本题考查全称命题的否定，注意任意要改成存在，考查对命题否定的理解.
13．（2020·全国高一课时练习）关于命题“当时，方程没有实数解”，下列说法正确的是 （ )
A．是全称量词命题，假命题 B．是全称量词命题，真命题
C．是存在量词命题，假命题 D．是存在量词命题，真命题
【答案】A
【解析】
【分析】
对的理解是取遍区间的所有实数，当时方程有解，从而判断原命题为假命题.
【详解】
原命题的含义是“对于任意，方程都没有实数解”，但当时，方程有实数解，故命题是含有全称量词的假命题，所以正确选项为A.
【点睛】
判断命题是特称命题还是全称命题，要注意补上省略词，同时注意判断命题为假命题时，只要能举出反例即可.
14．（2020·全国高一课时练习）下列命题中，是真命题的全称量词命题的是 （ )
A．对于实数，有
B．梯形两条对角线相等
C．有小于1的自然数
D．函数的图象过定点
【答案】D
【解析】
【分析】
由于命题A,B为假命题，故排除A,B，选项C含存在量词，故排除C.
【详解】
选项A是全称量词命题，，故A是假命题；B是假命题；“存在小于1的自然数”，C是存在量词命题；D项，对于所有，函数的图象过定点，所以正确选项为D.
【点睛】
本题考查含全称量词命题真假性判断，注意是必需同时考虑两个条件.
15．（2020·全国高一课时练习）命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是 （ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】
【分析】
原命题为特称命题，其否定为全称命题，故排除B,D；绝对值是正数的否定是.
【详解】
命题“有些实数的绝对值是正数”的否定应该是“所有实数的绝对值都不是正数”，所以正确选项为C.
【点睛】
本题考查特称命题的否定，注意在写命题的否定时，存在要改成任意.
16．（2020·全国高一课时练习）下列命题含有全称量词的是 （ )
A．某些函数图象不过原点 B．实数的平方为正数
C．方程有实数解 D．素数中只有一个偶数
【答案】B
【解析】
【分析】
对四个选项的命题进行一一判断，其中“实数的平方为正数”， 省略了全称量词“所有的”.
【详解】
“某些函数图象不过原点”即“存在函数，其图象不过原点”；“方程有实数解”即“存在实数，使”；“素数中只有一个偶数”即“存在一个素数，它是偶数”，这三个命题都是存在量词命题，“实数的平方为正数”即“所有的实数，它的平方为正数”，是全称量词命题，其省略了全称量词“所有的”，所以正确选项为B.
【点睛】
本题考查含有一个量词的命题，注意含全称量词的命题，经常会把全称量词省略，判断命题真假时要还原补上.
17．（2020·全国高一开学考试）已知命题,，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【解析】
【分析】
根据全称命题与特称命题互为否定的关系，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意，根据全称命题与特称命题的关系，可得命题,，
则，，故选A．
【点睛】
本题主要考查了含有一个量词的否定，其中解答中熟记全称命题与特称性命题的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
18．（2020·全国高三课时练习（理）） 给出下列命题：
①∀x∈R，不等式x2＋2x>4x－3均成立；
②若log2x＋logx2≥2，则x>1；
③“若a>b>0且c<0，则”的逆否命题；
④若p且q为假命题，则p，q均为假命题．
其中真命题是( )
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
【答案】A
【解析】
①中不等式可表示为(x－1)2＋2>0，恒成立；②中不等式可变为log2x＋≥2，得x>1；③中由a>b>0，得，而c<0，所以原命题是真命题，则它的逆否命题也为真；④由p且q为假只能得出p，q中至少有一个为假，④不正确．
19．（2020·安徽马鞍山�高三三模（文））命题：，，则命题是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】
【分析】
原命题是全称命题，其否定为存在性量词命题，故按规则可写出原命题的否定.
【详解】
因为：，，故：，.
故选：C.
【点睛】
全称命题的一般形式是：，，其否定为.存在性量词命题的一般形式是，，其否定为.
20．（2020·湖南怀化�高二期末）下列有关命题的说法正确的是（ ）
A．若命题：，，则命题：，
B．“”的一个必要不充分条件是“”
C．若，则
D．，是两个平面，，是两条直线，如果，，，那么
【答案】A
【解析】
【分析】
对选项逐个分析，对于A项，根据特称命题的否定是全称命题，得到其正确；对于B项，根据充分必要条件的定义判断正误；对于C项根据向量垂直的条件得到其错误，对于D项，从空间直线平面的关系可判断正误.
【详解】
对于A，命题：，，则命题：，，A正确；
对于B，当时，成立，
所以“”是“”的充分条件，所以B错误；
对于C，且两向量反向时 成立， 不成立C错误；
对于D，若，，，则，的位置关系无法确定，故D错误.
故选：A.
【点睛】
该题考查的是有关选择正确命题的问题，涉及到的知识点有含有一个量词的命题的否定，充分必要条件的判断，空间直线和平面的关系，属于简单问题.
21．（2020·湖北黄石港�黄石二中高二月考（理））下列三个命题：
①“”是“”的充分不必要条件；
②设，若，则或；
③命题，使得，则，都有.
其中真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】
【分析】
对于①，根据不等式的性质可判断；对于②，运用原命题与其逆否命题真假一致，可判断；对于③由特称命题的否定为全称命题可判断.
【详解】
解：由可知，反之，由不一定得到，因此是的充分不必要条件，①是真命题；
因为原命题的逆否命题“若且，则”为真命题，②是真命题；
由特称命题的否定为全称命题，③是真命题.
故选：D.
【点睛】
本题考查命题的真假判断，运用到不等式的性质，原命题与逆否命题真假一致，以及特称命题与全称命题的关系，属于基础题.
二、多选题
22．（2020·全国高一开学考试）下面命题正确的是（ ）
A．“”是“”的 充 分不 必 要条件
B．命题“若,则”的 否 定 是“ 存 在,则”.
C．设,则“且”是“”的必要而不充分条件
D．设,则“”是“”的必要 不 充 分 条件
【答案】ABD
【解析】
【分析】
选项A:先判断由,能不能推出,再判断由,能不能推出,最后判断本选项是否正确；
选项B: 根据命题的否定的定义进行判断即可.
选项C:先判断由且能不能推出,然后再判断由能不能推出且,最后判断本选项是否正确；
选项D:先判断由能不能推出,再判断由能不能推出,最后判断本选项是否正确.
【详解】
选项A:根据反比例函数的性质可知：由,能推出,但是由,不能推出,例如当时,符合,但是不符合,所以本选项是正确的；
选项B: 根据命题的否定的定义可知：命题“若,则”的 否 定 是“ 存 在,则”.所以本选项是正确的；
选项C:根据不等式的性质可知：由且能推出,本选项是不正确的；
选项D: 因为可以等于零,所以由不能推出,再判断由能不能推出,最后判断本选项是否正确.
故选：ABD
【点睛】
本题考查了充分性和必要性的判断,考查了命题的否定,属于基础题.
第II卷（非选择题）
三、填空题
23．（2020·枣庄市第三中学高一月考）若命题“使”是假命题，则实数的取值范围为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
原命题等价于命题“，”是真命题
【详解】
由题意得若命题“”是假命题，
则命题“，”是真命题，
则需,故本题正确答案为．
【点睛】
本题主要考查全称量词与存在量词以及二次函数恒成立的问题．属于基础题．
24．（2020·全国高一课时练习）已知下列命题①“实数都大于0”的否定是“实数都小于或等于0”；②“三角形外角和为360度”是含有全称量词的真命题；③“至少存在一个实数，使得” 是含有存在量词的真命题； ④“能被3整除的整数，其各位数字之和也能被3整除”是全称量词命题。其中正确的有_________.
【答案】②③④
【解析】
【分析】
命题①是全称命题，其否定为特称命题，所以应成写“存在实数不大于0”，故①错误；其余都是正确的.
【详解】
①“实数都大于0”的含义是“所有实数都大于0”，所以它的否定应该是“存在实数不大于0”，所以①错误；②“三角形外角和为360度”的含义是“所有三角形外角和为360度”，所以②正确；同理 ③④ 也正确.所以答案为“②③④”.
【点睛】
全称命题的否定为特称命题，注意体现把任意改写成存在.
25．（2020·全国高一课时练习）“，使得方程有两个不同的实数解”是真命题，则集合_________；
【答案】
【解析】
【分析】
求出使方程有两个不同的实数解的的取值范围，从而得到集合.
【详解】
方程有两个不同的实数解，当时，方程只有一个解，不符合条件，所以且，解得，所以答案为.
【点睛】
本题考查方程有两个不同解问题，由于方程没有明确是二次方程，所以对实数分两种情况讨论，即或.
26．（2020·全国高一课时练习）“，都有恒成立”是真命题，则实数的取值范围是____________；
【答案】
【解析】
【分析】
全称命题为直命题，等价于，解得.
【详解】
因为，即的最小值为1，要使“恒成立”，只需，即，所以答案为“”.
【点睛】
在恒成立等价于（）.
27．（2020·全国高一课时练习）命题“有些一元一次不等式的解集是空集”是__________；（全称量词命题、存在量词命题）
【答案】存在量词命题
【解析】
【分析】
有些是表示存在的意思，所以命题是含存在量词命题.
【详解】
原命题即是“存在一元一次不等式的解集是空集”，所以答案为“存在量词命题”.
【点睛】
命题中常见的存在量词有：有的、有些、存在等词语.
28．（2020·武威第六中学高三其他（理））已知下列命题：①命题“”的否定是“”；②已知为两个命题，若“”为假命题，则“为真命题”；③在中，“”是“”的既不充分也不必要条件；④“若xy=0，则x=0且y=0”的逆否命题为真命题.其中，所有真命题的序号是__________.
【答案】②
【解析】
【分析】
根据全称命题的否定的求解，或且非命题真假的判断，正弦定理以及逆否命题的求解，对选项进行逐一分析，则问题得解.
【详解】
对①：“”的否定是“”，故①是假命题；
对②：若“”为假命题，则均为假命题，故“为真命题”；
对③：在中，“”等价于，由正弦定理，其又等价于，
故“”是“”的充要条件，故③是假命题；
对④：“若xy=0，则x=0且y=0”是假命题，故其逆否命题也是假命题，故④错误；
综上所述，真命题的序号是②.
故答案为：②.
【点睛】
本题考查命题真假的判断，涉及全称命题的否定的求解，复合命题真假的判断，充要条件的求解，属综合基础题.
29．（2016·河北高二（理））用含有逻辑联结词的命题表示命题““的否定是_____________．
【答案】且
【解析】
试题分析：根据逻辑联结词“或”“且”“非”的含义可知，命题““表示“或”所以命题的否定是且．
考点：逻辑联结词．
【方法点晴】本题主要考查了简易逻辑，其中解答中涉及到逻辑联结词“或”“且”“非”的含义和意义，及联结词“或”和联结词“且”互为否定关系，解答中对于命题““表示的含义为“或”是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化的思想方法，属于中档试题．
30．（2018·江西高二期末（理））若,则_____(用适当的逻辑联结词“且”“或”“非”)
【答案】且
【解析】
由可得．即且．故应填“且”．
答案：且
31．（2016·陕西高二期末（文））若ab=0，则a=0 b=0．（用适当逻辑连接词“或”、“且”、“非”填空）．
【答案】或
【解析】试题分析：由ab=0，可得a=0或b=0，所以填或
考点：逻辑用语
32．（2016·陕西高二期末（文））命题：“方程x2=2的解是”中使用了逻辑联结词 ．（填写“或、且、非”）
【答案】或
【解析】
试题分析：即x=或x=﹣，即可得出．
解：即x=或x=﹣，因此使用了逻辑联结词“或”．
故答案为：或．
考点：复合命题．
四、解答题
33．（2020·全国高一课时练习）判断下列语句是否为命题，若是，请判断真假并改写成“若，则”的形式.
（1）垂直于同一条直线的两条直线平行吗？
（2）三角形中，大角所对的边大于小角所对的边；
（3）当是有理数时，都是有理数；
（4）；
（5）这盆花长得太好了！
【答案】（2）（3）为命题，（2）为真命题，改写成“若，则”的形式是：在中，所对的边为，若，则.（3）为假命题，改成“若，则”的形式是：若为有理数，则为有理数.
【解析】
【分析】
能判断真假的陈述句是命题，从而可得（2）（3）为命题，找出两者的前提和结论，从而可得它们“若，则”的形式．
【详解】
（1）为疑问句，（5）为感叹句，两者均不是命题，
（4）为一个和式，无法判断其真假，故也不是命题.
（2）为命题，且为真命题，
改成“若，则”的形式是：在中，所对的边为，若，则.
（3）为命题，且为假命题，比如的和为有理数，但它们均为无理数.
改成“若，则”的形式是：若为有理数，则为有理数.
【点睛】
本题考查命题的判断以及命题的结构，注意可以判断真假的陈述句才是命题，命题由前提和结论构成，本题属于基础题.
34．（2020·全国高一课时练习）已知集合，集合，如果命题“，使得”为假命题，求实数的取值范围.
【答案】
【解析】
【分析】
由命题“，使得”为假命题，可得“，”为真命题，显然集合不会为空集，对集合要分成空集或不为空集两种情况讨论.
【详解】
命题“，使得”为假命题，则其否定命题“，”为真命题
当时，集合，符合
当时，因为，所以，
得对于恒成立
所以，则
综上，实数的取值范围为.
【点睛】
由于集合是可变的，所以集合隐含着分类讨论的思想，即或.
35．（2020·全国高一课时练习）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，然后写出对应的否定命题，并判断真假:
(1)不论取何实数,关于的方程必有实数根；
(2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；
(3)某些梯形的对角线互相平分；
(4)函数图象恒过原点.
【答案】见解析
【解析】
【分析】
（1）不论取何实数，即所有，含全称命词；
（2）所有就是全称量词；
（3）某些是存在量词；
（4）省略所有，所以命题含全称量词.
【详解】
(1)即“所有，关于的方程都有实数根”，是全称量词命题，其否定为“存在实数，使得方程没有实数解”，真命题；
(2)是全称量词命题，其否定为“存在末位数字是0或5的整数不能被5整除”，假命题；
(3)是存在量词命题，其否定为“所有梯形的对角线不互相平分”，真命题；
(4)即“所有，函数图象都过原点”，是全称量词命题，其否定为“存在实数，使函数图象不过原点”，是假命题.
【点睛】
判断命题含全称量词或存在量词，如果题目省略了量词，判断时应该先补上.
36．（2020·湖北高一期末）已知命题存在实数，使成立.
（1）若命题P为真命题，求实数a的取值范围；
（2）命题任意实数，使恒成立.如果p，q都是假命题，求实数a的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由存在实数，使成立得，得实数的取值范围；
（2）由对勾函数单调性得，得，由已知得假假，两范围的补集取交集即可．
【详解】
解：（1）存在实数，使成立或，
实数a的取值范围为；
（2）任意实数，使恒成立，，，，
由题p，q都是假命题，那它们的补集取交集，实数a的取值范围.
【点睛】
本题考查了简易逻辑的判定、对勾函数的单调性，以及二次函数的取值和判别式△的关系，考查了推理能力，属于基础题．
37．（2019·山东省日照实验高级中学高二月考）某单位从一所学校招收某类特殊人才．对位已经选拨入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表：
逻辑思维能力
运动
协调能力
一般
良好
优秀
一般
良好
优秀
例如，表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生有人．由于部分数据丢失，只知道从这位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率为．
（）求，的值．
（）从参加测试的位学生中任意抽取位，求其中至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率．
（）从参加测试的位学生中任意抽取位，设运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为，求随机变量的分布列．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析.
【解析】
试题分析：（1）求，的值，由题意，从这位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率为，而由表中数据可知，运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生共有人，可由，解出的值，从而得的值；（2）由题意，从人中任意抽取人的方法数为，而至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的对立事件是，没有取到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生，而没有取到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的方法数为，由古典概型，可求出没有运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率，从而得所求的概率；（3）由题意得的可能取值为，由古典概型，分别求出它们的概率，得随机变量的分布列，从而得数学期望．
试题解析：（I）设事件：从位学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生．由题意可知，运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生共有人．
则．解得．所以． 4分
（2）设事件：从人中任意抽取人，至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生．
由题意可知，至少有一项能力测试优秀的学生共有人．
则． 7分
（3）的可能取值为，，．
位学生中运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为人．
所以，，．
所以的分布列为
0
1
2
所以，． 13分
考点：古典概型，分布列，数学期望．
专题一 集合与常用逻辑用语
专题01 集合的概念与运算
一、多选题
1．（2020·上海高一开学考试）（多选题）下列关系中，正确的有（）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】
【分析】
运用子集、真子集、属于的概念对四个选项逐一判断即可.
【详解】
选项A:由空集是任何非空集合的真子集可知，本选项是正确的；
选项B: 是有理数，故是正确的；
选项C:所有的整数都是有理数，故有，所以本选项是不正确的；
选项D; 由空集是任何集合的子集可知，本选项是不正确的，故本题选AB.
【点睛】
本题考查了子集关系、真子集关系的判断，考查了常见数集的识别，考查了属于关系的识别.
2．（2020·枣庄市第三中学高一月考）设，，若，则实数a的值可以为（ ）
A． B．0 C．3 D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
先将集合表示出来，由可以推出，则根据集合中的元素讨论即可求出的值.
【详解】
的两个根为3和5，
，
，，
或或或，
当时，满足即可，
当时，满足，，
当时，满足，，
当时，显然不符合条件，
a的值可以是.
故选：ABD.
【点睛】
本题主要考查集合间的基本关系，由推出是解题的关键.
二、单选题
3．（2020·枣庄市第三中学高一月考）已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
分别求出集合，利用可得两个集合端点之间的关系，从而可求实数的取值范围.
【详解】
集合，
集合，
若，则，解得，故选C.
【点睛】
本题考查集合的并以及一元二次不等式的解法，属于中档题.
4．（2020·全国高三其他（文））已知集合，，则的元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
在同一直角坐标系中分别作出与的图形即可求解.
【详解】
在同一直角坐标系中分别作出与的图形如图所示；
观察可知，它们有2个交点，故有2个元素，故选B.
故选：B.
【点睛】
本题考查了集合的基本运算，考查了数形结合，属于基础题.
5．（2020·全国高三其他（文））已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出集合A,B，再求交集即可
【详解】
解：，，
.
故选：C，
【点睛】
此题考查集合的交集运算，考查对数不等式的解法，属于基础题
6．（2020·黑山县黑山中学高三其他（文））已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求出集合，即求.
【详解】
且，的取值为，
.
由，可得，
又是减函数，，
.
.
故选：B.
【点睛】
本题考查集合的运算，属于基础题.
7．（2020·四川内江�高三三模（理））设集合，，则A∩B＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意结合指数函数的性质可得，再由集合交集的运算即可得解.
【详解】
由题意，，
所以.
故选：B.
【点睛】
本题考查了指数函数性质的应用，考查了集合交集的运算，属于基础题.
8．（2020·全国高三其他（理））设全集，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据对数函数单调性求得集合，然后根据补集运算求得结果.
【详解】
由题意，所以．故选D．
【点睛】
本题主要考查通过对数不等式的解法结合集合的补集运算，考查了学生的直观想象及数学运算等数学核心素养．
9．（2020·山西应县一中高二期中（文））已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先分别求出集合，，在根据集合的交集的运算，即可得到，得到答案．
【详解】
由题意，集合， ，
所以．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了集合的交集的运算，以及集合的表示与运算，其中解答中正确求解集合，再根据集合的交集的运算求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
10．（2020·山东省枣庄市第十六中学高一月考）已知全集，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.
【详解】
，则
故选：A
【点睛】
易于理解集补集的概念、交集概念有误.
11．（2020·山东省枣庄市第十六中学高一月考）设，是两个非空集合，定义且，已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求出和，再根据的定义写出运算结果.
【详解】
解：，
，
，
又且，
或.
故选：B.
【点睛】
本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题.
12．（2020·辽阳市第四高级中学高三月考）如图，已知是实数集，集合，，则阴影部分表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
，阴影部分可表示为
，故选B．
13．（2020·全国高三二模（文））已知集合，则集合可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据知道集合中的元素不能有2或6，必含有4和7，则可选出答案.
【详解】
因为集合，
所以集合中的元素不能有2或6，必含有4和7.
故选：C.
【点睛】
本题考查集合的交并补.属于基础题.熟练掌握集合的交并补运算是解本题的关键.
14．（2020·全国高三其他（理））已知，，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先利用对数函数定义域的求法和一元二次不等式的解法化简集合，再根据求解.
【详解】
由题意可得，，
∴或，
∵，
∴.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查集合的基本关系，基本运算以及对数函数定义域的求法，一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
15．（2020·全国高三二模（文））已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
解不等式确定集合，然后由集合运算定义计算．
【详解】
，
，
∴，
∴，
故选：A．
本题考查集合的综合运算，掌握集合运算定义是解题基础，还考查了解分式不等式和一元二次不等式，属于基础题．
16．（2020·全国高三其他（理））已知集合，，则（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先利用一元二次不等式的解法和一元一次不等式的解法化简集合，再利用交集的运算求解.
【详解】
因为或，，
所以或，
故选：C
【点睛】
本题主要考查集合的基本运算以及一元二次不等式的解法和一元一次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
第II卷（非选择题）
三、填空题
17．（2020·全国高一课时练习）下列集合中，不同于另外三个集合的序号是________.
①；②；③；④.
【答案】③
【解析】
【分析】
利用集合的定义即可得到答案.
【详解】
由集合的含义知：，
而集合表示由方程组成的集合，故填③.
故答案：③
【点睛】
本题主要考查集合的定义，属于简单题.
18．（2020·山东省滕州市第二中学高一月考）含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成{a2，a+b，0}，则a2013+b2014＝_____.
【答案】﹣1
【解析】
【分析】
根据集合相等，则元素完全相同，分析参数，列出等式，即可求得结果.
【详解】
因为{a2，a+b，0}，
显然，故，则；
此时两集合分别是，
则，解得或.
当时，不满足互异性，故舍去；
当时，满足题意.
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用集合相等求参数值，属简单题，注意本题的细节讨论.
19．（2020·全国高一课时练习）满足Ü的集合M有______个.
【答案】7
【解析】
【分析】
利用枚举法直接求解即可.
【详解】
由Ü,可以确定集合M必含有元素1,2,且至少舍有元素3,4,5中的一个,因此依据集合M的元素个数分类如下：
含有三个元素：,,；含有四个元素：,,；含有五个元素：,故满足题意的集合M共有7个.
故答案为：7
【点睛】
本题主要考查了集合间的基本关系与枚举法的运用,属于中等题型.
20．（2020·枣庄市第三中学高一月考）设为全集，对集合、，定义运算“*”，．对于集合，，，，则 ___________．
【答案】.
【解析】
【分析】
根据定义求出集合，再次利用定义得出.
【详解】
由于，，，，则，
由题中定义可得，则，
因此，，故答案为.
【点睛】
本题考查集合的计算，涉及新定义，解题的关键在于利用题中的新定义进行计算，考查运算能力，属于中等题.
21．（2020·江苏广陵�扬州中学高三其他）已知全集，集合，，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
本题首先可以根据题意求出以及中所包含的元素，然后根据交集的相关性质即可得出结果.
【详解】
因为全集，，，
所以，，
所以，
故答案为：.
【点睛】
本题考查集合的相关运算，主要考查补集以及交集的相关性质，交集是指两集合中都包含的元素所组成的集合，考查推理能力，是简单题.
四、解答题
22．（2020·全国高一课时练习）已知集合A有三个元素：a－3，2a－1，a2＋1，集合B也有三个元素：0，1，x.
（1）若－3∈A，求a的值；
（2）若x2∈B，求实数x的值；
（3）是否存在实数a，x，使A＝B．
【答案】（1）a＝0或－1；（2）x＝－1；（3）不存在.
【解析】
【分析】
（1）若，则或，再结合集合中元素的互异性，能求出的值．
（2）当取0，1，时，都有，集合中的元素都有互异性，由此能求出实数的值．
（3），若，则，，5，，若，则，，，，由此求出不存在实数，，使．
【详解】
解：（1）集合中有三个元素：，，，，
或，
解得或，
当时，，，，成立；
当时，，，，成立．
的值为0或．
（2）集合中也有三个元素：0，1，．，
当取0，1，时，都有，
集合中的元素都有互异性，，，
．
实数的值为．
（3），
若，则，，5，，
若，则，，，，
不存在实数，，使．
【点睛】
本题主要考查元素与集合的关系、集合相等的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
23．（2020·全国高一课时练习）（1）写出集合{a，b，c，d}的所有子集；
（2）若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有多少个子集？多少个真子集？
【答案】（1）见解析；（2）有个子集，个真子集.
【解析】
【分析】
（1）由题意结合子集的概念，按照子集元素个数从少到多逐步写出即可得解；
（2）由题意结合集合元素个数与子集个数的关系即可得解.
【详解】
（1）集合的所有子集有：、、、、、、、、、、、、、、、；
（2）若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有个子集，个真子集.
【点睛】
本题考查了集合子集的求解及集合元素个数与子集个数关系的应用，属于基础题.
24．（2020·全国高一课时练习）指出下列集合之间的关系：
（1），；
（2），；
（3），；
（4）是等边三角形，是三角形；
（5），.
【答案】（1）Ü；（2）无包含关系；（3）；（4）Ü；（5）Ü.
【解析】
【分析】
根据集合的关系依次判断即可.
【详解】
（1）因为，所以Ü；
（2）由于集合为数集，集合为点集，故无包含关系；
（3）根据题意均表示偶数，故；
（4）由于等边三角形是三角形中的特殊三角形，故Ü；
（5）由于，故Ü.
【点睛】
本题考查集合的关系，是基础题.
25．（2020·全国高一课时练习）已知集合，，且，求实数的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】
当时，，解得，当时，，无解，由此可以得出实数的取值范围.
【详解】
集合，，且，
当时，，解得；
当时，，无解.
综上，实数的取值范围为.
【点睛】
本题考查集合包含关系的判断及应用，应分类讨论集合是否为空集，属于基础题.
26．（2020·上海高一开学考试）已知全集，集合，.
（1）求；
（2）若集合，满足，，求实数的取值范围.
【答案】（1）或；（2）
【解析】
【分析】
（1）由题，再根据集合的补集与交集的定义求解即可；
（2）由得，由得，再根据包含关系求解即可．
【详解】
解：（1）由题，或，，或；
（2）由得，则，解得，
由得，则，解得，
∴实数的取值范围为．
【点睛】
本题主要考查集合的基本运算以及集合的包含关系，属于基础题．
27．（2020·浙江高一课时练习）设集合，．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围；
（3）若全集，，求实数的取值范围．
【答案】（1）或（2）（3）
【解析】
【分析】
（1）先求得集合A，由，得，将代入集合B的方程中解得的值，再代回集合B中验证是否满足条件，得实数的值；
（2）由得，分，集合中只有一个元素，集合中有两个元素，三种情况分别求得实数的取值范围，得解；
（3）由，可知，列出关于的不等式组，解之得实数的取值范围.
【详解】
（1）由得，因为，所以，
所以，
整理得，解得或．
当时，，满足；
当时，，满足；
故的值为或．
（2）由题意，知．
由，得．
当集合时，关于的方程没有实数根，
所以，即，解得．
当集合时，若集合中只有一个元素，则，
整理得，解得，
此时，符合题意；
若集合中有两个元素，则，
所以，无解．
综上，可知实数的取值范围为．
（3）由，可知，
所以，所以．
综上，实数的取值范围为．
故得解.
【点睛】
本题考查集合的交、并、补运算，由交、并、补运算的结果得出两集合间的关系，是解决本类问题的关键，属于中档题.
28．（2020·山东省枣庄市第十六中学高一月考）已知集合，．
1当时，求；
2若，求实数k的取值范围．
【答案】(1);(2).
【解析】
【分析】
（1）当时，写出两集合，然后利用数轴求；（2）根据条件可知，这样利用数轴转化为不等式组求解.
【详解】
（1）当时，，则．
（2） ，则．
（1）当时，，解得；
（2）当时，由 得，即，解得．
综上， ．
【点睛】
本题重点考查集合的交并补的运算，以及利用集合的关系求参数取值范围问题，意在考查基础知识，属于基础题型.
专题02 充分条件与必要条件
一、单选题
1．（2020·山东潍坊�高三其他）设i为虚数单位，，“复数是纯虚数“是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
先化简z，求出a，再判断即可.
【详解】
复数是纯虚数，
则，，
是的必要不充分条件，
故选：B.
【点睛】
本小题主要考查根据复数的类型求参数，考查充分、必要条件的判断，属于基础题.
2．（2020·枣庄市第三中学高一月考）“”是“”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
设A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＜,或x＞0}，判断集合A，B的包含关系，根据“谁小谁充分，谁大谁必要”的原则，即可得到答案．
【详解】
设A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＜,或x＞0}，
∵AB，
故“x＞0”是“”成立的充分不必要条件．
故选A．
【点睛】
本题考查的知识点是必要条件，充分条件与充要条件判断，其中熟练掌握集合法判断充要条件的原则“谁小谁充分，谁大谁必要”，是解答本题的关键．
3．（2020·枣庄市第三中学高一月考）若，则“”是 “”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.
【详解】
当时，，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.
【点睛】
易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.
4．（2020·全国高三其他（理））已知为实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据充分条件，必要条件的定义以及不等式的性质即可求出．
【详解】
因为等价于，所以
当时，显然成立，
当时，不一定有，还有可能成立.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，以及不等式的性质应用，属于基础题．
5．（2020·山东省滕州市第二中学高一月考）一元二次方程ax2+2x+1=0（a≠0）有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ ）
A．a <0 B．a >0 C．a <-1 D．a >1
【答案】C
【解析】
分析：求解其充要条件，再从选项中找充要条件的真子集．求解充要条件时根据题设条件特点可以借助一元二次根与系数的关系的知识求解．
解答：解：一元二次方程ax2+2x+1=0，（a≠0）有一个正根和一个负根的充要条件是x1×x2=＜0，
即a＜0，
而a＜0的一个充分不必要条件是a＜-1
故应选 C
点评：本考点是一元二次方程分布以及充分不必要条件的定义．本题解决的特点是先找出其充要条件，再寻求充分不必要条件．
6．（2020·辽宁省本溪满族自治县高级中学高三其他（理））设函数f（x）＝cos2x+bsinx，则“b＝0”是“f（x）的最小正周期为π”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用正弦型函数的性质的应用和四个条件的应用求出结果．
【详解】
当时，函数，所以函数的最小正周期为，
，
当时，函数的最小正周期为π和2π的最小公倍数，即为2π，
当函数的最小正周期为π时，可得，
故函数，则“”是“f（x）的最小正周期为π”的充要条件．
故选：C
【点睛】
本题考查的是三角函数的性质和充要条件的判定，属于基础题.
7．（2020·辽阳市第四高级中学高三月考）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
“”可得：，即,必有，充分性成立；
若“”未必有,必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要，故选A.
8．（2020·全国高三其他（文））“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】
利用作差法再结合充分条件，必要条件的定义求解.
【详解】
，
而的符号不能判定．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查充分条件，必要条件以及不等式知识，属于基础题．
9．（2020·四川高二期末（文））已知条件；条件：直线与圆相切，则是的（ ）
A．充分必要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
结合直线和圆相切的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】
若直线与圆相切，
则圆心到直线的距离，即，
，即，
∴推不出，而而以推出，
是的必要不充分条件．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线与圆相切的等价条件是解决本题的关键，属于基础题.
10．（2020·浙江金华�高二期末）已知，为实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
首先根据得到，根据得到或，再根据选项即可得到答案.
【详解】
由得到，
由，即，得到或.
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
【点睛】
本题主要考查充分不必要条件的判断，属于简单题.
11．（2020·黑龙江南岗�哈师大附中高二月考）下列结论错误的是（ ）
A．命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”
B．“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分条件
C．命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为真命题
D．命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0或n≠0”
【答案】C
【解析】
【分析】
写出原命题的逆否命题，可判断，根据充要条件的定义，可判断；根据方程有实根，即可判断C．写出原命题的否命题，可判断．
【详解】
解：命题“若，则”的逆否命题为“若，则”，故A正确；
“” “或”，故“”是“”的充分不必要条件，故B正确；
对于，命题“若，则方程有实根”的逆命题为命题“若方程有实根，则，方程有实根时，，故C错误．
命题“若，则且”的否命题是“若．则或”，故正确；
故选：C．
【点睛】
本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了四种命题，命题的否定，充要条件等知识点，属于中档题．
12．（2020·浙江杭州�高三三模）“”是“函数的最小值等于2”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件 D．充要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
利用绝对值三角不等式得到充分性，取时也满足得到不必要，得到答案，
【详解】
当时，，
当时等号成立，充分性成立；
当时，，
当时等号成立，必要性不成立；
故选：A.
【点睛】
本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力，属于基础题.
13．（2019·重庆大足�高二期末（理））设，则“”是“直线与直线相交”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充他条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
求出两直线相交的充要条件是，再判断即可.
【详解】
解：直线与直线相交的充分条件是，即，
由于是的充分不必要条件，
故选：A.
【点睛】
利用判断充分必要性，考查了直线相交的判断，基础题.
14．（2020·全国高一课时练习）设甲是乙的必要条件；丙是乙的充分但不必要条件，那么（ ）
A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C．丙是甲的充要条件
D．丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，要找到丙是甲的什么条件，就观察丙能不能推出甲，甲能不能推出丙即可，利用中间与乙的关系来分析
【详解】
甲是乙的必要条件，所以乙是甲的充分条件，即乙甲； 丙是乙的充分但不必要条件，则丙乙，乙丙，显然丙甲，甲丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件，故选A
【点睛】
本题考查充分条件和必要条件的知识，需掌握充分及必要条件与命题之间的联系。
15．（2020·黑山县黑山中学高三其他（文））已知为正数，则“”是“ ”的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要
【答案】C
【解析】
【分析】
根据充分必要条件的定义判断．
【详解】
时，，∴，是充分的；
时，首先有，
又时，，时，，∴，
∴时，一定有，也是必要的，
∴应是充要条件．
故选：C．
【点睛】
本题考查充分必要条件的判断，掌握充分必要条件的定义是解题基础．
16．（2020·全国高三其他（理））已知，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】
借助函数在，上的单调性可判断．
【详解】
设函数，显然函数在，上分别单调递减和单调递增．
在时也可能有，反之也可能，
∴由得不到成立；由也得不到成立．
故选：D．
【点睛】
本题考查充分必要条件的概念，通过不等式，结合充分必要条件，考查了学生的逻辑推理能力．
17．（2020·全国高一课时练习）设全集为，集合、是的两个非空子集，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
利用，判断互相之间的关系.
【详解】
因为，
则与等价，
所以正确选项为C.
【点睛】
本题主要考查集合交集、并集、补集的定义与运算，属于中档题.
18．（2020·湖北高一期末）设锐角的三个内角分别为角A、B、C，那么“”是“”成立的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
由诱导公式推导出“” “”，从而“”是“”成立的充分必要条件．
【详解】
解：设锐角的三个内角分别为角，，，
“” “” “ ” “”，
“ ” “ ” “ ” “”，
“”是“”成立的充分必要条件．
故选：．
【点睛】
本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查诱导公式、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.
19．（2020·天山�新疆实验高二期末）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
“a＞1”⇒“”，“”⇒“a＞1或a＜0”，由此能求出结果．
【详解】
a∈R，则“a＞1”⇒“”，
“”⇒“a＞1或a＜0”，
∴“a＞1”是“”的充分非必要条件．
故选A．
【点睛】
充分、必要条件的三种判断方法．
1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．
2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．
20．（2020·安徽相山�淮北一中高三月考（理））已知非零向量，满足，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解:
【答案】C
【解析】
【分析】
根据向量的数量积运算，由向量的关系，可得选项.
【详解】
，
，∴等价于，
故选：C.
【点睛】
本题考查向量的数量积运算和命题的充分、必要条件，属于基础题.
21．（2020·湖北郧阳�高二月考）已知等比数列的公比为，前项和为，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】
本题先将两个条件化简，再判断是的什么条件即可
【详解】
解： ，化简：即，
是否成立是由与是否同号决定，
所以：，充分性不满足；
，必要性不满足.
故选：D
【点睛】
本题考查等比数列相关运算以及判断是的什么条件，是中档题.
22．（2020·浙江高一课时练习）在下列三个结论中，正确的有（ ）
①x2>4是x3<－8的必要不充分条件；
②在ABC中，AB2＋AC2＝BC2是ABC为直角三角形的充要条件；
③若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件.
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
【答案】C
【解析】
【分析】
①，证明x2>4是x3<－8的必要不充分条件.所以该命题正确；
②，在ABC中，AB2＋AC2＝BC2是ABC为直角三角形的充分不必要条件，所以该命题错误；
③,证明“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件，所以该命题正确.
【详解】
①，x2>4即或，x3<－8即，因为或成立时，不一定成立，所以x2>4是x3<－8的不充分条件；因为成立时，或一定成立，所以x2>4是x3<－8的必要条件.即x2>4是x3<－8的必要不充分条件.所以该命题正确.
②， AB2＋BC2＝AC2成立时，ABC为直角三角形一定成立；当ABC为直角三角形成立时，AB2＋BC2＝AC2不一定成立，所以在ABC中，AB2＋AC2＝BC2是ABC为直角三角形的充分不必要条件，所以该命题错误.
③,即判断“”是“a2＋b2=0”的什么条件，由于a2＋b2=0即，所以“”是“a2＋b2=0”的充要条件，所以“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件，所以该命题正确.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查充分必要条件的判定，考查逆否命题和原命题的等价性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
二、多选题
23．（2020·全国高一开学考试）对任意实数，，，给出下列命题，其中真命题是（ ）
A．“”是“”的充要条件 B．“”是“”的充分条件
C．“”是“”的必要条件 D．“是无理数”是“是无理数”的充要条件
【答案】CD
【解析】
【分析】
根据，时，不一定成立判断A错误；由不等式性质知时，不成立判断B错误；由“”时一定有“”成立判断C正确；根据无理数的概念知“是无理数”是“是无理数”的充要条件正确.
【详解】
对于A，因为“”时成立，，时，不一定成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故A错，对于B，，，时，；，，时，，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错，对于C，因为“”时一定有“”成立，所以“”是“”的必要条件，C正确；对于D“是无理数”是“是无理数”的充要条件，D正确.
故选：CD
【点睛】
本题主要考查了充分条件，必要条件，充分必要条件，属于中档题.
第II卷（非选择题）
三、填空题
24．（2020·江苏高三其他）已知曲线：，直线：，则“”是“直线与曲线相切”的_______条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分又不必要”之一）.
【答案】充分不必要
【解析】
【分析】
由已知可得，曲线与直线均过点，若直线与曲线相切，设切点的横坐标为，写出过切点的切线方程，利用待定系数法明确的取值，再结合充分必要性作出判断
【详解】
，直线：过点，曲线也过点，
若直线与曲线相切，设切点的横坐标为，
则切线为，
则，解得或，
所以“”是“直线与曲线相切”的充分不必要条件，
故答案为：充分不必要
【点睛】
本题考查了充要条件的判断，涉及直线与三次函数相切问题，考查了计算能力与转化能力，属于中档题.
25．（2020·辽阳市第四高级中学高三月考）已知，函数的值恒为负，则是的______条件.
【答案】充分不必要
【解析】
【分析】
由成立，分析可知根据二次函数的图象和性质可知成立，反之可举例知成立推不出成立.
【详解】
当时，且，
所以函数的值恒为负；
反过来，函数的值恒为负不一定有，如当时，函数的值恒为负.
所以是的充分不必要条件
故答案为：充分不必要
【点睛】
本题主要考查了充分条件，必要条件，二次函数的图像与性质，属于中档题.
26．（2020·全国高一课时练习）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的最大值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
由得出的范围，再根据必要不充分性，得出两个范围的包含关系，从而得出结果．
【详解】
由得，
“”是“”的必要不充分条件，
，
．
故答案为．
【点睛】
本题考查充分性和必要性，利用在小范围可以推出在大范围，在大范围不能推出在小范围来解决问题，是基础题．
27．（2020·全国高一课时练习）设计如图所示的三个电路图，条件“开关闭合”；条件“灯泡亮”，则是的充分不必要条件的电路图是________.
【答案】（1）
【解析】
【分析】
根据充分条件和必要条件的定义结合物理知识判断即可.
【详解】
对于（1），当开关闭合时，灯泡亮；当灯泡亮时，开关、至少一个闭合.
是的充分不必要条件；
对于（2），当开关闭合时，灯泡亮；当灯泡亮时，开关闭合，是的充要条件；
对于（3），当开关闭合且不闭合时，灯泡不亮；当灯泡亮时，开关必闭合，是的必要不充分条件.
故答案为：（1）.
【点睛】
本题考查充分不必要条件的判断，考查充分条件和必要条件定义的应用，考查推理能力，属于中等题.
28．（2020·江苏广陵�扬州中学高三其他）“”是“”的_____条件．
【答案】充要
【解析】
【分析】
利用指数函数的单调性结合充分条件、必要条件的定义判断即可得出结论.
【详解】
充分性：由于指数函数为上的增函数，由，可得，充分性成立；
必要性：由于指数函数为上的增函数，由，可得，必要性成立.
综上所述，“”是“”的充要条件.
故答案为：充要.
【点睛】
本题考查充要条件的判断，考查了指数函数单调性的应用，属于基础题.
29．（2020·全国高一课时练习）设全集，有下面四个命题：①；②；③；④, 其中是“”的充要条件的命题序号是__________．
【答案】①②③
【解析】
【分析】
根据集合间的运算与性质判断是否是“”的充要条件.
【详解】
由集合的运算性质，；；,所以①②③正确，④，所以正确答案为①②③.
【点睛】
是的充要条件可以得到：；
是的充分件可以得到：；
是的必要条件可以得到：.
30．（2020·全国高一课时练习）以下有四种说法：
①“a>b”是“a2>b2”的充要条件；
②“A∩B＝B”是“B＝∅”的必要不充分条件；
③“x＝3”的必要不充分条件是“x2－2x－3＝0”；
④“m是实数”的充分不必要条件是“m是有理数”．
其中正确说法的序号是________．
【答案】②③④
【解析】
如2>－4，但22<(－4)2，故①错；②正确；x＝3可推出x2－2x－3＝0成立，反之则不一定成立，所以③正确；“m是有理数”可以推出“m是实数”，反之不一定成立，所以④也正确．
四、解答题
31．（2020·全国高一课时练习）求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
【答案】见解析．
【解析】
试题分析：充分性：若，则，且，方程方程有一正根和一负根；必要性：若一元二次方程有一正根和一负根，则，，即可得结论.
试题解析： (1)必要性：因为方程有一正根和一负根，所以为方程的两根)，所以ac<0.
(2)充分性：由ac<0可推得Δ＝b2－4ac>0及x1x2＝<0(x1，x2为方程的两根)．所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
32．（2020·全国高一课时练习）已知都是非零实数，且，求证：的充要条件是.
【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据充要条件的定义进行证明即可．
【详解】
（1）必要性：由，得，即，
又由，得，所以.
（2）充分性：由及，
得，即.
综上所述，的充要条件是.
【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的证明，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．
33．（2020·浙江高一课时练习）命题；命题
（1）若时，在上恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若p是q的充分必要条件，求出实数a，b的值
【答案】（1）；（2），．
【解析】
【分析】
（1）若在上恒成立，则；
（2）由题意可知的解集是
【详解】
（1）若在上恒成立，
则，
所以有，
所以实数的范围为；
（2）或，
根据条件的解集是，
即方程的二根为2和3，
根据韦达定理有，
所以，．
【点睛】
（1）二次函数图象与x轴交点的横坐标、二次不等式解集的端点值、一元二次方程的解是同一个量的不同表现形式．
（2）二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．有关二次函数的问题，利用数形结合的方法求解，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．
34．（2020·浙江高一课时练习）已知，.
（1）是否存在实数，使是的充要条件？若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由；
（2）是否存在实数，使是的必要条件？若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）不存在实数，使是的充要条件
（2）当实数时，是的必要条件
【解析】
【分析】
（1）解不等式得到集合；再由是的充要条件，可得，进而可得出结果；
（2）要使是的必要条件，则 ，然后讨论和两种情况，即可得出结果.
【详解】
（1）.
要使是的充要条件，则，即 此方程组无解，
则不存在实数，使是的充要条件；
（2）要使是的必要条件，则 ，
当时，，解得；
当时，，解得
要使 ，则有，解得，所以，
综上可得，当实数时，是的必要条件．
【点睛】
本题主要考查集合之间的关系，以及充分条件和必要条件，根据题中条件，确定集合之间的关系，即可求解，属于基础题型.
专题03 简单的逻辑联结词，全称量词与存在量词
一、单选题
1．（2020·山东省滕州市第二中学高一月考）命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据全称命题的否定为特称命题即可判断；
【详解】
解：命题，为全称命题，全称命题的否定为特称命题，
故其否定为
故选：A
【点睛】
本题考查全称命题的否定，属于基础题.
2．（2020·山西应县一中高二期中（文））命题“对任意，都有”的否定是（ ）
A．对任意，都有 B．对任意，都有
C．存在，使得 D．存在，使得
【答案】D
【解析】
【分析】
根据全称命题的直接得到其否定命题.
【详解】
解：命题“对任意，都有”的否定是存在，使得.
故选：D.
【点睛】
本题考查全称命题的否定，是基础题.
3．（2020·山东省枣庄市第十六中学高一月考）命题“，”的否定是
A．不存在，
B．存在，
C．对任意的，
D．，
【答案】D
【解析】
【分析】
利用全称命题的否定是特称命题写出结果判断即可．
【详解】
解：因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题“对任意的，”的否定是：存在，．
故选：D．
【点睛】
本题考查命题的否定，全称命题和特称命题，属于基础题．
4．（2020·山东省枣庄市第十六中学高一月考）已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
原命题等价于恒成立，故即可，解出不等式即可.
【详解】
因为命题“，使”是假命题，所以恒成立，所以，解得，故实数的取值范围是．
故选B．
【点睛】
对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数．而二次函数的恒成立问题，也可以采取以上方法，当二次不等式在R上大于或者小于0恒成立时，可以直接采用判别式法.
5．（2020·辽阳市第四高级中学高三月考）命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据“全称命题”的否定一定是“特称命题”判断.
【详解】
“全称命题”的否定一定是“特称命题”，
命题“”的否定是，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查命题的否定，还考查理解辨析的能力，属于基础题.
6．（2020·全国高三其他（理））已知命题，总有，则为（ ）
A．，使得 B．，使得
C．，总有 D．，总有
【答案】B
【解析】
【分析】
根据全称命题与存在性命题的互为否定关系，准确改写，即可求解.
【详解】
根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“，总有”的否定为：“，使得”.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了含有一个量词的否定，其中解答中熟记全称命题与存在性命题的关系，准确改写是解答的关键，属于容易题.
7．（2020·全国高三二模（理））命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】
【分析】
根据命题的否定的定义求解．
【详解】
命题“，”的否定是，.
故选：D.
【点睛】
本题考查命题的否定，命题的否定是否定命题的结论，同时把全称量词与存在量词互换．
8．（2019·重庆大足�高二期末（理））命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】
【分析】
特称命题的否定是全称命题
【详解】
因为特称命题的否定是全称命题
所以命题“，”的否定是
“，”
故选：D
【点睛】
本题考查的是特称命题的否定，较简单.
9．（2020·全国高一课时练习）设，，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
不能推出，反过来，若则成立，故为必要不充分条件.
10．（2020·四川省宜宾市第四中学校高二月考（理））以下三个命题：
①“”是“”的充分不必要条件；
②若为假命题，则，均为假命题；
③对于命题：，使得；则是：，均有.
其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
【答案】B
【解析】
【分析】
①求出不等式的解集然后再判断两集合的关系，从而得出结论.
②用联结的两个命题，只要有一个为假则这个复合命题即为假.
③根据特称命题的否定为全称命题判断.
【详解】
①不等式，解得或，
Ü
所以，，“”是“”的充分不必要条件.①正确；
②若为假命题，则，至少有一个为假，故②错误；
③命题：使得的否定为，均有.③正确，
故选B.
【点睛】
本题考查充分必要条件的判断，简单逻辑联结词及含有一个量词的命题的否定，属于基础题．
11．（2020·全国高一课时练习）命题“已知，都有”是真命题，则实数的取值范围是 （ )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
都有是真命题，可转化成，求出，从而得到.
【详解】
由已知，得，要使，都有成立，只需，所以正确选项为C.
【点睛】
全称命题中与不等式的交汇问题，经常转化成研究不等式的恒成立问题.
12．（2020·全国高一课时练习）设是奇数集，是偶数集，则命题“，”的否定是 （ )
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【解析】
【分析】
全称命题的否定为特称命题，排除C,D，的否定为.
【详解】
“，”即“所有，都有”，它的否定应该是“存在，使”，所以正确选项为A.
【点睛】
本题考查全称命题的否定，注意任意要改成存在，考查对命题否定的理解.
13．（2020·全国高一课时练习）关于命题“当时，方程没有实数解”，下列说法正确的是 （ )
A．是全称量词命题，假命题 B．是全称量词命题，真命题
C．是存在量词命题，假命题 D．是存在量词命题，真命题
【答案】A
【解析】
【分析】
对的理解是取遍区间的所有实数，当时方程有解，从而判断原命题为假命题.
【详解】
原命题的含义是“对于任意，方程都没有实数解”，但当时，方程有实数解，故命题是含有全称量词的假命题，所以正确选项为A.
【点睛】
判断命题是特称命题还是全称命题，要注意补上省略词，同时注意判断命题为假命题时，只要能举出反例即可.
14．（2020·全国高一课时练习）下列命题中，是真命题的全称量词命题的是 （ )
A．对于实数，有
B．梯形两条对角线相等
C．有小于1的自然数
D．函数的图象过定点
【答案】D
【解析】
【分析】
由于命题A,B为假命题，故排除A,B，选项C含存在量词，故排除C.
【详解】
选项A是全称量词命题，，故A是假命题；B是假命题；“存在小于1的自然数”，C是存在量词命题；D项，对于所有，函数的图象过定点，所以正确选项为D.
【点睛】
本题考查含全称量词命题真假性判断，注意是必需同时考虑两个条件.
15．（2020·全国高一课时练习）命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是 （ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】
【分析】
原命题为特称命题，其否定为全称命题，故排除B,D；绝对值是正数的否定是.
【详解】
命题“有些实数的绝对值是正数”的否定应该是“所有实数的绝对值都不是正数”，所以正确选项为C.
【点睛】
本题考查特称命题的否定，注意在写命题的否定时，存在要改成任意.
16．（2020·全国高一课时练习）下列命题含有全称量词的是 （ )
A．某些函数图象不过原点 B．实数的平方为正数
C．方程有实数解 D．素数中只有一个偶数
【答案】B
【解析】
【分析】
对四个选项的命题进行一一判断，其中“实数的平方为正数”， 省略了全称量词“所有的”.
【详解】
“某些函数图象不过原点”即“存在函数，其图象不过原点”；“方程有实数解”即“存在实数，使”；“素数中只有一个偶数”即“存在一个素数，它是偶数”，这三个命题都是存在量词命题，“实数的平方为正数”即“所有的实数，它的平方为正数”，是全称量词命题，其省略了全称量词“所有的”，所以正确选项为B.
【点睛】
本题考查含有一个量词的命题，注意含全称量词的命题，经常会把全称量词省略，判断命题真假时要还原补上.
17．（2020·全国高一开学考试）已知命题,，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【解析】
【分析】
根据全称命题与特称命题互为否定的关系，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意，根据全称命题与特称命题的关系，可得命题,，
则，，故选A．
【点睛】
本题主要考查了含有一个量词的否定，其中解答中熟记全称命题与特称性命题的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
18．（2020·全国高三课时练习（理）） 给出下列命题：
①∀x∈R，不等式x2＋2x>4x－3均成立；
②若log2x＋logx2≥2，则x>1；
③“若a>b>0且c<0，则”的逆否命题；
④若p且q为假命题，则p，q均为假命题．
其中真命题是( )
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
【答案】A
【解析】
①中不等式可表示为(x－1)2＋2>0，恒成立；②中不等式可变为log2x＋≥2，得x>1；③中由a>b>0，得，而c<0，所以原命题是真命题，则它的逆否命题也为真；④由p且q为假只能得出p，q中至少有一个为假，④不正确．
19．（2020·安徽马鞍山�高三三模（文））命题：，，则命题是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】
【分析】
原命题是全称命题，其否定为存在性量词命题，故按规则可写出原命题的否定.
【详解】
因为：，，故：，.
故选：C.
【点睛】
全称命题的一般形式是：，，其否定为.存在性量词命题的一般形式是，，其否定为.
20．（2020·湖南怀化�高二期末）下列有关命题的说法正确的是（ ）
A．若命题：，，则命题：，
B．“”的一个必要不充分条件是“”
C．若，则
D．，是两个平面，，是两条直线，如果，，，那么
【答案】A
【解析】
【分析】
对选项逐个分析，对于A项，根据特称命题的否定是全称命题，得到其正确；对于B项，根据充分必要条件的定义判断正误；对于C项根据向量垂直的条件得到其错误，对于D项，从空间直线平面的关系可判断正误.
【详解】
对于A，命题：，，则命题：，，A正确；
对于B，当时，成立，
所以“”是“”的充分条件，所以B错误；
对于C，且两向量反向时 成立， 不成立C错误；
对于D，若，，，则，的位置关系无法确定，故D错误.
故选：A.
【点睛】
该题考查的是有关选择正确命题的问题，涉及到的知识点有含有一个量词的命题的否定，充分必要条件的判断，空间直线和平面的关系，属于简单问题.
21．（2020·湖北黄石港�黄石二中高二月考（理））下列三个命题：
①“”是“”的充分不必要条件；
②设，若，则或；
③命题，使得，则，都有.
其中真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】
【分析】
对于①，根据不等式的性质可判断；对于②，运用原命题与其逆否命题真假一致，可判断；对于③由特称命题的否定为全称命题可判断.
【详解】
解：由可知，反之，由不一定得到，因此是的充分不必要条件，①是真命题；
因为原命题的逆否命题“若且，则”为真命题，②是真命题；
由特称命题的否定为全称命题，③是真命题.
故选：D.
【点睛】
本题考查命题的真假判断，运用到不等式的性质，原命题与逆否命题真假一致，以及特称命题与全称命题的关系，属于基础题.
二、多选题
22．（2020·全国高一开学考试）下面命题正确的是（ ）
A．“”是“”的 充 分不 必 要条件
B．命题“若,则”的 否 定 是“ 存 在,则”.
C．设,则“且”是“”的必要而不充分条件
D．设,则“”是“”的必要 不 充 分 条件
【答案】ABD
【解析】
【分析】
选项A:先判断由,能不能推出,再判断由,能不能推出,最后判断本选项是否正确；
选项B: 根据命题的否定的定义进行判断即可.
选项C:先判断由且能不能推出,然后再判断由能不能推出且,最后判断本选项是否正确；
选项D:先判断由能不能推出,再判断由能不能推出,最后判断本选项是否正确.
【详解】
选项A:根据反比例函数的性质可知：由,能推出,但是由,不能推出,例如当时,符合,但是不符合,所以本选项是正确的；
选项B: 根据命题的否定的定义可知：命题“若,则”的 否 定 是“ 存 在,则”.所以本选项是正确的；
选项C:根据不等式的性质可知：由且能推出,本选项是不正确的；
选项D: 因为可以等于零,所以由不能推出,再判断由能不能推出,最后判断本选项是否正确.
故选：ABD
【点睛】
本题考查了充分性和必要性的判断,考查了命题的否定,属于基础题.
第II卷（非选择题）
三、填空题
23．（2020·枣庄市第三中学高一月考）若命题“使”是假命题，则实数的取值范围为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
原命题等价于命题“，”是真命题
【详解】
由题意得若命题“”是假命题，
则命题“，”是真命题，
则需,故本题正确答案为．
【点睛】
本题主要考查全称量词与存在量词以及二次函数恒成立的问题．属于基础题．
24．（2020·全国高一课时练习）已知下列命题①“实数都大于0”的否定是“实数都小于或等于0”；②“三角形外角和为360度”是含有全称量词的真命题；③“至少存在一个实数，使得” 是含有存在量词的真命题； ④“能被3整除的整数，其各位数字之和也能被3整除”是全称量词命题。其中正确的有_________.
【答案】②③④
【解析】
【分析】
命题①是全称命题，其否定为特称命题，所以应成写“存在实数不大于0”，故①错误；其余都是正确的.
【详解】
①“实数都大于0”的含义是“所有实数都大于0”，所以它的否定应该是“存在实数不大于0”，所以①错误；②“三角形外角和为360度”的含义是“所有三角形外角和为360度”，所以②正确；同理 ③④ 也正确.所以答案为“②③④”.
【点睛】
全称命题的否定为特称命题，注意体现把任意改写成存在.
25．（2020·全国高一课时练习）“，使得方程有两个不同的实数解”是真命题，则集合_________；
【答案】
【解析】
【分析】
求出使方程有两个不同的实数解的的取值范围，从而得到集合.
【详解】
方程有两个不同的实数解，当时，方程只有一个解，不符合条件，所以且，解得，所以答案为.
【点睛】
本题考查方程有两个不同解问题，由于方程没有明确是二次方程，所以对实数分两种情况讨论，即或.
26．（2020·全国高一课时练习）“，都有恒成立”是真命题，则实数的取值范围是____________；
【答案】
【解析】
【分析】
全称命题为直命题，等价于，解得.
【详解】
因为，即的最小值为1，要使“恒成立”，只需，即，所以答案为“”.
【点睛】
在恒成立等价于（）.
27．（2020·全国高一课时练习）命题“有些一元一次不等式的解集是空集”是__________；（全称量词命题、存在量词命题）
【答案】存在量词命题
【解析】
【分析】
有些是表示存在的意思，所以命题是含存在量词命题.
【详解】
原命题即是“存在一元一次不等式的解集是空集”，所以答案为“存在量词命题”.
【点睛】
命题中常见的存在量词有：有的、有些、存在等词语.
28．（2020·武威第六中学高三其他（理））已知下列命题：①命题“”的否定是“”；②已知为两个命题，若“”为假命题，则“为真命题”；③在中，“”是“”的既不充分也不必要条件；④“若xy=0，则x=0且y=0”的逆否命题为真命题.其中，所有真命题的序号是__________.
【答案】②
【解析】
【分析】
根据全称命题的否定的求解，或且非命题真假的判断，正弦定理以及逆否命题的求解，对选项进行逐一分析，则问题得解.
【详解】
对①：“”的否定是“”，故①是假命题；
对②：若“”为假命题，则均为假命题，故“为真命题”；
对③：在中，“”等价于，由正弦定理，其又等价于，
故“”是“”的充要条件，故③是假命题；
对④：“若xy=0，则x=0且y=0”是假命题，故其逆否命题也是假命题，故④错误；
综上所述，真命题的序号是②.
故答案为：②.
【点睛】
本题考查命题真假的判断，涉及全称命题的否定的求解，复合命题真假的判断，充要条件的求解，属综合基础题.
29．（2016·河北高二（理））用含有逻辑联结词的命题表示命题““的否定是_____________．
【答案】且
【解析】
试题分析：根据逻辑联结词“或”“且”“非”的含义可知，命题““表示“或”所以命题的否定是且．
考点：逻辑联结词．
【方法点晴】本题主要考查了简易逻辑，其中解答中涉及到逻辑联结词“或”“且”“非”的含义和意义，及联结词“或”和联结词“且”互为否定关系，解答中对于命题““表示的含义为“或”是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化的思想方法，属于中档试题．
30．（2018·江西高二期末（理））若,则_____(用适当的逻辑联结词“且”“或”“非”)
【答案】且
【解析】
由可得．即且．故应填“且”．
答案：且
31．（2016·陕西高二期末（文））若ab=0，则a=0 b=0．（用适当逻辑连接词“或”、“且”、“非”填空）．
【答案】或
【解析】试题分析：由ab=0，可得a=0或b=0，所以填或
考点：逻辑用语
32．（2016·陕西高二期末（文））命题：“方程x2=2的解是”中使用了逻辑联结词 ．（填写“或、且、非”）
【答案】或
【解析】
试题分析：即x=或x=﹣，即可得出．
解：即x=或x=﹣，因此使用了逻辑联结词“或”．
故答案为：或．
考点：复合命题．
四、解答题
33．（2020·全国高一课时练习）判断下列语句是否为命题，若是，请判断真假并改写成“若，则”的形式.
（1）垂直于同一条直线的两条直线平行吗？
（2）三角形中，大角所对的边大于小角所对的边；
（3）当是有理数时，都是有理数；
（4）；
（5）这盆花长得太好了！
【答案】（2）（3）为命题，（2）为真命题，改写成“若，则”的形式是：在中，所对的边为，若，则.（3）为假命题，改成“若，则”的形式是：若为有理数，则为有理数.
【解析】
【分析】
能判断真假的陈述句是命题，从而可得（2）（3）为命题，找出两者的前提和结论，从而可得它们“若，则”的形式．
【详解】
（1）为疑问句，（5）为感叹句，两者均不是命题，
（4）为一个和式，无法判断其真假，故也不是命题.
（2）为命题，且为真命题，
改成“若，则”的形式是：在中，所对的边为，若，则.
（3）为命题，且为假命题，比如的和为有理数，但它们均为无理数.
改成“若，则”的形式是：若为有理数，则为有理数.
【点睛】
本题考查命题的判断以及命题的结构，注意可以判断真假的陈述句才是命题，命题由前提和结论构成，本题属于基础题.
34．（2020·全国高一课时练习）已知集合，集合，如果命题“，使得”为假命题，求实数的取值范围.
【答案】
【解析】
【分析】
由命题“，使得”为假命题，可得“，”为真命题，显然集合不会为空集，对集合要分成空集或不为空集两种情况讨论.
【详解】
命题“，使得”为假命题，则其否定命题“，”为真命题
当时，集合，符合
当时，因为，所以，
得对于恒成立
所以，则
综上，实数的取值范围为.
【点睛】
由于集合是可变的，所以集合隐含着分类讨论的思想，即或.
35．（2020·全国高一课时练习）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，然后写出对应的否定命题，并判断真假:
(1)不论取何实数,关于的方程必有实数根；
(2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；
(3)某些梯形的对角线互相平分；
(4)函数图象恒过原点.
【答案】见解析
【解析】
【分析】
（1）不论取何实数，即所有，含全称命词；
（2）所有就是全称量词；
（3）某些是存在量词；
（4）省略所有，所以命题含全称量词.
【详解】
(1)即“所有，关于的方程都有实数根”，是全称量词命题，其否定为“存在实数，使得方程没有实数解”，真命题；
(2)是全称量词命题，其否定为“存在末位数字是0或5的整数不能被5整除”，假命题；
(3)是存在量词命题，其否定为“所有梯形的对角线不互相平分”，真命题；
(4)即“所有，函数图象都过原点”，是全称量词命题，其否定为“存在实数，使函数图象不过原点”，是假命题.
【点睛】
判断命题含全称量词或存在量词，如果题目省略了量词，判断时应该先补上.
36．（2020·湖北高一期末）已知命题存在实数，使成立.
（1）若命题P为真命题，求实数a的取值范围；
（2）命题任意实数，使恒成立.如果p，q都是假命题，求实数a的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由存在实数，使成立得，得实数的取值范围；
（2）由对勾函数单调性得，得，由已知得假假，两范围的补集取交集即可．
【详解】
解：（1）存在实数，使成立或，
实数a的取值范围为；
（2）任意实数，使恒成立，，，，
由题p，q都是假命题，那它们的补集取交集，实数a的取值范围.
【点睛】
本题考查了简易逻辑的判定、对勾函数的单调性，以及二次函数的取值和判别式△的关系，考查了推理能力，属于基础题．
37．（2019·山东省日照实验高级中学高二月考）某单位从一所学校招收某类特殊人才．对位已经选拨入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表：
逻辑思维能力
运动
协调能力
一般
良好
优秀
一般
良好
优秀
例如，表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生有人．由于部分数据丢失，只知道从这位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率为．
（）求，的值．
（）从参加测试的位学生中任意抽取位，求其中至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率．
（）从参加测试的位学生中任意抽取位，设运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为，求随机变量的分布列．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析.
【解析】
试题分析：（1）求，的值，由题意，从这位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率为，而由表中数据可知，运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生共有人，可由，解出的值，从而得的值；（2）由题意，从人中任意抽取人的方法数为，而至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的对立事件是，没有取到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生，而没有取到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的方法数为，由古典概型，可求出没有运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率，从而得所求的概率；（3）由题意得的可能取值为，由古典概型，分别求出它们的概率，得随机变量的分布列，从而得数学期望．
试题解析：（I）设事件：从位学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生．由题意可知，运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生共有人．
则．解得．所以． 4分
（2）设事件：从人中任意抽取人，至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生．
由题意可知，至少有一项能力测试优秀的学生共有人．
则． 7分
（3）的可能取值为，，．
位学生中运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为人．
所以，，．
所以的分布列为
0
1
2
所以，． 13分
考点：古典概型，分布列，数学期望．
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