高中人教版 (新课标)第六章 万有引力与航天综合与测试同步训练题

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第6讲 习题课：天体


运动








[时间：60分钟]


题组一 天体运动规律的理解及应用


1.(2015·山东理综·15)如图1所示，拉格朗日点L1位于地球和月球连线上，处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下，可与月球一起以相同的周期绕地球运动．据此，科学家设想在拉格朗日点L1建立空间站，使其与月球同周期绕地球运动．以a1、a2分别表示该空间站和月球向心加速度的大小，a3表示地球同步卫星向心加速度的大小．以下判断正确的是( )





图1


A．a2>a3>a1 B．a2>a1>a3


C．a3>a1>a2 D．a3>a2>a1


2．据观测，某行星外围有一模糊不清的环，为了判断该环是连续物还是卫星群，又测出了环中各层的线速度v的大小与该层至行星中心的距离R，则以下判断中正确的是( )


A．若v与R成正比，则环是连续物


B．若v与R成反比，则环是连续物


C．若v2与R成正比，则环是卫星群


D．若v2与R成反比，则环是卫星群


3．土星的卫星众多，其中土卫五和土卫六的半径之比为eq \f(R5,R6)，质量之比为eq \f(m5,m6)，围绕土星做圆周运动的半径之比为eq \f(r5,r6)，下列判断正确的是( )


A．土卫五和土卫六的公转周期之比为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(r5,r6)))


B．土星对土卫五和土卫六的万有引力之比为eq \f(m6,m5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(r6,r5)))2


C．土卫五和土卫六的公转速度之比为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(r6,r5)))


D．土卫五和土卫六表面的重力加速度之比为eq \f(m5,m6)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(R6,R5)))2


题组二 “赤道上的物体”与“同步卫星”以及“近地卫星”的区别


4．关于近地卫星、同步卫星、赤道上的物体，以下说法正确的是( )


A．都是万有引力等于向心力


B．赤道上的物体和同步卫星的周期、线速度、角速度都相等


C．赤道上的物体和近地卫星的轨道半径相同但线速度、周期不同


D．同步卫星的周期大于近地卫星的周期


5．设地球半径为R，a为静止在地球赤道上的一个物体，b为一颗近地绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，c为地球的一颗同步卫星，其轨道半径为r.下列说法中正确的是( )


A．a与c的线速度大小之比为eq \r(\f(r,R))


B．a与c的线速度大小之比为eq \r(\f(R,r))


C．b与c的周期之比为eq \r(\f(r,R))


D．b与c的周期之比eq \f(R,r)eq \r(\f(R,r))


6．我国发射的“北斗系列”卫星中同步卫星到地心距离为r，运行速率为v1，向心加速度为a1；在地球赤道上的观测站的向心加速度为a2，近地卫星做圆周运动的速率为v2，向心加速度为a3，地球的半径为R，则下列比值正确的是( )


A.eq \f(a1,a2)＝eq \f(r,R) B.eq \f(a2,a3)＝eq \f(R3,r3)


C.eq \f(v1,v2)＝eq \f(r,R) D.eq \f(a1,a2)＝eq \f(R2,r2)


题组三 卫星、飞船的发射和变轨问题


7.未来将建立月球基地，并在绕月轨道上建造空间站．如图2所示，关闭动力的航天飞机在月球引力作用下向月球靠近，并将与空间站在B处对接，已知空间站绕月轨道半径为r，周期为T，万有引力常量为G，下列说法中正确的是( )





图2


A．图中航天飞机正加速飞向B处


B．航天飞机在B处由椭圆轨道进入空间站轨道必须点火减速


C．根据题中条件可以算出月球质量


D．根据题中条件可以算出空间站受到月球引力的大小


8.如图3所示，2013年12月6日17时47分，在北京飞控中心工作人员的精密控制下，嫦娥三号开始实施近月制动，进入100公里环月轨道Ⅰ，2013年12月10日晚21∶20分左右，嫦娥三号探测器将再次变轨，从100公里的环月圆轨道Ⅰ，降低到近月点(B点)15公里、远月点(A点)100公里的椭圆轨道Ⅱ，为下一步月面软着陆做准备．关于嫦娥三号卫星，下列说法正确的是( )





图3


A．卫星在轨道Ⅱ上A点的加速度小于在B点的加速度


B．卫星沿轨道Ⅰ运动的过程中，卫星中的科考仪器处于失重状态


C．卫星从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ，在A点应加速


D．卫星在轨道Ⅱ经过A点时的速度小于在轨道Ⅱ经过B点时的速度


9.如图4所示，我国发射“神舟十号”飞船时，先将飞船发送到一个椭圆轨道上，其近地点M距地面200 km，远地点N距地面340 km.进入该轨道正常运行时，通过M、N点时的速率分别是v1和v2.当某次飞船通过N点时，地面指挥部发出指令，点燃飞船上的发动机，使飞船在短时间内加速后进入离地面340 km的圆形轨道，开始绕地球做匀速圆周运动，这时飞船的速率为v3.比较飞船在M、N、P三点正常运行时(不包括点火加速阶段)的速率大小和加速度大小，下列结论正确的是( )





图4


A．v1>v3>v2，a1>a3>a2


B．v1>v2>v3，a1>a2＝a3


C．v1>v2＝v3，a1>a2>a3


D．v1>v3>v2，a1>a2＝a3





题组四 双星及三星问题


10．宇宙中有两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下绕连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两颗星球之间的距离为L，质量之比为m1∶m2＝3∶2，则下列说法正确的是( )


A．m1、m2做圆周运动的线速度之比是3∶2


B．m1、m2做圆周运动的角速度之比是3∶2


C．m1做圆周运动的半径为eq \f(2,5)L


D．m2做圆周运动的半径为eq \f(2,5)L


11.宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，已观测到稳定的三星系统存在形式之一是：如图5所示，三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行，设每个星体的质量均为M，则( )





图5


A．环绕星运动的线速度为eq \r(\f(GM,R))


B．环绕星运动的角速度为eq \r(\f(5GM,4R))


C．环绕星运动的周期为T＝4πeq \r(\f(R3,5GM))


D．环绕星运动的周期为T＝2πeq \r(\f(R3,GM))


题组五 综合应用


12.如图6，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间的距离为L.已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧．引力常量为G.





图6


(1)求两星球做圆周运动的周期；


(2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1.但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为T2.已知地球和月球的质量分别为5.98×1024 kg和7.35×1022 kg.求T2与T1两者平方之比．(结果保留3位小数)





答案精析


第6讲 习题课：天体运动


1．D [因空间站建在拉格朗日点，故其周期等于月球的周期，根据a＝eq \f(4π2,T2)r可知，a2>a1，对空间站和地球的同步卫星而言，由于同步卫星的轨道半径较空间站的小，根据a＝eq \f(GM,r2)可知a3>a2，故选项D正确．]


2．AD [当环是连续物时，环上各点的角速度ω相同，v＝ωR，v与R成正比，A正确，B错误；当环是卫星群时，eq \f(GMm,R2)＝meq \f(v2,R)，v＝eq \r(\f(GM,R))，v2＝eq \f(GM,R)，v2与R成反比，故C错误，D正确．]


3．ACD [根据公式Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r得T＝eq \r(\f(4π2r3,GM))，所以eq \f(T5,T6)＝eq \f(\r(r\\al( 3,5)),\r(r\\al( 3,6)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(r5,r6)))，A正确；根据公式F＝Geq \f(Mm,r2)可得eq \f(F5,F6)＝eq \f(m 5r\\al( 2,6),m6r\\al( 2,5))，B错误；由公式Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)得v＝eq \r(\f(GM,r))，所以eq \f(v5,v6)＝eq \f(\r(r6),\r(r5))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(r6,r5)))，C正确；根据黄金代换公式gR2＝Gm可得g＝eq \f(Gm,R2)，所以eq \f(g5,g6)＝eq \f(m5R\\al( 2,6),m6R\\al( 2,5))，D正确．]


4．CD [赤道上的物体是由万有引力的一个分力提供向心力，A项错误；赤道上的物体和同步卫星有相同周期和角速度，但线速度不同，B项错误；同步卫星和近地卫星有相同的中心天体，根据eq \f(GMm,r2)＝meq \f(v2,r)＝meq \f(4π2,T2)r得v＝ eq \r(\f(GM,r))，T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，由于r同>r近，故v同T近，D正确；赤道上物体、近地卫星、同步卫星三者间的周期关系为T赤＝T同>T近，根据v＝ωr可知v赤

5．D [物体a与同步卫星c角速度相等，由v＝rω可得，二者线速度之比为eq \f(R,r)，选项A、B均错误；而b、c均为卫星，由T＝2πeq \r(\f(r3,GM))可得，二者周期之比为eq \f(R,r)eq \r(\f(R,r))，选项C错误，D正确．]


6．AB [由于在地球赤道上的观测站的运动和同步卫星的运动具有相同的角速度，根据a＝rω2可知eq \f(a1,a2)＝eq \f(r,R)，A项正确；再根据近地卫星做圆周运动的向心加速度为a3，由万有引力定律和牛顿第二定律F＝eq \f(GMm,r2)＝ma可知eq \f(a1,a3)＝eq \f(R2,r2)，由eq \f(a1,a3)＝eq \f(R2,r2)，eq \f(a1,a2)＝eq \f(r,R)知eq \f(a2,a3)＝eq \f(R3,r3)，因此B项正确．]


7．ABC [航天飞机在飞向B处的过程中，飞机受到的引力方向和飞行方向之间的夹角是锐角，月球引力做正功，A对；由运动的可逆性知，航天飞机在B处先减速才能由椭圆轨道进入空间站轨道，B对；设绕月球飞行的空间站质量为m，Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，可以算出月球质量M，C对；空间站的质量不知，不能算出空间站受到的月球引力大小，D错．]


8．ABD [根据Geq \f(Mm,r2)＝ma可知，轨道半径越小，加速度越大，因此A正确；卫星做匀速圆周运动时，所受到的万有引力完全来提供向心力，因此卫星内的所有物体都处于完全失重状态，B正确；在Ⅱ轨道上的A点，由于Geq \f(Mm,r2)>meq \f(v2,r)，因此卫星做近心运动，而在Ⅰ轨道上的A点，由于Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v′2,r)，因此v′>v，故卫星从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ，应在A点减速，C错误；从A到B的过程中，由开普勒第二定律得在Ⅱ上B点的速度大于Ⅱ上A点的速度，D正确．]


9．D [根据万有引力提供向心力，即eq \f(GMm,r2)＝ma得：a＝eq \f(GM,r2)，由图可知r1＜r2＝r3，所以a1＞a2＝a3；


当某次飞船通过N点时，地面指挥部发出指令，点燃飞船上的发动机，使飞船在短时间内加速后进入离地面340 km的圆形轨道，所以v3＞v2，根据eq \f(GMm,r2)＝eq \f(mv2,r)得v＝eq \r(\f(GM,r))又因为r1＜r3，所以v1＞v3故v1＞v3＞v2.故选D.]


10．C [两颗星球的角速度相等，B错误；根据eq \f(Gm1m2,L2)＝m1ω2r1＝m2ω2r2，r1＋r2＝L得，r1＝eq \f(2,5)L，r2＝eq \f(3,5)L，C正确，D错误；由v＝ωr知eq \f(v1,v2)＝eq \f(r1,r2)＝eq \f(2,3)，A错误．]


11．C [对于某一个环绕星而言，受到两个星的万有引力，两个万有引力的合力提供环绕星做圆周运动的向心力．


对某一个环绕星：Geq \f(M2,R2)＋Geq \f(M2,4R2)＝Meq \f(v2,R)＝MRω2＝MReq \f(4π2,T2)


得v＝eq \r(\f(5GM,4R))，ω＝eq \r(\f(5GM,4R3))，T＝4πeq \r(\f(R3,5GM)).故C正确．]


12．(1)2πeq \r(\f(L3,GM＋m)) (2)1.012


解析 (1)设两个星球A和B做匀速圆周运动的轨道半径分别为r和R，相互作用的引力大小为F，运行周期为T.根据万有引力定律有F＝Geq \f(mM,R＋r2)①


由匀速圆周运动的规律得F＝meq \f(4π2,T2)r②


F＝Meq \f(4π2,T2)R③


由题意得L＝R＋r④


联立①②③④式得T＝2πeq \r(\f(L3,GM＋m)).⑤


(2)在地月系统中，由于地月系统旋转所围绕的中心O不在地心，月球做圆周运动的周期可由⑤式得出


T1＝2πeq \r(\f(L′3,GM′＋m′))⑥


式中，M′和m′分别是地球与月球的质量，L′是地心与月心之间的距离．若认为月球在地球的引力作用下绕地心做匀速圆周运动，则Geq \f(M′m′,L′2)＝m′eq \f(4π2,T2)L′⑦


式中，T2为月球绕地心运动的周期．由⑦式得T2＝2πeq \r(\f(L′3,GM′))⑧


由⑥⑧式得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(T2,T1)))2＝1＋eq \f(m′,M′)


代入题给数据得eq \f(T\\al( 2,2),T\\al( 2,1))＝1.012.