高考真题汇编——理科数学（解析版）6：平面向量

高考真题分类汇编：平面向量

1.【高考真题重庆理6】设R，向量且，则

（A）       （B）         （C）           （D）10

【答案】B

 【解析】因为，所以有且，解得，，即，所以，，选B.

2.【高考真题浙江理5】设a，b是两个非零向量。

A.若|a+b|=|a|-|b|，则a⊥b

B.若a⊥b，则|a+b|=|a|-|b|

C.若|a+b|=|a|-|b|，则存在实数λ，使得b=λa

D.若存在实数λ，使得b=λa，则|a+b|=|a|-|b|

【答案】C

【解析】利用排除法可得选项C是正确的，∵|a＋b|＝|a|－|b|，则a，b共线，即存在实数λ，使得a＝λb．如选项A：|a＋b|＝|a|－|b|时，a，b可为异向的共线向量；选项B：若a⊥b，由正方形得|a＋b|＝|a|－|b|不成立；选项D：若存在实数λ，使得a＝λb，a，b可为同向的共线向量，此时显然|a＋b|＝|a|－|b|不成立．

3.【高考真题四川理7】设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（    ）

A、            B、           C、          D、且

 【答案】C

【解析】A.可以推得为既不充分也不必要条件；B.可以推得

或为必要不充分条件；C．为充分不必要条件；D同B.

4.【高考真题辽宁理3】已知两个非零向量a，b满足|a+b|=|ab|，则下面结论正确的是

(A) a∥b                           (B) a⊥b       

(C){0,1,3}                          (D)a+b=ab

【答案】B

【解析】一、由|a+b|=|ab|，平方可得ab=0, 所以a⊥b，故选B

二、根据向量加法、减法的几何意义可知|a+b|与|ab|分别为以向量a，b为邻边的平行四边形的两条对角线的长，因为|a+b|=|ab|，所以该平行四边形为矩形，所以a⊥b，故选B

【点评】本题主要考查平面向量的运算、几何意义以及向量的位置关系，属于容易题。解析一是利用向量的运算来解，解析二是利用了向量运算的几何意义来解。

5.【高考真题江西理7】在直角三角形中，点是斜边的中点，点为线段的中点，则=

A．2        B．4       C．5         D．10

【答案】D

【解析】将直角三角形放入直角坐标系中，如图，设，则，,所以，，，所以,所以，选D.

6.【高考真题湖南理7】在△ABC中，AB=2，AC=3，= 1则.

A.   B.    C.    D.

【答案】A

【解析】由下图知.

.又由余弦定理知，解得.

【点评】本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力，考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.需要注意的夹角为的外角.

7.【高考真题广东理3】若向量=（2,3），=（4,7），则=

A．（-2,-4）  B． (3,4)   C． (6,10)   D． (-6,-10)

【答案】A

 【解析】．故选A．

8.【高考真题广东理8】对任意两个非零的平面向量α和β，定义．若平面向量a，b满足|a|≥|b|＞0，a与b的夹角，且和都在集合中，则=

A．   B.1   C.     D.

 【答案】C

【解析】因为，，

且和都在集合中，所以，，所以，因为，所以，故有．故选C．

9.【高考真题安徽理8】在平面直角坐标系中，，将向量按逆时针旋转后，得向量，则点的坐标是（     ）

【答案】A

【命题立意】本题考查平面向量与三角函数交汇的运算问题。

【解析】【方法一】设，

则．

【方法二】将向量按逆时针旋转后得，则．

10.【高考真题天津理7】已知为等边三角形，AB=2，设点P，Q满足，，，若，则=

（A）                        （B）

    （C）                   （D）

【答案】A

【解析】如图，设 ，则，又，，由得，即，整理，即，解得选A.

11.【高考真题全国卷理6】△ABC中，AB边的高为CD，若a·b=0，|a|=1，|b|=2，则

(A)   （B）     (C)    (D)

【答案】D

【解析】在直角三角形中，,则,所以,所以,即，选D.

12.【高考真题新课标理13】已知向量夹角为 ，且；则

【答案】

【解析】因为，所以，即，所以，整理得，解得或（舍去）.

13.【高考真题浙江理15】在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则=________.

【答案】-16

【解析】法一此题最适合的方法是特例法．

假设ABC是以AB＝AC的等腰三角形，如图，

AM＝3，BC＝10，AB＝AC＝．

cos∠BAC＝．＝

法二：.

14.【高考真题上海理12】在平行四边形中，，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是          。

【答案】[2,5].

【解析】设=（0≤≤1），

则=,=，

则==

=+++,

又∵=2×1×=1，=4，=1，

∴=，

∵0≤≤1，∴2≤≤5，即的取值范围是[2,5].

15.【高考真题山东理16】如图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在，此时圆上一点的位置在，圆在轴上沿正向滚动。当圆滚动到圆心位于时，的坐标为______________.

【答案】

【解析】因为圆心移动的距离为2，所以劣弧，即圆心角,,则,所以，，所以，，所以。

16.【高考真题北京理13】已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为________，的最大值为______。

【答案】1，1

【解析】根据平面向量的数量积公式，由图可知，，因此，

，而就是向量在边上的射影，要想让最大，即让射影最大，此时E点与B点重合，射影为，所以长度为1．

17.【高考真题安徽理14】若平面向量满足：，则的最小值是。

【答案】

【命题立意】本题考查平面向量的模与数量积的运算。

【解析】

18.【高考江苏9】（5分）如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是  ▲  ．

【答案】。

【考点】向量的计算，矩形的性质，三角形外角性质，和的余弦公式，锐角三角函数定义。

【解析】由，得，由矩形的性质，得。

        ∵，∴，∴。∴。

        记之间的夹角为，则。

        又∵点E为BC的中点，∴。

        ∴

。

        本题也可建立以为坐标轴的直角坐标系，求出各点坐标后求解。