高考真题汇编——理科数学（解析版）5：三角函数

高考真题分类汇编：三角函数

一、选择题

1.【高考真题重庆理5】设是方程的两个根，则的值为

（A）-3       （B）-1         （C）1           （D）3

【答案】A

【解析】因为是方程的两个根，所以，，所以，选A.

2.【高考真题浙江理4】把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是

【答案】A

【解析】根据题设条件得到变化后的函数为，结合函数图象可知选项A符合要求。故选A.

3.【高考真题新课标理9】已知，函数在上单调递减.则的取值范围是（    ）

【答案】A

【解析】函数的导数为，要使函数在上单调递减，则有恒成立，

则，即，所以，当时，，又，所以有，解得，即，选A.

4.【高考真题四川理4】如图，正方形的边长为，延长至，使，连接、则（    ）

A、            B、              C、            D、

【答案】B

【解析】，

，

，

由正弦定理得，

所以.

5.【高考真题陕西理9】在中，角所对边长分别为，若，则的最小值为（     ）

A.         B.         C.        D.

【答案】C.

【解析】由余弦定理知，故选Ｃ．

6.【高考真题山东理7】若，，则

（A）           （B）           （C）         （D）

【答案】D

【解析】因为，所以，，所以，又，所以，，选D.

7.【高考真题辽宁理7】已知，(0，π)，则=

(A) 1          (B)          (C)        (D) 1

【答案】A

【解析一】

，故选A

【解析二】

，故选A

【点评】本题主要考查三角函数中的和差公式、倍角公式、三角函数的性质以及转化思想和运算求解能力，难度适中。

8.【高考真题江西理4】若tan+ =4,则sin2=

A．    B.     C.     D.

【答案】D

【命题立意】本题考查三角函数的倍角公式以及同角的三角函数的基本关系式。

【解析】由得， ，即，所以，选D.

9.【高考真题湖南理6】函数f（x）=sinx-cos(x+)的值域为

A． [ -2 ,2]    B.[-,]      C.[-1,1 ]    D.[- , ]

【答案】B

【解析】f（x）=sinx-cos(x+)，

，值域为[-,].

【点评】利用三角恒等变换把化成的形式，利用，求得的值域.

10.【高考真题上海理16】在中，若，则的形状是（    ）

A．锐角三角形       B．直角三角形       C．钝角三角形           D．不能确定

【答案】C

【解析】根据正弦定理可知由,可知，在三角形中，所以为钝角，三角形为钝角三角形，选C.

11.【高考真题天津理2】设则“”是“为偶函数”的

（A）充分而不必要条件   （B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件      （D）既不充分与不必要条件

【答案】A

【解析】函数若为偶函数，则有,所以“”是“为偶函数”的充分不必要条件，选A.

12.【高考真题天津理6】在中，内角A，B，C所对的边分别是，已知8b=5c，C=2B，则cosC=

（A）                       （B）

    （C）                      （D）

【答案】A

【解析】因为,所以,根据正弦定理有，所以，所以。又，所以，选A.

13.【高考真题全国卷理7】已知α为第二象限角，，则cos2α=

(A)     （B）      (C)       (D)

【答案】A

【解析】因为所以两边平方得，所以，因为已知α为第二象限角，所以，，所以=，选A.er二、填空题

14.【高考真题湖南理15】函数f（x）=sin ()的导函数的部分图像如图4所示，其中，P为图像与y轴的交点，A,C为图像与x轴的两个交点，B为图像的最低点.

（1）若，点P的坐标为（0，），则       ;

（2）若在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为       .

【答案】（1）3；（2）

【解析】（1），当，点P的坐标为（0，）时

；

（2）由图知，，设的横坐标分别为.

设曲线段与x轴所围成的区域的面积为则，由几何概型知该点在△ABC内的概率为.

【点评】本题考查三角函数的图像与性质、几何概型等，（1）利用点P在图像上求，

（2）几何概型，求出三角形面积及曲边形面积，代入公式即得.

15.【高考真题湖北理11】设△的内角，，所对的边分别为，，. 若，则角         ．

【答案】

【解析】

16.【高考真题北京理11】在△ABC中，若=2，b+c=7，cosB=，则b=_______。

【答案】4

【解析】在△ABC中，利用余弦定理 ，化简得：，与题目条件联立，可解得.

17.【高考真题安徽理15】设的内角所对的边为；则下列命题正确的是

①若；则        ②若；则  

③若；则    ④若；则

⑤若；则

【答案】①②③

【命题立意】本题解三角形的知识，主要涉及余弦定理与基本不等式的运算。

【解析】正确的是

①

②

③当时，与矛盾

④取满足得：

⑤取满足得：

18.【高考真题福建理13】已知△ABC得三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为_________.

【答案】．

【命题立意】本题考查了解三角形和等比数列的相关知识，难度适中．

【解析】设最小边长为，则另两边为.

所以最大角余弦

19.【高考真题重庆理13】设的内角的对边分别为，且，,则                

【答案】

【解析】因为,,所以，，,根据正弦定理得,解得.

20.【高考真题上海理4】若是直线的一个法向量，则的倾斜角的大小

为          （结果用反三角函数值表示）。

【答案】

【解析】设倾斜角为，由题意可知，直线的一个方向向量为（1,2），则，

∴=。

21.【高考真题全国卷理14】当函数取得最大值时，x=___________.

【答案】

【解析】函数为，当时，，由三角函数图象可知，当，即时取得最大值，所以.

22.【高考江苏11】（5分）设为锐角，若，则的值为  ▲  ．

【答案】。

【考点】同角三角函数，倍角三角函数，和角三角函数。

【解析】∵为锐角，即，∴。

        ∵，∴。∴。

        ∴。

        ∴

。

三、解答题

23.【高考真题新课标理17】（本小题满分12分）

已知分别为三个内角的对边，

（1）求    （2）若，的面积为；求.

【答案】（1）由正弦定理得：

     （2）

24.【高考真题湖北理17】（本小题满分12分）

已知向量，，设函数的图象关于直线对称，其中，为常数，且.

（Ⅰ）求函数的最小正周期；

（Ⅱ）若的图象经过点，求函数在区间上的取值范围.

【答案】（Ⅰ）因为

.                          

由直线是图象的一条对称轴，可得，        

所以，即．             

又，，所以，故.                    

所以的最小正周期是.                                      

（Ⅱ）由的图象过点，得，

即，即.          

故，                                         

由，有，

所以，得，

故函数在上的取值范围为.                   

25.【高考真题安徽理16】）(本小题满分12分)

  设函数。

（I）求函数的最小正周期；

（II）设函数对任意，有，且当时， ，求函数在上的解析式。

【答案】本题考查两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、三角函数的周期等性质、分段函数解析式等基础知识，考查分类讨论思想和运算求解能力。

【解析】

，

（I）函数的最小正周期

（2）当时，

当时，

当时，

得函数在上的解析式为。

26.【高考真题四川理18】(本小题满分12分)

 函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，、为图象与轴的交点，且为正三角形。

（Ⅰ）求的值及函数的值域；

（Ⅱ）若，且，求的值。

【答案】本题主要考查三角函数的图像与性质、同角三角函数的关系、两角和差公式，倍角公式等基础知识，考查基本运算能力，以及数形结合思想，化归与转化思想.

27.【高考真题陕西理16】（本小题满分12分）

函数（）的最大值为3， 其图像相邻两条对称轴之间的距离为，

（1）求函数的解析式；

（2）设，则，求的值。

 【答案】

28.【高考真题广东理16】（本小题满分12分）

已知函数，（其中ω＞0，x∈R）的最小正周期为10π．

（1）求ω的值；

（2）设，，，求cos（α＋β）的值．

【答案】本题考查三角函数求值，三角恒等变换，利用诱导公式化简三角函数式与两角和的余弦公式求值，难度较低。

【解析】

(1)

29.【高考真题山东理17】（本小题满分12分）

已知向量，函数的最大值为6.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象.求在上的值域.

 【答案】

解析：（Ⅰ），

则;

（Ⅱ）函数y=f（x）的图象像左平移个单位得到函数的图象，

再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数.

当时，，.

故函数g（x）在上的值域为.

另解：由可得，令，

则，而，则，

于是，

故，即函数g（x）在上的值域为.

30.【高考真题北京理15】（本小题共13分）已知函数。

（1）求的定义域及最小正周期；

（2）求的单调递减区间。

【答案】

31.【高考真题重庆理18】（本小题满分13分（Ⅰ）小问8分（Ⅱ）小问5分）

设，其中

（Ⅰ）求函数 的值域

（Ⅱ）若在区间上为增函数，求 的最大值.

【答案】

32.【高考真题浙江理18】(本小题满分14分)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA＝，sinB＝cosC．

(Ⅰ)求tanC的值；

(Ⅱ)若a＝，求ABC的面积．

【答案】本题主要考查三角恒等变换，正弦定理，余弦定理及三角形面积求法等知识点。

(Ⅰ)∵cosA＝＞0，∴sinA＝，

又cosC＝sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋sinCcosA

＝cosC＋sinC．

整理得：tanC＝．

(Ⅱ)由图辅助三角形知：sinC＝．

又由正弦定理知：，

故． (1)

对角A运用余弦定理：cosA＝． (2)

解(1) (2)得： or  b＝(舍去)．

∴ABC的面积为：S＝．

33.【高考真题辽宁理17】(本小题满分12分)

   在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c。角A，B，C成等差数列。

   (Ⅰ)求的值；

   (Ⅱ)边a，b，c成等比数列，求的值。

【答案】

【点评】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列的定义，考查转化思想和运算求解能力，属于容易题。第二小题既可以利用正弦定理把边的关系转化为角的关系，也可以利用余弦定理得到边之间的关系，再来求最后的结果。

34.【高考真题江西理18】（本小题满分12分）

在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c。已知，。

（1）求证：

（2）若，求△ABC的面积。

【答案】

【点评】本题考查解三角形，三角形的面积，三角恒等变换、三角和差公式以及正弦定理的应用.高考中，三角解答题一般有两种题型：一、解三角形：主要是运用正余弦定理来求解边长，角度，周长，面积等；二、三角函数的图像与性质：主要是运用和角公式，倍角公式，辅助角公式进行三角恒等变换，求解三角函数的最小正周期，单调区间，最值（值域）等.来年需要注意第二种题型的考查.

35.【高考真题全国卷理17】（本小题满分10分）（注意：在试卷上作答无效）

三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos（A-C）＋cosB=1，a=2c，求c.

【答案】

36.【高考真题天津理15】（本小题满分13分）

已知函数

（Ⅰ）求函数的最小正周期；

（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值.

【答案】

37.【高考江苏15】（14分）在中，已知．

（1）求证：；

（2）若求A的值．

【答案】解：（1）∵，∴，即。

        由正弦定理，得，∴。

           又∵，∴。∴即。

           （2）∵ ，∴。∴。

                ∴，即。∴。

                由 （1） ，得，解得。

                ∵，∴。∴。

【考点】平面微量的数量积，三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，解三角形。

【解析】（1）先将表示成数量积，再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明。

       （2）由可求，由三角形三角关系，得到，从而根据两角和的正切公式和（1）的结论即可求得A的值。