2021届贵州省黔东南州高三上学期第二次月考 文科数学试题（Word版，含答案解析）

2021届贵州省黔东南州高三上学期第二次月考

文科数学试题

一、单选题

1．复数（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用复数的除法计算公式，直接计算结果.

【详解】.

故选：A

2．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求出集合，再根据集合间的运算即可求出.

【详解】解：由知：，

解得：，

，

由知：，

，

.

故选：C.

3．抛物线的焦点坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先将抛物线化为标准方程，即可求出焦点坐标.

【详解】解：，

抛物线的标准方程为：，

即，

抛物线的焦点坐标为：.

故选：B.

4．已知函数，若，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】将，，代入求出，解不等式即可.

【详解】解：，

，

，

，

即，

解得：，

即.

故选：A.

5．已知双曲线的实轴长与一条渐近线斜率的4倍相等，则双曲线的虚轴长为（    ）

A．4 B． C．2 D．

【答案】A

【分析】根据题意得到，解出，即可求出双曲线的虚轴长.

【详解】解：由题意知：双曲线的实轴为，

又 ，

双曲线其中的一条渐近线的斜率为：，

即，

解得：，

即双曲线方程为：，

双曲线的虚轴长为：.

故选：A.

6．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明．下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用勾×股+（股-勾）朱实+黄实=弦实，化简得勾股=弦．设勾股形中勾股比为，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（ ）

A．800 B．866 C．134 D．200

【答案】D

【分析】首先设勾为，则股为，得到弦，再利用几何概型面积公式即可得到落在黄色图形内的概率为，从而得到答案.

【详解】解：设勾为，则股为，则弦，

则图中大正方形的面积为，小正方形的面积.

根据几何概型可知：落在黄色图形内的概率，

所以落在黄色图形内的图钉数大约为.

故选：D.

7．已知曲线在处的切线过点，则实数等于（    ）

A．2 B． C．3 D．

【答案】B

【分析】求导，进而求得，然后根据函数在处的切线过点，利用斜率相等求解.

【详解】因为，

所以，

则，

又因为函数在处的切线过点，

所以，

解得，

故选：B

8．执行如图所示的程序框图，则输出的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】按照程序框图运行程序即可求解.

【详解】解：由程序框图可知：

第一次进入循环：，，

第二次进入循环：，，

第三次进入循环：，，

第四次进入循环：，，

此时，，终止循环，输出.

故选：C.

9．如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（   ）

A．7 B．6 C．5 D．4

【答案】B

【解析】几何体如图，则体积为，选Ｂ．

10．将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象．若，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先通过平移变换得到函数，再利用已知条件代入计算求得参数即可.

【详解】依题意，函数，由得，即，故，即，即，

故，又，则，故，即.

故选：A.

【点睛】本题解题关键是灵活运用诱导公式和两角和与差的正弦公式进行化简计算得到，即能结合已知范围突破难点.

11．已知，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】首先利用换底公式化，，再通分化简，利用对数的性质判断正负，其他同理判断大小.

【详解】，，，

则，

，，即，

且，，即，

同理，即.

故选：C

【点睛】关键点点睛：本题考查做差法比较对数大小，关键是利用换底公式，换成同底对数后再做差化简.

12．的内角的对边分别为，已知成等差数列，，则的面积为（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】D

【分析】根据成等差数列，且，得到，然后利用两角差的余弦公式和二倍角公式，化简得到，由是边长为1的等边三角形求解.

【详解】因为成等差数列，且，

所以，

所以，

，

，

，

，

所以，

因为，

所以，

则是边长为1的等边三角形，

所以其面积为，

故选：D

二、填空题

13．已知，则向量与的夹角________．

【答案】

【分析】利用平面向量数量积的定义可求得与夹角的余弦值，结合夹角的取值范围即可求得结果.

【详解】解：，

即，

即，

解得：，

又，

.

故答案为：.

14．设满足约束条件，则的最大值为_________．

【答案】

【分析】画出不等式组所表示的平面区域，再根据目标函数的几何意义，即可求得的最大值.

【详解】解：画出不等式组所表示的平面区域，如图所示：

，

即，

易知当经过点时，取得最大值，

由 ，

解得：，

故.

故答案为：.

15．已知，则_________．

【答案】

【分析】由，利用诱导公式、二倍角余弦可得即可求值.

【详解】由题意知：，而，

∴，

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：首先由整体代换法得到的关系，结合诱导公式、二倍角公式得到含有已知三角函数值的函数式求值.

16．已知正三棱台的上下底边长分别为，高为7，若该正三棱台的六个顶点均在球的球面上，且球心在正三棱台内，则球的表面积为__________．

【答案】

【解析】分析：取正三棱台的上、下底面的中心分别为，则，得，解得，得，利用球的表面积公式即可求解．

详解：因为正三棱台的上、下底面边长分别为，

取正三棱台的上、下底面的中心分别为，

则正三棱台的高为，

在上下底面的等边三角形中，可得,

则球心在直线上，且半径为，

所以，且,

解得，所以，

所以球的表面积为．

点睛：本题考查了有关球的组合体问题，以及三棱锥的体积的求法，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径．

三、解答题

17．已知数列的前项和（其中），且的最小值为-9.

（1）确定常数，并求；

（2）若，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）利用求出最值，即可求，再用与关系，求；（2）根据通项特点，采用裂项相消法求和即可．

试题解析：

（1）因为，

所以，解得，.

当时，，显然当时，也满足.

所以.

（2）因为，

所以.

点睛：数列问题是高考中的重要问题，主要考查等差等比数列的通项公式和前项和，主要利用解方程得思想处理通项公式问题，利用分组求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列的和．在利用错位相减求和时，要注意提高运算的准确性，防止运算错误．

18．如图，在四棱台中，，O分别为上、下底面对角线的交点，平面，底面是边长为2的菱形，且.

（1）证明：平面；

（2）若，求三棱锥的体积

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）证明与和垂直后可得线面垂直；

（2）由求得，而，这样易计算出体积．

【详解】（1）证明：∵底面是菱形，∴.

∵平面，平面，∴，

∵，∴平面.

（2）解：连接，在中，，由，得

则，

.

【点睛】本题考查证明线面垂直，考查棱锥的体积，证明线面垂直可用线面垂直的判定定理证明，求三棱锥的体积可用换底法，换底后高易求，底面积易求即得体积．

19．唐三彩，中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画、雕塑等工艺美术的特点，在中国文化中占有重要的历史地位，在中国的陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔，唐三彩的生产至今已有1300多年的历史，对唐三彩的复制和仿制工艺，至今也有百余年的历史．某陶瓷厂在生产过程中，对仿制的100件工艺品测得其重量（单位；）数据，将数据分组如下表：

（1）在答题卡上完成频率分布表；

（2）以表中的频率作为概率，估计重量落在中的概率及重量小于2.45的概率是多少?

（3）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间的中点值是作为代表.据此，估计这100个数据的平均值.

【答案】（1）答案见解析（2），（3）.

【解析】试题分析：

(1)由题意计算的频数为30，据此计算频率值完成频率分布表即可；

(2)由题意结合古典概型计算公式可得重量落在中的概率为0.94，重量小于2.45的概率是0.45.

(3)由题意结合频率分布直方图中的平均值计算方法计算可得这100个数据的平均值是.

试题解析：

（1）

（2）重量落在中的概率约为，

或.

重量小于2.45的概率约为.

（3）这100个数据的平均值约为

.

20．已知椭圆的焦距为2，且．

（1）求椭圆的方程；

（2）若过点且斜率存在的直线交椭圆于两点，试问线段的中点是否有可能在椭圆上？若有可能，求直线的方程；若不可能，请说明理由．

【答案】（1）；（2）不可能，理由详见解析.

【分析】（1）根据椭圆的焦距为2得到，再结合求解.

（2）设，过点的直线方程为，与联立，利用韦达定理求得的中点坐标，代入椭圆求解.

【详解】（1）因为椭圆的焦距为2，

所以，又，

所以，

所以椭圆的方程是；

（2）设，过点的直线方程为：，

与联立得：，

由韦达定理得： ，

所以线段的中点坐标为，

若的中点在椭圆上，

则，

整理得，无解，

故线段的中点不可能在椭圆上.

【点睛】思路点睛：解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．

21．已知函数.

（1）若曲线在 处的切线与轴垂直，求的最大值；

（2）证明：当时，在上是单调函数.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】试题分析：（1），所以，令，求导解得最大值；（2）设，则，所以，所以，所以，即，所以在上递减．

试题解析：

（1）由，得，解得，

令，则，

可知函数在上单调递增，在上单调递减，

所以.

（2）设，则，因为，所以，

令得；令得，

所以，

又，所以，所以，即，所以在上递减，

从而命题得证.

点睛：本题考查导数在解题中的应用．在证明原函数单调的时候，只需证明导函数恒大于等于0或恒小于等于0即可，本题采用分参的思想，设，通过求导得到最小值，所以，即．

22．已知直线的参数方程为(为参数)，在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.

(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程(化为标准方程)；

(2)设直线与曲线交于两点，求.

【答案】（1）；（2）2．

【分析】(1)消去参数后可得直线的普通方程.

(2)求出直线的极坐标方程为，代入曲线的极坐标方程后可得两点对应的极径，从而可求的值.

【详解】解：(1)直线的普通方程为即，

曲线的直角坐标方程是，

即.

(2)直线的极坐标方程是，代入曲线的极坐标方程得：，所以，.

不妨设，则，

所以.

【点睛】关键点点睛：参数方程化为普通方程，关键是消去参数，消去参数的方法有代入消元、平方消元、加减消元等.

23．已知函数.

（1）证明：；

（2）若，求的取值范围．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）运用绝对值不等式的三角形式求出函数的最小值，然后利用基本不等式分析得出；（2）先将不等式化为，再利用分类整合的思想求解.

【详解】（1）证明：因为，

因为，所以，当且仅当时，取等号，

所以.

（2）可化为，因为，所以不等式化为，即，

①当时，不等式无解；

②当时，不等式化为，即

解得，

综上所述，.

【点睛】一般求解绝对值不等式的方法：

法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；

法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．