2021年高考数学解答题专项突破练习-《数列》四 教师版

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LISTNUM OutlineDefault \l 3 各项均不为0的数列{an}满足eq \f(an＋1an＋an＋2,2)=an＋2an，且a3=2a8=eq \f(1,5).


(1)证明：数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是等差数列，并求数列{an}的通项公式；


(2)若数列{bn}的通项公式为bn=eq \f(an,2n＋6)，求数列{bn}的前n项和Sn.


【答案解析】解：(1)证明：依题意，an＋1an＋an＋2an＋1=2an＋2an，两边同时除以anan＋1an＋2，


可得eq \f(1,an＋2)＋eq \f(1,an)=eq \f(2,an＋1)，故数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是等差数列，设数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))的公差为d.


因为a3=2a8=eq \f(1,5)，所以eq \f(1,a3)=5，eq \f(1,a8)=10，所以eq \f(1,a8)－eq \f(1,a3)=5=5d，即d=1，


故eq \f(1,an)=eq \f(1,a3)＋(n－3)d=5＋(n－3)×1=n＋2，故an=eq \f(1,n＋2).


(2)由(1)可知bn=eq \f(an,2n＋6)=eq \f(1,2)·eq \f(1,n＋2n＋3)=eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n＋2)－\f(1,n＋3)))，


故Sn=eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－\f(1,4)＋\f(1,4)－\f(1,5)＋…＋\f(1,n＋2)－\f(1,n＋3)))=eq \f(n,6n＋3).


LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1=－1，b1=1，a2＋b2=2．


(1)若a3＋b3=5，求{bn}的通项公式；


(2)若T3=21，求S3．


【答案解析】解：


设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则an=－1＋(n－1)d，bn=qn－1．


由a2＋b2=2得d＋q=3．①


(1)由a3＋b3=5得2d＋q2=6．②


联立①和②解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(d＝3，,q＝0))(舍去)或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(d＝1，,q＝2.))


因此{bn}的通项公式为bn=2n－1．


(2)由b1=1，T3=21得q2＋q－20=0．


解得q=－5或q=4．


当q=－5时，由①得d=8，则S3=21．


当q=4时，由①得d=－1，则S3=－6．


LISTNUM OutlineDefault \l 3 在数列{an}中，aeq \\al(2,n＋1)＋2an＋1=anan＋2＋an＋an＋2，且a1=2，a2=5.


(1)证明：数列{an＋1}是等比数列；


(2)求数列{an}的前n项和Sn.


【答案解析】解：


(1)证明：∵aeq \\al(2,n＋1)＋2an＋1=anan＋2＋an＋an＋2，


∴(an＋1＋1)2=(an＋1)(an＋2＋1)，


即eq \f(an＋1＋1,an＋1)=eq \f(an＋2＋1,an＋1＋1).


∵a1=2，a2=5，∴a1＋1=3，a2＋1=6，∴eq \f(a2＋1,a1＋1)=2，


∴数列{an＋1}是以3为首项，2为公比的等比数列．


(2)由(1)知，an＋1=3·2n－1，


∴an=3·2n－1－1，∴Sn=eq \f(31－2n,1－2)－n=3·2n－n－3.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 若数列{an}的前n项和为Sn，点(an，Sn)在y=eq \f(1,6)－eq \f(1,3)x的图象上(n∈N*)．


(1)求数列{an}的通项公式；


(2)若c1=0，且对任意正整数n都有cn＋1－cn=lgeq \f(1,2)an.求证：对任意正整数n≥2，


总有eq \f(1,3)≤eq \f(1,c2)＋eq \f(1,c3)＋eq \f(1,c4)＋…＋eq \f(1,cn)

【答案解析】解：


(1)∵Sn=eq \f(1,6)－eq \f(1,3)an，∴当n≥2时，an=Sn－Sn－1=eq \f(1,3)an－1－eq \f(1,3)an，∴an=eq \f(1,4)an－1.


又∵S1=eq \f(1,6)－eq \f(1,3)a1，∴a1=eq \f(1,8)，∴an=eq \f(1,8)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))n－1=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2n＋1.


(2)证明：由cn＋1－cn=lgeq \f(1,2)an=2n＋1，得当n≥2时，cn=c1＋(c2－c1)＋(c3－c2)＋…＋(cn－cn－1)=0＋3＋5＋…＋(2n－1)=n2－1=(n＋1)(n－1)．


∴eq \f(1,c2)＋eq \f(1,c3)＋eq \f(1,c4)＋…＋eq \f(1,cn)=eq \f(1,22－1)＋eq \f(1,32－1)＋eq \f(1,42－1)＋…＋eq \f(1,n2－1)


=eq \f(1,2)×eq \b\lc\[\rc\ (\a\vs4\al\c1(,,,,))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(1,4)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－\f(1,5)))＋…＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n－1)－\f(1,n＋1)))eq \b\lc\ \rc\](\a\vs4\al\c1(,,,,))


=eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,2)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n)＋\f(1,n＋1)))))=eq \f(3,4)－eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n)＋\f(1,n＋1)))

又∵eq \f(1,c2)＋eq \f(1,c3)＋eq \f(1,c4)＋…＋eq \f(1,cn)≥eq \f(1,c2)=eq \f(1,3)，


∴原式得证．


LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知数列{an}是等差数列，且a1，a2(a1

(1)求数列{an}的前n项和Sn；


(2)在(1)中，设bn=eq \f(Sn,n＋c)，求证：当c=－eq \f(1,2)时，数列{bn}是等差数列．


【答案解析】解：


(1)∵a1，a2(a1

∴a1=1，a2=5，∴等差数列{an}的公差为4，


∴Sn=n·1＋eq \f(nn－1,2)·4=2n2－n.


(2)证明：当c=－eq \f(1,2)时，bn=eq \f(Sn,n＋c)=eq \f(2n2－n,n－\f(1,2))=2n，


∴bn＋1－bn=2(n＋1)－2n=2，b1=2.


∴数列{bn}是以2为首项，2为公差的等差数列.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 在等差数列{an}中，，．


（1）求数列{an}的通项公式；


（2）设数列是首项为，公比为的等比数列，求{bn}的前项和．


【答案解析】





LISTNUM OutlineDefault \l 3 △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.


（1）已知a=bcsC+csinB，求B；


（2）若a，b，c成等比数列，求证：B≤.


【答案解析】解：





LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知数列{an}满足an+1=λan+2n(n∈N*，λ∈R)，且a1=2．


(1)若λ=1，求数列{an}的通项公式；


(2)若λ=2，证明数列{}是等差数列，并求数列{an}的前n项和Sn．


【答案解析】解：





LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知正项等比数列{an}满足a1,2a2,a3+6成等差数列，且a42=9a1a3．


（1）求数列{an}的通项公式；


（2）设，求数列{bn}的前n项和Tn．


【答案解析】


解：





LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．


（1）求{an}的通项公式；


（2）求和：b1+b3+b5+…+b2n-1.


【答案解析】


解：





LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知{an}是各项均为正数的等比数列,且a1+a2=6,a1a2=a3.


（1）求数列{an}的通项公式；


（2）{bn}为各项非零的等差数列,其前n项和Sn,已知S2n+1=bnbn+1,求数列的前n项和Tn.


【答案解析】


解：





LISTNUM OutlineDefault \l 3 在数列{an}中，，


（1）写出这个数列的前4项，并猜想这个数列的通项公式；


（2）证明这个数列的通项公式.


【答案解析】


解：





LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知数列{an}的前n项和，数列{bn}满足=．


(I)求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}}的通项公式；


(Ⅱ)设，数列{}的前n项和为Tn，求满足 的n的最大值。


【答案解析】





LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知数列{an},{cn}满足条件:a1=1,an+1=2an+1,cn=.


(1)求证数列{an+1}是等比数列,并求数列{an}的通项公式;


(2)求数列{cn}的前n项和Tn,并求使得am>对任意n∈N都成立的正整数m的最小值.


【答案解析】解：





LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知数列{an}的前n项和为，且.


（1）求数列{an}的通项公式；


（2）定义，其中为实数的整数部分，为x的小数部分，且，记，求数列{cn}的前n项和.


【答案解析】解：