2021年高考数学解答题专项突破练习-《数列》二教师版

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这是一份2021年高考数学解答题专项突破练习-《数列》二教师版，共8页。

LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知各项均为正数的等比数列{an}前n项和Sn，，.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设，求数列{bn}的前n项和Tn.

【答案解析】解：(Ⅰ) ；(Ⅱ) .

LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知数列{an}的各项均为正数，记数列{an}的前n项和为Sn，数列{aeq \\al(2,n)}的前n项和为Tn，且3Tn=Seq \\al(2,n)＋2Sn，n∈N*.

(1)求a1的值；

(2)求数列{an}的通项公式．

【答案解析】解：(1)由3T1=Seq \\al(2,1)＋2S1，得3aeq \\al(2,1)=aeq \\al(2,1)＋2a1，即aeq \\al(2,1)－a1=0.

因为a1＞0，所以a1=1.

(2)因为3Tn=Seq \\al(2,n)＋2Sn，①

所以3Tn＋1=Seq \\al(2,n＋1)＋2Sn＋1，②

②－①，得3aeq \\al(2,n＋1)=Seq \\al(2,n＋1)－Seq \\al(2,n)＋2an＋1.

因为an＋1＞0，所以3an＋1=Sn＋1＋Sn＋2，③

所以3an＋2=Sn＋2＋Sn＋1＋2，④

④－③，得3an＋2－3an＋1=an＋2＋an＋1，即an＋2=2an＋1，

所以当n≥2时，eq \f(an＋1,an)=2.

又由3T2=Seq \\al(2,2)＋2S2，

得3(1＋aeq \\al(2,2))=(1＋a2)2＋2(1＋a2)，即aeq \\al(2,2)－2a2=0.

因为a2＞0，所以a2=2，所以eq \f(a2,a1)=2，

所以对n∈N*，都有eq \f(an＋1,an)=2成立，

所以数列{an}的通项公式为an=2n－1，n∈N*.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知数列{an}的前项和为，且满足.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设函数，数列满足条件，，，

若，求数列的前项和

【答案解析】（1）（2）

LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知{an}为等差数列，前n项和为Sn(n∈N*),{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0,b2+b3=12，b3=a4-2a1，S11=11b4.

(1)求{an}和{bn}的通项公式；

(2)求数列{a2nb2n-1}的前n项和(n∈N*).

【答案解析】解：

LISTNUM OutlineDefault \l 3 在数列{an}中，an＋1＋an=2n－44(n∈N*)，a1=－23．

(1)求an；

(2)设Sn为{an}的前n项和，求Sn的最小值．

【答案解析】解：

(1)∵an＋1＋an=2n－44(n∈N*)，①

an＋2＋an＋1=2(n＋1)－44，②

由②－①，得an＋2－an=2．

又∵a2＋a1=2－44，a1=－23，∴a2=－19，

同理得，a3=－21，a4=－17．

故a1，a3，a5，…是以a1为首项，2为公差的等差数列，

a2，a4，a6，…是以a2为首项，2为公差的等差数列．

从而an=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n－24，n为奇数，,n－21，n为偶数.))

(2)当n为偶数时，

Sn=(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(an－1＋an)

=(2×1－44)＋(2×3－44)＋…＋[2(n－1)－44]

=2[1＋3＋…＋(n－1)]－eq \f(n,2)×44=eq \f(n2,2)－22n，

故当n=22时，Sn取得最小值为－242．

当n为奇数时，

Sn=a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(an－1＋an)

=a1＋(2×2－44)＋…＋[2×(n－1)－44]

=a1＋2[2＋4＋…＋(n－1)]＋eq \f(n－1,2)·(－44)

=－23＋eq \f(n＋1n－1,2)－22(n－1)

=eq \f(n2,2)－22n－eq \f(3,2)．

故当n=21或n=23时，Sn取得最小值－243．

综上所述：当n为偶数时，Sn取得最小值为－242；

当n为奇数时，Sn取得最小值为－243．

LISTNUM OutlineDefault \l 3 {an}为等差数列，公差d＞0，Sn是数列{an}前n项和，已知a1a4=27，S4=24．

(1)求数列{an}的通项公式an；

(2)令bn=an•2n，求数列{bn}的前n项和Tn．

【答案解析】解：(1)∵a1a4=27，S4=24． ∴，

解得a1=3，d=2． ∴an=3+2(n-1)=2n+1．

(2)bn=an•2n=(2n+1)•2n． ∴数列{bn}的前n项和Tn=3×2+5×22+…+(2n+1)•2n，

2Tn=3×22+5×23+…+(2n-1)•2n+(2n+1)•2n+1，

∴-Tn=6+2×(22+23+…+2n)-(2n+1)•2n+1=2+2×-(2n+1)•2n+1=-2+(1-2n)•2n+1，

∴Tn=(2n-1)•2n+1+2．

LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知数列{an}是等比数列，首项为a1=1，公比q>0，其前n项和为Sn，且S1+a1,S3+a3,S2+a2成等差数列.

（1）求{an}的通项公式；

（2）若数列{bn}满足为数列{bn}前n项和，若Tn≥m恒成立，求m的最大值.

【答案解析】

解：

LISTNUM OutlineDefault \l 3 函数f（x）=ae2csx（x∈[0，+∞），记xn为f（x）的从小到大的第n（n∈N*）个极值点．

（1）证明：数列{f（xn）}是等比数列；

（2）若对一切n∈N*，xn≤|f（xn）|恒成立，求a的取值范围．

【答案解析】

解：

LISTNUM OutlineDefault \l 3 设数列{an}满足.

（1）求{an}的通项公式；（2）求数列的前n项和.

【答案解析】解：

LISTNUM OutlineDefault \l 3 设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，S3=12．

(1)求a24与S7的值；

(2)已知m、n均为正整数，满足am=Sn．试求所有n的值构成的集合．

【答案解析】解：

LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知数列{an}与{bn}满足an+1-an=2(bn+1-bn)(,n∈N).

(1)若a1=1,bn=3n+5，求数列{an}的通项公式；

(2)若a1=6，bn=2n(n∈N*)且λan>2n+n+2λ对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围.

【答案解析】解：

LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn+1=Sn+1，其中q﹥0，n∈N+.

(1)若a2，a3，a2+ a3成等差数列，求数列{an}的通项公式；

(2)设双曲线的离心率为en，且e2=2，求e12+ e22+…+en2，

【答案解析】解：

LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn＋1=qSn＋1，其中q＞0，n∈N*.

(1)若2a2，a3，a2＋2成等差数列，求数列{an}的通项公式；

(2)设双曲线x2－eq \f(y2,a\\al(2,n))=1的离心率为en，且e2=eq \f(5,3)，证明：e1＋e2＋…＋en＞eq \f(4n－3n,3n－1).

【答案解析】解：(1)由已知，Sn＋1=qSn＋1，Sn＋2=qSn＋1＋1，

两式相减得到an＋2=qan＋1，n≥1.

又由S2=qS1＋1得到a2=qa1，

故an＋1=qan对所有n≥1都成立.

所以，数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列.

从而an=qn－1.由2a2，a3，a2＋2成等差数列，

可得2a3=3a2＋2，即2q2=3q＋2，则(2q＋1)(q－2)=0，

由已知，q＞0，故q=2.

所以an=2n－1(n∈N*).

(2)证明：由(1)可知，an=qn－1.

所以双曲线x2－eq \f(y2,a\\al(2,n))=1的离心率en=eq \r(1＋a\\al(2,n))=eq \r(1＋q2n－1).

由e2=eq \r(1＋q2)=eq \f(5,3)，解得q=eq \f(4,3).

因为1＋q2(k－1)＞q2(k－1)，所以eq \r(1＋q2k－1)＞qk－1(k∈N*).

于是e1＋e2＋…＋en＞1＋q＋…＋qn－1=eq \f(qn－1,q－1)，

故e1＋e2＋…＋en＞eq \f(4n－3n,3n－1).

LISTNUM OutlineDefault \l 3 设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an＋1.

(1) 求数列{an}的通项公式；

(2)若数列{bn}满足，n∈N*，求{bn}的前n项和Tn.

【答案解析】 (1) an=2n－1;(2)

LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知数列满足，，.

（1）求证：数列是等比数列，并且求出数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.

【答案解析】解：