（人教版）数学中考总复习17总复习：二次函数（基础）珍藏版

中考总复习：二次函数—知识讲解（基础）

【考纲要求】

1．二次函数的概念常为中档题．主要考查点的坐标、确定解析式、自变量的取值范围等；

2．二次函数的解析式、开口方向、对称轴、顶点坐标等是中考命题的热点；

3．抛物线的性质、平移、最值等在选择题、填空题中都出现过，覆盖面较广，而且这些内容的综合题一般较难，在解答题中出现．

【知识网络】

【考点梳理】

考点一、二次函数的定义

    一般地，如果（a、b、c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数．

要点诠释：

二次函数(a≠0)的结构特征是：(1)等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．(2)二次项系数a≠0．

考点二、二次函数的图象及性质

1.二次函数(a≠0)的图象是一条抛物线，顶点为．

2.当a＞0时，抛物线的开口向上；当a＜0时，抛物线的开口向下．

3.①|a|的大小决定抛物线的开口大小．|a|越大，抛物线的开口越小，|a|越小，抛物线的开口越大．

  ②c的大小决定抛物线与y轴的交点位置．c＝0时，抛物线过原点；c＞0时，抛物线与y轴交于正半轴；c＜0时，抛物线与y轴交于负半轴．

    ③ab的符号决定抛物线的对称轴的位置．当ab＝0时，对称轴为y轴；当ab＞0时，对称轴在y轴左侧；当ab＜0时，对称轴在y轴的右侧．

4.抛物线的图象，可以由的图象移动而得到．

将向上移动k个单位得：．

将向左移动h个单位得：．

将先向上移动k(k＞0)个单位，再向右移动h(h＞0)个单位，即得函数的图象．

要点诠释：

求抛物线（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．

考点三、二次函数的解析式

1.一般式：(a≠0)．

    若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为，将已知条件代入，求出a、b、c的值．

2.交点式（双根式）：．

    若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2，0)，设所求二次函数为，将第三点(m，n)的坐标(其中m、n为已知数)或其他已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式．

3.顶点式：．

    若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值)，设所求二次函数为，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式．

4.对称点式：．

若已知二次函数图象上两对称点(x1，m)，(x2，m)，则可设所求二次函数为

，将已知条件代入，求得待定系数，最后将解析式化为一般形式．

要点诠释：

    已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
(可以看成的图象平移后所对应的函数).已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).

考点四、二次函数(a≠0) 的图象的位置与系数a、b、c的关系

1.开口方向：a＞0时，开口向上，否则开口向下．

2.对称轴：时，对称轴在y轴的右侧；当时，对称轴在y轴的左侧．

3.与x轴交点：时，有两个交点；时，有一个交点；时，没有交点．

要点诠释：

     当x＝1时，函数y＝a+b+c；

     当x＝-1时，函数y＝a-b+c；

     当a+b+c＞0时，x＝1与函数图象的交点在x轴上方，否则在下方；

     当a-b+c＞0时，x＝-1与函数图象的交点在x轴的上方，否则在下方．

考点五、二次函数的最值

1.当a＞0时，抛物线有最低点，函数有最小值，当时，．

2.当a＜0时，抛物线有最高点，函数有最大值，当时，．

要点诠释：

    在求应用问题的最值时，除求二次函数的最值，还应考虑实际问题的自变量的取值范围．

【典型例题】

类型一、应用二次函数的定义求值

1．二次函数y=x2-2（k+1）x+k+3有最小值-4，且图象的对称轴在y轴的右侧，则k的值是            2．

【思路点拨】

因为图象的对称轴在y轴的右侧，所以对称轴x=k+1＞0，即k＞-1；又因为二次函数y=x2-2（k+1）x+k+3有最小值-4，所以y最小值= =-4，可以求出k的值．

【答案与解析】

解：∵图象的对称轴在y轴的右侧，
∴对称轴x=k+1＞0，
解得k＞-1，
∵二次函数y=x2-2（k+1）x+k+3有最小值-4，
∴y最小值= =k+3-（k+1）2=-k2-k+2=-4，
整理得k2+k-6=0，
解得k=2或k=-3，
∵k=-3＜-1，不合题意舍去，
∴k=2．

【总结升华】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，

第三种是公式法．

举一反三：

【变式】已知是二次函数，求k的值．

【答案】∵是二次函数，则

由得，

即，得，．显然，当k＝-3时，

原函数为y＝0，不是二次函数．

∴  k＝2即为所求．

类型二、二次函数的图象及性质的应用

2．把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为(    )．

         A．      B．

         C．      D．

【思路点拨】

抛物线的平移问题，实质上是顶点的平移，原抛物线y=-x2顶点坐标为（0，0），向左平移1个单位，然后向上平移3个单位后，顶点坐标为（-1，3），根据抛物线的顶点式可求平移后抛物线的解析式．

【答案】 D；

【解析】根据抛物线的平移规律可知：向左平移1个单位可变成，

再向上平移3个单位后可变成．

【总结升华】(1)图象向左或向右平移|h|个单位，可得的图象(h＜0时向左，h＞0时向右)．

         (2)的图象向上或向下平移|k|个单位，可得的图象(k＞0时向上，k＜0时向下)．

举一反三：

【变式】将二次函数的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得图象的函

数表达式是(   )

A．       B．

        C．       D．

【答案】按照平移规律“上加下减，左加右减”得．故选A.

类型三、求二次函数的解析式

3．已知二次函数的图象经过点(1，0)，(-5，0)，顶点纵坐标为，求这个二次函数的解析式．

【思路点拨】

将点（1，0），（-5，0）代入二次函数y=ax2+bx+c，再由 ，从而求得a，b，c的值，即得这个二次函数的解析式．

【答案与解析】

解法一：由题意得   解得

所以二次函数的解析式为．

解法二：由题意得  ．

把代入，得，解得．

所以二次函数的解析式为，

即  ．

解法三：因为二次函数的图象与x轴的两交点为(1，0)，(-5，0)，由其对称性知，

对称轴是直线．所以，抛物线的顶点是．

可设函数解析式为．即．

【总结升华】根据题目的条件，有多种方法求二次函数的解析式．

举一反三：

【变式】已知：抛物线经过点．

（1）求的值；

（2）若，求这条抛物线的顶点坐标；

（3）若，过点作直线轴，交轴于点，交抛物线于另一点，且，求这条抛物线所对应的二次函数关系式．（提示：请画示意图思考）

【答案】

解：（1）依题意得：，

．

（2）当时，，

抛物线的顶点坐标是．

（3）解法1：当时，抛物线对称轴，

对称轴在点的左侧．

因为抛物线是轴对称图形，且．

．

．

又，．

抛物线所对应的二次函数关系式．

解法2：当时，，

对称轴在点的左侧．因为抛物线是轴对称图形，

，且

．

又，解得：

这条抛物线对应的二次函数关系式是．

解法3：，，

轴，

即：．

解得：，即

由，．

这条抛物线对应的二次函数关系式.

类型四、二次函数图象的位置与a、b、c的关系

4．如图所示是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过A点（3，0），对称轴为x=1，给出四个结论：①b2-4ac＞0；②2a+b=0；③a+b+c=0；④当x=-1或x=3时，函数y的值都等于0．把正确结论的序号填在横线上 ①②④            ．

【思路点拨】

根据函数图象得出抛物线开口向下得到a小于0，且抛物线与x轴交于两个点，得出根的判别式大于0，即选项①正确；对称轴为x=1，利用对称轴公式列出关于a与b的关系式，整理后得到2a+b=0，选项②正确；由图象得出x=1时对应的函数值大于0，将x=1代入抛物线解析式得出a+b+c大于0，故选项③错误；由抛物线与x轴的一个交点为A（3，0），根据对称轴为x=1，利用对称性得出另一个交点的横坐标为-1，从而得到x=-1或x=3时，函数值y=0，选项④正确，即可得出正确的选项序号．

【答案与解析】

解：由图象可知：抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，对称轴为x=1，
与y轴交点在正半轴，与x轴有两个交点，
∴a＜0，b＞0，c＞0，b2-4ac＞0，选项①正确；
当x=1时，y=a+b+c＞0，选项③错误；
∵图象过A点（3，0），对称轴为x=1，
∴另一个交点的横坐标为-1，即坐标为（-1，0），
又，∴2a+b=0，选项②正确；
∴当x=-1或x=3时，函数y的值都等于0，选项④正确，
则正确的序号有①②④．
故答案为：①②④.

【总结升华】

此题考查了抛物线图象与系数的关系，其中a由抛物线的开口方向决定，a与b同号对称轴在y轴左边；a与b异号对称轴在y轴右边，c的符合由抛物线与y轴的交点在正半轴或负半轴有关；抛物线与x轴的交点个数决定了根的判别式的正负，此外还要在抛物线图象上找出特殊点对应函数值的正负来进行判断．

举一反三：

【变式】如图所示是二次函数图象的一部分，图象经过点A(-3，0)，对称轴为．给出四个结论：①；②；③；④．其中正确结论是（   ）．

    A．②④    B．①④    C．②③    D．①③

【答案】本例是利用二次函数图象的位置与a、b、c的和、差、积的符号问题，其中利用直线， 交抛物线的位置来判断，的符号问题应注意理解和掌握．

由图象开口向下，可知a＜0，图象与x轴有两个交点，所以，，

①正确．对称轴为，所以，又由a＜0，b＝2a，可得5b＜b，④正确．

故选B.

类型五、求二次函数的最值

5．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元)．设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为)y元．

(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．

    (2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元?

(3)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上的结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元?

【思路点拨】

（1）每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件，当每件商品的售价上涨x元时，每个月可卖出（210-10x）件，每件商品的利润为x+50-40=10+x；

（2）每个月的利润为卖出的商品数和每件商品的乘积，即（210-10x）（10+x），当每个月的利润恰为2200元时得到方程（210-10x）（10+x）=2200．求此方程中x的值．

【答案与解析】

(1)y＝(210-l0x)(50+x-40)＝-10x2+110x+2100(0<x≤15且x为整数)．

    (2)y＝-10(x-5.5)2+2402.5．

     ∵  a＝-10＜0，∴  当x＝5.5时，y有最大值2402.5．

     ∵  0<x≤15，且x为整数，

     ∴  当x＝5时，50+x＝55，y＝2400(元)；

当x＝6时，50+x＝56，y＝2400(元)．

     ∴  当售价定为每件55元或56元时，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元．

    (3)当y＝2200时，-10x2+110x+2100＝2200，

     解得x1＝1，x2＝10．

     ∴  当x＝1时，50+x＝51；当x＝10时，50+x＝60．

     ∴  当售价定为每件51元或60元时，每个月的利润为2200元．

【总结升华】

做此类应用题时，要明确题目中所给的信息，并找到其中相等的量可以用不同的表达式表示就可以列出方程．

举一反三：

【变式】某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高l元，平均每天少销售3箱。

      (1)求平均每天销售量y(箱)与销售价x(元/箱)之间的函数关系式．

      (2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售价x(元/箱)之间的函数关系式．

(3)当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少?

【答案】

解：(1)，

        化简得y＝-3x+240(50≤x≤55)．

(2)w＝(x-40)(-3x+240)

(50≤x≤55)．

    (3)w＝，

     ∵  a＜0，∴  抛物线开口向下．

当时，w有最大值，

     又x＜60，w随x的增大而增大．

     ∴  当x＝55元时，w的最大值为l125元。

∴  当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得1125元的最大利润．

类型六、二次函数综合题

6．根据下列表格中二次函数的自变量x与函数值y的对应值，判断方程(a≠0，a，b，c常数)的一个解x的取值范围是(    )

A．6＜x＜6.17        B．6.17＜x＜6.18

    C．6.18＜x＜6.19     D．6.19＜x＜6.20

【思路点拨】

利用二次函数和一元二次方程的性质，由表格中的数据看出-0.01和0.02更接近于0，故x应取对应的范围．

【答案】C；

【解析】方程的一个解即使y＝0的一个x值．因为y＝0在-0.01～0.02之间，所以对应的x满足6.18＜x＜6.19，故选C．

【总结升华】每个二次函数令都对应着一个一元二次方程．

一元二次方程的解二次函数令时对应的x的值．

举一反三：

【变式1】已知函数的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y≥1成立的x的取值范围是(    )

A．-1≤x≤3    B．-3≤x≤1    C．x≥-3    D．x≤-1或x≥3

【答案】由图象知，使y＝l成立的x的值为x＝-1，x＝3，使y＞1的图象是在直线y＝1上方的两部分．

答案：D.

【变式2】已知：抛物线（为常数，且）.

（1）求证：抛物线与轴有两个交点；

（2）设抛物线与轴的两个交点分别为、（在左侧），与轴的交点为.

①当时，求抛物线的解析式；

②将①中的抛物线沿轴正方向平移个单位（>0），同时将直线：沿轴正方向平移个单位.平移后的直线为，移动后、的对应点分别为、.当为何值时，在直线上存在点，使得△为以为直角边的等腰直角三角形?

【答案】

（1）证明：令,则.

△=．

∵ ,

∴ ．

∴ △.   

∴ 方程有两个不相等的实数根.

∴ 抛物线与轴有两个交点.

（2）①令,则，

解方程，得.

∵ 在左侧,且,

∴ 抛物线与轴的两个交点为，.

∵ 抛物线与轴的交点为，∴ .

∴ .

在Rt△中，，

．

可得 ．

∵ ，∴ ．

∴ 抛物线的解析式为.

   ②依题意，可得直线的解析式为，

,,.

∵ △为以为直角边的等腰直角三角形，

∴ 当时，点的坐标为或.

∴ .

解得 或.

当时，点的坐标为或.

∴.

解得或（不合题意，舍去）.

综上所述，或.