2019年河南省六市高考数学一模试卷（文科）

这是一份2019年河南省六市高考数学一模试卷（文科），共27页。

2019年河南省六市高考数学一模试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．（5分）设集合，，，，则　　
A．，，0， B．，0， C．， D．
2．（5分）　　
A． B． C． D．
3．（5分）某中学有高中生3000人，初中生2000人，男、女生所占的比例如图所示．为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本，已知从高中生中抽取女生21人，则从初中生中抽取的男生人数是　　

A．12 B．15 C．20 D．21
4．（5分）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为　　
A．升 B．升 C．升 D．升
5．（5分）已知，：函数为奇函数，则是成立的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（5分）已知变量、满足约束条件，则目标函数的最大值是　　
A． B． C． D．6
7．（5分）函数的图象大致为　　
A． B．
C． D．
8．（5分）设函数，，与直线的交点的横坐标构成以为公差的等差数列，且是图象的一条对称轴，则下列区间中是函数的单调递减区间的是　　
A． B． C． D．
9．（5分）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（阴影部分）围成一个大正方形，中间空出一个小正方形组成的图形，若在大正方形内随机取一点，该点落在小正方形的概率为，则图中直角三角形中较大锐角的正弦值为　　

A． B． C． D．
10．（5分）已知等差数列的前项和为，若，，那么此数列中绝对值最小的项为　　
A． B． C． D．
11．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，过该几何体最短两条棱的中点作平面，使得平分该几何体的体积，则可以作此种平面　　

A．恰好1个 B．恰好2个 C．至多3个 D．至少4个
12．（5分）已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，直线与曲线相交于，两点，若，则　　
A． B． C．10 D．11
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．（5分）已知，，若，则实数　 　．
14．（5分）三棱锥中，，，两两成，且，，则该三棱锥外接球的表面积为　　．
15．（5分）已知双曲线，焦距为，直线经过点和，若到直线的距离为，则离心率为　　．
16．（5分）若函数在单调递减，则的取值范围是　　．
三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12分）的内角，，的对边分别为，，，已知，．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求的面积的最大值．
18．（12分）2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占，而男生有10人表示对冰球运动没有兴趣额．
（1）完成列联表，并回答能否有的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？

有兴趣
没兴趣
合计
男


55
女



合计



（2）已知在被调查的女生中有5名数学系的学生，其中3名对冰球有兴趣，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至少有2人对冰球有兴趣的概率．
附表：

0.150
0.100
0.050
0.025
0.010

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635

19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，交于点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若，求到平面的距离．

20．（12分）已知椭圆的左、右两个焦点，，离心率，短轴长为2．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）如图，点为椭圆上一动点（非长轴端点），的延长线与椭圆交于点，的延长线与椭圆交于点，求面积的最大值．

21．（12分）已知函数．
（1）求函数的单调区间和极值；
（2）若函数对任意满足，求证：当，；
（3）若，且，求证：．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]
22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线，曲线的参数方程为为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线，的极坐标方程；
（Ⅱ）在极坐标系中，射线与曲线，分别交于，两点（异于极点，定点，求的面积．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数．
（Ⅰ）解不等式：；
（Ⅱ）当时时，函数恒为正值，求实数的取值范围．

2019年河南省六市高考数学一模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．（5分）设集合，，，，则　　
A．，，0， B．，0， C．， D．
【分析】先求出集合，由此利用并集的定义能求出的值．
【解答】解：集合，，
，，，
，0，．
故选：．
【点评】本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．
2．（5分）　　
A． B． C． D．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：
．
故选：．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．
3．（5分）某中学有高中生3000人，初中生2000人，男、女生所占的比例如图所示．为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本，已知从高中生中抽取女生21人，则从初中生中抽取的男生人数是　　

A．12 B．15 C．20 D．21
【分析】利用扇形图和分层抽样的性质能求出从初中生中抽取的男生人数．
【解答】解：由扇形图得：
中学有高中生3000人，其中男生，女生，
初中生2000人，其中男生，女生，
用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本，已知从高中生中抽取女生21人，
则，
解得，
从初中生中抽取的男生人数是：．
故选：．
【点评】本题考查从初中生中抽取的男生人数的求法，考查扇形图和分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
4．（5分）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为　　
A．升 B．升 C．升 D．升
【分析】自上而下依次设各节容积为：、、、，由题意列出方程组，利用等差数列的性质化简后可得答案．
【解答】解：自上而下依次设各节容积为：、、、，
由题意得，，
即，得，
所以（升，
故选：．
【点评】本题考查了等差数列的性质的灵活应用，以及方程思想，属于基础题．
5．（5分）已知，：函数为奇函数，则是成立的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】函数为奇函数，则，解得．即可判断出结论．
【解答】解：函数为奇函数，
则，
解得．
是成立的必要不充分条件．
故选：．
【点评】本题考查了函数的奇偶性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6．（5分）已知变量、满足约束条件，则目标函数的最大值是　　
A． B． C． D．6
【分析】先画出满足条件的平面区域，由得，结合图象得到直线过时最大，求出的最大值即可．
【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：
，
由得，
显然直线过时最大，
的最大值是6，
故选：．
【点评】本题考察了简单的线性规划问题，考察数形结合思想，是一道中档题．
7．（5分）函数的图象大致为　　
A． B．
C． D．
【分析】先研究函数的性质，可以发现它是一个奇函数，再研究函数在原点附近的函数值的符号，从而即可得出正确选项．
【解答】解：此函数是一个奇函数，故可排除，两个选项；
又当自变量从原点左侧趋近于原点时，函数值为负，图象在轴下方，
当自变量从原点右侧趋近于原点时，函数值为正，图象在轴上方，故可排除，选项符合，
故选：．
【点评】本题考查由函数的性质确定函数图象，其研究规律一般是先研究单调性与奇偶性，再研究某些特殊值．
8．（5分）设函数，，与直线的交点的横坐标构成以为公差的等差数列，且是图象的一条对称轴，则下列区间中是函数的单调递减区间的是　　
A． B． C． D．
【分析】由周期求得的值，根据图象的对称性求出的值，可得函数的解析式，再根据正弦函数的单调性求出函数的单调递增区间，从而得出结论．
【解答】解：由题意可得，，函数的周期为，
解得，且，
再由，，解得，结合，
可得，
．
令，解得，
故函数的增区间为，，．
故区间，是函数的减区间．
故选：．
【点评】本题主要考查由条件求函数的解析式，正弦函数的图象特征、正弦函数的单调性，考查运算求解能力，是中档题．
9．（5分）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（阴影部分）围成一个大正方形，中间空出一个小正方形组成的图形，若在大正方形内随机取一点，该点落在小正方形的概率为，则图中直角三角形中较大锐角的正弦值为　　

A． B． C． D．
【分析】求出四个全等的直角三角形的三边的关系，从而求出的值即可．
【解答】解：在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形的概率为，
不妨设大正方形面积为5，小正方形面积为1，
大正方形边长为，小正方形的边长为1．
四个全等的直角三角形的斜边的长是，
较短的直角边的长是1，较长的直角边的长是2，
故，
故选：．
【点评】本题考查了几何概型问题，考查三角函数问题，是一道基础题．
10．（5分）已知等差数列的前项和为，若，，那么此数列中绝对值最小的项为　　
A． B． C． D．
【分析】，，可得，，即，，进而得出．
【解答】解：，，
，，
，，
可得：，，，
由等差数列的单调性即可得出：此数列中绝对值最小的项为，
故选：．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式与其求和公式及其性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，过该几何体最短两条棱的中点作平面，使得平分该几何体的体积，则可以作此种平面　　

A．恰好1个 B．恰好2个 C．至多3个 D．至少4个
【分析】画出几何体的直观图，确定几何体最短两条棱，并列举出满足条件的平面，逐一分析四个答案，可得结论．
【解答】解：几何体的直观图如图所示，

该几何体最短两条棱为和，
设和的中点分别为，，
则过，且平分几何体体积的平面，
可能为：①平面，如下图：

②平面，如下图：

③平面（其中，为和的中点），如下图：

④平面（其中，为和的中点），如下图：

故满足条件的至少有4个，
故选：．
【点评】本题考查的知识点是由三视图还原实物图，本题易忽略满足条件的后两种情况，而错选．
12．（5分）已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，直线与曲线相交于，两点，若，则　　
A． B． C．10 D．11
【分析】先根据题意写出直线的方程，再将直线的方程与抛物线的方程组成方程组，消去得到关于的二次方程，最后利用根与系数的关系结合抛物线的定义即可求线段的长．
【解答】解：抛物线的焦点为，准线为，设，，，，，到准线的距离分别为，，
由抛物线的定义可知，，于是．
，
直线的斜率为，
，
直线的方程为，
将，代入方程，得，化简得，
，于是．
故选：．
【点评】本题考查抛物线的定义和性质，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．（5分）已知，，若，则实数　　．
【分析】根据题意，由向量坐标的计算公式计算可得、的坐标，由向量平行的坐标表示方法可得，解可得的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，，，
则，，
若，则有，
解可得；
故答案为：．
【点评】本题考查向量平行的坐标表示方法，关键是求出关于的关系式．
14．（5分）三棱锥中，，，两两成，且，，则该三棱锥外接球的表面积为　　．
【分析】三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长，就是球的直径，然后求球的表面积．
【解答】解：三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，它的外接球就是它
扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长：，
所以球的直径，，半径，球的表面积：．
故答案为：．
【点评】本题考查球的表面积，几何体的外接球，考查空间想象能力，计算能力．
15．（5分）已知双曲线，焦距为，直线经过点和，若到直线的距离为，则离心率为　3或　．
【分析】求出直线的方程，运用点到直线的距离公式，得到方程，结合，，的关系和离心率公式，化简整理即可得到，解方程即可得到离心率，注意条件，则有，注意取舍．
【解答】解：直线的方程为，即为，
，到直线的距离为，
可得：，
即有，
即，即，
，
由于，则，
解得，或．
由于，即，即有，即有，
则或．
故答案为：3或．
【点评】本题考查双曲线的性质：离心率的求法，同时考查直线的方程和点到直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．
16．（5分）若函数在单调递减，则的取值范围是　，　．
【分析】求出原函数的导函数，把函数在单调递减，转化为，分离参数，换元后利用函数单调性求最值，则答案可求．
【解答】解：，
，
在单调递减，，
即在上恒成立，
若，则，对于任意，上式恒成立；
若，则在上恒成立，
令，
则，
，，则当，即时，
有最小值为．
．
综上，的取值范围是，．
故答案为：，．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求最值，考查数学转化思想方法，是中档题．
三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12分）的内角，，的对边分别为，，，已知，．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求的面积的最大值．
【分析】利用两角和的正弦函数公式化简已知等式可得，由正弦定理进而可求，即可解得．
（Ⅱ）由余弦定理，基本不等式可求，进而根据三角形的面积公式即可计算得解的面积的最大值．
【解答】（本小题满分12分）
解：因为，
所以，
所以，
由正弦定理得，
所以，，解得．（6分）
（Ⅱ）由余弦定理，得：，
因为．
所以，解得：，
所以．
所以的面积的最大值为．（12分）
【点评】本题主要考查了两角和的正弦函数公式，正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
18．（12分）2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占，而男生有10人表示对冰球运动没有兴趣额．
（1）完成列联表，并回答能否有的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？

有兴趣
没兴趣
合计
男


55
女



合计



（2）已知在被调查的女生中有5名数学系的学生，其中3名对冰球有兴趣，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至少有2人对冰球有兴趣的概率．
附表：

0.150
0.100
0.050
0.025
0.010

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635

【分析】（1）利用已知条件求出列联表的数据，完成表格，计算，即可回答能否有的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”．
（2）记5人中对冰球有兴趣的3人为、、，对冰球没有兴趣的2人为、，列出所有选派的情况，求出至少2人对冰球有兴趣的情况数目，然后求解概率．
【解答】解：（1）根据已知数据得到如下列联表

有兴趣
没有兴趣
合计
男
45
10
55
女
30
15
45
合计
75
25
100
根据列联表中的数据，得到
所以有的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”．
（2）记5人中对冰球有兴趣的3人为、、，对冰球没有兴趣的2人为、，则从这5人中随机抽取3人，共有，，，，，，、、、、、、、、、、、、、、种情况，
其中3人都对冰球有兴趣的情况有、、种，2人对冰球有兴趣的情况有、、、、、、、、、、、、种，
所以至少2人对冰球有兴趣的情况有7种，
因此，所求事件的概率．
【点评】本题考查独立检验以及古典概型的概率的求法，是基本知识的考查．
19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，交于点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若，求到平面的距离．

【分析】证明．，推出平面，．然后证明平面．
（Ⅱ）设到平面的距离为，通过，解得即可．
【解答】（本小题满分12分）
解：证明：平面，平面，
．
，，平面，
平面，
平面．（3分）
平面，
．
，，平面，平面，
平面．（6分）
（Ⅱ）由可得．又
是中点，（8分）
，，，
设到平面的距离为，
，
．
解得（12分）

【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
20．（12分）已知椭圆的左、右两个焦点，，离心率，短轴长为2．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）如图，点为椭圆上一动点（非长轴端点），的延长线与椭圆交于点，的延长线与椭圆交于点，求面积的最大值．

【分析】（Ⅰ）由题意解得，利用离心率以及，，的关系求解，，即可得到椭圆的方程．
（Ⅱ）①当直线的斜率不存在时，求解三角形的面积；②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立方程组，设，，，，利用韦达定理弦长公式求出，通过点到直线的距离求出，表示出三角形的面积．利用基本不等式求解最值．
【解答】（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意得，解得，（1分）
，，，，
故椭圆的标准方程为．（3分）
（Ⅱ）①当直线的斜率不存在时，不妨取，，，
故（4分）
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立方程组，
化简得，（5分）
设，，，，，，（6分），（8分）
点到直线的距离
因为是线段的中点，所以点到直线的距离为，（9分）
（11分）
综上，面积的最大值为（12分）
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．
21．（12分）已知函数．
（1）求函数的单调区间和极值；
（2）若函数对任意满足，求证：当，；
（3）若，且，求证：．
【分析】（1）先求出其导函数，利用导函数值的正负对应的区间即可求出原函数的单调区间进而求出极值；
（2），求出其导函数利用导函数的值来判断其在上的单调性，进而证得结论．
（3）先由（1）得在内是增函数，在内是减函数，故、不可能在同一单调区间内；设，由（2）可知，即．再结合单调性即可证明结论．
【解答】解：（1），．（2分）
令，解得．


2



0



极大值

在内是增函数，在内是减函数．（3分）
当时，取得极大值（2）．（4分）
（2）证明：，，
．（6分）
当时，，，从而，
，在是增函数．
．（8分）
（3）证明：在内是增函数，在内是减函数．
当，且，、不可能在同一单调区间内．
不妨设，由（2）可知，
又，．
，．
，，，且在区间内为增函数，
，即．（12分）
【点评】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来研究函数的单调性、极值，并考查数学证明．利用导数研究函数的单调性，求解函数的单调区间、极值、最值问题，是函数这一章最基本的知识，也是．教学中的重点和难点，学生应熟练掌握．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]
22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线，曲线的参数方程为为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线，的极坐标方程；
（Ⅱ）在极坐标系中，射线与曲线，分别交于，两点（异于极点，定点，求的面积．
【分析】（Ⅰ）由曲线的普通方程能求出曲线的极坐标方程；由曲线的参数方程能求出曲线的普通方程，由此能求出曲线的极坐标方程．
（Ⅱ）点的极坐标为，点的极坐标为，，从而，点到射线的距离为，由此能求出的面积．
【解答】解：（Ⅰ）曲线，
曲线的极坐标方程为：，（2分）
曲线的参数方程为为参数）．
曲线的普通方程为：，（3分）
，
曲线的极坐标方程为．（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：点的极坐标为，（5分）
点的极坐标为，，（6分）
，（7分）
点到射线的距离为，（8分）
的面积为：
．（10分）
【点评】本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查三角形面积的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数．
（Ⅰ）解不等式：；
（Ⅱ）当时时，函数恒为正值，求实数的取值范围．
【分析】（Ⅰ）由分类讨论，解不等式可得所求解集；
（Ⅱ）求得的最小值，解不等式可得所求范围．
【解答】解：（Ⅰ）等价于
或或，
解得或或，
综上所述，不等式的解集为，，；
（Ⅱ）当时，则，
只需，不可能！
当时，，
要使函数恒为正值，
则，可得，
当时，恒成立，
只需要，可得，
综上所述，实数的取值范围是，，．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立的解法，考查运算能力，属于基础题．
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日期：2019/5/3 23:15:29；用户：高中数学1；邮箱：jt0017@xyh.com；学号：24416196